CC BY
17
УДК 629.78.05 Силь ченко Петр Никифорович,
д. т. н., профессор кафедры «Прикладная механика», ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»,
тел. +7 (391) 244-86-25, e-mail: silchenko@sfu-kras.ru Кудрявцев Илья Владимирович,
к. т. н., доцент кафедры «Прикладная механика» ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»,
тел. 89029618814, e-mail: kudrilya@rambler.ru Михнёв Михаил Михайлович, к. т. н., доцент, главный технолог, тел. +7 (3919) 72-24-39
Гоцелюк Ольга Борисовна,
инженер, АО «Информационные спутниковые системы» им. М.Ф. Решетнёва, тел. 89232205673, e-mail: gotseluk_ob@mail.ru
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВОЛНОВОДОВ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
P. N. Silchenko, I. V. Kudryavtsev, M. M. Mikhnev, O. B. Gotseluk
CREATION OF THE DECISION OF SYSTEM OF THE DIFFERENTIAL EQUATIONS
FOR WAVE GUIDES OF SPACECRAFTS
Аннотация. В статье рассматривается проблема расчета тонкостенных стержней с неосесимметричной формой поперечного сечения. Показаны основные преимущества и недостатки существующих способов расчета и предложена новая расчетная схема для тонкостенных стержней на основе теории платин и оболочек. Использование предлагаемого подхода применительно к расчету напряжённо-деформированного состояния конструкций волноводов, имеющих тонкостенное прямоугольное поперечное сечение, приводит к необходимости решения сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений, для которой в настоящее время отсутствует общее аналитическое решение. С использованием дополнительного допущения, авторами разработано частное аналитическое решение полученной системы дифференциальных уравнений для случая чистого изгиба. Полученные результаты хорошо согласуются с известными зависимостями теории стержней, что обосновывает корректность решения. Предложенный подход можно использовать для расчета тонкостенных стержней с различной формой неосесимметричного поперечного сечения как открытого, так и закрытого профиля.
Ключевые слова: волновод, тонкостенный стержень, неосесимметричное поперечное сечение, пластинка, напряжённо-деформированное состояние, система дифференциальных уравнений, метод расчёта.
Abstract. In the article the problem of calculation of thin-walled beams with nonaxisymmetric form of cross-section is considered. The main advantages and shortcomings of the existing ways of calculation are shown and the new settlement scheme for thin-walled beams on the basis of the theory of plates and shells is offered. Use of the offered approach in relation to calculation of the stress-deformed state of constructions of the wave guides having thin-walled rectangular cross-section results in need of the decision of a difficult system of the nonlinear differential equations for which there is no common analytical solution now. With use of an additional assumption, authors developed the particular analytical solution of the obtained system of the differential equations for a case of a pure bend. The obtained results will be well coordinated with known dependences of the theory of beams that proves the result correctness. The offered approach can be used for calculation of thin-walled beams with various form of nonaxisymmetric cross-section of both the open and closed profile.
Keywords: wave guide, thin-walled beam, non-axisymmetric cross-section, plate, stress-deformed state, system of the differential equations, calculation method.
Введение
Протяжённые тонкостенные стержни с неосе-симметричным поперечным сечением имеют широкое распространение в конструкциях самых различных отраслей: космическое машиностроение, авиастроение, кораблестроение, строительство и др. Использование при их моделировании упрощенных моделей [1, 2] в виде одномерных стержневых элементов, имеющих эквивалентные геометрические и инерциальные характеристики, нагрузки и закрепления, при оценке напряжённо-деформированного состояния (НДС) отдельных элементов и конструкции в целом приводит к погрешностям, которые затрудняют создание изделий с минимальными массогаба-ритными параметрами и, в то же время, с наилучшими функционально-эксплуатационными характеристиками.
Применение гипотез теории стержней существенно упрощает решения и позволяет оценить работу конструкций практически любой сложности, однако при этом нет возможности рассматривать НДС в локальных областях с возможными образованиями
концентраций напряжений и деформативностью отдельных элементов поперечного сечения в этих областях. Также известно, что в локальных областях возможны большие касательные напряжения, которые в тонкостенных элементах вызывают значительную локальную депланацию поперечного сечения. Де-формативность отдельных тонкостенных элементов, образующих поперечное сечение, зависит и от других различных факторов: длины тонкостенного элемента, толщины его стенки, условий нагружения, закрепления и т. д.
Попытки ученых учесть все особенности НДС рассматриваемой конструкции приводят к сложной системе дифференциальных уравнений [3], которые часто математически трудно разрешимы аналитически [4]. Поэтому даже частные случаи аналитического решения таких задач становятся эталонами для верификации результатов, полученных другими методами [5-8].
Расчёт конструкций из протяжённых стержневых элементов неосесимметричного поперечного сечения наиболее прост при использовании теории
стержней с добавлением поправочных коэффициентов [5]. Однако получаемые при этом результаты будут неоднозначными из-за сильной зависимости от выбора значений поправочных коэффициентов, которые в справочной литературе даны только для определённого сочетания размеров стержня, а выбор промежуточных значений будет неопределённым, так как на этих промежутках возможно присутствие сильной нелинейности [5].
Специально разработанные методы расчёта тонкостенных стержней, созданные на основе фундаментальных работ В.З. Власова [6], А.Р. Ржаницына [7], Д.В. Бычкова [8], позволяют получать решения для многих случаев нагружения, но вводимые ими допущения фактически сводят решение для пространственной оболочечной конструкции к общеизвестным методам строительной механики стержней.
Решение задачи
Волноводно-распределительная система (ВРС) является составной частью антенно-фидерного устройства космического аппарата (КА) связи и конструктивно состоит из отдельных волноводов, которые предназначены для передачи сигналов между блоками приемо-передающей аппаратуры и антеннами [9, 10]. Волноводы представляют собой тонкостенный стержень прямоугольного поперечного сечения, для которого требуется с большой точностью определять в любой локальной области все внутренние деформационные и силовые факторы с учетом их взаимовлияния. Необходимо разработать такие расчётные схемы и методы расчёта, которые бы позволяли учитывать все вышеуказанные особенности работы ВРС на всех этапах их жизненного цикла: изготовление, сборка, монтаж, вывод на орбиту и эксплуатация.
Обеспечить данное требование в основном можно, используя при моделировании и определении НДС волноводов положения теории пластин и оболочек [11, 12]. Однако расчёт элемента волновода, как тонкостенного стержня прямоугольного коробчатого поперечного сечения, с использованием теории оболочек будет затруднен, так как складки приводят к разрыву функции радиуса кривизны оболочки, к которой предъявляются требования по гладкости и непрерывности [9]. В результате описать НДС тонкостенных стержней с помощью системы дифференциальных уравнений равновесия как для одной оболочки практически невозможно.
Предлагается [3, 11] прямой участок волновода прямоугольного тонкостенного поперечного сечения представить отдельными подэлементами (пластинки, оболочки), для каждого из которых составляется своя система дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями, связывающими эти подэлементы.
При этом даже для одной пластинки (подэле-мента) НДС будет определяться решением системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений 4-го порядка, для которых в настоящее время не существует общего аналитического решения, на что указывал еще С.П. Тимошенко в [10], где также обсуждается возможность получения для частного случая приближённого решения и только лишь для одной пластинки.
Обзор существующей к настоящему времени литературы по методам решения частной системы дифференциальных уравнений, полученной С.П. Тимошенко [10] для одной пластинки, и полученной нами [3] общей глобальной системы дифференциальных уравнений для четырёх пластинок, образующих прямоугольное поперечное сечение элемента волновода, показал, что в настоящее время отсутствует общее решение протяжённых тонкостенных конструкций с неосесимметричной формой поперечного сечения при решении инженерных задач, особенно сложных пространственных конструкций, состоящих из элементов прямоугольного коробчатого тонкостенного поперечного сечения, образующих ВРС КА связи.
Согласно предлагаемому способу моделирования [3, 11, 12], прямой тонкостенный стержень представим в виде конструкции, состоящей из подэлемен-тов-пластин, соединённых под прямым углом между собой (рис. 1).
Тогда система нелинейных дифференциальных уравнений [3, 11] для общего случая статического, динамического и температурного нагружения будет иметь вид:
У4фг= Е •
д2ю;
92(В; д2юг ""др2"
У4(= -' Б
+Еа-V2(Т (а Д)-Тм (аД));
а2ф д2ю. „ д2ф д2ю. _ф--± - 2—ф---^ +
др2 да2 дадр да^
д2(ф д2ог
д(
' да,
1 2 1п2 " Ча . Чы ™ ^ Чи' даг дрг Яг- р ян
д(
ар;
2
дЧ
(1)
где I = 1, 2, 3, 4;
Т0. (о - начальное температурное поле прямого элемента;
Т (о , Рг) - температурное поле прямого элемента при нагреве.
Ф».(М». )
и у ^Гк
%, (Ма2 К N,2 ),
2 У»2 Ш (б )
2 V» /
N = 8,2 )
N ) )
IV а3 3
Щ« = » )
Рис. 1. Расчётная схема стержня
В системе (1) каждая группа 7-х уравнений описывает НДС только 7-й пластинки прямого элемента, по контуру которой необходимо задать все граничные условия (усилия, перемещения или их комбинации). Из полного набора граничных условий (ГУ) по контурам всех пластинок, составляющих прямой элемент, можно выделить ГУ на их боковых сторонах, где возникают силовые и кинематические взаимодействия пластинок в составе прямого элемента и ГУ на их торцах, соответствующие условиям соединения элементов в протяженную конструкцию волновода.
Граничные условия на боковых сторонах пластинок связаны с внутренними силовыми факторами на линиях соединения (7+ 1)-й и 7-й пластин (рис. 1):
г ■
д 2 ф
г+1
да 2
= - А,
^д3 ш,.
в,+1 =ь, +1
д3ш
д»3 д»да 2
д 2 Фг+1
да г+1д»г+1
д2 Фг
в,+1 =ь,+
д. д»г
Р,=-ь,
- А,
^д 3ш
г +1
+ -
д 3ш
Л
г +1
д 2ш
г+1
д» 3+1 д»г +1да г+1 , д2 ш
= г ■
д 2 Фг
да 2
'(+1
д»
2
г+1
в, +1 =ь
д2ш
да2 д2ш
в, =-ь, (3)
в, =-ь,
в,=-ь,
да 2 д»2
где Вг - цилиндрическая жёсткость 7-й пластинки прямого элемента;
7 - толщина пластинок, составляющих прямой элемент.
Краевые граничные условия, выраженные через перемещения (V, и, w, ф) и силовые факторы (У б, 8, М) или в смешанном виде, на торцах каждой пластинки будут определять действительные условия где bi, Ьг+1 - ширина 7-й и (7+1)-й пластин соответ- нагружения и закрепления прямого элемента на его
ж»(Ч+1 =Ь+1 =- в»( О 1»г =-Ь '
5а (<+1)1 »г+1 =Ь+ .,= ^ г) »г =-Ьг ' (2)
й»(/+1) |»г_ и =Ьг+1 =N>(0 »г =-Ь' '
м „1 =м . 1
а( '+1)1р,+ 1=-Ь,+1 а( 0 1»г =-Ь, '
ственно.
Согласно [3, 11], граничные условия на боко-
соответствующих сторонах (рис. 2).
К каждой из пластин прямого элемента может
вых сторонах пластинок будут определяться иско- быть приложена распределённая нагрузка ^, , ^ , мыми неизвестными функциями ф (а,») и шг (а,»)
в виде:
X > 12
которой моделируются силы инерции при динамическом характере поведения конструкции ВРС на участке выведения КА на орбиту.
и
Q"z М
А9у
а) силовые
У
к
Система нелинейных дифференциальных уравнений (1), совместно со всеми граничными условиями (2), (3), представляет общую постановку задачи, что позволяет при её решении использовать широкую вариативность различных подходов и методов применительно к требованиям конкретной решаемой задачи.
Корректность такого подхода применительно к прямому элементу прямоугольного поперечного сечения обосновывается тем, что поведение тонкостенных конструкций существенно зависит от их жёсткости в различных направлениях. Изгибная жёсткость пластинки в её плоскости на несколько порядков больше жёсткости из её плоскости. Следовательно, влиянием изгибной жёсткости пластинок из их плоскости при расчётах общего НДС прямого элемента волновода в рассматриваемом случае можно пренебречь.
Учитывая сделанные допущения, система (1) примет более простой вид:
V4 Ф,= 0;
V4 ш. = -' Б
В 2 ф В 2 Ю;
- 2
В2 ф В2 ш В2 ф В2
ВР2 Ва2 Ва,Вр, Ва,Вр, Ва2 Вр2
(4)
б)деформационные
Рис. 2. Краевые условия
Вследствие отсутствия известных подходов, способов и рекомендаций по построению корректного общего аналитического решения [4], рассмотрим частный случай напряжённого состояния прямого элемента волновода - изгиб относительно осей Z или У (рис. 2) в плоскостях минимальной или максимальной жёсткости.
Возникающие при этом напряжения будут наиболее опасными и определяют статическую прочность волновода. Изгиб будет возникать и при колебаниях волновода, что в дальнейшем позволит сформулировать условия по его динамической и усталостной прочности.
Построение аналитического решения системы (1) даже применительно только к данному частному случаю изгиба осложняется взаимосвязанностью отдельных дифференциальных уравнений и её сильной нелинейностью в целом.
Нами предлагается метод построения решения применительно к данной задаче. Предположим, что в отдельном прямом элементе (рис. 1) влияние прогибов пластин ш на компоненты деформаций, действующих в их же плоскостях ар, минимально и
НДС рассматриваемого прямого элемента волновода не меняется.
Построение аналитического решения системы (4) для расчёта НДС прямого элемента на действие изгибающего момента сводится к нахождению для каждой из его четырёх пластинок функций ф (аг, Р ) и ш (аг, Р ), которые должны удовлетворять условиям соединения пластинок в единый прямой элемент (2), (3), а также условиям его закрепления и нагружения, которые при этом примут вид:
В2 Ф,
Ва ,41
= о;
В ф,+1
- Б
р,+1 =ь +1
Г В3Ю,,
Ва ,+1вр,-
В2 Ф,-
в v.
ВР3+1 Вр,+1Ва
2
,+1 у
р1+1=ь;+1 = /
Ва, ВР,
В2 Ф,
р, =-ь,
В V
Ва
-+ц-
В2 ю,.
,+1 вр
р,+1 =ь,+1 В2 ю,.
Ва 2
(5)
в, =-ь,
Ва 2
- + ц-
В2 ю,.
ВР 2
р,+1 =-ь,+1 • ' • в, =-ь,
Выражения для функций фг(аг и
Юг(аг будут определять напряжённо-деформированное состояние каждой 7-й пластинки в отдельности, но объединение этих решений, согласно условиям (2), (3), для каждой отдельной пластинки и позволит определить НДС прямого элемента волновода в целом.
Аналитическое решение поставленной задачи в упрощенной форме (4) уже не представляет больших трудностей и его можно получить из анализа НДС всех 7-х пластинок (рис. 3), работа которых будет различной:
- боковые пластинки 2 и 4 испытывают чистый изгиб в своей плоскости;
- пластинки 1 и 3 подвергаются растяжению и сжатию соответственно в сочетании с изгибом по кривой, образованной деформированными краями пластинок 2 и 4.
Q
У
и
ф
ф
' ф
и
к 1,® * - г. У ©-
: х о 3
ь _
В
®
а) напряжённое состояние б) геометрия сечения Рис. 3. Напряжённое состояние при изгибе
С учетом особенностей НДС каждой пластинки прямого элемента, выражения для функции Фг (а г, Р г) [13] с учетом принятых нами обозначений будут иметь вид:
(а1> р1 ) = «1 а
Ф1 (а:
(6)
3
Ф2 (а 2, Р 2 )= «2 ' ПРи - Н <Р 2 < + Н , (7)
6
Фз (а
Ф 4 (а 4, Р 4 )= «4 , при - Н < Р 4 <+Н , (9) 6 2 2
где значения коэффициентов « определяются из
условий выполнения краевых условий (5) по линиям соединения пластинок в составе прямого элемента и будут равны (рис. 3, а):
_ Мл,з к л _Мг2
(аз, рз) —-«
а
т
(8)
Т 2 Т
и 213 2 Т2 2
М- к, «4 =- М!± . (10)
« - -От ---- - , «Л
3 Зшах т ~ 4 т
Т 21, 3 2 Т2 4
Здесь
Тг • - осевой момент инерции вокруг оси 7
для части поперечного сечения (рис. 3, б), образованного пластинками г и ] [1, 2]:
¿7 ? Я3
Т2 1,3 — Ь Н — к ), Т2 2 — Т2 4 — "
(11)
124 7 22 24 12
М2; ■, М2г - составляющие изгибающего
момента М2 [1, 2], действующего на пластинки г и ] (рис. 3, а):
- М ^, М2 2 - М2 ^, М2 4 — М2 ^, (12)
12 1,3 ^ 2
Л
вн 3 — ьк
Т — вн ьк - осевой момент инерции всего 2 12
сечения (рис. 3, б).
Подставив (10) в выражения (6)-(9), получим:
( йч а2 м ф1 (аl, р1 ) — ^т
к
м
2 Т 21,3 2
— а,
ф2 (а 2, р2)—М22, при - Н <Р 2 <+Н; (14)
^; (13) 4
Н
Т 2 2 6
Ф3(а3, Р) — —а
2 М21,3 А_
3 - Т ' 4
17 71 1 '
(15)
Ф 4 (а 4, Р 4)—-М24, при — Н <Р 4 <+ Н . (16)
Т2 4 6 2 2
Из зависимостей (13) и (15) видно, что величина напряжений в пластинах 1 и 3 постоянна. Но пластинки 1 и 3 дополнительно, из-за деформирования соединённых с ними пластинок 2 и 4, испытывают и изгибную деформацию. Следовательно, к полученному решению (13) и (15) для пластинок 1 и 3 необходимо добавить изгибные напряжения, которые можно получить, используя уравнения для деформаций пластинок 2 и 4 (рис. 4).
М,
..... -
7
Р 2 • V
Р2 ■
а) в своей плоскости б) в сечении
Рис. 4. Деформированное состояние пластинки 2
В работе [13] приводится такое решение задачи, из которого для случая изгиба пластинки 2 (рис. 4) следует:
а2 - Р2 „ М,
и, — —
2 Р2- — -а2Р2-
Ра
[а2 +ц-(Р2 -)]—
2 -Ра2
[а2 +ц-(Р2 -)]
М,
2 - ЕТ,
2
М,
^2 — 2 - г2ТГГ" ЕТ.
(17)
(18)
(19)
2
В полученном решении (17)-(19) тангенциальные перемещения (18) пластинки 2 будут определять функцию прогибов пластин 1 и 3 в местах их соединения.
Например, прогиб Ш1 срединной поверхности пластинки 1 в глобальной системе координат хуг (рис.
м
м
3
к'
а и
2 —2
Ж
7
2
^2 —
м„
ш1 = ^2 =--
2 2 ■ EJn
2 к'2
а, + ц--
1 4
(20)
Объединим полученные разрешающие функции (13)-(16), (17)-(19) для рассматриваемой системы нелинейных дифференциальных уравнений (4)
в общее решение:
2 М21,3 к
Ф1 =а1 —---т-; ^
J 71-5 4
М7
Ф2 =-
М
Ж 6
М
Ф4 =-
М
J7
,Ё1_ 6
к 4
2 2■EJ7
М
2 2■EJ7
а, + ц--
14
2 к"
а, + ц--
3 4
= 0.
(21)
С использованием выражений (21) напряжения в любой точке 7-х пластинок (7 = 1, 2, 3, 4), составляющих прямой элемент волновода, определятся по зависимостям [13]:
стас = стф('+1) + стшс =
д 2ф
>+1
Е ■ 2,
дР?+1 2,
СТ»С = СТ('+1)'
+ а„,. =
д2 ф
1+1
1 -ц2
Е ■ 2,
( д2 ш, V да 2 ( д 2ш..
г-+ц-
да
1 -ц2
д» 2
+ц
д2 ш,. д 2ш/
зОГ
(22) (23)
(24)
М2 2 к М7
а , =——---+
а1 тах
г
JZ 2
или с учетом (11),(12): М7
а„,„.
2 ЛЛН^' 2 ,
J7
к! г 1
2 2 (1 -ц2)
Л
(25)
(26)
Полученное по формуле (26) численное значение отличается от вычисленного по формуле Навье:
(27)
а,
М^.Н
Л 2
3, а) можно найти из (18) и условий совместности деформации краев пластинок 1 и 2 при » =- — и
2
2 2 = 0 :
на величину (1 -ц2) для изгибной составляющей напряжений в пластинках 1 и 3. Считая, что:
(1 -ц2 Ь1, (28)
и с учетом геометрии поперечного сечения (рис. 3, б) выражение (26) преобразуется в формулу Навье:
(.. . \
.Мл J7
— г_ 1
Т + 2 -ц21
(29)
~т2 ■Vт+2т2 ■ т=т2
Н_ ' 2 .
где ц - коэффициент Пуассона; Е - модуль Юнга 1-го рода материала пластин.
Максимальными будут напряжения аишах,
действующие на крайних волокнах пластинки, максимально удаленных от центра изгиба прямого элемента (рис. 4, а), на наружных поверхностях пластинок 1 и 3 («+», «-» сжимающие или растягивающие напряжения соответственно) (рис. 1) при:
_ _ г
21 = 23 = 2 . Например, для пластинки 1 при подстановке (24) в (22) получим:
Формула Навье (27) получена для стержня, имеющего форму сплошного поперечного сечения, поэтому имеется различие результатов на величину (1 - ц2), которая уточняет решение для случая тонкостенного стержня.
Проведенные расчёты для прямых участков волноводов с различными типоразмерами поперечных сечений показали, что числовое значение дополнительной части (1 - ц2) зависит от размеров тонкостенного прямоугольного поперечного сечения, образованного пластинками, и для большинства встречающихся на практике случаев волноводов составляет менее 1 %.
Заключение
В результате выполненной работы получено аналитическое решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих НДС прямого элемента волновода при чистом изгибе.
Полученные выражения для определения напряжений хорошо согласуются с известной формулой Навье, что подтверждает корректность принятого подхода.
Предложенный подход можно использовать для расчета тонкостенных стержней с различной формой неосесимметричного поперечного сечения открытого и закрытого профиля.
Результаты исследований использованы при проектировании волноводов антенно-фидерных систем космических аппаратов связи типа «Луч».
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-2875.2015.8.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 2000. 592 с.
2. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. 2012. 376 с.
3. Сильченко П.Н., Кудрявцев И.В., Михнев М.М. Система дифференциальных уравнений для элемента вол-новодного тракта космических аппаратов : материалы Межд. конф. по дифф. уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2010 г. С. 172-174.
к
а
2
к
к
0
ж
2
к
2
Ф
-а
ж, =
1,3
ж
4
4. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / Полянин А.Д. и др. М. : Физ-матлит, 2005.
5. Агамиров Л.В. Сопротивление материалов. М. : Аст-рель. 2003. 256 с.
6. Власов В.З. Избранные труды. Т. 2: Тонкостенные упругие стержни. Принципы построения общей технической теории оболочек. М. : из-во АН СССР, 1963. 507 с.
7. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М. : Высшая школа. 1982. 400 с.
8. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М. : Госстройиздат, 1962. 387 с.
9. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. СПб. : Изд-во С-Пе-терб. ун-та, 2010. 380 с.
10.Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М. : Эдиториал УРСС, 2009. 640 с.
11.Методика расчёта напряжённо-деформационного состояния волноводно-распределительных систем космических аппаратов / П.Н. Сильченко и др. // Журнал СФУ. Сер.: Техника и технологии. 2012. № 2. С. 150161.
12.Анализ динамического состояния волноводно-распре-делительных систем от воздействия вибрационных нагрузок на этапе вывода космического аппарата на орбиту / П.Н. Сильченко и др. // Журнал СФУ. Сер.: Техника и технологии. 2012. № 2. С. 205-219.
13.Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности. М. : Высш. шк., 1990. 400 с.
УДК 656.073 Крипак Марина Николаевна,
к. т. н., доцент, кафедра «Управление на автомобильном транспорте», Ангарская государственная техническая академия, тел. (3955) 522-388, e-mail: marikol@yandex.ru
Кулакова Ирина Михайловна, к. т. н., доцент, кафедра «Вычислительные машины и комплексы», Ангарская государственная техническая академия, тел. (3955) 67-43-96, e-mail: iyelkina@mail.ru
Лебедева Ольга Анатольевна, к. т. н., доцент, кафедра «Управление на автомобильном транспорте», Ангарская государственная техническая академия, тел. (3955) 522-388, 89526326611, e-mail: kravhome@mail.ru
АВТОМАТИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ЛИТТЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА
M. N. Kripak, I. M. КпЬакога, O. A. Lebedeva
AUTOMATION OF LITTLE ALGORITHM FOR SOLVING THE PROBLEM OF A SALESMAN
Аннотация. Рассматривается задача маршрутизации перевозок методом коммивояжера и предложен вариант ее автоматизации. Показана математическая модель с подробным пояснением преимуществ данного метода. Представлен интерфейс разработанного программного приложения на языке VBA, предназначенный для автоматизированной обработки маршрутов, которые можно использовать при перевозках грузов торговых, промышленных и некоторых других организаций автомобильным транспортом. В качестве исходных данных приняты параметры: количество грузополучателей и грузоотправителей, длины звеньев транспортной сети между пунктами. Программное приложение обеспечивает определение оптимальных маршрутов объезда заданных пунктов для обеспечения наименьшего пробега автомобиля. Апробация эффективности разработанного программного пакета подтверждается проведенными экспериментальными исследованиями. Для этого была рассмотрена конкретная транспортная сеть. Применение наиболее эффективных приближенных алгоритмов решения задачи коммивояжера относительно исследуемой задачи является целью дальнейший исследований.
Ключевые слова: метод, грузовые перевозки, программа, автоматизация.
Abstract. The problem of traffic routing by traveling salesman method is considered and options for its automation are proposed. A mathematical model with a detailed explanation of the advantages of this method is shown. The interface of the developed software application written in VBA, designed for automated routes processing that can be used for the carriage of goods of commercial, industrial and other organizations by road is presented. The initial data taken are the followingparameters: the number of consignees and shippers, the length of the links of the transport network between the points. The software application provides a definition of the optimum given points detour route for the smallest car run. Testing the effectiveness of the developed software package is supported by experimental studies. For this a specific transport network was considered. Application of the most effective approximate algorithms for solving the traveling salesman problem with respect to the given problem is the object of further research.
Keywords: method, freight transportation, software, automation.
Введение
Под воздействием расширяющейся сети малых производств и частного предпринимательства существенно увеличился объем внутригородских перевозок грузов. Рыночные отношения, которые в значительной степени формируются в условиях неопределенности и неустойчивости транспортной среды, требуют использования высокоэффектив-
ных способов и методов управления экономической и хозяйственной деятельностью предприятий на основе логистического и системного подходов к организации перевозочного процесса [1].
Рыночная экономика характеризуется высокой динамичностью среды. Дальнейшее развитие логистической концепции среди прочих требований подразумевает оперативную реакцию произво-
