К теории подобия дозвуковых течений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XV 19 8 4 М2

Г,

; М

УДК 533.6.011.35

К ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ДОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

А. А. Шагаев

Анализируется точность правил подобия дозвуковых течений около крыльев бесконечного и конечного размаха. Приведена асимптотическая оценка погрешностей различных правил учета сжимаемости и показано, что при оптимальном выборе дозвукового параметра подобия и расчете несжимаемого потенциального течения около аффинно-подобных контуров в точной постановке погрешность правил учета сжимаемости уменьшается. Сформулировано справедливое во втором приближении дозвуковой теории тонкого профиля правило подобия эпюр давления аффинно-подобных профилей. Проведено сравнение результатов расчета по приближенным правилам учета сжимаемости и численных решений точного уравнения потенциала в случае плоского и пространственного течений.

В дозвуковой теории тонкого профиля (ДТТП) решение задачи обтекания ищется в виде асимптотического разложения по малому параметру, в качестве которого обычно выбирается относительная толщина профиля е. Классическая теория Прандтля — Глауэрта позволяет найти первые члены этого асимптотического разложения, имеющие порядок 1 и г, а следующий член порядка в2 определяется во втором приближении ДТТП с помощью так называемой теории второго порядка, получившей наиболее завершенный вид в работах Хейза и Ван-Дайка. В работе [1] Хейзом была указана простая связь между разложениями теории тонкого профиля для сжимаемого и несжимаемого течений. Ван-Дайк [2], используя метод сращиваемых асимптотических разложений, исследовал неоднородности ДТТП в окрестностях передней и задней кромок профиля и построил равномерно-пригодное разложение до члена порядка е2 включительно. Однако применять метод сращиваемых асимптотических разложений для расчета обтекания реальных профилей, координаты которых заданы в виде таблицы, весьма сложно. Поэтому в практических исследованиях приближенный учет сжимаемости осуществляется обычно при помощи правил подобия, основанных на линейной теории. В настоящей работе анализируется точность такого подхода и предлагается правило подобия эпюр давления аффинно-подобных профилей, справедливое во втором приближении ДТТП.

1. Рассмотрим плоское дозвуковое течение невязкой сжимаемой жидкости около аффинно-подобных профилей, форма которых в прямоугольной системе координат х, у описывается соотношением у = е/(л:), где /(х) — двухзначная функция, определенная на интервале [0, 1], а в — относительная толщина. Будем считать, что вектор скорости набегающего потока направлен вдоль оси х, а число М набегающего потока равно М«,. Согласно общей теории подобия [3] для коэффициента давления р в соответствующих точках течений имеет место функциональная зависимость

где К — дозвуковой параметр подобия, определяемый равенством

В рамках линейной теории величину А можно выбирать произвольным образом, получая в результате разные параметры дозвукового подобия, которым соответствуют различные правила подобия. При помощи этих правил задача дозвукового обтекания заданного профиля сводится к расчету течения около аффинноподобного контура с другим числом М«,. Если течение около аффинно-подобного контура определяется в приближении линейной теории, то результаты, полученные при помощи такого рода правил, не зависят от выбора дозвукового параметра подобия. Однако в том случае, когда течение около аффинно-подобного контура определяется точнее, чем по линейной теории, или известно экспериментально, различные правила подобия приводят к разным результатам в пределах погрешности линейной теории. Как будет показано ниже, в ряде случаев это различие может оказаться достаточно большим. Поэтому определенный интерес представляет выбор наиболее точного правила подобия или, иначе говоря, наиболее оптимального дозвукового параметра подобия. С этой целью обратимся ко второму приближению дозвуковой теории тонкого профиля (ДТТП).

В работе [1] показано, что распределение коэффициента давления на поверхности профиля определяется выражением

где функции pi(x) и р2(х) являются коэффициентами разложения теории тонкого профиля для несжимаемого потока и зависят лишь от функции f(x), а % — показатель адиабаты. В соответствии с выражением (2) для распределения коэффициента давления на поверхности аффинно-подобных профилей имеет место справедливая, с точностью до членов порядка е2 включительно, функциональная зависимость

р(х, у\ е, Моо) =• 7 1 ..^Р{х, V \ — ML у, К), (1)

Л У 1 -

А У 1 —

Сравнение равенств (3) и (1) показывает, что при К = &Н соотношение подобия (1) дает связь между эпюрами давления аффинноподобных профилей с точностью до членов порядка в2 включительно. Поскольку выражение (2) справедливо лишь для точек, расположенных на поверхности профиля, указанная оценка не имеет место во внутренних точках подобных течений, где погрешность соотношений подобия по прежнему следует считать равной погрешности линейной теории. Тем не менее, в дальнейшем правило, соответствующее дозвуковому параметру подобия К—гН, будет называться правилом подобия второго порядка, поскольку оно позволяет учесть влияние сжимаемости на распределение давлений по поверхности профиля во втором приближении ДТТП, и в этом смысле является более точным. Следует отметить, что значения параметров потока внутри поля течения представляют гораздо меньший интерес, чем их значения на поверхности профиля, и в практических исследованиях, как правило, вообще не рассматриваются.

2. Учет сжимаемости с помощью теории подобия осуществляется путем сведения задачи обтекания к расчету несжимаемого течения. Относительная толщина аффинно-подобного профиля в несжимаемом потоке е0 определяется при этом из условия г0 А0 = = К—ьА, в котором без потери общности можно положить Л0 = 1. Таким образом, распределение давления в сжимаемом течении на поверхности профиля с относительной толщиной е выражается через распределение давления в несжимаемом потоке на поверхности аффинно-подобного профиля с относительной толщиной е0 = еЛ по простой формуле

р (х\ г, М„) = v-l .== р (х; е0, 0), (4)

А У 1 - А&

следующей из равенства (1). Несжимаемое течение около аффинноподобного профиля рассчитывается обычно в точной постановке для идеальной жидкости при помощи хорошо разработанных и эффективных численных методов [4]. Во втором приближении теории тонкого профиля для несжимаемого потока р(х\ е0, 0)~ ^г0Р\ (х) + sIP2 (■*)> и, с точностью до членов порядка г2 включительно, предыдущую формулу в этом случае можно записать следующим образом:

р(х- е, М.) - —T=L=rpi (х) + (х).

Vl-Ml М-Л&

Сравнивая это равенство с равенством (2), получаем асимптотическую оценку погрешности правил, соответствующих разным параметрам подобия:

Для оценки точности различных правил удобно рассматривать отношение величины Дрп п(х) к погрешности линейной теории

Ард т (х) = s2 Нр2 (x)/V 1—М^,, которое определяется выражением

Уп. п (*) _ J К

АРя.т(х) гН

и не зависит от формы профиля. _ _

На рис. 1 изображены зависимости величин А,рп п/&рл т от числа Мсо Для обычно применяемых правил подобия /C=sV 1 — M¿>

(Л = /1 — М»), К=в-(Л = 1) и (А = 1/V1 - Mi).

В рамках ДТТП эти правила имеют первый порядок точности, поскольку их погрешность пропорциональна погрешности линейной

Рис. 1

теории. Однако коэффициенты этой пропорциональности, т. е. величины Д/?п П/А/Рл т меньше единицы в рассматриваемом диапазоне чисел Моо (0<Моо<1) и стремятся к нулю при Моо -> 0. Поэтому вблизи точки Моо = 0 для каждого правила подобия существует некоторый интервал чисел Мсо, в котором погрешность правил подобия мала по сравнению с погрешностью линейной теории. Так,

погрешность правила с параметром подобия К = 1 —Ml не пре-

восходит 10% погрешности линейной теории при 0 < Моо -<0,6 и 30% при 0,6 < Моо <0,75. Приведенные на рис. 1 кривые показывают также, что правило, соответствующее параметру подобия

К = в/1Л -М», является наиболее точным из обычно применяемых правил учета сжимаемости.

Чтобы получить правило учета сжимаемости во втором приближении ДТТП в формуле (4) следует положить s0 = &Н и А = Я, что отвечает параметру подобия К = ъН. В общем виде правило подобия второго порядка для эпюр давления аффинно-подобных профилей описывается функциональной зависимостью (3) и позволяет установить соответствие не только между сжимаемым и

несжимаемым течениями, но также между течениями газа с показателем адиабаты х=1,4 и газа с ъф 1,4. Одним из наиболее изученных газов подобного рода является газ С. А. Чаплыгина [5],

которому соответствует х = — 1. Следует отметить, что для расчета течений газа Чаплыгина около произвольных профилей имеется эффективный вычислительный алгоритм [6], требующий почти таких же затрат машинного времени, как алгоритмы расчета несжимаемых течений. Поэтому такой способ учета сжимаемости представляется полезным и с практической точки зрения.

Подобие эпюр давления в совершенном газе и газе Чаплыгина имеет место при выполнении равенства

еЯСМоо, х) =/С = £ч/У (Мч, — 1), (5)

где гч и Мч означают соответственно относительную толщину профиля и число М набегающего потока в газе Чаплыгина. Следует отметить, что в рамках правила подобия второго порядка величины гч и Мч определяются неоднозначно, одну из них можно за-

давать с известной степенью произвола, а значение второй находится тогда из равенства (5). Поэтому можно положить s4 = s, чтобы профиль в газе Чаплыгина совпадал с заданным профилем, и для расчета течений с разными числами Моо не требовалось заново вычислять геометрические характеристики аффинно-подобных контуров. В этом случае условие подобия (5) выполняется при

2 чЗ

Мч =

0-Ю x±i a£ +1 - м1

(6)

а распределение давления на поверхности профиля в течении с показателем адиабаты х, р(х; Моо, *), связано с распределением давления р(х; Мч, — 1) на этом же профиле с тем же углом атаки, но с другим числом М набегающего потока, Мч, в газе Чаплыгина соотношением

1Л-Л&-

р (х; Моо, х) = ■ -=-^ р (х- Мч, - 1). (7)

/1 -К

График кривой (6) при х=1,4 изображен на рис. 2. Как и следовало ожидать, при малых значениях Мт величины М«*, и Мч практически совпадают. Заметное различие между ними возникает примерно с Моо = 0,5, причем для дозвуковых чисел Моо всегда выполняется неравенство Мсо<Мч< 1, которое свидетельствует о том, что в приближении газа Чаплыгина эффекты сжимаемости могут недооцениваться.

На рис. 3 изображены полученные по различным правилам подобия эпюры давления для эллипса с соотношением полуосей 0,02:0,201 в течении с Мю = 0,8 при а = 0, где а--угол между вектором скорости набегающего потока и хордой профиля. Приведенные там же результаты численного решения точного уравнения

0,1 0,2 0,3 0,4

■ разностный метод [7]

------К = Є]/і~МІ

------К = є

------Х-е///-ЯІ

М = 1

потенциала разностным методом [7] показывают, что рассматриваемый режим обтекания эллипса весьма близок к течению с критическим числом М набегающего потока, Мкр, при котором на поверхности профиля впервые появляется точка со звуковой скоростью и погрешность ДТТП становится максимальной. Тем не менее, сравнение с решением точного уравнения (см. рис. 3, а) подтверждает данную выше асимптотическую оценку погрешности правил первого порядка. Наиболее точным из них яв-

-ол -

-0,2

0,2

ОЛ

0,1 0,2 0,3 ОЛ

• разностный метод [7]

•, єїї(М00,х)=еН(Мц,-і) б) Пробило второго порядка, К=еН

Рис. 3

к

а наименее точным — правило

ляется правило К =е/К 1

К=гУ 1—М оо • На рис. 3, б с решением точного уравнения сравниваются результаты расчета по правилам подобия с несжимаемым течением (г0 = а И) и течением газа Чаплыгина вН( М«., *) = = е#(Мч, — 1), которые являются частными случаями более общего правила подобия второго порядка /С=е// и в рамках ДТТП имеют одинаковую точность. Вдали от затупленных кромок эллипса полученные при помощи этих правил эпюры давления хорошо согласуются между собой и оказываются ближе к решению точного уравнения, чем эпюры, соответствующие правилам первого порядка. В окрестностях передней и задней кромок эллипса, где разложение ДТТП становится непригодным, правило подобия с газом Чаплыгина приводит к более точным результатам.

Результаты применения правил подобия для расчета обтекания сверхкритического профиля ЭБМА 523, имеющего относительную толщину 11% и острую заднюю кромку [8], приведены на рис. 4. Их сравнение с численным решением точного уравнения потенциала разностным методом [7] при Моо = 0,72, а = — 2° показывает, что наиболее точным, как и в случае эллипса, является

Рис. 4

правило подобия с газом Чаплыгина в/ДМ«,, х) = е//(Мч, —1)- Обращает на себя внимание, что результаты расчетов по правилам подобия с газом Чаплыгина и несжимаемым течением (е0 = е/У), которые в рамках ДТТП имеют одинаковую точность, различаются не только в окрестности передней и задней кромок профиля, где ДТТП неприменима, но и в точках, расположенных вне этих окрестностей. Это связано с тем, что точность соотношений подобия определяется как погрешностью ДТТП для сжимаемого потока около заданного профиля, так и погрешностью теории тонкого профиля для несжимаемого потока около аффинно-подобного ему контура. В рассматриваемом случае (е=11%, Моо = 0,72) несжимаемое течение согласно правилу второго порядка г0 = гН требуется рассчитывать около контура с относительной толщиной е0 — 21%, при которой погрешности теории второго порядка становятся уже заметными.

Кроме того, большая относительная толщина аффинно-подобного контура приводит к увеличению размеров расположенных вблизи передней и задней кромок профиля областей неоднородности разложения ДТТП и вызывает, таким образом, погрешности не только локальных характеристик течения, но и интегральных, например коэффициента подъемной силы. Особенно заметен этот эффект для сверхкритических профилей, несущие свойства которых во многом определяются распределением давления в окрестности задней кромки. Сравнивая между собой правила подобия

с несжимаемым течением первого (в0 = s//l— mL) и второго

, /-----2—

(е0 = еЯ) порядков, следует отметить, что правилу е0 = е/к 1 — М^ в несжимаемом течении соответствует профиль с меньшей относительной толщиной, и в то же время, как было показано, погрешность этого правила значительно меньше погрешности линейной теории. Поэтому полученные с помощью этого правила первого порядка результаты в ряде случаев, как, например, для профиля DSMA -523, мало отличаются от результатов правила подобия второго порядка s0 = sН в точках, расположенных вдали от передней и задней кромок профиля, а в их окрестности оказываются почти всегда точнее.

3. Для достаточно точного численного решения задачи потенциального обтекания крыла потоком сжимаемой жидкости с помощью известных разностных методов необходимо использовать сетку большой размерности, что приводит к значительным затратам машинного времени и требует большого объема памяти ЭВМ. В то же время расчет несжимаемого потенциального течения около крыла конечного размаха в нелинейной постановке требует гораздо меньших затрат машинного времени и может быть выполнен с помощью имеющихся вычислительных алгоритмов [4, 9, 10] на ЭВМ БЭСМ-6. Поэтому выбор наиболее точного соответствия между сжимаемым и несжимаемым течениями приобретает особенно важное значение в случае крыла конечного размаха.

Введем прямоугольную систему координат х, у, z, ось х которой направлена вдоль вектора скорости набегающего потока, а ось z — по размаху крыла, и отнесем координаты х, у, z к корневой хорде крыла. Тогда уравнение поверхности крыла можно записать в виде y = e/(x, 2/Х), где /—двухзначная функция, ветви которой соответствуют верхней и нижней поверхностям крыла, s — относительная толщина профиля в корневом сечении, а X — отношение размаха крыла к его корневой хорде. Заданной функции / отвечает двухпараметрическое семейство аффинно-подобных крыльев, распределение давления в течении около которых зависит в Приближении линейной теории ОТ величин S, X И Мсэ следующим образом [3]:

Р(х, у, z; е, X, Моо)=— 1 - Р (х, Vl — МмУ, z/X; К, Хэф), (8)

AV 1 - JV£

где Л— произвольная величина, а К и Хэф параметры подобия

К = еЛ; Хэф = X Vl — М^ . (9)

Из выражений (8) и (9) следует, что распределение давления р(х, z\ s, X, М<») на поверхности крыла y = sf(x, z/X) в сжимаемом потоке находится по распределению давления р(х, z\ е0, Хэф, 0), на поверхности крыла y = 4f{x< гАэф) в несжимаемом потоке с помощью формулы

' | — / \

р{х, г; S, х, Моо)= ——-----р[х, -г-2; е0, Хэф, 01, (10)

aVi-V \

где ®0=А'=еЛ. Формула (10) является обобщением формулы (4) на Иространственный случай и содержит, как и в случае плоского

течения, произвольную величину А, от выбора которой зависит относительная толщина аффинно-подобного крыла в несжимаемом потоке.

В пространственном случае величину А (или параметр подобия К) нельзя выбрать так, чтобы формула (10) выполнялась с точностью до членов порядка е2 включительно. Тем не менее очевидно, что для крыльев большого удлинения погрешность формулы (10) будет близка к минимальной при таком выборе величины А, который обеспечивает минимальную погрешность в случае плоского течения. Это подтверждается приведенным на рис. 5 сравнением полученных с помощью правил учета сжимаемости результатов расчета бесциркуляционного течения около эллиптического крыла х2 + (10,05у)2 + (0,201г)2 =0,25 при М.» = 0,8 и численного решения точного уравнения потенциала разностным методом [11]. Профиль сечения этого крыла является эллипсом с отношением полуосей 0,02:0,201, результаты расчета плоского течения около которого при Моо = 0,8 изображены на рис. 3. Сравнение эпюр давления в плоском потоке (см. рис. 3) и в сечениях крыла (см. рис. 5) показывает, что качественный характер погрешностей различных правил подобия в случае профиля и крыла большого удлинения сохраняется. Наиболее точным из обычно применяемых правил подобия является и в случае крыла конечного размаха правило

с параметром подобия /С = е/К1— М1, а соответствие между результатами расчета по этому правилу и правилам с К = еН, К—£

Р

-зл

М=!

V

-ол

6)г=0

Рис. 5

и K — eYl—Mto остается таким же, как и в случае плоского течения.

Приведенные результаты означают, что оптимальный выбор дозвукового параметра подобия К = вА приводит к уменьшению погрешности правил учета сжимаемости (4) и (10), если потенциальное несжимаемое течение около аффинно-подобного крыла или профиля рассчитывается в точной постановке. При этом соответствующая оптимальному параметру подобия величина А лежит

в интервале \/V\ -л&окя.

В заключение автор выражает благодарность Ю. Б. Лифшицу за внимание, проявленное к настоящей работе и сделанные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes W. D. Second-order pressure law for two-dimensional compressible flow. — J. Aeron. Sci., 1955, vol. 22, N 4.

2. V a n Dyke M. D. Second-order subsonic airfoil theory including edge effects. — NACA Rep. 1274, 1956.

3. Л и n м а н Г. В., Рош ко А. Элементы газовой динамики.—

М.: Изд. иностр. лит., 1960.

4. П а в л о в е ц Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. — Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1344.

5. Чаплыгин С. А. О газовых струях. Собр. соч., Т. П. — М.: Гостехиздат, 1948.

6. Ш а г а е в А. А. Приближенный метод расчета дозвуковых сжимаемых течений около несущего крылового профиля. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. VII, № 5.

7. Лифшиц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля,—Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. IV, № 5.

8. Н u г 1 е у F. X., S р a i d F. W„ R о о s F. W., Stivers L. S. Jr. and Bandettini A. Detailed transonic flow field measurements about a supercritical airfoil section. — NASA TMX^3244, 1975.

9. Вернигора В. И., Ираклионов В. С., Павловец Г. А. Расчет потенциальных течений около крыльев и несущих конфигураций крыло — фюзеляж. — Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1803.

10. М а с л о в Л. А., Юшин В. П. Расчет давлений на поверхности фюзеляжа с крылом в идеальной жидкости. — Изв. АН СССР,

МЖГ, 1977, № 3.

11. Duck P. W. The numerical calculation of subcritical steady potential flow around an unyawed ellipsoid. — A. R .C. R. and М., 1977,

N 3795.

Рукопись поступила 221VI 1982 г.