Продольный изгиб и выпучивание. Часть i: модель Шэнли Текст научной статьи по специальности «Физика»

MS С 74С10

ПРОДОЛЬНЫЙ изгиб и выпучивание. Часть I: МОДЕЛЬ ШЭНЛИ

В.И. Ванько

МГТУ им. Н.Э.Баумана, ул. 2-я Бауманская, 5, Москва, 105005, Россия, e-mail: vvanko@mail.ru

Аннотация. В работе рассматриваются вопросы теории стержней в постановках, разработанных в трудах Эш'еееера, Яеинекох'о, Кармана, Шэнли, Хоффа, Работнова, Ильюшина и др., т.е. изучается поведение достаточно коротких стержней (квазистатический процесс), материал которых работает в упруго-пластической стадии; учитываются также свойства ползучести материала.

Ключевые слова: стержневая модель, продольная сила, продолжающееся нахружение, критические значения, корректность квазистатической постановки.

1. История вопроса. В дальнейшем термин «продольный изгиб» употребляется при изучении поведения упругих или упруго-пластических стержней под действием возрастающей силы; термин «выпучивание» — при изучении поведения стержня, материал которого находится в состоянии ползучести.

Обоснование квазистатического подхода можно найти в работах 11, 2|, Точность такой постановки оценивается в работе |3|,

Интерес к проблемам продольного изгиба и выпучивания не случаен, так как большинство элементов современных конструкций работает в условиях, приближающихся к рассматриваемым: высокие уровни нагрузок требуют полного учета упруго-пластических свойств материала; повышенные рабочие температуры эксплуатации изданий выдвигают на первый план необходимость учета свойств ползучести материала. В наиболее ответственных элементах конструкций необходимо учитывать все эти факторы.

Впервые задача об изгибе стержня (в современной трактовке) была поставлена Д. Бернулли, который сформулирован гипотезу плоских сечений и пришел к соотношению между изгибающим моментом в сечении, кривизной и жесткостью на изгиб упругого бруса. Эйлер, решая задачу, поставленную Бернулли, получил критическую силу, «силу колонны» |4|,

Развитие исследований Эйлера содержится в трудах Лагранжа, К.лебша и Кирхгофа, которые разработали геометрически нелинейную теорию гибких упругих стержней |5, 61.

Энгессер, принимая гипотезу плоских сечений, рассмотрел задачу о продольном изгибе с учетом пластичности в геометрически .линейной постановке: «Мы представляем себе стержень, изогнутый на очень малую величину ёи, и ищем сжимающую силу, способную удержать стержень в этом слабо изогнутом состоянии». Предполагая, что при изгибе постоянной силой во всех точках .любого поперечного сечения происходит активное нагружение, Энгессер пришел к понятию касательн,о-модульн,ой силы |7|,

Ясинский указал, что при изгибе во внешних волокнах стержня происходит разгрузка, и поэтому в формуле для критической силы должен присутствовать множитель, являющийся комбинацией касательного модуля и модуля Юнга |8|,

В следующей работе Энгессер дает формулу для вычисления уточненного, «редуцированного ,модуля» для прямоугольного сечения |9|,

Дальнейшее, существенное, развитие теории продольного изгиба содержится в работах Кармана 110, 111. Карман впервые поставил задачу о продольном изгибе стержня с начальными неправильностями — эксцентриситет приложения силы или начальный прогиб, причем материал стержня подчиняется произвольному закону мгновенного нагружения; построены кривые прогиб-нагрузка для различных значений эксцентриситета. Дана также строгая постановка задачи об устойчивости (в смысле Эйлера) стержня иод действием постоянной нагрузки и вычислены значения редуцированного модуля для сечений произвольной геометрии. Поставленные Карманом эксперименты до сих пор являются образцовыми 1111,

Вопрос казался исчерпанным, пока в 1946 г. ие появились работы Шэи.ли, который по-новому взглянул на проблему продольного изгиба, предположив, что предметом исследования является свободный шарнирно опертый стержень и нагрузка непрерывно возрастает. В этой постановке касательно-модульная нагрузка, которую в дальнейшем будем называть силой Шэнли, приобретает смысл силы, при которой впервые идеально прямой стержень приобретает возможность искривиться. Сила редуцированного модуля, сила Кармана, имеет смысл нагрузки, при стремлении к которой прогиб .либо скорость прогиба стремятся к бесконечности (интенсивно возрастают) 112, 131.

Необходимо подчеркнуть, что отличие результатов, но.лученных в раз.личных постановках, является следствием влияния истории нагружения на упруго-пластический процесс, что исследовано Г.В. Ивановым |14|,

Следует отметить предшествующие работы Дюберга и Уайлдера, А.А. Илыошина и

В.Г. Зубчанинова |15-17|: стержень рассматривается как элемент некоторой конструкции, со стороны которой на последний во время начала изгиба передается возрастающая или убывающая нагрузка. В этих условиях первоначально прямой стержень может нести нагрузку, большую кармаиовой.

Так как получение результатов, если отказаться от рассмотрения простейших моделей (моде.ль Шэнли .либо двутавр), связано с принципиальными трудностями вследствие необходимости учёта истории нагружения в каждой точке, то естественно, что наряду с работами качественного характера развивались и численные методы решения задач

о продольном изгибе.

Впервые, но-видимому, численное интегрирование полученных соотношений предпринял Т. Карман в цитированной выше работе |11|,

К. Ежеку удалось найти точное решение задачи о продольном изгибе стержня из упруго-идеально-пластического материала 1181.

Т.-Х. Лин впервые предложи.:: шаговый метод, посредством которого процесс решения задачи уже мог быть представлен в виде алгоритма |19|,

Развитие техники в послевоенный период ставило исследователей перед необходимостью учёта влияния высоких температур на поведение элементов конструкций. Одним

из основных свойств материалов в условиях работы при высоких температурах является ползучесть.

Впервые задача об устойчивости (квазистатический процесс, геометрически линейная постановка) стержня из линейно вязко-упругого материала была поставлена и решена А.Р. Ржаницыным |20|. В этой работе предложен квазистатический критерий (но сути — достаточное условие) устойчивости и исследованы уровни нагрузок, при которых стержень «асимптотически устойчив», т.е. при бесконечно большом времени прогибы его ограничены, и неустойчив: при возрастании времени прогиб стремится к бесконечности при конечном значении времени, т.е. существует критическое время.

Н. Хофф исследовал выпучивание стержней из нелинейно вязкого материала (установившаяся ползучесть) 111. В этом случае, ввиду нелинейности закона ползучести, провести качественное рассмотрение уравнения равновесия невозможно, и автор предлагает изучать поведение двутавровой (двухиолочной) модели стержня, считая начальную и все последующие формы выпучивания в виде полуволны синусоиды, причём уравнение равновесия удовлетворяется в срединном (но длине стержня) сечении. Это — метод коллокации, качественно аналогичный изучению модели Шэнли |13|,

Решающее влияние на дальнейшее развитие работ но исследованию выпучивания стержней имели работы Хоффа |21|, и Веубеке |22|, Если рассмотреть стержень из упруго-пластического материала, то вследствие роста деформаций в точках стержня, уменьшается касательный модуль, что приводит к падению мгновенной жёсткости на изгиб поперечных сечений стержня. Наконец, может наступить такой момент времени (при ограниченном прогибе), что приложенная нагрузка станет равна критической мгновенной нагрузке, соответствующей данному значению жёсткости. В этот момент скорость прогиба неограниченно возрастает и стержень теряет несущую способность.

Следует отметить работу Жичковского |23|, который показа;:, что если изучать конечные прогибы (т.е. решать задачу в геометрически нелинейной постановке) упругого стержня в условиях ползучести, то никаких особенностей на кривой прогиб — время не наблюдается.

В цитированных выше работах отмечалась сильная зависимость критического времени от начальных несовершенств. Поэтому, наряду7 с отмеченными работами, развивались исследования, в которых рассматривались совершенные конструкции и на основе тех или иных соображений делались выводы о потере устойчивости начальной формы равновесия.

Впервые строгий подход к устойчивости идеального стержня в условиях ползучести продемонстрирован в работе Ю.Н. Работиова и С.А. Шестерикова |24|, Предложенное авторами условие сформулировано в терминах классической теории устойчивости А.М. Ляпунова. Смысл упомянутого условия в следующем: если некоторое возмущение действует на стержень до момента накопления определённого значения деформации ползучести, то возникший прогиб убывает; если возмущение приложено после накопления указанного уровня деформации ползучести, то скорость прогиба возрастает -равновесие неустойчиво.

Обзоры литературы содержатся в работах Ясинского |8|, Кармана |10|, Хоффа |25, 261, А.С. Вольмира |27|; в работе В.Г. Зубчанинова представлен обширный обзор лите-

ратуры с анализом результатов цитируемых авторов |28|,

2. Упруго-пластическая модель Шэнли. Рассматриваем стержневую модель Шэнли, рис. 1, представляющую собой абсолютно жесткую стойку длиною Ь, опирающуюся на два одинаковых упруго-пластических стержня длиною к (Ь ^ к) с площадью поперечного сечения Е/2. Заметим, что рассмотрение такой модели равносильно рассмотрению двутавровой модели в случае использования метода коллокации по срединному сечепию 111,

Рис. 1. Рис. 2.

Считаем, что стержни 1 и 2 изготовлены из упруго-пластического материала с линейным унрочпением, рис. 2.

Все линейные величины относим к к/2; индексы 1 и 2 обозначают величины, соответствующие первому и второму стержням; за положительные приняты сжимающие напряжения, нагрузки и деформации сжатия; Е — модуль Юнга, Et — касательный модуль, принятый постоянным; а = Р/Е, где Е — суммарная площадь поперечных сечений стержней.

Общая деформация есть сумма упругой и пластической деформаций: е = £у + еПл-Из рис. 2 следует

а а* а а* Е ЕЬ / \ / г-,

£ил = --------г=г- = {(У £у = о/Е .

Et Е EEt

Поэтому деформация вычисляется в виде

Скорость упруго-пластических деформаций в стержнях 1 и 2 можно представить как

ё = ^ + кч- (г = 1,2). (2.2)

Е ^

Значения коэффициентов к\ и к2, соответствующих стержням, характеризуют процессы нагружения, либо разгрузки:

0. 1 аг1 < а*.

1, |аг| > а*, агаг > 0 - активное нагружение.

0, |аг| > а*, агаг < 0 - разгрузка.

В качестве независимого параметра, но которому производится дифференцирование при изучении упруго-пластических процессов можно выбрать любую положительную монотонно возрастающую функцию, например, возрастающую нагрузку. При учете эффектов ползучести таким независимым параметром является физическое время.

Запишем уравнения равновесия модели и, исходя из геометрических соображений (рис. 1), уравнение совместности деформаций в стержнях:

а1 + а2 = 2а , а1 — а2 = 2аw (а = Р/Е, ш = v/(k/2)) . (2.3)

Пусть ^ и у2 — вертикальные перемещения концевых точек стержней 1 и 2 соответ-

ственно; V — отклонение точки приложения сжимающей силы. Тогда в силу равенства углов отклонения (рис. 2.1), имеем:

(VI — V2)/к = (V — Vo)/L ^ £1 — £2 = уш (у = к/2Ь). (2.4)

При условии постоянства продольной силы вычисляем эйлерову нагрузку дня данной модели в упругой стадии:

(2.3) ^ а1 = а(1 + ш) , а2 = а(1 — ш) ;

(2.4) ^ а1/Е — а2/Е = уш ^ (а1 — а2)/Е = уш ^

^ 2аш/Е = уш ^ (2а/Е — у)ш = 0 . (2.5)

ш=0

2а/Е — у = 0 ^ аэ ^ уЕ/2 = Eк/4L. (2.6)

Формула (2.6) дает значение эйлерова напряжения. Далее, деформации и напряжения отнесем к соответствующим эйлеровым значениям. Тогда безразмерное эйлерово напряжение аэ = 1.

Уравнения (2.3) и (2.4) продифференцируем по некоторому положительному монотонно возрастающему параметру, характеризующему внешнюю нагрузку:

а1 = а(1 + ш) + аш , а2 = а(1 — ш) — аш , £1 — е2 = уш . (2.7)

Подставляя в условие совместности скоростей деформаций (2.7) выражения (2.2), иолу чнм уравнение:

/ Е \ Е ( Е ( Е

&и> ( 1 + (кг + к‘2)— ) + ст(к.1 - к‘2)— = й> 1у— - а ( 1 + + к2)

левую и правую части которого разделим па эйлерово напряжение уЕ/2 = аэ и запишем уравнение продольного изгиба уиругоплаетичеекой модели Шэпли:

аш(1 + а(к1 + к2)) + аа(к1 — к2) = ш{1 — а(1 + а(к1 + к2))} . (2.8)

Здесь напряжение а — безразмерная величина, а = Е/2^ = (1 — а*)/2а*, а* = Е1/Е -безразмерное напряжение но касательному модулю — напряжение Шэпли.

При монотонно возрастающих нагрузках фигурная скобка в правой части уравнения

(2.8) является убывающей функцией, имеющей при упруго-пластических деформациях вид:

1 — СГ ( 1 + ) >0 (А’1 = 1, А’2 = 0) , (2.9)

2а

*

1 — и ( 1 + -------^)>0 (к\ = 1, А:2 = 0) , (2.10)

а*

причем (2.9) принимает нулевое значение при

с7 = —-—г— = (тд.— напряжение Кармана,

Е + Е*

а (2.10) обращается в нуль при а = а*.

Считаем, что начальная неправильность ш0 > 0. Тогда очевидно, что sgnw = ^пш0. Условимся говорить, что квазистатическая постановка корректпиа, если решение

ш > 0 ш > 0

Рассмотрим, используя уравнение (2.8), различные постановки.

1) Продольный изгиб упругого стержня в условиях продолжающегося нагружения

(а > 0 к1 = к2 = 0):

(2.8) ^ аш = ш(1 — а); ш = ш0 при а = 0 ш = ш0/(1 — а) , (2.11)

отсюда: Иш ш =, т.е, эйлерова сила такова, что, при стремлении Р ^ Рэ, прогиб

<74-1

стремится к «бесконечно большому» значению - интенсивно возрастает.

ш0 = 0 а = 1

тривиальным решением).

Таким образом, бифуркация в смысле Эйлера возможна при нагрузке, равной эйлеровой, как при постоянном, так и при продолжающемся нагружении.

Далее считаем, что выполняется неравенство

а* < а* = Е*/Е. (2.12)

2) Постановка Кармана. Пусть в процессе возрастания нагрузки принимаются меры но предотвращению возможности выпучивания |30, 311. Ищем такую постоянную силу, при которой наряду с тривиальным решением возможен переход к нетривиальной ш>0

Так как стержень 1 все время находится в состоянии активного нагружения, то к1 = 1. Имеем из (2.8) (а = а0, а = 0):

ш(1 — ао(1 + а(1 + к2))) , шо = 0 . (2.13)

Если искомая постоянная сила существует, то в момент перехода к соседней равновесной форме имеем:

а2 > 0 , а2 = —а0ш < 0 ^ а2а2 < 0 ^ к2 = 0.

Поэтому

(2.8) ^ 1 — ао(1 + а) = 0 ^ ао = 2Е*/(Е + Е*) = ак . (2.13)

Назовем это безразмерное напряжение (безразмерную нагрузку) кармановым напряжением (кармаповой нагрузкой).

Итак, в случае упругого стержня (при а = 0 и а > 0)и упруго-пластического (при а = 0) осуществляется бифуркация в смысле Эйлера при а = аэ = 1и а = ак < 1 соответственно.

Имеем соотношения между напряжениями по Эйлеру, Карману и Шэпли:

а* < ак < 1 (УЕ* < Е) (2.14)

3) Постановка Шэнли. Исследуем поведение идеального стержня иод действием возрастающей нагрузки: а > 0.

Пусть аг > а* и в обоих стержнях происходит нагружение: кг = 1, г =1, 2. Поэтому

(2 8) ^ { аш(1 + 2а) = ш(1 — а(1 + 2а^ ; (2 15)

( . ) [ ш = 0 при а = а*. ( . )

Задача (2.15) имеет тривиальное решение до тех пор пока 1 — а(1 + 2а) = 0, т.е.

а < Е*/Е = а*.

Возможность появления нетривиальной формы равновесия могла бы осуществиться только при а = а*. Однако бифуркации в смысле Эйлера не произойдет, потому что в

к2 = 0

вследствие изменения знака скорости деформации во втором стержне (второй стержень при появлении изгиба неизбежно подвергается растяжению):

ё2=Т7 + — < 0 (72 < 0 (72(72 < 0 .

Е ^

Следовательно, во втором стержне реализуется состояние разгрузки.

Если при а > а* начнется продольный изгиб, то процесс будет описываться решением задачи:

аш(1 + а) + аа = ш(1 — а(1 + а)); (2 16)

ш = 0 при а = а*.

Отсюда получим

а — а*

ш=а

1 — а(1 + а)

Предположив, что материал абсолютно упруг при растяжении, получим результат Шэн-ли—Работнова [13, 30, 31]: ш ^ то при а ^ ак, рис. 3.3.

Рис. 3.

При рассмотрении обычной схемы а ~ е (без учета эффекта Баушингера) решение

а2 = а(1 — ш) >

— а*

|а21 > а* , а2 < 0 , <72 < 0 ^ а2(г2 > 0 и к1 = 1.

Изгиб описывался бы уравнением (2.15), в правой части которого множитель ш при принял бы отрицательное значение:

1 — а(1 + 2а) < 0 , так как а > а*.

При этом ш < 0 и квазистатическая постановка теряет корректность. В работе [32] показано, что при этом нарушаются условия равновесия модели.

Итак, квазистатический продольный изгиб заканчивается при а < ак с конечной скоростью и конечным прогибом, рис. 4.

Рис. 4.

Можно показать, что при малых начальных прогибах ш0 ~ 0,1 напряжение а, при котором

а2 = а(1 — ш) = —а*

удовлетворяет неравенствам |29|:

а* < а < ак . (2.17)

Неравенства (2.17) существенны дня дальнейшего анализа. Сводка результатов некоторых вычислений приведена в табл. 1.

Таблица 1

«>о (У * сп ^ к а

0,05 0,566

0,1 0,4 0,45 0,617 0,552 1,89

0,15 0,537

0,05 0,7

0,1 0,5 0,6 0,75 0,68 1,835

0,15 0,664

Отметим, что учет эффекта Баушингера существенных изменений в характер процесса упруго-пластического продольного изгиба не вносит |32|.

3. Модель Шэнли в условиях ползучести. При изучении выпучивания стержней при ползучести за критерий «потери устойчивости» (достаточное условие) обычно принимается какая-то характерная особенность кривой «прогиб—время». Например, обращение прогиба в бесконечность при конечном времени 111, точка минимума |2|, точка перегиба |33, 34|, обращение скорости прогиба в бесконечность (при конечном значении времени) |35, 361.

В настоящем разделе выясним качественный характер процессов выпучивания в зависимости от уровня нагрузки |29|.

Примем за основу степенной закон установившейся ползучести с нечетным показателем степени (для упрощения выкладок). Тогда скорости деформаций в стерженьках модели Шэнли выразятся зависимостями:

Здесь А - постоянная ползучести материала, п - нечетное целое число, либо отношение двух нечетных чисел.

Уравнение равновесия, вывод которого аналогичен выводу уравнения (2.8), получается в виде:

7ш (1 + а(к1 + к2)) + <та(к1 — к2) +

/ Е \ п

+7-1 ( у ) .'4(1 + «’)” - (1 - «О”} = й{1 -<т( 1 + а(кг + к2))}. (2.19)

Исследуем решение следующей задачи: стержень мгновению (разумеется, квазиста-

а = а0 = а0

характер выпучивания.

Нагружаем стержень силой а0 = а*. Так как при этом |а2| < а* (см. неравенство к2 = 0

7 1 (1г) <?о К1 + «О” - (! - «’)”} = «Ч1 - 0о (1 + «)}

\А/ (2.20)

ш = ш(* 1а0=аг ПРИ Ь = 0 .

ш0

гиба ш(* вычислили, решая упруго-пластическую задачу при а ^ а*.

ш*

при которой

а2 = а*(1 — ш*) = —а*.

Время достижения этого прогиба в силу (2.20):

IV*

* г-, м - А \п [ йш

Ч = 7 [1 - 0*(! + °')]

Еа*) ] (1 + ш)п — (1 — ш)п

-ш(*)

При ш > ш* имеем к1 = 1, |а2| > а*, а2 = —а*ш < 0 и так как а2а2 < 0 к2 = 1.

Следовательно, к1 = к2 = 1 и поэтому в уравнении выпучивания множитель при ш в правой части обращается в пунь, в результате, имеем:

ш(Ь*) = то.

Потеря устойчивости происходит в смысле Хоффа—Веубеке |21, 22, 35, 36| (см. рис. 5), прогиб конечен, скорость прогиба бесконечна при Ь = Ь*.

Рне. 5.

Будем нагружать «мгновенно» стержень нагрузкой равной а0 = а* + 5а, оде 5а — положительная либо отрицательная величина |5а| ^ а*.

5а < 0

ш = ш(**)|СТ0<СТ4 при Ь = 0

Так же, как и выше, уравнение (2.20) сохраняет силу до определенного прогиба ш**(*2), ПРИ котором во втором стержне достигается предел текучести при растяжении а2 = — а*

7”1 (Та°1 + и’Уг ~ (1 “ и’)”} = ™ [1 - сг0(1 + 2а-)] ,

\А / (2.21)

ш = ш(**)1а0=аг При Ь = Ь*2 .

Так как в квадратных скобках справа величина положительная, квазистатическая постановка сохраняет корректность при любой величине прогиба: ш > 0.

Из (2.21) имеем:

У (1 + ш)п — (1 — ш)п

,(**)

+ [1 - <70(1 + 2а:)] I (1 + ,•

Ш**

При ш ^ и п > 1 несобственный интеграл (второе слагаемое в фигурных скобках) сходится и происходит потеря устойчивости в смысле достижения бесконечно большого прогиба за конечное время, Ь* — критическое время, см. рис. 6.

Рис. 6.

2). При 5а > 0 имеем уравнение (2.20), где а0 > а*. Начальным условием служит мгновенный прогиб ш***, соответствующий а0. При ш = ш*** имеем а2 = —а*. Достижение этого прогиба произойдет за время

Ь*

а

Е

(1 + ш)п — (1 — ш)

Ш

Так как при ш > ш***, имеем |а2| > а*, то к2 = 1 и выпучивание описывалось бы уравнением (2.21), причем в квадратных скобках справа (множитель при ш) стояла бы отрицательная константа

1 — а0(1 + 2а) < 0 .

Отсюда видно, что при времени Ь > Ь3 квазистатическое рассмотрение становится некорректным,. Важно подчеркнуть, что (см. рис. 7)

0 < ш(Ь* — 0) < то .

Рис. 7.

Таким образом, процесс выпучивания (кривая ш ~ Ь) при а0 = а* неустойчив в том смысле, что при любом изменении мгновенно приложенной нагрузки характер выпучивания существенно изменяется.

Литература

1. Хофф И. Продольный изгиб и устойчивость / М: ИЛ, 1956. 156 с.

2. Rabotnov .Ju.N. The theory of creep and its applications /7 Plasticity. N.-Y.: Pergamon

press, 1960. 612 c.

3. Макаров Б.П. О поведении сжато-изогнутых стержней в пластической стадии /7 Строительная механика и расчет сооружений. - 1965. №5. С.35-37.

4. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо

минимума / М.-Л.: ГТТИ, 1934. 600 с.

5. Лаі'ранж Ж. Задача Лаі'ранжа о наивьп'однейшем очертании колонны /7 Николаи Е.Л.

Труды но механике / М.: ГТИ, 1955. 584 с.

6. Кирхгоф Г. Механика. Лекции но математической физике / М.: Изд-во АН СССР, 1962. 402 с.

7. Engesser F. Uber Knickfestigkeit gerader Stabe /7 Zeitschrift der Architect und Ingenieur

Vereinigung zu Hannover. 1889. B.35. S.455.

8. .Jasinski F. Zu den Knickfragen /7 Schweiz. Bauzeitung. 1895. B.26;24 (см. Ясинский

Ф.С. Избранные труды / М.: ГТИ, 1952. 428 с.).

9. Engesser F. Uber Knickfestigkeit /7 Schweiz. Bauzeitung. 1895. В.26; 24.

10. Karman Th., von Die Knickfestigkeit gerader Stiibe /7 Phvsikalische Zeitschrift. 1908. B.8,

S.136 (cm. Karman Th., von Collected Works. Vol'.'l: 1902-1913 / London: Butter Worths Scientific Publications, 1956. 531 с.).

11. Karman Th., von Untersuehungen fiber Knickfestigkeit /7 Mitteilungen fiber Forsehungsarbeiten,

herausgegeben vom Verein Deutscher Ingenieure. 1910. B.81 (cm. Collected Works of Th.

von Karman. Vol. 1).

12. Shanlev F. The column paradox // .Journal of the aeronautical Seieneis (.JAS). 1946. 13;

№12. P.678.

13. Shanlev F. Inelastic column theory /7 .JAS. 1947. 14; №5. P.261-267.

14. Иванов Г.В. Об устойчивости равновесия при Hevnpvrnx деформациях // ПМТФ.

1961. №1. С.47-56.

15. Дюберх’ Дж., Уайлдер Т. Поведение колонны в области пластических деформаций /7 Сб.

переводов Механика. 1951. №5. С.67-72.

16. Ильюшин А.А. Об упруго-пластической устойчивости конструкции, включающей стержневые элементы /7 Инж. сборник. 1960. XXVII. С.87-90.

17. Зубчанинов В.Г. Устойчивость стержней как элементов конструкций // Инж. сборник. 1960. XXVII. С.101-113.

18. .Jezek К. Die Tragfahigkeit des cxzcntrisch beanspruchten und des querbelasteten Druckstabes

aus einem ideal plastischen Stahl // Sitzungsberiehte der Academic dcr Wissenshaften in Wien. Abtcilung Ha. 1934. В.143; 7. S.339-366.

19. Лин T.-X. Выпучивание неупругой колонны /7 Сб. Механика. 1951, №5 С. 61-83.

20. Ржаницын А.Р. Процессы деформирования конструкций из vnpvi'o-вязких элементов //

ДАН СССР. 1946. LII; №1. С.25-27.

21. Hoff N.J. Creep Buckling /7 The Aeronautical Quarterly 1956. 7; №2. P.l-20.

22. Vcubckc F. Creep Buckling /7 Chapter 13 in Temperature effects in Aircraft Structures / N.-Y.: Pergamon Press, 1958. 420 e.

23. Zvezkowskv M. Creep Buckling // in Creep in Structures / N.-Y.: Academic Press; Springer,

1962. 375 e.

24. Работнов Ю.Н., Шестериков С.А. Устойчивость стержней и пластинок в условиях ползучести /7 ПММ. 1957. 21; №3. С.406-412.

25. Хофф Н. Выпучивание при высоких температурах // Сб. Механика. 1958. №5.

С.63-100.

26. Хофф Н. Обзор теорий выпучивания при ползучести // Сб. Механика. 1960. №1.

С.63-96.

27. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем / М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

28. Зубчанинов В.Г. Устойчивость / Учебное пособие. Часть 1 / Тверь: Тв. политехи, ин-т, 1995. 200 с.

29. Ванько В.И. О критериях выпучивания в условиях ползучести //ПМТФ. 1965. №2.

С.127-130.

30. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов / М.: Физматгиз, 1962. 456 с.

31. Работнов Ю.Н. О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональности // Инж. сборник. 1952. XI. С.123-126.

32. Пановко Я.Г. О критической силе сжатого стержня за пределом пропорциональности // Инж. сб. 1954. XX. С.160-163.

33. Шестериков С.А. О критериях устойчивости при ползучести // ПММ. 1959. 23;6.

С.1101-1106.

34. Куршин Л.М. Устойчивость стержней в условиях ползучести // ПМТФ. 1961, №6.

СТ28-135.

35. Хофф. Н. Продольный изгиб при ползучести // Сб. пер. Механика. М.: ИЛ, 1956, №6.

С.118-134.

36. Де Веубеке Ф. Выпучивание при ползучести /7 Сб. Влияние высоких температур на авиаконструкции. М.: Оборонгиз. 416 с.

LONGITUDINAL BEND AND SWELLING.

Part I: SHANLEY MODEL

V.I. Vanko Bauman MSTU

2d Bauman St., 5, Moscow, 105005, Russia, e-mail: vvanko@mail.ru

Abstract. Some problems of the rod theory in frameworks of approaches proposed by Engesser, ■Jasinski, Karman, Shanlev, Rabotnov, Ilyushin et al It is studied the evolution of sufficiently short rods (quasistatic process) at the elastic-plastic stadium is under consideration and the creep property of its material is taken into account.

Key words: rod model, longitudinal force, stressing, critic values, correctness, quasistatic statement.