О продольном изгибе упругопластического стержня Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.224.5

Е. С. Перелыгина

О ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ

Изучены особенности процесса продольного изгиба упруго-пластического стержня при произвольных соотношениях между силой, соответствующей пределу текучести рт и касательно-модульной нагрузкой рш, а также с произвольной диаграммой упрочнения материала а ~ е. Сделан вывод об универсальности условия: квазистатическая постановка корректна до тех пор, пока приложенная сила не превышает жесткости наиболее напряженного по внутреннему моменту сечения (рассмотрение ведется для безразмерных величин). Обобщены результаты опубликованных ранее работ по рассматриваемой теме.

E-mail: fn2@bmstu.ru

Ключевые слова: продольный изгиб, шарнирно опертый стержень, начальный прогиб, произвольная диаграмма а ~ е .

Задача о продольном изгибе упругопластического стержня подробно обсуждалась в зарубежной и отечественной литературе [1-12].

На примере стержневой модели Шэнли [4, 6, 10] и при изучении процесса изгиба стержня сплошного сечения [1, 2, 5] было установлено, что шарнирно опертый идеально прямой стержень из упруго-пластического материала с линейным упрочнением (рис. 1) под действием возрастающей продольной силы получает возможность потери устойчивости (бифуркация в смысле Эйлера) при значении силы, равном касательно-модульной нагрузке, которую называют силой Шэнли:

где I = const — момент инерции поперечного сечения; L — длина стержня; Et = const для материала с линейным упрочнением (касательный модуль).

Но потери устойчивости при р = рШ не происходит, так как в начале процесса изгиба во внешних волокнах (с выпуклой стороны) сечений стержня неизбежна разгрузка. При этом изгибная жесткость поперечных сечений (срединного сечения, а за ним и остальных сечений по длине стержня) увеличивается и стержень в состоянии "нести" нагрузку р ^ рШ.

На примере модели Шэнли показано, что задача об изгибе идеально прямого стержня при возрастании силы от значения р = рШ имеет нетривиальное решение [13] и при достижении некоторого значения р*

EtI

(1)

Рш <Р* < Pk

EEt

(2)

Рис. 1. Модель Шэнли и диаграмма для материала с линейным упрочнением

— площадь поперечных сечений стерженьков модели, а рк — сила Кармана) прогиб достигает своего наибольшего значения и продольный изгиб в квазистатической постановке далее невозможен, так как растягиваемый элемент модели Шэнли переходит в состояние линейного упрочнения при растяжении (рис. 1); изгибная жесткость модели резко падает и определяется касательным модулем, но действующая сила превышает касательно-модульную нагрузку (1).

Рассмотрим шарнирно опертый стержень прямоугольного сплошного сечения из линейно-упрочняющегося материала. Упругопласти-ческие деформации материала стержня описываются зависимостью

е = а/Е + / (а), (3)

при этом свойства материала и геометрия стержня (его длина и гибкость) таковы, что выполняется неравенство

Рт <Рш, (4)

где рт — значение силы, при котором в идеально прямом стержне достигается напряжение сжатия ат, называемое пределом текучести (рис. 1).

Отметим, что во всех упомянутых ранее работах (кроме работы [3]) изучается именно тот случай, когда выполняется условие (4). Уравнения равновесия любого поперечного сечения имеют вид

J айЕ = р, у огйЕ = —р (у + у00), (5)

Е Е

где ^ — площадь поперечного сечения; у00 — начальное искривление стержня.

Использование гипотезы плоских сечений позволяет выразить деформацию в любом сечении стержня через деформацию геометри-

ческой оси и кривизну сечения в виде

е = е0 + zx, X = d2v/dx2 (6)

(прогибы считаются малыми, т.е. v ^ L).

Система (5)-(6) может быть решена методом последовательных нагружений [11], для чего выражения (3), (5) и (6) запишем в приращениях на i-м шаге нагружения:

Дег = Ааг/Е + f (^-1)Ааг = E—Aa^,

j Aa,;dF = Api, j AaizdF = -p%Av% - Ap,tn-i; (7)

F F

A£i = Aeoi + zAx%,

где

ÍE в упругой и при разгрузке в пластической областях;

Е/ (1 + fЕ) в пластической области при активном нагружении.

Введем систему безразмерных параметров Pi = Pi/Ркр, Aeoi = Aeoi/екр, A£i = A^/e^; n = z/h; Í = nx/L; Avi = Avi/h; v% = vt/h; Aat = Aa,t/aKp, где Ркр, акр, екр — соответственно критические сила, напряжение и деформация, которые для рассматриваемого сечения (прямоугольник шириной b и высотой 2h) вычисляются по формулам:

= n2EJ 2n2Ebh3

Ркр =

кр

кр

L2 3L2

Ркр кр n2Eh2

= ~У = 3L2

_ акр n2h2

: E = 3L2 '

Из системы (7) следует краевая задача для ОДУ второго порядка относительно приращений прогиба на г-м шаге нагружения (рассмотрим прямоугольное сечение):

3 Л d2Ауг Л / 1Л

2 1/2 - ^ + ргА^г = -Арг +

Ауг (0) = Ауг (п) = 0.

Для приращений напряжения в некоторой точке стержня (£, п) в силу (7) имеем соотношение

= ^^^ g - '))• (9)

В (8), (9) обозначено

i

Ik = J Хг-Щкdn; Ai_i = E¡_i/E, k = 0,1, 2. -i

Считаем также, что до приложения нагрузки стержень имел начальный прогиб

voo (£) = vo sin £.

Предельная нагрузка, которую может нести упругий стержень p = = Ркр = 1; жесткость поперечного сечения на изгиб в области упругости J =1; текущая нагрузка p < 1; жесткость сечения на изгиб в упругопластической области J < 1.

Одно из преимуществ решения задачи в безразмерных переменных состоит в том, что можно сравнивать текущее значение приложенной к стержню силы с текущим значением жесткости срединного сечения.

Естественно, что при возрастании нагрузки возрастает и прогиб стержня:

Арг > 0 ^ Avi > 0. (10)

Численное решение системы (8)-(9) показывает, что до тех пор, пока жесткость срединного сечения (£ = п/2) больше приложенной силы, стержень несет приложенную нагрузку (Avi > 0)

Ji >Pi. (11)

Считаем, что квазистатическая постановка задачи корректна, если выполняется условие (10). Это положение можно пояснить следующим образом. Результаты численного решения полной системы (8)-(9) и решения той же системы методом коллокации по срединному сечению разнятся в окрестности критической точки (когда на следующем шаге нагружения при Api > 0, Avi < 0) не более, чем на 5 % (рис. 2).

Пусть

Avi = ai sin (12)

Подставив (12) в уравнение (8) и полагая £ = п/2 (в этом и состоит сущность метода коллокации), получаем выражение для приращения прогиба

= APi (vi_i + Ii/Io) aí — . (13) Ji - Pi

V 0.4

0.3

0.2

0.1

у| jY

0 0.2 0.4 0.6 р

Рис. 2. Результаты численного решения методами конечных разностей (1) и коллокации (2)

3 ( /2Л

Здесь </»(£) = - ( 12г —— текущая жесткость на изгиб срединного

2 V 10г/

сечения. Из (13) следует, что квазистатическая постановка корректна до тех пор, пока выполняется неравенство (11).

В качестве примера приведем результаты численного решения системы (8)-(9) для упругопластического стержня, материал которого обладает линейным упрочнением: Л0 = рШ = 0,6; ат = рт = 0,4;

= 0,001. На рис.3 показано распространение зоны пластичности по глубине стержня, области на графиках соответствуют состояниям на диаграмме а ~ е (см. рис. 1): зона упругости соответствует состоянию I, зона пластичности — состоянию II, зона разгрузки — состоянию III, зона пластических деформаций растяжения — состоянию IV. Отметим, что на рис.3,г изображено состояние стержня непосредственно перед критическим. На следующем шаге нагружения 7 = р и квазистатическая постановка задачи становится некорректной. Отметим, что впервые успешная попытка "заглянуть вглубь стержня" была предпринята в работе [7]. Однако вывода, подобного условию (11), нет.

Рассмотрим процесс продольного изгиба стержня из материала с линейным упрочнением при рШ ^ рт. При рШ « рт точки стержня не переходят в состояние IV (см. рис. 1) и при увеличении разности

Рис. 3. Распространение зоны пластичности по глубине стержня из материала с линейным упрочнением при рш = 0,6 и р = 0,4

Рис. 4. Зависимость жесткости от силы для случая 1 (а) и случая 2 (б)

между рШ и рт точки стержня "не успевают" перейти в состояние разгрузки (состояние III) вследствие резкого уменьшения жесткости.

Проиллюстрируем сказанное выше графиками жесткость~сила (рис. 4) и графиками распространения пластичности по глубине стержня (рис. 5).

Пусть рШ « рт (рШ = 0,4, рт = 0,41, у0 = 0,001). На рис. 5, а большая часть точек стержня перешла в состояние пластического нагру-жения (состояние II соответствует зачерненной области). На рис. 5, б показано начало состояния разгрузки (состояние III отмеченное серым цветом). При этом до этого момента часть точек стержня остается в зоне упругости (состояние I соответствует белой зоне). На рис.5,в часть точек, которые оставались в области упругости (I), переходит в область пластичность (II), что приводит к снижению жесткости. В результате квазистатическая постановка задачи становится неправомерной (Ду < 0, р^ >7).

Пусть теперь рШ < рт (рШ = 0,4, рт = 0,7, у0 = 0,001). На рис. 5,г весь стержень находится в упругой зоне (состояние I соответствует белому цвету). Далее происходит переход части точек в область пластичности (состояние II отмечено черным цветом). Это вызывает резкое уменьшение жесткости и квазистатическая постановка задачи становится неправомерной (рис. 5, д).

Рассмотрим стержень из материала с произвольной диаграммой а ~ е (рис. 6). Очевидно, что в реальности невозможно задать упрочнение материала одной из стандартных функций, а необходимо на основе опытных данных проводить интерполяцию. Диаграммы, использованные в настоящей работе, наиболее приближены к диаграммам реально существующих материалов, например таких, как медь и сталь. Рассмотрены материалы с упрочнением, которое приближенно задается синусоидальной, логарифмической и арктангенсои-дальной функциями. Полученные результаты показывают, что условие корректности квазистатической постановки (р^ > 7) [13] является

Рис. 5. Распространение области пластичности по глубине стержня для случая 1 (а-в) и случая 2 (г, д)

Рис. 6. Диаграмма для материала с нелинейным упрочнением

Рис. 7. Зависимость жесткости от силы для материала с нелинейным упрочнением

универсальным для стержня с шарнирным закреплением концов. На рис. 7 приведен график жесткость~сила для материала с упрочнением, которое задается функцией / (а) = е(о—т) — — + ет — 1; при этом

Е

о = ln (е — ет + 1) + от. Соответствующие графики распространения

области пластичности по глубине стержня для разных видов упрочнения аналогичны графикам, изображенным на рис. 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Engesser F. Ueber Kniekfestigkeit gerader Stäbe // Zeitschrift für Architektur und Ingenierwesen. Ver. zu Hannover 35. - 1889. - S. 455.

2. Ясинский Ф.С.О сопротивлении продольному изгибу. - 1894; Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. - М.: ГТИ, 1952.

3. Kar man Th. Untersuchungen über Kniekfestigkeit // Mitteilungen über Forschungsarbeit auf dem Gebiet der Ing. - Wesens, 1910. - No. 10; JAS. - 1947. -Vol. 14. - S. 267.

4. S h a n l e y F. The column paradox // JAS. - 1946. - Vol. 13, No. 12; Inelastic column theory // JAS. - 1947. - Vol. 14. No. 5.

5. Работнов Ю. Н. О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональности // Инженерный сборник. - 1952. - № 11.

6. П а н о в к о Я. Г. О критической силе сжатого стержня в неупругой области // Инж. сб. - 1954. -№ 20.

7. Л е п и к Ю. Р. О равновесии сжатых упругопластических стержней // ПММ. -1957. - T. XXI. - C. 101 - 108; // Изучение послекритической стадии сжатого упругопластического стержня с учетом вторичных пластических деформаций: Уч. записки Тартуского гос. ун-та. Труды по матем. и механ. - 1959. - Вып. 73. -С. 168-178.

8. Ильюшин А. А. Об упругопластической устойчивости конструкции, включающей стержневые элементы // Инж. сб. - 1960. - № 27.

9. Зубчанинов В. Г. Устойчивость стержней как элементов конструкций за пределом упругости // Инж. сб. - 1960, № 27; Устойчивость: Учебное пособие. Часть I. - Тверь: Тв. политехн. ин-т. - 1995. - 200 с.

10. В а н ь к о В. И. О критериях выпучивания в условиях ползучести // ПМТФ. -1965. -№ 1. -C. 127-130.

11. В а н ь к о В. И., Шестериков С.А. Продольный изгиб и выпучивание // Механика твердого тела. - 1967. - № 2. - C. 157-162.

12. В а н ь к о В. И. Продольный изгиб упругопластического стержня // Механика твердого тела. - 1968. - № 4. - С. 171-174.

13. В а н ь к о В. И. Упруго-пластический продольный изгиб: эволюция концепции Эйлера // Вестник ХНТУ - 2007. - № 2. - C. 74-80.

14. П е р е л ы г и н а Е. С. Математическое моделирование продольного изгиба упругопластического стержня с произвольной диаграммой а ~ е // Необратимые процессы в природе и технике: Труды VI Всеросс. конф. - 2011. Ч. II. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 342 c.

Статья поступила в редакцию 1.11.2011