К теории резонансного взаимодействия электронов с высокочастотным электрическим полем в одномерных двухбарьерных наноструктурах с симметричными барьерами конечной высоты и ширины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.315.592; 537.311.322

К ТЕОРИИ РЕЗОНАНСНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОНОВ С ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ В ОДНОМЕРНЫХ ДВУХБАРЬЕРНЫХ НАНОСТРУКТУРАХ С СИММЕТРИЧНЫМИ БАРЬЕРАМИ КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ И ШИРИНЫ

В. А. Чуенков

Развита теория взаимодействия электронов с высокочастотным электрическим полем в одномерных двухбарьер-ных наноструктурах с симметричными барьерами конечной высоты и ширины. Найдено точное решение уравнения Шредингера для электронов в указанной выше наноструктуре в отсутствие высокочастотного электрического поля, получено аналитическое выражение для постоянного тока /о, создаваемого в этой структуре падающим на нее потоком электронов с энергией е, мало отличающейся от энергии резонансного уровня еТ(\е — еГ\ « ег). В слабосигнальном приближении вычислена активная (синфазная полю) составляющая переменного электрического тока 1С. При с > еТ ток 1С отрицателен во всей области частот, что указывает на возможность усиления и генерации переменного электрического поля в двухбарьерной резонансно-туннельной структуре с барьерами конечной высоты и ширины. В пределах применимости теории (Ь,и << ег) частота, на которой возможны усиление и генерация переменного электрического поля, достигает значений и > 1013с-1, а мощность, передаваемая электронами полю, равна при этом около 1 Вт/см2.

Исследованию взаимодействия электронов с высокочастотным электрическим полем в резонансно-туннельных структурах посвящено большое число работ [1-11, 13-15]. Мы указали лишь на последние работы в этой области, имеющие непосредственное отношение к теме нашего исследования. На предыдущих работах в этой области, перечень и анализ которых дан в [1-11, 14, 15] мы останавливаться не будем.

В работах [1-11] построена теория взаимодействия электронов с высокочастотным электрическим полем в одномерных двухбарьерных наноструктурах - резонансно-туннельных диодах (РТД) с ¿-функциональными барьерами (бесконечно большая высота барьеров Vo и бесконечно малая их ширина Ь с сохранением постоянства произведения Vo-b = а). В [1-11] показано, что в таких структурах (в дальнейшем мы будем называть их - РТД с ¿-барьерами) возможны усиление и генерация переменного электрического поля в широкой области частот, в том числе при частотах терагерцового диапазона, установлена связь физических характеристик РТД с ¿-барьерами с параметрами структуры.

Цель настоящей работы - построить аналитическую теорию взаимодействия электронов с высокочастотным электрическим полем в одномерных двухбарьерных наноструктурах - резонансно-туннельных диодах (РТД) - с симметричными барьерами конечной высоты и ширины (в дальнейшем такие структуры будем называть - РТД с реальными барьерами), установить связь и различие с теорией, построенной в [1-11].

Решение уравнения Шредингера для электронов в РТД с реальными барьерами в отсутствие переменного электрического поля. Рассмотрим одномерную резонансно-туннельную структуру с двумя симметричными барьерами конечной высоты и ширины - РТД с реальными барьерами (рис. 1).

Слева (х < 0) к диоду подводится поток электронов, пропорциональный q2, с энергией е, мало отличающейся от еТ (|в — ег\ = ¿ << ет). В отсутствие электрического поля волновая функция электронов Фо(х) находится из уравнения Шредингера

h2 d2tyn

Точное решение уравнения (1) в указанных на рисунке областях значений х (областях 1-5) имеет вид:

Ф1о(х) = 9е,'** + Сое-,'*ж (х<0), Ф2о(х) = A20eklX + В20е~к1Х (0 < х < 6), Фзо(х) = A30eikx + B30e~ikx (Ь<х<а + Ь),

швш

V(xk

е = &J-+6 II«»«»'

fico

Tito

О Ь а+Ь а

Рис. 1. Двухбаръерная резонансно-туннельная структура (РТД) с резонансным уровнем еГ.

Ф40(*) = A40eklX + B40e~klX (a + b< х <d),

Ф5о(х) = D0eik^-d\ {x>d),

(2)

где

k - л/2тб/Й, ki = ^2rnp{V^—e)/h

(3)

- волновые векторы электронов соответственно в квантовой яме и барьерах; т и тр -эффективные массы электронов соответственно в квантовой яме и барьерах; Уо и Ъ -соответственно высота и ширина барьеров; а - ширина квантовой ямы, с1 — а + 26. Сшивая волновые функции Фю(х) — Ф5о(я) (см. (2)) и их первые производные на границах потенциальных барьеров, т.е. в точках х = 0,х = Ь, х = а + Ь,х = с1 получим выражения для коэффициентов Со, Л2о, В2о, А30, В30, Л40, В40, 1)0 через д, к, кх, У0, а, Ь:

^20 = |(1 - * 9 + |(1 + ¿е) - Со, А4о = + ¿0 • D0 ■ ехр(-М), В4о = ^(1 - i£) ■ Do ■ exp(M), ^30 = Do |ch kib - ^ ^ — 0 sh A^bl • ехр{-г£(а + 6)},

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

где

Язо = -¿А,- ^ зЬ кгЬ ■ ехр{1к(а + Ь)}, (9)

^ - ¿"¿*ехр(-2 гка)

~ (Р*)2 • ехр(—2гка) + |-£|2 '

п _ {1Л2-|Х12}-ехрНЫ) 0 ■ ехр(—2г'А;а) + ¡¿|2 1 ]

^ = 4сЬ/ЬхЫ-2^ ^ зЬ^Ь, (12)

*—*(« + !) л (13)

|СоГ + |С„|2 = ,2, - = 16, (14)

г - мнимая единица, и Ь* - комплексно-сопряженные величины. Подчеркнем, что <?2, |Со|2, | А)|2 определяют соответственно поток падающих на двухбарьерную систему, отраженных от двухбарьерной системы и прошедших через нее электронов.

Вычисление плотности постоянного электрического тока /о- Вычисление энергии резонансных уровней и их полуширины. Формулы (2)—(14) однозначно определяют волновую функцию электронов в изображенной на рисунке двухбарьерной структуре через ее параметры. Зная волновые функции Фю(х) — Ф50(х), можно вычислить плотность постоянного электрического тока 70 в любой из областей структуры по стандартной формуле квантовой механики:

еН

/о = {ФоУФ; - Ф^УФо}, (15)

¿171

где е - заряд электрона, Н - постоянная Планка. Подставляя волновые функции Фю(х) — Ф50(х) с коэффициентами (4)-(11) в формулу (15), получим одинаковое во всех областях структуры, как и должно быть, значение плотности постоянного электрического тока

/0 = ИА)|2, (16)

где V - скорость электронов. Известно, что коэффициент прохождения потока электронов через двухбарьерную систему имеет четко выраженный резонансный характер. Величину волнового вектора, определяющего резонансные уровни, на которых коэффициент прохождения потока электронов через двухбарьерную систему с симметричными барьерами равен единице, будем находить из условия (см. (14))

|Д>|2 = ?2, |Со|2 = 0. ' (17)

Подставляя в (17) коэффициенты Д> и С0, определяемые формулами (10)—(13), получим трансцендентное уравнение

(18)

2£т

tg kra = r cth

С2-1

из решения которого находятся значения волнового вектора кТ, соответствующие резонансным уровням er = h2к2¡2т. Величины кг, kir, £г определяются соотношениями (3), (13) при подстановке в них t — еТ. Заметим, что уравнение (18) является следствием условия обращения в ноль мнимой части знаменателя в (10) и (11) при е = еГ, т.е. следствием условия (см. (12), (13))

Im{(F;)2exp(-2ikra) + \LT\2} = = 16 — — j sh kirb ■ ch klTb ■ sin2 кта—

-8

4ch2 klrb - - ^-j sh2 k\Tb

sin kTa • cos kTa-

— 16 — — j sh kïrb • ch k\rb • cos2 kTa = 0,

(19)

в чем легко убедиться, подставив в знаменатель в (10) и (11) выражения (12) и (13). Поделив уравнение (19) на cos2 кга, получим уравнение для tg кга, корни которого определяются соотношением (18).

Предположим, что энергия падающего на структуру монохроматического потока электронов близка к энергии резонансного уровня ег, так что е — ег = 8 « tr. Разлагая входящие в (11) величины к, F, L (см. (12), (13)) в ряд по малой величине <$/ег, получим

Гехр(—г • кга) »(с - ег) - Г

(20)

где

Г =

tr

ch kirb

• < kra ■

1 + ïË~f') лЧ"ь

+

1 + 2

1

+ к1гЬ

Vo ~ ег

1

+ • th k\rb +

(l-th2fclr6)

-1

v0 - tT \ir

Величина Г характеризует полуширину резонансного уровня ет.

(21)

При kirb » 1 (барьеры большой мощности) вместо (18) и (21) получим:

tgMw^r, (22)

chЧ1гЬ " ' ' ' ' "" ' (23)

В этом случае, как следует из (22) и (23), положение резонансного уровня еГ зависит от ширины квантовой ямы а, высоты потенциальных барьеров Vo, но не зависит от ширины потенциальных барьеров 6, а полуширина резонансного уровня Г определяется в основном множителем

exp j-l^m^Vo-cO-b}, (24)

который относительно слабо изменяется (Vo >> tr по крайней мере для низко лежащих резонансных уровней) при у/Щ ■ b = const. Подчеркнем, что для модели двухбарьерной наноструктуры с ¿-функциональными симметричными барьерами положение резонансных уровней и их полуширина определяются формулами [3, 12]

= (25)

(26)

которые получены при условии: высота барьеров Vo —> оо, ширина барьеров b —> 0, а площадь барьеров

a = V0 ■ b = const. (27)

Итак, модель двухбарьерной наноструктуры с симметричными барьерами конечной высоты и ширины, т.е. с реальными барьерами (см. формулы (18), (21)—(23)), и модель двухбарьерной наноструктуры с симметричными ¿-функциональными барьерами (см. формулы (25)-(27)) приводят к существенно различающимся зависимостям положения резонансных уровней и их полуширины от параметров структуры a, Vo, b, т, тр.

В таблице приведены энергии первых резонансных уровней и их полуширина для ряда двухбарьерных резонансно-туннельных наноструктур как с реальными (конечная высота и ширина) симметричными барьерами (формулы (18) и (21)), так и с симметричными ¿-барьерами (формулы (25)-(27)). Для структур с реальными барьерами m = 0.067mo, тр = 0.15то (т0 - масса свободного электрона). Для структур с 6-барьерами m = 0.067mo, масса тр в формулах (25)-(27) отсутствует.

Таблица

Таблица значений ег и Г

Структура 1 2 3 4 5

Ширина квантовой ямы а, А 45 45 45 95 275

Ширина барьеров Ь, А 10 18 20 И И

Высота барьеров Уо, еУ 0.9 0.9 0.9 1.04 1.04

ег в структуре с реальными барьерами при т/3 ф т, теУ 119 121 121 40.7 6.3

еТ в структуре с реальными барьерами при т/3 = т, теУ 140 147 147.5 45 6.6

еТ в структуре с ¿-барьерами при тр — т, гпеУ 179 210 215 51 6.9

Г в структуре с реальными барьерами при тр ф т, теУ 3.44 0.22 0.11 0.205 5.2 • 10"3

Г в структуре с реальными барьерами при тр = т, теУ 9.17 1.59 1.01 0.55 1.2-Ю-2

Г в структуре с ¿-барьерами при тр = т, теУ 35.54 14 11.7 1.6 2.7- 10~2

Из таблицы следует, что модель двухбарьерной резонансно-туннельной наноструктуры с барьерами конечной высоты и ширины (реальными барьерами) и модель той же структуры с ¿-барьерами приводят не только к существенно различающимся аналитическим зависимостям энергии резонансных уровней и их полуширины от параметров структуры, как уже отмечалось выше, но и к существенно различающимся численным значениям этих величин.

Из таблицы также следует, что положение и ширина резонансных уровней существенно зависят от соотношения эффективных масс электронов в яме и барьерах.

Итак, постоянный ток, создаваемый в рассмотренной нами двухбарьерной наноструктуре падающим на нее слева потоком электронов с энергией е, равен, как следует

из (16) и (20),

Г2

/о(е - с,) = еуГп -—, (28)

11 + (б - £г)

где резонансный уровень ег является решением уравнения (18), полуширина уровня определяется соотношением (21), V = (2еТ/т)1^2, а величина ц2 положена равной концентрации электронов п.

Вычисление действительной части высокочастотного электрического тока. Предположим теперь, что в области 0 < х < д (рис. 1) действует высокочастотное электрическое поле

ЕЦ) = + е*шЬ) (29)

АI

с потенциалом

Ж(х,0 = -£|£(е",'а;4 + е^)- (30)

В (29) и (30) не учитывается зависимость поля Е от координаты х, поскольку длина волны Л = 2жс/ш (с - скорость света) высокочастотного электрического поля при и> = 1012 — 1013 с-1 на несколько порядков превышает размер д = а + 2Ь « (100 — 300) А рассматриваемой нами структуры.

При наличии высокочастотного электрического поля волновая функция электронов Ф(х,£) является решением нестационарного уравнения Шредингера

Яф %2 т?

Вид функции У(х) представлен на рис. 1. Будем предполагать, что

Лш « сг, Г << бг, (32)

еЕд « Ли, еЕд « Г. (33)

Второе неравенство в (32) означает, что в работе рассматривается случай, когда квантовая яма расположена между двумя "сильными барьерами". Неравенства (33) характеризуют слабосигнальное приближение (приближение слабого поля). При условиях (32), (33) установившееся решение уравнения (31) можно представить в виде [13, 3]

Ф(х, г) = Фо(х)е_,Шо< + Ф+(х)е-(и'0+и')< + Ф_(х)е-,(ш°-^, (34)

где = с/Л, Ф0(х) » Ф+(х), Ф—(х).

Функции Фо(ж), Ф-(х) описывают электроны соответственно с энергиями е,

с + Ьш, е — Тги>. Уравнение (31) после подстановки в него функции (34) решается методом последовательных приближений. Функция нулевого приближения Фо(х) является решением стационарного уравнения Шредингера (1). Вид этой функции в различных областях значений х (рис. 1) приведен в (2)-(14). Функции Ф+(х) и Ф_(х) являются решениями уравнений

Н2 еРФ+ . _ , . ж _ еЕх

2т dx2

+ У(х)Ф+ - (е + = —- • Ф0, (35)

Ь2 d2Ф еЕт

"Si "гj + = Об)

Из уравнений (35), (36) можно получить точные выражения для функций Фп+(х) и Фп_(х) (п = 1 — 5) в любой из представленных на рисунке областей значений х, а затем произвести сшивание этих функций и их первых производных на границах барьеров. Подставив приведенные в (2) функции Ф„о(х) и функции Ф„+(х), Ф„_(х) в (34), можно по формуле (15) вычислить высокочастотный электрический ток 1(ш, х, t). Такой способ вычисления тока I(w,x,t), который даже для структуры с ¿-барьерами представляется довольно громоздким [3], будет опубликован нами в следующей работе. В данной работе используем более простой способ, на который указывалось в [1-3]. При условиях (32), (33), т.е. в слабосигнальном приближении, действительная часть высокочастотного электрического тока 1с(ш, х, t) может быть легко выражена через зависимость постоянного тока /0 (см. (28)) от расстройки. В отсутствие переменного электрического поля под расстройкой подразумевается величина 6 = е — еГ (см. (28)). В переменном электрическом поле для электронов, поглотивших фотон с энергией Нш, под расстройкой следует

еЕх

подразумевать величину с — er + hu>-\—г—cos ut, а для электронов, испустивших фотон с

а

еЕх

энергией hu>, - величину е — ет — fiu Н——cos u>t (в переменном электрическом поле, как

еЕ еЕ

следует из (34)-(36), функция Ф+(х,г) ~ —е~1Ш*, а функция Ф_(х,£) ~ — е"*(). Сле-

LJ ¿А

довательно, при упомянутых выше условиях действительная часть высокочастотного электрического тока 6, х, t) определяется разностью потоков электронов, поглотивших и испустивших квант энергии Кш, т.е.

еЕх

1с(ш,6, x,t) = /0(е — 6r -f ku -|--¡г—cos uit) —

£

еЕх

—/о(е — бг — Нш Н--cos аЛ) =

/0(с - er + Hu) - /0(е - еТ - Hu) еЕх .

=—--—-1-- --cosut. (37)

2Ни 2 v '

Подставляя в (37) постоянный ток (28) при соответствующих аргументах и проведя усреднение по х, получим приведенный ток

d

Ic(u, 8,t) = 2 J S, x, t)dx =

о

-С-П e2vTÏld _T28E • cos ut_

'' 2 ' [Г2 + (£ + М2][Г2 + (<5-М2]'

Действительная часть проводимости, как следует из (38), равна

= (-1Ь[г2 + (б + м"][г2 + (^-М2]' (39)

а коэффициент поглощения равен

= 4r

Су/Ко

где Ко - диэлектрическая постоянная.

Мощность, передаваемая электронами полю, равна

Pc=d- f dtac{u,8)Е2cos2ut = 2п J

_е2Е2сРугпТ26_

" 4[Г2 + (5 + й^)2][Г2 + (6 — Ни)2]' Из (38)-(41) следует, что при е > ет приведенный ток 1с(и,6,1), проводимость ас(и,8), коэффицицент поглощения 7 и мощность Рс отрицательны, что свидетельствует о возможности усиления электромагнитного излучения во всей области частот.

При 8 << Г проводимость стс(и, 8) максимальна при и —► 0, а при больших частотах и >> Т/Н быстро уменьшается как 1 /и*. При 8 » Г проводимость максимальна при частоте

= « (42)

т.е. при условии "квазирезонанса" Ни = е — ег. Указанная частотная зависимость имеет место, как следует из (38)-(41), и для величин 1с(и,8), 7 и Рс.

Оценим теперь область частот, в которой возможно усиление электромагнитного излучения, если 8 >> Г. Воспользуемся вторым столбцом таблицы и положим 8 = 20Г =

4.4 шеУ. В этом случае, как отмечалось выше, максимальное значение проводимости и, следовательно, мощности Рс достигается при частоте шт = 8/И = 6.69 ■ 1012 Нг (ит = шт12п ~ 1012 Нг). Мощность, передаваемая электронами полю при такой частоте, равна Рс — 1.19 Вт/см2.

Таким образом, при условиях (32), (33) в двухбарьерной наноструктуре - резонансно-туннельном диоде (РТД) с симметричными барьерами конечной высоты и ширины оказываются возможными усиление и генерация переменного электрического поля в области терагерцовых частот (ш « 1012 — 1013 с-1).

Подводя итог, сравним полученные нами результаты для РТД с симметричными барьерами конечной высоты и ширины с результатами, полученными в [3, 11] в рамках модели РТД с симметричными ¿-барьерами.

Выражение для приведенного тока (38) и выражение для проводимости (39) совпадают по форме с соответствующими выражениями, полученными в работах [3, 11] путем решения уравнения Шредингера методом последовательных приближений. При одинаковом отношении 8/Г наши выражения (38), (39) и соответствующие выражения в [3, 11] дают качественно одинаковую, но различающуюся количественно частотную зависимость приведенного тока и проводимости.

Различие обусловлено, прежде всего, тем, что выбранная нами модель РТД с реальными барьерами и выбранная в [3, 11] модель РТД с ¿-функциональными барьерами приводят к существенно различным качественным и количественным зависимостям положения резонансных уровней ег и их квантовой полуширины Г от параметров структур (см. таблицу). В рамках модели РТД с реальными барьерами резонансные уровни ег и их полуширина Г определяются уравнением (18) и соотношением (21), которые существенно отличаются от уравнения (25) и соотношения (26), определяющих те же величины в рамках модели РТД с ¿-барьерами. Как видно из таблицы, это различие для ет исчисляется в пределах 1.1-1.8 раза, а для Г - в пределах 10-100 раз.

Эти различия естественным образом сказываются на величине приведенного тока 1с(и>,8,1), проводимости <тс(о;, 8), мощности Рс, передаваемой электронами полю, а также на характере зависимости перечисленных величин от параметров РТД (ширины квантовой ямы, высоты и ширины барьеров, эффективных масс электронов в яме и барьерах). При математическом описании упомянутых выше двух моделей РТД используются различные граничные условия, что и приводит в результате к существенно различным зависимостям всех перечисленных выше физических величин от параметров структур. Подчеркнем, что в модели РТД с ¿-барьерами в принципе невозможен учет

различия между эффективными массами электронов в квантовой яме и барьерах. В РТД с реальными барьерами такое различие имеет место (тр/т и 2.2) и оказывает существенное влияние, как следует из таблицы, на положение резонансных уровней бг, их полуширину Г и, следовательно, на величину приведенного тока 1с(и, 6, ¿), проводимость ас(ш,6), мощность Рс.

Очевидно, модель РТД с барьерами конечной высоты и ширины является более близкой к реальности и более правильно описывает зависимость ег, Г, /с(ы,<$, £), ас(ш,8), Рс от параметров структур как в качественном, так и в количественном отношении. Сказанное подтверждает, в частности, совпадение с большой точностью результатов расчетов ег и Г для РТД с реальными барьерами по полученным нами аналитическим формулам (18) и (21), приведенных в таблице (5-ая и 8-ая строки), с результатами расчетов для тех же РТД, полученных численными методами.

Заметим, наконец, что выражение (37) совпадает по форме с выражением для высокочастотного тока в сверхрешетке, полученным в работе [1] методом квантового кинетического уравнения. На такое совпадение было указано впервые в работе [3].

Автор благодарен В. Н. Мурзину и В. В. Капаеву за плодотворное обсуждение работы и ценные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (N0. 08-02-00513), ПФИ Президиума РАН "Квантовые наноструктуры", НП ОФН РАН "Проблемы радиофизики" (Раздел: Освоение терагерцового диапазона), НП ОФН РАН "Когерентное оптическое излучение полупроводниковых соединений и структур".

ЛИТЕРАТУРА

Р. Ф. Казаринов, Р. А. Сурис, ФТП 6, 148 (1972).

И. В. Беляева, Е. И. Голант, А. Б. Пашковский, ФТП 31(2), 137 (1997).

В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 116, вып. 2(8), 704 (1999).

V. F. Elesin, D. V. Melnikov, A. I. Podlivaev, Phys. Low-Dim. Struct. 6, 23 (1996). V. F. Elesin, Phys. Low-Dim. Struct. 1/2, 55 (2000). В. Ф. Елесин, И. Ю. Катеев, А. И. Подливаев, ФТП 34, 1373 (2000). В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 119, 816 (2001).

В. Ф. Елесин, И. Ю. Катеев, А. И. Подливаев, ФТП 36, 1033 (2002). В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 121, 925 (2002). В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 123, 1096 (2003). В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 124, 379 (2003).

[12] В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган, Задачи по квантовой механике (М., Наука, 1981).

[13] R. К. Mains and G. I. Haddad, J. Appl. Phys. 64, 504 (1988).

[14] В. Ф. Елесин, И. Ю. Катеев, ФТП 39(9), 1106 (2005).

[15] В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 127, 131 (2005).

Поступила в редакцию 7 июля 2008 г.