Особенности молекулярных состояний а+-центров в 2D-структурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23; 539.216.1

В. Д. Кревчик, А. В. Левашов

ОСОБЕННОСТИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СОСТОЯНИЙ Л+-ЦЕНТРОВ В 2Б-СТРУКТУРАХ

Аннотация. В рамках потенциала нулевого радиуса рассчитаны спектры фотолюминесценции в квантовых ямах GaAs/AlGaAs с A+ - и А+ -центрами. Показано, что модель A2" -центров в состоянии адекватно описать экспериментальные данные, свидетельствующие о существовании молекулярных состояний A+ -центров в 2Б-структурах GaAs/AlGaAs.

Ключевые слова: молекулярное состояние акцепторных центров, квантовая яма, спектры фотолюминесценции, энергия связи, термы молекулярного иона.

Abstract. Within the framework of zero - range potential model in GaAs/AlGaAs quantum well with A+ and a2" centers are calculated. Shown that the model a2" centers can adequately describe the experimental evidence of the existence of molecular states A+ centers in 2D - GaAs/AlGaAs structures.

Keywords: molecular state of the acceptor centers, quantum well, photoluminescence spectra, binding energy, terms of the molecular ion.

Введение

Анализ экспериментальных данных [1] позволяет сделать вывод о том,

что в двумерных структурах GaAs/AlGaAs, содержащих А+ -центры, возможно существование молекулярных акцепторных состояний. Авторами было выдвинуто предположение о том, что такими примесными молекулами

могут стать два близко расположенных А+ -центра, связанных за счета полярного эффекта [1]. Биполяронное спаривание свободных носителей заряда в полярных полупроводниках возможно только при достаточной величине постоянной электрон-фотонного взаимодействия а . По теоретическим оценкам [2], наименьшее значение а, при котором возможно образование стабильных пар в двумерной структуре, составляет а = 2,9, что на порядок превышает величину а в GaAs _р-типа. В настоящей работе предложена иная точка зрения на возникновение молекулярных состояний в структурах, содержащих квантовые ямы GaAs/AlGaAs, заключающаяся в том, что молекулярные состояния образуются А2" -центрами - двумя близко расположенными А0 -центрами, на которых локализована дырка.

1. Энергетический спектр Л+-центра в полупроводниковой квантовой яме

Рассмотрим А+ -состояния в прямоугольной потенциальной яме. Будем считать, что квантовая яма (КЯ) имеет бесконечно высокие стенки. Если направить ось Z вдоль главной оси структуры, то в этом случае потенциальная энергия, отсчитываемая от «дна» ямы, может быть представлена как

U (г) =

тс, если г < 0,

0, если 0 < г < Ь, (1)

тс, если г > Ь,

где Ь - ширина квантовой ямы.

Волновая функция дырки в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид

¥1п (Р, 2) =-^=е!^Р(рп (г), (2)

где к - двумерный волновой вектор с компонентами кх и ку, описывающий

движение дырок в плоскости интерфейсов (х, у); S - площадь КЯ в этой

плоскости; р - двумерный вектор с компонентами (рх = х, ру = у ). Волновая функция фп (г) имеет вид

Фп (2) = Л§1П. (3)

Энергия невозмущенных примесями однодырочных состояний в рассматриваемой модели будет иметь вид

*2; 2 2*2 2

Й к к Й п Ет =--------1-----------------------------т-, (4)

к ,п ^ 0 * г2 ’ у '

2т* 2т*Ь

где т* - эффективная масса дырки, п = 1,2,3,...

Пусть Л+ -центр расположен в точке с координатами х = 0, у = 0, 2а = Ь /2. Потенциал примеси описывается в рамках модели потенциала ну-

2 *

левого радиуса мощностью у = 2кЙ /(а т*), который имеет вид

*8 (Р, г, га) = у 8(р) 8(г - га)

, - д . ч д

1 + РТ- + (г - га)Ч~ дР дг

(5)

где а определяется энергией Ег- связанного состояния этого же примесного центра в объемном полупроводнике; 8(х) - дельта-функция Дирака.

Такая модель, как известно [3], применима для описания Л+ -состояний, соответствующих присоединению дополнительной дырки к мелкому акцептору. В приближении эффективной массы волновая функция у А (р, г; га) дырки, локализованной на короткодействующем потенциале примесного центра, удовлетворяет уравнению Шредингера

(Ех - Н) Уа (р, г; га) = ^ (р, г; га) Уа (Р, г; га), (6)

■ /(2т

Н8 = Н + У8 (Р, г; га ).

где Ех = -Й2А2 /(2т|) - собственные значения оператора Гамильтона

Однодырочная функция Грина к уравнению Шредингера (6), соответствующая источнику в точке ?1 и энергии Е^, запишется в виде

С(Р,г;га,ЕА) = ^Р Е

(2я)2 п

у1 п (р, г; 2а ^ ,и (Р, г;г)

(Ех- Е1 ,п) .

(7)

Подставляя в (7) явные выражения для волновых функций энергии дырки в прямоугольной потенциальной яме и энергии связи примесного центра, соответственно будем иметь

С ^ г; га, Ех)

81П

й2 я2 ‘ (2я^ п=1 п2 + Ь ,12

Е-

я пг.

Ь

81П

я пг

~Г

(8)

п2 +±2(12 + Х2)

я

преобразуя подынтегральное выражение (8) к виду

я пг,

81П

я пг

~Г~

. _2 ^ ^ 81П (

4 Ь т ^ ^ Ь

*2 я2 Е Ь

й я п = 2 Ь ,,2 2ч

п=1 п2 + ^(12 + а2)

я

= 4 Ьт*к

1-2 „2 йя

008

Е

я п

[ га - г ]'

Ь

008

я п [ га + г ]

Ь

п=1 п2 + ^2(12 +х2) п=1 п2+^2(12 +х2)

к к

и выполняя соответственно суммирование по п [4], получим

008

я п

Е-

п=1 п 2 + —^2

[ га - г ]

Ь

Л

я

[12 +х2)

я2 ^Ьл/X2 +12 сЬ|^л/X2 +12 (Ь - |га - г|))совесЬ ^Ьу[А

2Ь2

(X 2 +12)

008

я п

Е- Ь/

п=1 п 2 + —(12

[ га + г ]

Ь

я

(12 +х2)

2Ь

(а2+12)

(9)

2 +12 І I-1

(10)

я2 ^Ь\/X2 +12 сЬ ^\/X2 +12 (Ь - |га + г|))совесЬ ^Ь>/X2 +12 ^

-1

(11)

Окончательно для функции Грина будем иметь следующее выражение:

О^ г; 2а, Ех) = —2 Щ 2 Г ?к?е ^ 008е0Ь {Ь Nх2 + к2 "Л X

Й2 (2к) ^2 + к2 V I ^

XVоЬ |^л/X2 + к2 (Ь - |га - г|^ - оЬ |^л/X2 + к2 (Ь - |га + г|)^. (12)

Выполняя в (12) интегрирование по углам с помощью равенства 2 к

| ¿Фегкр008ф = 2к 10(кр), (13)

0

выражение (12) можно представить в виде

2 + k2 I I х

О(р, г; 2а, Ех) = —2^“ Г 008еоЬ {Ь {'¡X

Й (2к) * л/х2 + к2 V ^

X^оЬ|^л/X2 + к2 (Ь-|га -г|^-оЬ|^л/X2 + к2 (Ь-|га + г|)^. (14)

Для выделения расходящейся части функции Грина к выражению (14) прибавим и вычтем интеграл Вебера

-Л2 +к 2 I z - ! e~^p2 +(г - Za )2

1 j*dkkJ0(kр)e ' 1 “' _ 1 e 4 (15)

^ J0 = 2^;/р2т(г-^а)2

Таким обр азом, выражение (14) можно представить в виде суммы расходящейся Go(p, z; za, Ex) и регулярной Greg(p, z; za, Ex) частей функции Грина(14)

G(р, z; za, Ex) _ Go(p, z; za, Ex) + Greg (P, z; za, Ex), (16)

где соответственно

_ 1 e-Wp2 +(z-za )2

Go(p, z; za, Ex) _ - — ■ . (17)

2 ^p2 + (z - za )2 Greg(p,z; za, Ex ) _ -Г7— J fch ['Ix2 + k2 lza- aIх

- (2—)J0 vx2 + k2 v v ;

х[ 1 - cth[zVx2 + k2 + ch |Vx2 + k2 (Z - za - z))cosech^zVx2 + k2 . (18)

Замена переменных л/x2 + k2 ^ i позволяет записать формулу (18)

в виде 168

С

гев

* ^ _____________

(Р,г;га,Ех) = -Щ^ {¿Ґ^(л/Ґ2-X2)X

й2(2я)X

как

х(сЬ(га - г| ) (1 -сЛ(Ьґ)) + сЬ(Ь - га - г^совесЬ(Ьґ)). (19)

Уравнение Липпмана - Швингера для Л+ -состояния в КЯ запишется

Ь

УХ (р, г; га) = { йр1 {¿гскр - р1, г; г1, Ех )^8 (р1, г1; га )Ух (р1, г1; гв). (20)

Подставляя (5) в (20), получим

УХ ^ г, га ) = У С(Р, г, га, ЕХ ) (ТУХ )(0, га, га ) ,

где

(Т Ух )(0, га) = -11т

р^0

, - д . ч д 1 + ^+ (г - га ) д"

др дг

УХ (Р, г).

(21)

(22)

Действуя оператором Т на обе части соотношения (22), получим уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния Ех примесного центра от параметров КЯ и положения га примеси:

а Щ 2яй 2

= (ТС) (0,га,га,Ех).

(23)

Учитывая, что

*

11т Сгеё(р,г,га,Ех) = Щ— {(1 - сЬ(Ьґ) + сЬ(ґ(Ь - га ))совесЬ(Ьґ))ґ ■

й (2я) х га в,ьX ^^,01 + е2хЬ 2 Б! {1,Ц-;;е2Ьх 1 +

р^0 2^ 2,

щ

Й* (4я)Ьга У " е У Ь ) У Ь Ь

+2га {¡я-ЬХ + + 1п(вЬ(ЬХ))

д д -11т (г - га ) — О (р, г га , Ех ) + р -- Сгев (Р, г, га, ЕХ )

р^0 дг др

(24)

= 0; (25)

11т

р^0

га

д д

(г - га^G0(Р,г,га,ЕХ) + Р г,га,ЕХ) +

дг др

0

+ ОзОР г га, ЕХ)

5{Сл

тНХ Й2(2я):

(26)

где Вх (а,Р) - неполная бета-функция; 2Е1 (а1,а2;Ь;г) - обобщенная гипер-геометрическая функция, уравнение (23) в безразмерных величинах перепишется в виде

(

* о

га В 2

а е2 Ь л

* Л

1 - Ц- ,0

Ь* ’

V ;

+ е2 ^а ЛЬ* 2Б1

*

А

а.1 + .е2Ь*л

1-2- 1 + Ь

*

Ь*

+2 г*(ія + 1п (28Ь (Ь*л)) = 2Ь* г*Л/.

(27)

Здесь г|г- = д/|Еу|/Е* , ^ = ^J\Eх\/Е* ; Е* = т* е4 /2Й2е2 - эффективная боровская энергия с учетом эффективной массы дырки т* и диэлектрической проницаемости е ; Е; = Й2а2 /2т*2 - энергия основного состояния примесного центра в массивном полупроводнике; га = га /а* , а* - эффективный

боровский радиус дырки; Ь* = Ь / а* .

На рис. 1 представлены результаты численного анализа дисперсионного уравнения применительно к Л+ -состояниям в КЯ ОаЛ8 при различных значениях Е; .

\Е,\, эВ

Ь, нм

Рис. 1. Зависимость энергии связи

еГ

Л+ -состояния от координаты

примесного центра Ьа в КЯ ваЛв при Ь = 18 нм и различных значениях Еі:

1 - Еі = 8,6 мэВ; 2 - Еі = 4 мэВ; 3 - Еі = 1,08 мэВ

Из рис. 1 видно, что в КЯ энергия связи Л+ -состояния является убывающей функцией координат Л+ -центра за счет квантового размерного эффекта и, как следовало ожидать, растет с ростом мощности потенциала нулевого радиуса.

2. Особенности энергетического спектра Л2" - центра в полупроводниковой квантовой яме

В данном разделе методом потенциала нулевого радиуса теоретически исследуются Л+ -состояния в КЯ с потенциалом конфайнмента в виде прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками.

Двуцентровой потенциал моделируется суперпозицией потенциалов

нулевого радиуса мощностью У; = 2яй2 /(ащ/Д і = 1,2 [5]:

- 2 -

У8 (р ^ га Ъ га 2) = Е У і 8(Р) 8( г - гаі)

і=1

1 - д , ч д

1+ РЧ- +(г - гаі) д-др дг

(28)

где га; - координаты Л0-центров вдоль оси роста структуры; а; определяется

энергией Е; дырочного локализованного состояния на этих же Л+ -центрах

в массивном полупроводнике; т** - эффективная масса дырки; при этом

предполагается, что Л+ -центры имеют одинаковые координаты в плоскости интерфейса Г; = (р, г;).

Волновая функция дырки ^х2(р,2аЪга2), локализованной на Л® -

центре, удовлетворяет уравнению Липпмана - Швингера для связанного состояния

¥х2(р^гаЪга2) = |^1°(р,^г\;EXЖ5(р,гЪга 1,га2^2 (ргЪгаЪга2), (29)

где О (р, г, гу; Eх) - однодырочная функция Грина, определяемая выражением (14) и соответствующая источнику в точке с координатами г = (р, г^) и энергии Eх = -Й2х2 /(2т*).

Подставляя двуцентровой потенциал в уравнение Липпмана - Швингера и принимая во внимание, что Л0 -центры расположены на оси роста структуры КЯ с координатами г = (0,0,), получим

¥х2 (0,^гаЪга2) = У1°(0, ^1;Ех)(Т1 ¥х2 )(0,га Ъга Ъга2) +

+У2°(0, ^ га 2; Ех )(?2¥х2 )(0, га 2, za1, 2^ (30)

где

д д

~ УХ 2(Р, г). (31)

(Т; Ух 2)(0, га;) = ]1т

р^0

, - д , ч д

1 + Р-- +(г -га;)ч-др дг

Применяя последовательно операцию Т} к обеим частям соотношения (31), получим систему алгебраических уравнений вида

где

с1п = Ї1°11с1п +У 2а12с2п,

1С2п = у1°21с1п + у2а22с2п,

С1 = (Т1УХ2)(0, гаЪ гаЪ га2^ с2 = (Т2УХ2 )(0, га2, гаЪ га2^

«і, і = (Тг'УХ2 )(0,гаі, гаі;ЕХ); ¡, І = 1,2.

(32)

(33)

Исключив из системы (32) коэффициенты сі , содержащие неизвестную функцию, получим дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния Ех дырки, локализованной на Л2 -центре, от координат Л0 -центров и параметров КЯ:

у1а11 +у2а22 - 1 = у1у2(°11°22 -°12°21). (34)

В случае, когда У1 = У2 =У, уравнение (34) распадается на два уравнения, определяющие симметричное (^-терм) и антисимметричное (и-терм) состояния дырки соответственно:

Уа11 =•

1 -У «12, при (с =С2),

(35)

[1 + у а12, при (С1 =-2). Учитывая явный вид однодырочной функции Грина (14) т* г ёкк .^(кр)

О (р, г; га, Ех) = —^1"",совесЬ ( Ь ("л/А2 +12 IIX

й2 (2я) * уїх2 +12 V У ))

X(сЬ(^л/X2 +12 (Ь-|га -г|)-сЬ(4X2 +12 (Ь-|гв + г|), (36)

а также принимая во внимание, что ац определяется следующим выражением:

°(р, г, га 2; Ех), (37)

а12 = (Т1УХ2)(0, г, га 2; ЕХ ) = 11т

р^0 г^ га1

, - д , ч д 1 + Р^-+ (г - га 1)д"

др дг

и учитывая, что

°(Р, г; га,Ех ) = °0 (Р, г; га,Ех) + °ге^ (Р, г;га ,ЕхX

для расходящейся части функции Грина получим

11т

р^0

і - д , ч д

1 + Р^- + (г - га 1)Ч-др дг

Щ е

-Х|;

а2 а\\

г;га2,ЕХ) = - 2/ ч І I

й2 (2я) |га2 -1

(38)

а1

соответственно для регуляризованной функции Грина будем иметь

Greg (р,z; za2, EX ) _

lim

р^0 z ^ za1

1 - О , Ч д 1 + ^+( Z “ Za 1)Ч-др dz

mh

a11

2 Fi

1 iza2 za1.i |za2 zal|. 2LX

-1, ;1 ; Є

2 L

Й2(2п) [ |za2 -zal|

^1 |za2 — zal|.i . |za2 -za\, 2LX

1* ;1 T *e

2 L

— e2Xl 2

x 2 f1

2 L

2 L

\ 1 " (, 'L X V

ln th I T i n

j_ L V v 2 jj

>. (40)

Переходя к безразмерным переменным и вводя новую переменную г = |га2 ~2а\\, определяющую расстояние между А0 -центрами, выражение (37) запишется в виде

a12 =

* -riz mhe

л 1-2 *

2nЙ ahz

2 F1

f * *

1,——;1 — ; e2 L*r

* rsr*

\

2 L 2 L

—e2rz 2F

( * * ^

1, z ;1 T z ;e2L*r — 1

V * L 2 * L 2

ln

( ( T* W

, L r th 1

V у yj

+ in

m*h

L

4n П2 ahL*z*

2e - rzL*T

(

T z

2in T B

( *

- — ,0 v 2L* ,

T B

(

2 L*’

V 2^ j

T 2ln

th

*

L r

V v yjj

(41)

здесь л=4\е« | / ен , .а = га / а^ , = X / а^ ; а^ - эффективный боровский радиус дырки; 2Р[ (а,Ь;с;г) - гипергеометрическая функция Гаусса; (а,Р) -

неполная бета-функция. Аналогично для коэффициента ац можно записать следующее выражение:

a11 = (T1¥X, )(0, z, za 1; EX ) = lim

р^0

, - Ъ , ч д 1 + ^ + (z — za 1) д_ др dz

G (р, z, za1; Ex ). (42)

Учитывая явный вид соотношений (24)-(26) и переходя к переменной г, выражение (42) в безразмерных переменных можно записать в виде

a11 =-

*

mh

4n Й

V(L4 z*)

It* * \

(L+ z)

B

2 L r

f x* *

,0

2L*

T 2L*e

(T* * \ L +z h

х 2 Е1

( * Л ( 1 Ь + z 1

Л

+ 2

( + /)(ітс + 1п 128Ь (*л)

2Ь- 2

V

Учитывая, что «1 = «2 = «. можно переписать уравнения (35) в виде

(43)

отИ

2лй

2 = Оц + 012, и -терм,

(44)

отИ

2лй

2 = а11 - а12. ё-терм-

Подставляя в (44) соответствующие выражения для ац и а^, получим в боровских единицах дисперсионные уравнения, определяющие и - и g -термы

о = е-г Л

т* *

2 Ь г е

Л

2 -1

( т* * л {

1 Ь + г 1 ,~П-~ ;2

* Л

Л

3 + -

Ь-

/ т* * \ -(ь + г)

- -г е 1 В 2 г* ( Т* * Iі -г .0І +101+1 1п (28Ь ( л/2))

е2Ь Л * > Ь 2 1Т 1п (2еЬ ( л/2))

( - Л ( - Л -| п-

+

+В

е2 Ь-Л

2 Ь

* ’

+ В

2 Ь-Л

2 Ь

* ’

+ 2Ь-

= Лі2-І-(( +), (45)

где верхний знак соответствует g -терму, а нижний - и -терму.

На рис. 2 приведена зависимость энергии связи дырки |£х| от расстояния г между А0 -центрами, расположенными на оси размерного квантования. Можно видеть, что в случае g-терма (кривая 1) |£х| ^ при г ^ 0 , т.е. име-

ет место своеобразное падение на центр. Напротив, у состояния с меньшей энергией связи (и-терм, кривая 2) уменьшается при г ^ 0 . Таким образом, с уменьшением г возникает расщепление между вырожденными при г > 5 нм g- и и-термами. В пределе, когда г , имеем случай изолированного А+ -центра (кривая 3). С помощью кривых 1 и 2 можно определить эффективные расстояния между А0 -центрами при заданном значении энергии связи |£х| = 10,08 мэВ , полученной из эксперимента [7].

Примесная фотолюминесценция в 2Б-структурах

Рассмотрим фотолюминесценцию, связанную с излучательной рекомбинацией 2Б-электронов со дна зоны проводимости, и дырок, локализованных на А0 -центрах.

5 10 15 2, нм

Рис. 2. Термы а" -центра КЯ ваЛє (штрих-пунктирная линия показы 2, нм характерное расстояние между примесными центрами при энергии связи 10,08 мэВ: 1 - £-терм; 2 - и-терм; 3 - случай изолированного А" -центра

Спектральная плотность излучения, определяемая переходом электрона из начального состояния в конечное, связана с вероятностью перехода в единицу времени [6] и с учетом дисперсии размеров КЯ определяется следующим выражением:

Ф(ю) =

4ю2л/ее2 NА+ Реке0

с3 т0

Щ V* (2, р)¥А (2, Р,

х(Ь, Ь, а^к^1Ь(Еі - Е^ - йю),

х

(46)

где т0 - масса свободного электрона; е - заряд электрона; Рец - матричный элемент оператора импульса на блоховских амплитудах зонных носителей; ю - частота излучаемой электромагнитной волны поляризации ед ; £ - диэлектрическая проницаемость материала КЯ; N а - количество Л+ -центров в КЯ.

Энергия начального состояния определяется выражением

Е^ = Е + й2я2п2/2 т*еі} + й2к2 / 2ш*е

^11*^ ч ! ,^е ! ^>"е ?

соответственно энергия конечного состояния Еу- = Й2А,2/2 тЦ (энергия отсчитывается от потолка валентной зоны) и Е^ - ширина запрещенной зоны.

При этом предполагается, что дисперсия КЯ по размерам описывается гауссовским распределением

/с(Ь, 1,а) = (1/Т2гёа)ехр^-(ь -1 )2/2а2^,

где Ь - средняя ширина КЯ; а - среднеквадратичный разброс ширины КЯ в окрестности Ь.

Волновая функция конечного состояния в случае Л+ -центров берется

в виде

, ч СЛ+ Г ёке1кр ,

¥Х(Р,г;га,ЕХ) = 77^ І < ео8ееЬ| Ь

л/Х

2 + к2 I IX

(2 я)^ ^Х2 + к2 X'еЬ'VX2 + к2 (Ь - |га - г|)) - еЬ^л/X2 + к2 (Ь - |га + г|)) где константа нормировки Сл+ равна

(47)

СЛ+ =

2яХ 8Ь [ЬХ]

у (еЬ [ЬХ]-еЬ [(Ь - га )Х])'

(48)

Учитывая явный вид волновых функций электронов в зоне проводимости,

1

¥е (г, к у) =^= е1ке Р

чь Ь

2 . япг 81П-

(49)

= С

Интеграл от волновых функций, входящий в (46), запишется в виде | ¥Є (г, Р)¥Х (г, Р,) ёгё р =

ёк Г -ір (к -ке)

I ёр е-іР

Л ■» (2я)2■»

- еЬ

учитывая, что в виде

Vх2 + к2 (Ь - |га + г|)

ео8ееЬ | Ь | л/Х2 + к2

л/Х

2 + к2

• япг

йіп——, (50)

Ь

I

-ір( к - ке) =

= (2я) 8(к - ке), выражение (50) перепишется

Ь г— ео8ееЬ | Ь [ ^Х2 + к;2 I ¥е (г, Р)¥Х (г, Р,)ёгё р = СЛ+1 ёгЛ—------------[,--------------— 8ІП х

0

у/х2 + к2

Ь

X'еЬ'VX2 + ке2 (Ь-|га - г|) -еЬ^X2 + к2е (Ь - |га + г|).

(51)

Интеграл в последнем выражении можно вычислить, в результате по-

лучим

I ¥е (г, Р)¥Х (г, Р,) ёгё р:

2л/2 8ІП

Ь

(52)

и выражение (46) запишется в виде

Ф —+ (ю) =

3 2 1— 2 4аію д/е е п—+ Реіе0

с3 т0

X

х{ ¿1^1 ёке /о (Ь, Ь, а—+)

>81П

ь

X

х 8

Е§ +

о * т 2

2 теЬ

+ -

2те

2 ті

(53)

где Пд+ - концентрация А -центров в объеме КЯ.

В дальнейшем мы будем предполагать, что процессы люминесценции связаны с переходом электрона из нижней размерно-квантованной зоны проводимости в основное состояние А - и А2 -центров. Это вполне оправдано, если учесть, что при Йю >> кТ электроны находятся в состоянии первой размерно-квантованной подзоны.

Учет мезоскопического уширения пика примесной люминесценции требует замены 8 -функции на лоренцевский контур

2

Ф А+ (ю) =

4ю2^/Єе2 п—+ Реіе0

с3 т0

|ёЬ| ёке /о (Ь, Ь, а—)

С2+ х А+

1

Г,+

(54)

Ь^ + ( ке +Х2

'22я (Е п2я2 п2к2 й2*А+

Е§ +-----------^ +------2---------—

§ * 7" 2 Л * Л *

2 теЬ 2те 2 ті

-- Йю

+ Г2

где Г а+ - параметр мезоскопического уширения для одноцентровой задачи.

В безразмерных переменных последнее выражение можно представить

в виде

Ф А+ (X) =

і /• у2 * 2 /'4*2 16Х а е п л+С + А+ А+ Реіе0

с 2 т0

|йТЬ|к*ёк* /о(Ь*,Ь,аА+) X

( * V

81И

х-

Ь* Ь

V 1^2+1 к;2 + ПА+)

^ , УЯ ,7 *2 2 V

G+Тте+* -ла+ -х

2

+ Г

*2

(55)

2

п

X

2

где у = тк / те , Ь* = Ь / Ь, Ь = Ь / аА, к* = кеаА, лА+=^А+ ^ ,

ГА+ = ГА+ / , X = / Е , СА+ = са+ / га = га / , а* - постоянная

тонкой структуры с учетом диэлектрической проницаемости, а коэффициент

5$С ^ ^

нормировки С^+ и функция распределения /о (Ь , Ь , а) в безразмерных переменных определяются следующими выражениями:

Г'* —

СА* =

2 ялА* 8Ь

ЬЬ* л

А*

ЬЬ* л,

- еЬ

(56)

/о(Ь*,Ь ,аА+) = (1/Т2^аА+) ехр

-|Ы -Г)2/2аА2+ ^

(57)

Выполняя интегрирование по квазиимпульсу электрона, получим следующее выражение для спектральной интенсивности излучения:

ч2

Ф

(х ) = А /

С24* пА, X 2 /о (Ь*, Г, а*)

81П

йГ

т*1 2 , Т*2 т*2 2 V 2 , Т*2т*21 2 , , *

Ь | Я +Ь Ь ЛА+ II Я +Ь Ь (ЛА+ + ко

X

Г А++(х -о*(+у)лА*)2

-X

X

* _ *4 * 4 т—1 *

коЬ Ь Г а

ГА1*(х -о*(+т)л4.

-у| я2+ь *2 Ь*2л24+ ¥ я2+ь *2 ь*2 (лА++к0) Iх

г

('х+о+(+у)лА,)2 -Г А*1

( (^7*2Г*2 , 2 7*2,- *2

arеtg

У V

Г* Т*2 Т *2

1 а* Ь Ь

- arctg

( ОЬ*2Г2 * я2у - Ь *2Г2 (X - к0у * лА ^ ^

Г А* Т2 Ь*2

+ Г*4*(^х-(1 + у)лА+)х

х| 21п| я2 *Ь*2Ь*2 (лА* *к0)'1 -21п(я2 *Ь*2Ь*2лА+ I*

+ 1п

^2Т*4т*4 . 4 2 оТ*2г*2 2 ¡V . 2

Ь + л у - 2Ь Ь л у( X + ЛА+

-20

7*4 *4 / 2 \ 7*2 т- *2 2 , 7*4 Т *

Ь Ь (X + л + )-Ь Ь л у + Ь Ь

Г* 2++( X + л2 а+ \ 'л

V у/

2

- 1п| О2Ь 4Ь*4 + л4у2 - 2Ь*2Ь*2 (л2у(X -к)у + ^

- О | л2 у - Ь 2 Ь*2 (X - к) у + лЛ+) )) + Ь *4 Ь*41 Г А2 +(X - к) у +

(58)

//

где при интегрировании было учтено, что при низких температурах ( = 4,3 К) верхний предел интегрирования по квазиимпульсу ограничен

некоторым эффективным значением кинетической энергии электрона, определяемым главным образом соответствующей температурой образца. В безразмерных переменных верхний предел полагался равным ко = л/кТ / ак , соответственно константа А определяется выражением

2

РеИе0

А =

Щ0

16 ла* е2

(59)

Рассмотрим теперь случай А-* -центров. Волновая функция А-* -состояния имеет следующий вид:

СА* Г йк ек

¥Х (р,А Аа, ЕХ ) =—л22 Ї

ґі'п-Л2 *

(2 л) . х2 ++ к2

^со8есЬ| ЬІ „ /Х2 + + к2 II х

х VсЬ хА2+ + к 2 (Ь -1 А*1- А )]- сЬ V)/Х 4 + к 2 (Ь - ^А ^+

^4+ к2 (Ь -1А*2 - А)] - сЬ ^V к2 ( - ^*2 + А)]], (60)

+ сЬ

где га1, 2а2 - координаты А^ -центров вдоль оси роста структуры, а константа нормировки С 4* двуцентровой волновой функции равна

А2

- сЬ

С ,+ = ( 2лХ ,+

- 2сЬ

ЬХ

л+

2сЬ

ЬХ

Л+

- сЬ

(Ь - 2а*і)Х2

1

(Ь - 2 а* 2)Х 2

А+

(Ь - 2а1 - Аа2)Х2

а+

+ 2сЬ

(Ь -| Аа2 - Аа1 |)Х

л+

.(61)

2

С

1

Спектральная плотность излучения для Л+ -центров в безразмерных переменных с учетом лоренцева уширения примет следующий вид:

Ф Л+ (X) = ■

16 X 2 а* е+ п.+С *+

Л2 Л2+

Реке0

т0

2

X

<| СЬ* | к* Ск*

/о (Ь*, Ь , а*)

е е х X 2

+ í ке 2 + Л+

I

Л+

( ( * ) • 2а1п

81П -2!—

7

V V

+ 81П

( * )) 2а 2я

7

V ъ

Ь г*

( 2 уя

Ь

*2

Л+

+ г

*2

(62)

где Пл+ - концентрация Л2" -центров в объеме КЯ; Г Л+ - параметр мезоско-

Л+

пического уширения в случае двуцентровои задачи, а константа нормировки С*+ в безразмерных переменных определяется следующим выражением:

СЛ+ = ( 2ЯЛЛ+ эЬ

Тп

2еЬ

ІЛ+

- еЬ

(Ь - 2га1)П

Л+

- еЬ

(7 - 2га2)Л

- 2еЬ

(Ь - га1 - 2а2)Л

+ 2еЬ

(7 -|га2 - га1І)Л+

,(63)

где 2а\ = 2а\ /ак , га2 = га2 /ак •

После интегрирования в безразмерных переменных соответственно получим выражение, определяющее спектральную интенсивность излучения для двуцентровои задачи:

Ф л,+(х )=Л!

СЬ* X

С++ пЛ+ X2 /о (Ь*, Ь , а*)

Л+ Л+

га1я

X-

81П

+ 81П

( * ))+ ^а2 я

. 7* ь* У ^ у у

-X

Ь*(я+ + ї*+і*2лЛ, || я2 + Ґ+і*2 (••+

ЛЛ+++ к0))(ГЛ* + (- с + (1+у)лЛ++)+'

X

к0 Ь4 Ь*4 Г*Л

гл2+ (.у- с+(,+у)лл+)+

2

с

1

-у| я2 + Ь*+ Ь*+Л+, ||я2 + Ь*+ 72 [ Л++ + к0 || X

X + О + (1 + у)л+, | - Г*

Л

Л++ У Л

( ( ^ 7*+ т *2 2 Т*+т *2 (^ 2 ^)

ОЬ Ь +я у-Ь Ь | X + Л +

V Л+

arctg

V V

Г*.+ Ь* Ь*2

Л2

Г

- arctg

ОЬ Г2 + я2 у - Ь Г2^ - к0 у + Л

г* Т*+т *2 Г Л++ Ь Ь

)

/У

+ ГЛ+ | О-X- ++

X

( 21п V я2 + Ь*+Ь*+ ( лЛ++ + к0 У У - 2ІП V я2 + Ь*2Ь*2лЛ++ ) + 1п ( О2 Ь*4Ь*4 +

+я4у+ - 2Ь*+Ь*+я+у ( X + л+ + | - 2О

Г4Ь*4 ( X + лЛ+ ) - 7+Ь*+я+у +

+74 ь* 4

Г* ++ + ( X + л+

2 ))

/У

(

- 1п

„*4 . 4 + -_*+*+ ( + , +

ОЬ Ь + я у - 2Ь Ь | я у | X - ко у + л л+

))

-о| я2 у-Г2 ь* 2 (X - к0 у + лЛ++

)

+Т4 Ь*4

г

г *++ +1X - к0 у+лЛ2+

2)

, (64)

/У

где п.+ - концентрация Л^ -центров в КЯ.

А2

На рис. 3 представлены кривые спектральной зависимости в случае примесной фотолюминесценции с участием Л+ - и А" -центров. При численных расчетах применялись следующие численные значения величин: Л1 = 0,45, Л2 = 0,504, что соответствует энергии связи Л+ -центров Е.+. = 8,6 мэВ и Л+ -центров ЕЛ= 10,08 мэВ [7]. При этом эффективная

Л . Л2.

масса электрона и масса дырки считались равными те = 0,07т0, т^ = 0,45 т0, где т0 - масса свободного электрона. Исходя из экспериментальных данных [1], полуширина пиков фотолюминесценции принималась

равной соответственно Гл+ = 0,0017 эВ и Г + = 0,0025 эВ , а ширина запре-

Л2

щенной зоны в приближении эффективной массы, исходя из экспериментальных данных [7], полагалась равной Е^ = 1,51 эВ.

1.515 1.520 1.525 1.530 1.535

Energy, eV

Energy, eV б)

Рис. 3. Спектральная зависимость примесной фотолюминесценции при различных

значениях концентрации Л+ - и Л+ -центров: a - п + /п + = 50, б - п + /п + = 33

Л Л2 Л Л2

Из рис. 3 видно, что интенсивность спектральной зависимости сильно зависит от концентрации Л+ - и Л2" -центров. С уменьшением концентрации Л+ -центров интенсивность соответствующей линии падает, а интенсивность линии, соответствующей Л+ -центрам, растет. Такое поведение амплитуд линий фотолюминесценции можно объяснить тем, что с увеличением степени легирования отдельные Л+ -центры постепенно переходят в Л+ -состояния. Следует также отметить хорошее согласие между значениями энергий, на которые приходятся максимумы амплитуд теоретических и эксперименталь-

ных линий фотолюминесценции [1]. Таким образом, анализ, проведенный в данной работе, позволяет утверждать, что модель A+ -центров в состоянии адекватно описать экспериментальные данные, свидетельствующие о существовании молекулярных состояний А+ -центров в 2Б-структурах GaAs/AlGaAs.

Список литературы

1. Петров, П. В. Молекулярное состояние A+ -центров в квантовых ямах GaAs/AlGaAs / П. В. Петров, Ю. Л. Иванов, А. Е. Жуков // ФТП. - 2007. - Т. 41. -№ 7. - C. 850.

2. Smondyrev, M. A. Polaron effect in GaAs/AlGaAs quantum wells / M. A. Smondyrev, J. T. Devreese, F. M. Peeters // Phys. Rev. B. 46. - 1995. - V. 51. -Р. 15008.

3. Кревчик, В. Д. Особенности поглощения света глубокими примесными центрами в тонких полупроводниковых слоях / В. Д. Кревчик, Э. З. Имамов // ФТП. -1983. - Т. 17. - № 7. - Р. 1235.

4. Прудников, А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М. : Наука, 1981.

5. Кревчик, В. Д. Термы одномерного молекулярного иона D- в продольном магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, М. Б. Семенов, А. А. Марко,

В. Ч. Жуковский // Вестник Московского государственного университета. - 2004. -V. 5. - С. 7. - (Сер. 3. Физика, астрономия).

6. Леванюк, А. П. Краевая люминесценция прямозонных полупроводников /

А. П. Леванюк, В. В. Осипов // УФН. - 1981. - Т. 133. - С. 427.

7. Петров, П. В. Роль флуктуаций потенциала в энергетической структуре квантовых ям GaAs/AlGaAs с A+ -центрами / П. В. Петров, Ю. Л. Иванов, В. С. Мих-рин, А. Е. Жуков // ФТП. - 2008. - Т. 42. - № 10. - С. 1219.

Кревчик Владимир Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Левашов Александр Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физики, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of physics sub-department, Penza State University

Levashov Alexander Vladimirovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of physics,

Penza State University

УДК 539.23; 539.216.1 Кревчик, В. Д.

Особенности молекулярных состояний А+-центров в 2Б-структурах /

B. Д. Кревчик, А. В. Левашов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4 (16). -

C. 165-183.