К теории неполных комбинаторных сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

Задача, таким образом, состоит в том, чтобы при заданной функции расстояния найти все подстроки текста, отстоящие от образца не более, чем на к. Если d является расстоянием Хемминга (расстояние Хемминга между двумя строками одинаковой длины определяется как число позиций, в которых символы не совпадают. Это эквивалентно минимальной цене преобразования первой строки во вторую в случае, когда разрешена только операция замены с единичным весом), задача называется сопоставлением строк с k несовпадениями, если же d - расстояние Левенштайна, задача называется сопоставлением строк с k различиями.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Luhn, H.P., 'A statistical approach to mechanised encoding and searching of library information', IBM Journal of Research and Development, 1, 309-317.

2. Бойцов Л.М. Использование хеширования по сигнатуре для поиска по сходству // Прикладная математика и информатика.- М. Изд-во факультета ЕМиК МГУ, 2000. № 7.

Неполные комбинаторные суммы возникают при моделировании многопроцессорных вычислительных систем (МВС) с множеством пользователей. Комбинаторика множества требований пользователей встречает ограничение суммарного ресурса процессоров системы, предоставляющей компьютерное обслуживание. Дисциплина обслуживания формализуется расписанием как целочисленной первообразной потока требований.

Мы различаем дифференциальный и интегральный вероятностные законы целочисленной случайной величины

соответственно.

В силу условия нормировки вероятностного распределения полное приращение Z-первообразной на отрезке ]е[0; к]<^ равно 1. Напротив, текущее приращение Z-первообразной вызывает проблему элементарности последней в рамках целочисленного анализа и приводит к явлению сужения первоначальной области значений случайной величины до отрезка [0; L-1]cZ, L < к В классе комбинаторных экспериментов сужение области результативности исходов эксперимента индуцирует усечённый эксперимент, существенно расширяя первоначальное понятие. На указанных теоретических аспектах усечения области определения случайной величины мы предполагаем остановиться в последующей работе. В данной заметке рассматриваются формальные задачи Z-интегрирования по Ньютону-Лейбницу некоторых классических неполных комбинаторных сумм. Приведём необходимые историко-библиографические сведения.

В [1] приводятся значения сумм

А.Э. Саак

К ТЕОРИИ НЕПОЛНЫХ КОМБИНАТОРНЫХ СУММ

j-1

y(j), j = 1 .„, k; Y(j) = Xy(j )

j=0

kk X H)jC(kj) = 0 и X(-1)jjCkj) = 0.

j=o

j=0

Е [2] приводится значение суммы Теппера

j=0

Видим, что это полные суммы, т.е. индекс суммирования проходит все значения от 0 до к.

Вместе с тем, при расчётах МВС [3] приходится, в силу ограниченности общего ресурса, иметь дело с суммами, в которых индекс суммирования проходит не весь диапазон возможных значений, т.е. с неполными суммами.

Так в [3] пропускная способность МВС определяется формулой Лапласа

Ь-1

£(- 1)'си> (ь - _|)к/к!.

1=0

Используя методику Z-интегрирования, приведём расчёт значения неполных

ь-1 ь-1 ь-1

сумм X(-гнск0, XНУМ и X(-1)0 ск0.

|=о I=0 |=о

Если значения целочисленной функции f(j) удаётся представить в виде раз-

ности значений первообразной

ед = F(j)-F(j-1) = А- F(j),

или

ОД = F(j+1)-F(j) = А+ F(j),

то Z-интеграл функции f(j) равен

ь ь

X Г(й = ХА- БО) = Б(Ь) - Б(а -1),

]=а ]=а

или

ь ь

X Г(|) = X А+ БО = Б(ь +1) - Б(а),

]=а °=а

что представляет собой формулу Ньютона-Лейбница целочисленного анализа.

ь-1

Теорема. Сумма X (-1)1С(О ) Z-интегрируется по Ньютону-Лейбницу.

О=0

Доказательство. Используя свойство биномиальных коэффициентов С1 = СА + С11, имеем

к = Ск-1 + Ск-1

(-1)ОСк) = (-1>'(С'к»1 + скП') = (-1УСЙ + (-1)ОСк_-‘» =

= (-1)°СЮ, -(-1>|-|СкО-11) = А- (-1ЯСк>, (1)

Из правила Z-интегрирования по Ньютону-Лейбницу следует, что

ь-1 ь-1

X (-1)'Ск° = ^ А( 1)|Ск1)1 = (-1)ь-1Ск1!71) -(-1)0Ск°-> =

1=1 1=1

= (-1)ь-1Ск1:71)-1.

Отсюда следует доказываемое тождество

ь-1

X (-1)1Ск|) = (:l)Ь:lCkL::l> . (2)

|=0

Другой вывод этого тождества приводится в [2].

ь-1 ь-1

Вычисление сумм X (—1)11 С(|) и X (-Ц2 С( выполним с исполь-|=0 |=0

зованием метода Z-интегрирования по частям. Пусть надо найти сумму к к к к

Xи( х) Ау( х)=Xи( |)[у(О) - у( 1 -1)]=Xи( |)у( х) - Xи( |)у( 1 -1)=

|=1 х=1 х=1 х=1

к к-1

=Xи(|)у(|) - Xи(|+1)у(|).

1=1 1=0

Из первой суммы выделим последнее слагаемое, а из второй - первое слагаемое, получим

к к-1 к-1

Xи(|)у(|) - Xи(|+1)у(|)=и(кмк)+Xи(|)у(|) -

х=1 1=0 |=1

к 1

-и(1)у(0)- X и(| + 1)у(|).

1=1

Группируя внеинтегральные и интегральные слагаемые, имеем

к-1

и(кМк) - и(1)у(0) - X уШи(| +1) - иШ =

|=1

к 1

= (иу)1 -X у(|)А+и(|).

|=1

Таким образом, окончательно получаем

к к-1

Xи( х) А у( х) =(иу) 1- Xу( х) А+и( х), (3)

х=1 х=1

где (иу) к = и(к)у(к) - и(1)у(0).

Интегрирование по частям является версией преобразования Абеля [4]. ь-1 ' О

Теорема. Сумма X (-1)11 С^ Z-интегрируется по Ньютону-Лейбницу.

1=1

ь-1

Доказательство. Вычислим сумму X (-1)11 С(|) Z-интегрированием по

1=1

частям. С учётом (1) имеем

ь-1 ь-1

X (-111 = X х А- (-Ц. (4)

1=1 1=1

Обозначим и(|) = у(|) = (-1)1 С |, А-у(|) = А- (-1)1 С« и заметим, что

А+ и(|) = А+1 = 1.

Согласно (3), получим

(иу)ь -1 = (ь-1)(-1)ь-|С<ь-Г1)-Ь

ь-2 ь-2

X У(|)А+ и(|) -X НУС! ,

|=1 |=1

следовательно,

ь-2 ь-2

(ь-1)(-1)ь-1Скь--1) -1- X (-1)^1 = (ь-1)(-1)ь-1Скь--1) - X (-1)|Ск|-1.

1=1 1=0

С учётом (2) имеем ь-2

(ь-гк-!)^^ - X (-1)|Ск|-1 = (ь - 1)(-1)ь -1с1I:-1) -(-1)ь-2Скь--22) = 1=0 = (-1)ь-1 [(ь - 1)С1ь_г1) + Сккь--2)]

И окончательно получаем

ь-1

X (-1)|| Скх) = (-^(ь-цс^0+с£22)] . <5>

1=1

ь-1

Теорема. Сумма X (-1)||2 С° Z-интегрируется по Ньютону-Лейбницу.

|=1

ь-1

Доказательство. Вычислим сумму X (-1)112 С(х) Z-интегрированием по

1=1

частям. С учётом (1) имеем

ь-1 ь-1

X (-1)х|2 Ск1) = X |2 А-(-УСЙ. (6)

1=1 1=1

Обозначим и(|) = |2, у(|) = (-1)1 С(|, А-у(|) = А- (-1)1 С^ и заметим, что А+ и(|) = А+12 = (| +1)2 -|2 = 2| +1.

Согласно (3), получим

(иу)ь-1 = (ь-1)2(-1)ь-1 Скь-1) -1, ь-2 ь-2

ук

І=1 І=1

следовательно,

і=о

С учётом (2) и (6) имеем

I-2

I-2

И окончательно получаем

Численные расчёты по формулам (2), (5) и (7) подтверждают представленные теоретические выкладки.

Изложенные вычисления неполных комбинаторных сумм посредством 2-интегрирования первообразной являются частью развития целочисленного анализа параллельно классическому континуальному анализу. В различных монографиях и работах [2] неоднократно отмечалась недостаточная идейная база комбинаторики как совокупности всевозможных элементарных тождеств. Для развития комбинаторного анализа полезны как общие формальные задачи, так и приложения к сложным системам обслуживания.

Наряду с пропускной способностью МВС ряд других её моментных характеристик также выражается неполными комбинаторными суммами, и автор предполагает, что изложенные в заметке приёмы целочисленного интегрирования последних стимулируют решение теоретических вопросов моделирования МВС со множеством пользователей.

1. Холл М. Комбинаторика.- М.: Мир, 1970.- 424 с.

2. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм.- Новосибирск: Наука, 1977.- 285 с.

3. Макаревич О.Б., Саак Э.М., Чефранов А.Г. Анализ загруженности однородных микропроцессорных вычислительных систем коллективного пользования // Автоматика и вычислительная техника. 1980. № 4.- С. 32-36.

4. ГельфондА.О. Исчисление конечных разностей.- М.: Наука, 1967.- 375 с.

А.А. Целых

ВЫДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ШАРНИРОВ В НЕЧЕТКИХ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ГИПЕРГРАФАХ ВТОРОГО РОДА

Адекватной математической моделью нечеткой фреймовой сети является

нечеткий ориентированный гиперграф второго рода. Каждое нечеткое ребро ги-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК