К теории молекулярных состояний a^+-центров в полупроводниковых квантовых ямах Текст научной статьи по специальности «Физика»

К теории молекулярных состояний А+ -центров в полупроводниковых квантовых ямах

Б.Ч. Жуковский1,а, В. Д. Кревчик2,0, A.B. Левашов2

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. 2 Пензенский государственный университет. Россия, 440026, Пенза, ул. Красная, д. 40.

E-mail: а vlchzh@gmail.com, ьphysics@pnzgu.ru

Статья поступила 25.01.2011, подписана в печать 27.04.2011

В рамках модели потенциала нулевого радиуса рассчитаны спектры фотолюминесценции в квантовых ямах GaAs/AlGaAs с -центрами. Показано, что модель Л J-центров в состоянии адекватно описать экспериментальные данные, свидетельствующие о существовании молекулярных состояний А+ -центров в 20-структурах GaAs/AlGaAs.

Ключевые слова: молекулярное состояние акцепторных центров, квантовая яма, спектры фотолюминесценции, энергия связи, термы молекулярного иона.

УДК: 530.19. PACS: 78.67.De.

Введение

Анализ экспериментальных данных, полученных в работе [1], позволяет сделать вывод о том, что в двумерных структурах ОаАэ/АЮаАз, содержащих А+ -центры, возможно существование молекулярных акцепторных состояний. Авторами [1] было выдвинуто предположение о том, что такими примесными молекулами могут стать два близко расположенных А+ -центра, связанных за счета поляронного эффекта [1]. Однако биполяронное спаривание свободных носителей заряда в полярных полупроводниках возможно только при достаточной величине постоянной электрон-фонон-ного взаимодействия а. По теоретическим оценкам [2], наименьшее значение а, при котором возможно образование стабильных пар в двумерной структуре, составляет а = 2.9, что на порядок превышает величину а в ОаАэ р-типа. В настоящей работе предложена иная точка зрения на возникновение молекулярных состояний в структурах, содержащих квантовые ямы (КЯ) ОаАз/АЮаАэ, которая заключается в том, что молекулярные состояния образуются А^-центрами — двумя близко расположенными А0-центрами, на которых локализована дырка.

1. Особенности энергетического спектра -центра в полупроводниковой квантовой яме

В настоящем разделе методом потенциала нулевого радиуса теоретически исследуются А^ -состояния в КЯ с потенциалом конфайнмента в виде прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками.

Двухцентровый потенциал моделируется суперпозицией потенциалов нулевого радиуса мощностью 7г- = 2тгП2/(ацп*к), г = 1,2 [3]:

У5(р,г,га1,га2) =

= ¿ нИрЖг - гад [1 + Р-Ц- + гад-^\ >

г=1

где г & — координаты А0-центров вдоль оси роста структуры; щ определяется энергией £г- дырочного

локализованного состояния на этих же А+-центрах в объемном полупроводнике; тЦ — эффективная масса дырки. При этом предполагается, что А+ -центры имеют одинаковые координаты в плоскости интерфейса П =(р,гд.

Волновая функция дырки ф\{р,га\,га2), локализованной на -центре, удовлетворяет уравнению Липп-мана-Швингера для связанного состояния [3]

ф\(р,га[,га2) =

га2)Ф\(р,га \,га2),

где С( р .¿.¿\\Ед — однодырочная функция Грина, определяемая выражением

G{p. г. ¿¡: Е-д =

ml

Г(2тг)

dkkJ0(kp)

х (сЬ(у\2+1г2 (1-12,-21)) ^сЬ(у\2+1г2 (1-|г1+г|))) х

х соэесЬ (ь + , (1)

соответствующая источнику в точке с координатами г\ ={р,гд и энергии £А = ^Й2А2/(2тр.

Подставляя двухцентровый потенциал в уравнение Липпмана-Швингера и принимая во внимание, что А0 -центры расположены на оси роста КЯ с координатами г/ = (0,0,2/), получим

фх(0, г, 2а1, га2) = 71 О(0,2,2а1; Ех)(Т{фх)(0,2а1, 2а1, га2)+ + 72 6(0,2,2а2; Ех)(Т2фх)(0,га2, 2а1, га2), (2)

где

(Ъфх)ф,гад= lim 1 р ->• о,

z —^ Zn I

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

23

Применяя последовательно операцию % к обеим частям соотношения (1), получим систему алгебраических уравнений вида

(3)

где

I С\п =1\^\\С\п + 72а12с2л, \с2л = 1\а2\с\п + 72а22с2л,

с\ = (Т1фх)Ф,гаЬга1,га2),

С2 = (%Фх)Ф, га2, гаЬ га2),

= (%Фа)Ф> га1, Е\), *',/ = 1,2.

Исключив из системы (3) коэффициенты, содержащие неизвестную функцию, получим дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния Ех дырки, локализованной на -центре, от координат А0-центров и параметров КЯ:

71^11 +72^22 - 1 = 717г(а11а22 — ^¡2а2\)-

(4)

В случае когда 71 = 72 = 7> уравнение (3) распадается на два уравнения, определяющие симметричное -терм) и антисимметричное (ы-терм) состояния дырки соответственно:

7Яц = 1 - 7«12 при С\ =с2, ■уац = 1 +7а12 при С\ = —с2,

(5)

Учитывая явный вид однодырочной функции Грина (1), а также учитывая, что а12 определяется как

а 12 = (Т\Ф\)Ф,г,га2,Ех) = д

= Нгп [1 р —»• о,

д 1

+ га1)_^С(р,г,га2;Ех), (6)

2 ¿а

и принимая во внимание, что

в(р, 2; га, Ех) = в0(р, г; га, Ех) + втщ(р, г\ га, Ех), для расходящейся части функции Грина получим

2 —^ 1

ШТ 0~Мги2~га]\

к

/г(2,т) \г,а-га\\

соответственно для регуляризованной функции Грина будем иметь

Нгп 1

Р^о, I.

Ши

д рд~р

£> —А|2| „2 —|

д 1

Г(2тг) I \г&-га\

21 21

е2\\га^га]\2Р[ Л _ |*а2

га2 ~ гаЦ 21\

; 1+

\Zci2 ~

„21.\

1п Ш

ЬХ

■ пт

Переходя к новой переменной г = \га2 — га\\, определяющей расстояние между А0 -центрами, выражение (6) можно записать в виде

«12 =

т*ке пг 2иЬ2а)1г*

2И\ I 1. 1--^—; с

21* 21

21* п

(1- "

1п +17Г

2Ь*' 2I*'

т

к

2е^г Ь* + г* [ 2т + В,

4тгН аьЕ*г г"

¿21.* Ч

, о

Здесь гц = у/Щ/Ен, г] = у/\Ех\/Ен, г*а = га!ак, Ь* =Ь/ан, а/г — эффективный боровский радиус дырки, 2Е[(а,Ь;с;г) — гипергеометрическая функция Гаусса, Вх(а,/3) — неполная бета-функция. Аналогично для коэффициента аи можно записать следующее выражение:

ац = (Туфх,2)ф, г, гаи Ех) =

д д = Нш \1 + р1Г + (г^га\)1Г\0(р,г,гаиЕх). (7)

О-¥ 0. I- ор ОХ1

Переходя к переменной г в выражении (7), получим

т

аи =

ъ

(Г-г')Д..,- ,^£1.0

. 2Ь*е{1'+г')%Е] I 1, I (з + \ ; е21:^

4-7Гй ал1*(1* +2*)

I 2Ь* 2 V Ь

+ 2(1* + г*)(т + 1п(2 зИ(1*г/)))

Учитывая, что «1 = а2 = а, уравнения (5) примут вид

атг

2тгЙ атТ

| = ац + а 12. «-терм,

(8)

2тгЙ

| = ац-а12, Я-терм.

Подставляя в (8) соответствующие выражения для а\\ и а12, получим в боровских единицах дисперсионные уравнения, определяющие и- и ¿'-термы:

21*»)

* -г »]

г е

ТВ,

2/.* 1)

2/7'С7"Д'л" \21*

12 ВМУ. Физика. Астрономия. № 4

где верхний знак соответствует ¿'-терму, а нижний «-терму.

На рис. 1 приведена зависимость энергии связи дырки |£А| от расстояния г между Д°-центрами, расположенными на оси размерного квантования. Можно видеть, что в случае ¿-терма (кривая /) £А ос при г^О, т.е. имеет место своеобразное падение на центр. Напротив, у состояния с меньшей энергией связи («-терм, кривая 2) |£А| уменьшается при 2^0. Таким

0.014 0.012 <1

0.010

0.008 \ 1 3 / 2 \

0.006 / \

0.004 / \

0.002 ] ! ...............1

10

15

г, нм

Рис. /. Термы -центра квантовой ямы ОаАэ (штрихпунктирная линия показывает характерное расстояние между примесными центрами при энергии связи 10.08 мэВ): / — ¿•-терм; 2 — и-терм; 3 — случай

ч-

изолированного Л^-центра

образом, с уменьшением г возникает расщепление между вырожденными при г > 5 нм g- и «-термами. В пределе, когда гос, имеем случай изолированного Д+-центра (кривая 3). С помощью кривых / и 2 можно определить эффективные расстояния между Л°-центрами при заданном значении энергии связи |£А| = 10.08 мэВ, полученной из эксперимента [6].

2. Примесная фотолюминесценция в 2Б-структурах

Рассмотрим фотолюминесценцию, связанную с из-лучательной рекомбинацией 21?-электронов со дна зоны проводимости, и дырок, локализованных на Л°-цен-трах. Спектральная плотность излучения, определяемая переходом электрона из начального состояния в конечное состояние, связана с вероятностью перехода в единицу времени [5] и с учетом дисперсии размеров КЯ определяется следующим выражением:

Ф{ш) =

4 иг ее2 N л

Реке о

Щ

б/йр X

(9)

Фе{г,р, ке)фх(г,р) (1гс1р

где т0 — масса свободного электрона, е — заряд электрона, Ре/г — матричный элемент оператора импульса на блоховских амплитудах зонных носителей, ш — частота излучаемой электромагнитной волны поляризации е0, £ — диэлектрическая проницаемость материала КЯ, Ы,\ — количество Д+-центров в КЯ. Энергия начального состояния определяется выражением £■ = Её + Ь2тгп2 /2т*Ь2 + Ъ2к2/2т*, соответственно энергия конечного состояния £/ = Ъ~Х2/2т*1 (энергия

отсчитывается от потолка валентной зоны) и Её — ширина запрещенной зоны. При этом предполагается, что дисперсия КЯ по размерам описывается гауссов-

ским распределением ¡о{Ь,Ь,а) = /\/2ж

— £)"/2а2), где Ь — средняя ширина КЯ, а — среднеквадратичный разброс ширины КЯ в окрестности Ь.

Волновая функция конечного состояния в случае Л+-центров выбирается в виде

4\{р,г;га,Ех) =

С/1

(2тг)2

сШе'кР

х(сИ [Ь-\га1 - сИ (у/Х^+к2 (¿-|гв1 +г\)

+ сИ (у/х2л+& (М^з^р) - сИ У^+к2 {Ь-^+г^х

х созесИ (Ь^2^2 где константа нормировки С,\ равна С а = (27гА,4 ЭИ [¿Ал])1/2 X

х (2сЬ[ЬХл] - сИ[(£ - 2га\)\д\ - сИ[(1 - 2га2)\л] -

2 сИ[(£ — га\ -га2)Дл] +2сИ[(1 - \га2 - га\|)АЛ]

-1/2

Учитывая явный вид волновых функций электронов в зоне проводимости

, / «. % 1 ¡к о /2 . 7тпг рЛе)= ' \] 1 ^П —.

интеграл от волновых функций, входящий в (9), запишется в виде

р, ке)фх(г, р,) (1г (1р = Сл

х(сИ (^Х^+кЦЬ^ -2\)) - сИ ^Х\+к2(Ь—\га\ -Ьг|)

+ сИ у^кЦЬ-^-г^ - сИ ^+кЦ1^\га2+г\)^х созесИ [Ьу/X2 + к2

ттпг

(10)

- Е/ - Нш)[0(Ь,Ь, а), =

у/ЯТЦ

При этом выражение (9) примет вид

2

с1ке1а(Ь,1,а+)С7х х

4ш2ге2пл

Реке о

т0

8 |>т -нет

ьШ

{к2 + Х2х)У

й2тг 2п2 Ъ2к2 й2А2, + > х 8 \ Ер + -—-тг + —— - ——^ - кш

2 т*

2 тГ

где па — поверхностная концентрация Л+-центров в КЯ. В дальнейшем мы будем предполагать, что

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

25

процессы люминесценции связаны с переходом электрона из нижней размерно-квантованной подзоны зоны проводимости в основное состояние -центров. Это вполне оправданно, если учесть, что при Нео ^ электроны находятся в состоянии первой размерно-квантованной подзоны. Учет мезоскопического уширения пика примесной люминесценции требует замены ^-функции на лоренцевский контур. В безразмерных переменных последнее выражение можно представить в виде

Ф(Х) =

2 Х2а*2епАС*А2 ей

к(Ь*Х,а*)

Реке 0 2 (И*

т0 с

сИ^р х

V г*1* ь*2 //

+ Т*А{0-Х-(1+'у)г?А) х х ^21п(тг2 + Г2А*2(гй + к*,)) - 21п (тг2 + Г21*2т/2) +

+ 1п (с2Г41*4 + тгУ - 2Г2Ь*2п27(Х + г?А) --2С(1*АЬ*\Х + г?2)-Л*2тг27) +

(Й + (*?

Пк))'

БШ ( ) + БШ ' а2

р* 1 Л

—*2

+Г12

где 7 = т^/гпе, I* = Ь/Ь, Ь* = Ь/аь, Щ = ¡геа щ = ХАак, Гд = Гл/^л, ^ = йсс;/^, = 2*! = 2а1/ал, г*2 = 2а2/ал, С = г^/г^, а* — постоянная

тонкой структуры с учетом диэлектрической проницае- ' "г......~.......

г 11 г г ратурах 4 К) верхнии предел интегрирования

мости, а С* — коэффициент нормировки: /г г ^ , , ^

по квазиимпульсу ограничен некоторым эффективным

значением кинетической энергии электрона, определяемым главным образом соответствующей темпера-

:*2(7Г27(х-щ7 + т]2а)-

-С(тт21-Г'2Г2(Х-к*о1 + г12А))) +

+ Г4ь*\ Г*2 + (Х-^7 + Г/2)2)2'

При этом было учтено, что при низких темпе-

— коэффициент нормировки:

СХ = {2щА5Ъ\ЬЬ*щ])1/2 X

х (2 сЬ {ЬЬ*щ]-сЬ[(И*-2г*а{)щ] -сЬ [(ГГ-2г*а2)щ] -2 сЬ[(И*-г*а1 -г*а2)щ] +2 сЬ [(И*- |)щ])

функция распределения [с (Ь*, Ь*, ад) в безразмерных переменных:

, 2

-1/2

турой образца. В безразмерных переменных верхний предел полагался равным Щ = \/кТ/Е^, соответственно константа А определяется выражением

2

А = а*л/28Ре/гео/(л/сйто) .

Заключение

О = (1 /^(т*А) ехр (- (Ь*Ь* - Ь*

У/

на, получим следующее выражение для спектральной зависимости интенсивности излучения:

20-*^ ] ш На рис. 2 представлена кривая спектральной зависимости в случае примесной фотолюминесценции с уча-

Выполняя интегрирование по квазиимпульсу электро- стием Л+-центров для квантовых ям ОаАз/АЮаАз шириной Ь = 18 нм. При численных расчетах энергия связи А^ -центров полагалась равной Ех = 10.08 мэВ [6]. Эффективные массы электрона и дырки соответственно равны гпе = 0.07то, = 0.45то, где то — масса свободного электрона. Исходя из экспериментальных данных работы [1], полуширина пиков фотолюминесценции для молекулярных состояний Гд составляет Ь Ь*)) Гд = 2.5 мэВ. Соответственно ширина запрещенной зоны в приближении эффективной массы полагалась равной Её= 1.51 эВ [6], а значение а* = 10~3.

ФА(Х) = йЬ* х

х А С£2пАХ%(I*, Г, а*) (зт ( ^

X

—*2

-1

о—* 2

+ 51п =:

-2"

X

-1

Х(Г12+(Х-С + (1+7)Г/2)2) X (п2 + (х - с + (1 + г^2)2) -

Ф, отн. ед. 1.0

1.520

1.525

1.530 йоо, эВ

х гт^

-*2

■*2,

—* 2 о

Г\1 I*2

Р^с. 2. Спектральная зависимость примесной фотолюминесценции А~2 -центров: сплошная линия — эксперимент [1] с учетом данных работы [6], штриховая линия — теоретический расчет

13 ВМУ. Физика. Астрономия. № 4

Поскольку вероятность образования молекулярных состояний А1) -центров зависит от концентрации легирующей примеси, то интенсивность линии фотолюминесценции, связанной с молекулярными состояниями, сильно зависит от поверхностной концентрации А0 -центров. С ростом концентрации интенсивность линии фотолюминесценции, связанной с молекулярными состояниями, растет, а интенсивность линии фотолюминесценции атомарных А+ -центров соответственно уменьшается. Представленный на рис. 2 экспериментальный спектр фотолюминесценции был снят соответственно при поверхностной концентрации А0-центров, равной 1.8- 10й см^2, и температуре Г = 4.2 К. На рис. 2 помимо линии, связанной с коллективными состояниями А^ -центров, также видна линия фотолюминесценции атомарных состояний, связанная с рекомбинацией электронов со дна зоны проводимости, и дырки в основном состоянии А+ -центра, которая находится выше по энергии, чем линия фотолюминесценции молекулярных состояний.

Следует отметить, что легирование нейтральными акцепторами (бериллием) производилось в £-слои, расположенные в центре ямы шириной 3 нм, с концентрацией 5-1016 см^3. В настоящей работе для упрощения расчетов и получения аналитического выражения для спектральной зависимости фотолюминесценции рассматривалась ситуация, когда два близко расположенных нейтральных акцептора расположены симметрично относительно центра КЯ. При этом энергии связи каждого нейтрального акцептора с дыркой равны, так как энергия связи зависит только от расстояния между Л°-центром и границей квантовой ямы. При этом остается открытым вопрос о зависимости энергии связи от концентрации нейтральных акцепторов внутри КЯ. Если предположить что энергия связи зависит от расстояния между нейтральными акцепторами, то при увеличении концентрации выше некоторого критического значения, следует ожидать увеличения

интенсивности линии фотолюминесценции, связанной с молекулярными состояниями, а также сдвига линии в сторону меньших частот. Необходимо отметить, что подобная ситуация может наблюдаться в слаболегированных и сильнокомпенсированных массивных полупроводниках при низких температурах Т ^ 0. В этом случае энергия локализованных на мелких примесях электронов существенно зависит от мелкомасштабных флуктуаций примесного потенциала, и большинство электронов находится в потенциальных ямах, образованных при сближении двух заряженных доноров. Такие пары могут быть рассмотрены как аналог молекулярного иона водорода HJ с некоторым характерным расстоянием между ядрами R^ а, где а — боровский радиус электрона, локализованного на доноре. При увеличении концентрации доноров происходит сдвиг линии поглощения в сторону длинноволнового участка спектра [7].

Таким образом, анализ, проведенный в настоящей работе, позволяет сделать вывод о том, что рассмотренная модель Л^ -центров может претендовать на описание экспериментальных данных, свидетельствующих о существовании молекулярных состояний А+ -центров в 20-структурах GaAs/AlGaAs.

Список литературы

1. Петров П.В., Иванов А.Е., Жуков Ю.Л. // ФТП. 2007. 41, № 7. С. 850.

2. Smondyreu М.А., Devreese J.Т., Peeters P.M. 11 Phys. Rev.

B. 1995. 46. P. 15008.

3. Кревчик В.Д., Грунин A.B., Семенов M.B. и др. // Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. № 3. С. 7.

4. Кревчик В.Д., Имамов Э.З. // ФТП. 1983. 17, № 7.

C. 1235.

5. Леванюк А.П., Осипов В.В. // УФН. 1981. 133. С. 427.

6. Петров П.В., Иванов Ю.Л., Михрин B.C., Жуков А.Е. 11 ФТП. 2008. 42, № 10. С. 1219.

7. Александров В.П., Гершензон Е.М., Мельников А.П. и др. // Письма в ЖЭТФ. 1975. 22, № 11. С. 573.

То the theory of the molecular states A J -centres in semiconductor quantum wells V.Ch. Zhukovskij1 й, V.D. Krevchik2 , A.V. Levashov2

1 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

2 Faculty of Physics, Penza State University, Krasnaya str. 40, Penza 440026, Russia. E-mail: a vlchzh@gmail.com, b physics@pnzgu.ru.

Within the framework of zero-range potential model the photoluminescence spectra in GaAs/AlGaAs quantum wells with centers have been calculated. It is shown that the centers — model can adequately describe the experimental evidence of the A+ centers — molecular states existence in 2D-GaAs/AlGaAs structures.

Keywords: molecular state of the acceptor centers, quantum well, photoluminescence spectra, binding energy, terms of the molecular ion. PACS: 78.67.De. Received 25 January 2011.

English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2011).

Сведения об авторах

1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор, зам. зав. кафедрой; e-mail: vlchzh@gmail.com.

2. Кревчик Владимир Дмитриевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой; e-mail: physics@pnzgu.ru.

3. Левашов Александр Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент.