К решению задачи об определении равновесных форм деформированных линий стержня моделированием чистого изгиба при действии продольной силы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»

УДК 539.3

Е. В. Ежикова, М. О. Лобков, А. В. Оськин Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ РАВНОВЕСНЫХ ФОРМ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЛИНИЙ СТЕРЖНЯ МОДЕЛИРОВАНИЕМ ЧИСТОГО ИЗГИБА ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ

Записаны уравнения, моделирующие чистый изгиб стержня по деформируемой схеме. Получены решения для тонкого стержня.

«Область, где очень важны продольно изгибающие силы, - это космические ракеты. С одной стороны ракета должна выдерживать свой вес на стартовой площадке и вынести напряжения во время ускорения, а с другой - очень важно свести вес всей конструкции до минимума, чтобы полезная нагрузка и полезная мощность двигателей были как можно больше» [6]. Антенны, в том числе и развертывающиеся антенны, являются основными элементами радиокомплекса космических систем. В качестве примеров назовем конструкции зонтичной антенны (патент 2447550) и развертываемого крупногабаритного космического рефлектора (патент 2442249). Создание антенн диаметром в десятки и сотни метров при необходимости обеспечения высокой точности поверхности - проблема, которая должна быть решена в перспективных космических программах недалекого будущего. Стержневые системы, ферменные силовые модули -представляют конструкции, состоящие из десятков и сотен тысяч сжатых или растянутых элементов [7]. Проблема совершенствования расчетных схем, их уточнение с целью приближения к реальной конструкции - актуальна.

Краткий обзор работ. Ньютон И. (в Англии) и Лейбниц (в Европе) заложили основы исчисления бесконечно малых [1]. Якобом Бернулли была получена формула для защемленного с одного торца балки / = Р13 /(3С). Пользуясь своим вариационным исчислением, Л. Эйлер получает дифференциальное уравнение Я.Бернулли, которое имеет вид

Су" /(1 + у'2 )32 = Рх. В 1757 г. Эйлер опубликовал работу о продольном изгибе колонн, в которой, используя упрощенную формулу Су" = -Р у , вычисляет критическую нагрузку. В современных книгах по сопротивлению материалов С = ЕД и формула Эйлера

выглядит так Рк =п2 ЕД /12. Важнейшим вкладом, внесенном Ж. Луи Лагранжем в теорию упругих кривых является его мемуар «О форме колонн» [1]. Решения по упрощенной формуле Эйлера он отыскивает в виде у = А $,т(тш /1), что дает множество упругих линий (форм потери устойчивости) для заданного числа т = 1, 2, 3,... и множество значений критических сил (собственных чисел). С. Д. Пуассон использовал тригонометрические ряды для исследования кривых прогиба стержней. Ученый Ле мар ле (Е. Ьешаг1е),

первым установил предел, до которого допустимо пользоваться формулой Эйлера: «пока значение критического напряжения акр не превышает предела

упругости материала». До этого предела следует полагаться лишь на показания эксперимента. По рассматриваемой проблеме, а также проблемам расчета пластин, оболочек, стержневых систем, фундаментальны работы С. П. Тимошенко, например [2]. В работе [3] приведены точные геометрически нелинейные уравнения равновесия упругой линии, нагруженные поперечной нагрузкой, справедливые при больших упругих перемещениях изогнутого стержня в одной плоскости. Следуя заданной хронологии, отметим работу [6], посвященную нелинейным изгибам пространственных стержней, и работу [4]. Среди многочисленных работ современных ученых обозначим работу [9], в которых развивается геометрически нелинейная теория изгиба тонких стержней. Эта работа позволяют найти точные аналитические решения задач об изгибе стержня силами, следящими и постоянного направления.

Постановка задачи о прогибах гибких стержней. Обратимся к работе [5], где говорится, что: - «Вместо того, чтобы описывать кривую через переменные х и у(х) (а2У/ах2 = (N/ЕД>(х), здесь у(х) - прогиб), можно воспользоваться двумя новыми переменными: 5 - расстоянием вдоль кривой и 6 - наклоном касательной к кривой. Решается полученное уравнение а 2 6 / а52 = (N / ЕД 6 немного сложнее, однако для разных значений N / ЕД получаются различные кривые».

Самостоятельно составим точное уравнение равновесия по деформированной схеме в рамках теории чистого изгиба. Получаем следующую формулу

N (Ф) =

4ЕД

Ф

10 (1 - 008 Ф)

(1)

Отметим, что если в (1) принять ф = п/2, тогда

получаем формулу Эйлера. Кривые линии, дающие возможные формы равновесия тонкого стержня длиной 10 покажем на рисунке. Там же приведены значения критических сил и изгибающих моментов.

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки

ф = п/4

M = 1,57 EJ /10

ф = п/2 N =

п2 EJ

N k

N J)

M = 3,14 EJ /10

ф = 3п/4

N=

13 EJ

M = 4,71 EJ /l0

19,74EJ

ф = п

M = 6,28 EJ /l0

36,13EJ

ф = 5п/4 N =---

M = 7,85 EJ /l0

88,84EJ

ф = 3п /2

M = 9,42 EJ /l0

l

l

Из (1) следует, что тривиальное решение ф = 0 исключается - усилие неопределено.

Библиографические ссылки

1. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1957. 536 с.

2. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.;Л. : ОГИЗ : Гостехиздат, 1946. С. 532.

3. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л. ; М. : ОГИЗ, 1948. 170 с.

4. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М. : Физматгиз. 1963. 880 с.

5. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнманов-ские лекции по физике. Т. 7, М. : Мир 1977. С. 288.

6. Светлицкий В. А. Механика стержней. Ч. 1. Статика. М. : Высш. шк. 1987. 320 с.

7. Усюкин В. И. Строительная механика конструкций космической техники. М. : Машиностроение, 1988. 288 с.

8. Захаров Ю. В., Охоткин К. Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 5. С. 124-131.

© Ежикова Е. В., Лобков М. О., Оськин А. В., 2013

УДК 621.891

В. А. Казанкин Научный руководитель - М. М. Матлин Волгоградский государственный технический университет, Волгоград

МЕТОД КОНТРОЛЯ ДЕТАЛЕЙ ВЫСОКОЙ ТВЕРДОСТИ

Предложен способ определения пластической твердости материала образца, который может быть применён для деталей, изготовленных из твёрдых материалов.

Известные способы определения твёрдости деталей (например, [1; 2]) не всегда позволяют точно определить твёрдость материала, в частности в случае, когда твердости материалов индентора и детали близки (отличаются менее чем в 2 раза). При этом на поверхности стального сферического индентора в процессе определения твердости может возникнуть остаточное смятие. В этой связи нами был разработан универсальный способ определения пластической твердости материала образца, который был бы справедлив как для низких, так и высоких значений пластической твердости материала образца.

Существенным отличием предлагаемого способа

является то, что определяют пластическую твердость материала сферического индентора и определяют коэффициент полноты фактической глубины остаточного отпечатка на поверхности материала образца кк. Это позволяет учесть при определении пластической твердости материала образца реальные условия контактного взаимодействия сферического индентора и материала образца:

к

К =■

К

при значениях кк < 1 пластическую твердость материала образца определяют по формуле