CC BY
61
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том III 1972
№ 3
УДК 533.6.011.34:629.7.025.73 629.735.33.015.3.025.73
О БЫСТРОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА ДОЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ПРОФИЛЯ
Ю. Б. Лифшиц, А. А. Шагаев
Излагается метод и проводится анализ некоторых результатов расчета обтекания заданного симметричного профиля газом Чаплыгина.
1. Расчет полностью дозвукового потока сжимаемого газа около профиля представляет собой нелинейную эллиптическую задачу. Ее решение может быть получено только численным методом, в котором одновременно с определением параметров потока на теле следует определять их и во всем поле течения. Один из возможных алгоритмов решения этой задачи приводится в работе [1]. При любом численном построении поля потока нужно покрыть всю область течения сеткой, величина ячеек которой определяет точность получаемого решения. В работе [1] при сетке, имевшей 600 узлов, для расчета требовалось 15 минут на ЭЦВМ „Атлас“, быстродействие которой составляет 7-105 операций в секунду. Увеличение размерности сетки резко увеличивает необходимое время счета. Вместе с тем параметры течения внутри потока представляют гораздо меньший интерес, чем их значения на теле, и при практическом счете, как правило, вообще не рассматриваются. Поэтому наряду с точным методом желательно иметь приближенный, но быстрый метод расчета течения около профиля, в котором определение поля не будет необходимым элементом.
Одним из возможных путей построения такого метода является сведение задачи, по крайней мере в своей элементарной стадии, к уравнению Лапласа. Для него решение краевых задач выписывается сразу в виде интегралов типа Коши и может быть легко вычислено. Любое упрощение исходных уравнений движения получается вследствие линеаризации их в плоскости течения, либо изменения уравнения состояния. Возможности первого пути хорошо изучены [2], и по ряду причин получаемые уравнения не могут служить основой для достаточно точного приближенного метода. Более подходящим является изменение уравнения состояния.
2. Наиболее исследованным из возможных уравнений является предложенная Карманом [3] связь между давлением р и плотностью р в виде
р = А+Вг\ (1)
в которой постоянные А я В выбираются из условия совпадения наклона кривой (1) и адиабаты Пуассона в точке с параметрами невозмущенного потока. В соответствии с (1) уравнение Бернулли вне зависимости от величины А принимает вид
р = [1—Л&(1— ОГш. (2)
Уравнение (2) впервые было использовано С. А. Чаплыгиным [10], поэтому газ, который характеризуется равенствами (1), (2), обычно называют газом Чаплыгина. В формуле (2) и всюду ниже т — скорость потока, отнесенная к ее значению в невозмущенном потоке. Если ввести теперь функцию (2 (да) по формуле
НУ
Q(W) = jyT^м*^, (3)
1
то уравнения движения в плоскости потенциала принимают вид условий Коши —Римана:
<3? = — (4)
здесь & — угол наклона вектора скорости, а потенциал <р и функция тока ф связаны с декартовыми координатами х и у обычными формулами.
Решение задачи об обтекании симметричного профиля представляется аналитической функцией & — IС}, которая должна исчезать на бесконечности, а на профиле и на оси симметрии, т. е. при ф = 0, удовлетворять условию
О = »(х). (5)
Значение газа Чаплыгина для приближенного учета сжимаемости хорошо известно (см., например, [4]). В [2] приведена оценка точности аппроксимации (2). Она показывает, что в областях, где угол наклона контура и величина га—1 имеют порядок е, решение задачи для газа Чаплыгина отличается от решения точной задачи на величину порядка е2М1,.
Следует отметить, что два первых члена разложения в методе Релея—Янцена дают такую же оценку точности для получаемого решения. Но результаты расчета течений газа Чаплыгина оказываются гораздо ближе к экспериментальным данным, чем получен-( ные по методу Релея—Янцена.
Уравнения (4) при Мсо = 0 тождественно совпадают с уравнениями течения несжимаемой жидкости. На этом факте основана как формула Кармана—Цзяна [5], так и формула С. А. Христиано-вича [6]. Они получаются, если вместо \тю(х) для течения несжимаемой жидкости использовать функцию (¿(ю). При этом вносится ошибка порядка е2 М^о. Формула Кармана—Цзяна дает хорошев совпадение с экспериментом для профилей с платообразным распределением давления. Если же на профиле реализуется интенсивное
разрежение пикообразного характера, то расхождение может достичь 40%. Существенного улучшения результатов следует ожидать при точном решении задачи (4), (5), которое корректирует величину у(х) в зависимости от значений скорости.
3. Задача (4), (5) построения течения газа Чаплыгина около заданного профиля нелинейна. Определение скорости на профиле сводится к решению некоторого нелинейного сингулярного интегрального уравнения. Впервые его получил Н. А. Слезкин [7J. Ниже используется другой метод решения задачи (4), (5), основанный на простом итерационном процессе.
Предположим, что вместо условия (5) при ф = 0 задан угол наклона скорости как функция потенциала. Тогда мнимая часть аналитической функции & — iQ на границе полуплоскости <J> == 0 определяется при помощи формулы Шварца. Это составляет существо итерации.
Перейдем теперь к более подробному описанию вычислительного алгоритма. Будем считать, что профиль имеет единичную длину и расположен при 0<л:<1. Введем некоторый параметр а (0 <; а тс). Граничное условие (5) запишется в виде
& = & (а) при Х = Х (а). (6)
Пусть теперь в результате итерации с номером к получено распределение скорости wk(a) на профиле.
Вычисляем потенциал fk по формуле
срй(а)= Г—‘(7)
J cos & (а) dа , о
Затем для вычисления Qft+i(a) воспользуемся формулой Шварца ош- 1 ( *№) d'f>m ,т
Q.+.W— -J # №
О
Для замыкания цикла остается только найти Wk+i(a) при помощи (3).
Алгоритм (7), (8) был реализован в виде программы для ЭЦВМ. При этом полагалось
х (a) = sin2 (а/2), (1) — 1 •
Интеграл в формуле (8), понимаемый в смысле главного значения по Коши, вычислялся обычным способом — путем выделения особенности.
При разбиении интервала интегрирования на 100 равных промежутков среднее различие в скорости на последующух итерациях становилось равным 10~7 через 10—15 итераций, в зависимости от формы профиля. Время счета одной итерации при указанных условиях на БЭСМ-6 составляло приблизительно 2/3 секунды. Таким образом, рассматриваемый метод расчета действительно является очень быстрым. Выясним теперь, насколько удовлетворительны его результаты.
4. В настоящее время существует довольно много решений уравнений газодинамики, которые можно использовать для анализа
точности тех или иных приближенных методов расчета. На фиг. 1 сплошной линией изображены кривые распределения скорости на эллиптическом цилиндре с относительной толщиной 10% при Моо = 0,5и 0,7, полученные по изложенной методике; а штриховой— расчет точных уравнений методом установления [8]. Различие между
йГ
us
11
105
0,95
и ч
" 1 1п OJj
'
1
025
050 X
Фиг. 1
Фиг. 2
ними меньше 0,01, включая и носовую часть. Это не является неожиданным, поскольку даже формула Кармана — Цзяна вполне удовлетворительна для контуров с платообразным распределением давления, каким является эллипс.
Более подробный анализ ошибок получается в результате сравнения с серией точных решений уравнения Чаплыгина, описывающих течения около профилей разных типов. Систематическое изложение методики их построения, основанной на методе Лайтхилла, приведено в работе [9]. Для профилей с треугольным и пикообразным распределением давления и относительной толщиной 10% получаются следующие результаты. В областях, где углы наклона профиля малы и влияние носовой части почти не ощущается, величина скорости получается ниже примерно на 0,01. В областях с быстрым изменением кривизны, где возникает пик разрежения, скорость получается выше, но не более, чем на 0,02. Указанная ошибка сохраняется вплоть до критической скорости набегающего потока и убывает вдали от носка пропорционально относительной толщине профиля. Приведенные результаты означают, что течение газа Чаплыгина весьма точно описывает реальный сжимаемый поток.
Значительно большая погрешность получается при расчете течений, в которых местная сверхзвуковая зона уже образовалась, но скачок уплотнения еще очень слаб. Хорошей моделью этих течений являются построенные в [9] безударные точные решения. На фиг. 2 приводится сравнение распределения скорости на профиле одного из таких решений с соответствующим решением для газа Чаплыгина (оно изображено сплошной кривой). Сверхзвуковая зона занимает здесь около 40% хорды и различие скорости в ней быстро падает от 0,07 до 0,03, за исключением очень малой окрестности точки пика, где оно составляет 0,1. В области дозвукового потока, как и раньше, скорости отличаются не более, чем на 0,02.
5. Воспользуемся теперь изложенным методом расчета для анализа дозвукового течения сжимаемого газа около профиля, составленного из двух касающихся окружностей. Хорда профиля имеет единичную длину, носовая часть образована окружностью радиусом/? = 0,01016, а хвостовая часть представляет собой окружность радиусом /? = 2,6357. Кривые распределения коэффициента
Фиг. 3
давления приведены на фиг. 3 на 15% длины хорды для трех значений Мсо. Там же штрцхами нанесены и значения ср для дуги исходной окружности, скруглением которой получен рассматриваемый контур.
Линии ср(х) имеют ярко выраженный пикообразный характер. Он является следствием достаточной протяженности области контура с большой кривизной, которая сменяется дугой окружности с малой кривизной.
Как видно из фиг. 3, распространение влияния носовой части вдоль хорды профиля практически одинаково при всех докрити-ческих числах М. Этот результат согласуется с представлениями линейной теории. Согласно последней, вносимые возмущения распространяются на расстоянии порядка (х2 + р2_у2)1/2 (¡32 = 1 — М^). При малых значениях у величина {3 не должна влиять на результаты. При сверхкритических Моо, когда возникает местная зона сверхзвуковых скоростей и закон затухания возмущений существенно иной, влияние носовой части растет с ростом Мсо.
Рассмотрим изменение относительного пика разрежения в зависимости от Мсо. Как следует из фиг. 3, его величина растет с ростом Моо. Согласно линейной теории эффект должен быть противоположным. Действительно, возьмем для описания течения
уравнение Прандтля—Глауерта и будем удовлетворять граничному условию непротекания на заданном контуре. Вносимая ошибка имеет при этом порядок е2М^. Для сведения задачи к уравнению Лапласа нужно, как обычно, деформировать координату у. Тогда кривизна нового контура описывается равенством
Оно означает, что изменение кривизны эффективного контура замедляется с ростом Мо,, вследствие чего пик разрежения должен сглаживаться. Практически так обычно и бывает. Приведенный пример является исключением. Он указывает на существенное в некоторых случаях влияние нелинейных эффектов, учитываемых в модели газа Чаплыгина.
Укажем в заключение еще на одно явление, связанное с сжимаемостью. При увеличении числа Мда точка максимума скорости в пике разрежения передвигается вниз по потоку. Это следует, в частности, из приведенного выше анализа линейной задачи. Как видно из фиг. 3, такое движение практически отсутствует в случае профиля, составленного из двух касающихся дуг окружностей. Причину следует искать в существовании точки разрыва кривизны контура профиля, расположенной очень близко от носка. В ней кривая ср(х) имеет бесконечный наклон, поэтому эта точка служит естественной границей области, в которой может находиться точка максимальной скорости.
1. Sells С. С. L. Plane subcritical flow past a lifting aerofoil. Proc. Roy. Soc., A, vol. 308, 1968.
2. Общая теория аэродинамики больших скоростей. Под ред. У. Р. Сирса, разд. Е. М., Воениздат, 1962.
3. К а г m а п Th. Compressibility effects in aerodynamics. J. Aeron. Sci., vol. 8, 1941.
4. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М., Изд. иностр. лит., 1961.
5. Tsien Н. S. Two-dimensional subsonic flow of compressible fluids. J. Aeron. Sci., vol. 6, 1939.
6. Христианович С. А. Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940.
7. Слезки и Н. А. К вопросу о плоском движении газа. .Ученые зйписки МГУ“, Механика, вып. 7, 1937.
8. Л и ф ш и ц Ю. Б. О расчете трансзвукового обтекания симметричного профиля в свободной струе. Изв. АН СССР, 1969, № 1.
9. Nieuwland G. Y. Transonic potential flow around a family of quasi-elliptical aerofoil sections. NRL — TR T. 172, 1967.
10. Чаплыгин С. А. О газовых струях. Собрание сочинений, т. II, М., Гостехиздат, 1948.
К
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 261X 1971 г.
2—Ученые записки № 3
Ш2
