К решению уравнений гиперболического типа модифицированным методом граничных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1

В. П. Федотов, А. А. Контеев

К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Описан метод решения задач гиперболического типа модифицированным методом граничных элементов. На примере одномерного случая получены 'разрешающие граничные уравнения, показана применимость метода. В частности, показана возможность точного вычисления частных производных, что имеет большое практическое значение, поскольку позволяет точно находить деформации, а соответственно и напряжения, в том числе для задач с особенностями.

Введение. Модифицированный метод граничных элементов применяется для решения задач колебаний областей произвольной размерности. В наиболее общем, трёхмерном случае задача заключена в следующем. В области произвольной формы О заданы перемещения и скорости перемещений в начальный момент времени, а в каждой точке границы Г области заданы либо деформации, либо перемещения в функции времени. Задачей является нахождение перемещения и (либо одной из компонент перемещения щ, ии2, ик в трёхмерном случае), которое удовлетворяет в области О системе уравнений:

Ь(и(х, ¿)) =0, х € О; (1)

граничным условиям — перемещениям на участке границы Г1 и деформациям на оставшемся участке границы Г2 области О:

и(х, і) = и(х, і) ди(х, і)

9п(х)

х Є Гі,

= д(х, і), х Є Г2;

начальным условиям:

и(х,і)\і=і0 = ^(х) х Є n,

д-и(х, і)

Ж

\Ь=І0

= ф(х), х Є П,

где оператор Ь(-) = V2 — д2/дЬ2. Начальные условия определяют отклонения и скорости точек области в начальный момент времени. Граничные условия задают деформации, перемещения, либо некоторый закон связывающий, перемещения и деформации на границе.

Согласно [1], потребуем выполнение уравнения (1) в целом по области с весом и*(-):

J У Ь(и(х, і))и*(■) йП(х) йі,

¿0 П

где и*(-) —функция, выбором которой мы можем распоряжаться. Удобно определить её как фундаментальное решение уравнения:

ь(и(х -)) = ¿(||{ - х11Ж^ —

и*(£, х, , ¿) = 0, при с(ЬР — ¿) < |х — £|.

Тогда, как показано в [2], для произвольной точки области можно записать соотношение:

(2)

и(£, іР) = J У и(х, і) ¿0 Г

Ір

ди*({, х, ір, і) , , [ [ ди(х, і)

1

д п

и( х, і)

(£Г(х)(Й — У J •»*({, х, ір, і) (£Г(х) сМ—

¿0 Г ди*((, х, ¿р, ¿) дї

І=І0

ди(х, ¿) дї

и*({, х, ір, і)

І=І0

йП(х). (3)

2

с

В последнем соотношении интегрирование ведётся по всей части границы, в то время как функции и(х, ¿) и д(х, ¿) заданы каждая только на своей части границы. Поскольку последнее уравнение справедливо на всей области О, и, в том числе на её границе, функции и(х, ¿) и д(х, ¿) можно доопределить, взяв точку £ на границе и решив получившееся граничное интегральное уравнение. Для регулярной границы граничное интегральное уравнение имеет вид [2]:

^и(£, tF) = J У^(х^)

¿0 Г

ди* (£, х, , ¿) СС ди(х, Ь)

дп

и(х, ¿)

dГ(x)dt — J У х, ¿Р, ¿) (£Г(х) сМ—

¿0 Г ди*(£, х, , Ь)

дЬ

¿=¿0

<9-и(х, ¿)

и*(£, х, , Ь)

¿=¿0

^О(х). (4)

Уравнение (4) справедливо для задач, сформулированных для областей произвольной размерности. Различия проявляются в виде фундаментального решения, определяемого уравнением (2). В качестве иллюстрации рассмотрим одномерный случай.

Одномерный случай. Фундаментальное решение уравнения (2) для одномерного случая имеет

вид:

и*(£, ж, Ьр, Ь) =

сН (с(ЬР — Ь) — г)

и представляет собой ответ среды на приложенное возмущение вида ¿-функции.

Нормальная производная функции на границе Г имеет вид:

= _/№-*)-г)

дп 2

здесь пг = дг/дп.

Поскольку в одномерном случае граница Г области О представляет собой точки а и Ь отрезка, а также с учётом вида фундаментального решения и его производной, первые два интегральных слагаемых в уравнениях (3) и (4) находятся аналитически:

¿0

шах(^0 )

¿р Ь шах(£с

У <?(М)|я(с(£Р- |ж-£|) М=С- I

¿0

1

2

с

Ь

а

а

У -и(ж, (с(*Р - ¿) - |ж - £|)

¿0

Ь

спг , .

ш = ——ЩХ,

*=*д

где ¿д = ¿Р — ^ характеризует запаздывание.

Интегрирование третьего и четвёртого слагаемых в уравнениях (3) и (4) по отрезку [а, Ь] также проводится аналитически:

и(ж, Ь)с

2 ¿(с(Ьр — Ь) — |ж — £|)

¿=¿0

с2 ^ \

(¿Ж = - — («(£ - с(£Р - ¿о),^о) + (С + с(^ -

Ь

а

а

Ь

2

ди(ж, Ь) сН(с(ЬР — Ь) — |ж — £|)

дЬ

2

шт (?+с(*р-*), Ь)

¿=¿0

ди(ж, Ь) дЬ

шах (^-с(4р —¿), а)

¿=¿0

Ь

Таким образом, в одномерном случае соотношение (3) для произвольной точки внутри области О принимает вид:

шах(І0,ід)

йі

¿0

- С^и{х, і)

І=ІК

+

+

и

(С — с(іР — ^ + и(С + с(іР — і0), 1

шіп (ї+с(іР-І), ь)

<9-и(ж, ¿) ді

йж

шах ({—с(ір-і), а)

(5)

І=І0

Легко заметить, что если границы устремить к бесконечности, в последнем выражении члены, определяемые границей, в (5) обращаются в ноль, и выражение (5) превращается в известную формулу Даламбера [3]. В случае ограниченной области О в уравнение (5) входят выражения, не определённые граничными условиями. Поскольку (5) справедливо во всей области О , в том числе и на ее границе, то, устремив точку £ к границе, получаем два уравнения относительно двух неизвестных функций:

шах(І0 ,ід)

J д(х,Ь)

¿0

йі

СПГ

- —и(х,і)

І=ІД

+

шіп(5+с(ір—І),ь)

«(£ - с(іР - ¿о),£о) + и(£ + с(іР - ¿о),£о) 1 І' ди{х,ї)

2 2с ді

йж

¿=¿0

шах(£—с(£р—¿),а)

шах(£0 ,£д)

йі

¿0

СПГ

- —и(х,і)

І=ІК

+

шіп(5+е(*р—¿),Ь)

ц(£ - с(^ ~ ¿о), ¿о) + ц(£ + с(^ ~ ¿о), ¿о) 1 / ди(х,і)

2 2с У дї Х

шах(£—с(£р—¿),а)

¿=¿0

(6)

Таким образом, получено два уравнения с двумя неизвестными, при этом возможны следующие случаи:

1) на границах заданы перемещения и(а, і), и(Ь, і); в этом случае получаем систему из двух уравнений Фредгольма относительно натяжений д(а, і), д(6, і);

2) на границах заданы деформации д(а, і), д(6, і); в этом случае получаем систему из двух алгебраических уравнений относительно перемещений и(а, і), и(Ь, і);

3) на одной границе заданы перемещения, на другой деформации, в этом случае получаем систему из двух уравнений — одного Фредгольма и одного алгебраического.

Уравнение Фредгольма можно свести к дифференциальному.

Колебания закреплённой струны. Рассмотрим в качестве первого примера классическую задачу о колебаниях струны, закреплённой в точках ж і и ж2 к неподвижному основанию. В начальный момент времени заданы положение и скорость каждой точки струны. Задача заключается в нахождении функции перемещений и(ж,і) удовлетворяющей на отрезке [хі,х2] уравнение колебаний, начальным и граничным условиям:

и«(ж, і) = с2ижж(х, і), и(ж, 0) = <^(ж), и*(ж, 0) = ^(ж),

и(ж1, і) = 0, и(ж2, і) = 0.

(7)

ь

ь

а

а

2

ь

ь

а

а

ь

ь

а

а

Граничные интегральные уравнения (6) дают два соотношения для определения деформаций

в точках ж1 и ж2 : ( ( шах(40,4р)

с

шах(40,4д)

\

J д(ж1,Ь) ^ — J д(ж2,Ь) ^

У ¿0 ¿0 У

/ шах(40,4д) шах(40,4р) \

д(ж1, Ь) ^ —

+

+

шт(ж1 +с(*р — /ю),Ж2)

у(.Т1+с((г-;о))+^ г ф(х)Лх

\ ¿0

¿0

/

у(ж2 + с(^ ~ ¿о))

2 2с

Х1

Х2

•0(ж)^ж

шт(ж2- с(*р —¿0),Ж1)

От полученных интегральных уравнений можно перейти к рекурентным, дифференцируя их по времени. Система рекурентных уравнений для неизвестных функций деформаций в точках ж1 и ж2 выглядит следующим образом:

д(жьЬр) = д(ж2 ,Ьд) — з(ж2,Ьр) = ?(ж1 ,ЬД) —

(ж1 + с(Ьр — Ьо)) + (ж2 + с(Ьр — Ьо)) +

■0(ж1 + с(Ьр — Ьо))

^(ж2 + с(Ьр — Ьо))

Н (с(Ьр — Ьо) — |ж2 — ж 11 Н (с(Ьр — Ьо) — |ж2 — ж 11

Для произвольной точки отрезка [ж1 ,ж2] соотношение (5) применительно к данной задаче принимает вид

/ шах(40,4д) шах(40,4д) \

д(ж2,Ь) ^ — д(ж1,Ь) ^

¿0 /

+

У ¿0

— с(^ — ¿о)) + + с(£Р — ¿о)) ^

2 2с

шт(£+с(*р-¿0),Ж2)

•0(ж)^ж.

шах(£—с(£р —¿0)5X1)

В последнем выражении функции <^(ж) и ^(ж) определены только внутри отрезка [ж1, ж2], поэтому последняя формула справедлива в предположении, что функции равны нулю вне отрезка. На рис. 1 представлены колебания струны для заданного начального отклонения <^(ж) = е—х ; ^(ж) =0; с = 2.

б

Рис. 1. Профиль (а) и деформации (б) струны в момент времени Ь =1 оек

Колебания бесконечной струны. В качестве второго примера рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны, закреплённой в точках ж1 и ж2 упругими подвесами. В начальный момент времени положение струны и её поперечные составляющие скорости считаются известными, продольных перемещений во все время движения не происходит.

Математическая постановка задачи заключается в следующем: требуется найти решение, удовлетворяющее уравнение колебаний:

и«(ж,Ь) = а2ижж(ж,Ь) + ¿(ж — ж^/^Ь) + ¿(ж — ж2)/2(Ь), (8)

где ¿(ж) есть ¿-функция Дирака. Заранее неизвестные функции /1 (Ь) и /2 (Ь), входящие в уравнение, отражают воздействие упругих подвесов.

0

2

0

с

с

Кроме того, решение удовлетворяет начальным условиям (7) и дополнительным условиям, отражающим воздействия упругих подвесов:

их(ж1 + 0, Ь) — их(ж1 — 0, Ь) = йи(жьЬ), их(ж2 + 0, Ь) — их(ж2 — 0, Ь) = Ли(ж2, Ь), (9)

и(ж1 +0, Ь)= и(ж1 — 0, Ь), и(ж2 + 0, Ь)= и(ж2 — 0,Ь). (10)

Здесь условия (9) заключают в себе упругие силы, пропорциональные отклонению струны в точках от нулевого положения, а условия (10) — непрерывность перемещений в точках закрепления упругих подвесов.

Для каждой из трёх областей: ( — то,ж1], [ж1,ж2], [ж2, +то) справедливо уравнение (5), а на границах выполнены граничные интегральные уравнения (6). Последние дают по одному уравнению для границы в областях ( — го,ж1], [ж2, +го):

¿р

1 с с

1 с с

-и(х 1, = ~2 у(Х1 ~ ^ ^ “ ^и(х1^р) +

¿0

Х1

+ Ф1-с«Р-1о))+ф1+с«г-и,)) + 1_ ф(х) Л,

х1—С(^р — ¿0)

¿р

1 с с

-и(Х2, tF) = 2 Ц(Х2 ~ °> ^ ^ + -м(ж2, ¿Р) +

¿0

у(ж2 - с(^ - ¿о)) + у(ж2 + с{гР - ¿о)) _2_

2 2с

Х2+с(*р —¿0 )

•0(ж) ^ж, (11)

Х2

и два уравнения для границы в области [ж1, ж2]:

1с -и(х ь^) =

/ ¿р

шах(^0,^д)

У д(ж1 + 0, Ь) ^ — J д(ж2 — 0, Ь) ^

\*0 ¿0

+ - (и(жь - и(х2, tR)) +

Ж1 - с(^ - ¿о)) + У>(Ж1 + с(^ - ¿о))

2 2с

ш1п(ж1+е(*р —¿0 ),Х2)

•0(ж)^ж,

2и( ж2, — — -

( шах(*0,*д) ¿р

У (?(Ж1 + 0, ¿) (Й — У (?(ж2 — 0, ¿) (Й I + ^ (и(Ж1, ¿д) — и(Х2, tF)) +

У ¿0 ¿0

; 2

Х2

+ у(г2 - - ¡0» + у(г2 + - (о)) + Г ф{х)йх (12)

шах(х2—с(£р—¿0)5X1)

Таким образом, образуется система из четырёх уравнений относительно шести неизвестных функций и(ж1, Ь), и(ж1, Ь), д(ж1 — 0, Ь), д(ж1 + 0, Ь), д(ж2 — 0, Ь), д(ж2 + 0, Ь), которые вместе с дополнительными условиями (9) и (10) образуют замкнутую систему уравнений.

Вне области, в которой определено решение, соотношение (5) даёт ноль. В силу суперпозиции решений кроме уравнений (11) и (12) запишем соотношения для точки ж1 от влияния по участку

[ж2, + ТО) и для точки ж2 от влияния по участку ( — То, ж1]:

¿д Ж1+С^р —¿0)

О = | / Ф, + 0, () м + ¡Ф„ (я) + *»>-«г-»»**»*«»-»» + А_ I ф{х) ^

¿0 Х1

¿Д Х2

0 = 1/ ?(*. + 0, () л + ¡ф1М) + + ^ + ^ / «*) ¿г.

¿0 Ж2—с(4р —¿0)

(13)

В последних соотношениях функции, входящих в каждое из соотношений, определены только в области своих участков. В силу этого, складывая уравнения (11), (12) и (13), а также учитывая дополнительные условия (9) и (10), получаем уравнения относительно перемещений в точках ж1 и ж2 в интегральной форме:

и(х 1,

/ tр шах(*0,*д) \

' и(х 1,£)(Й+ и(х2,Ь)сМ

+

сЬ

и(ж2,^) = у

¿0 ¿0

£1+фр—¿0)

+ ^■-^-¡.))+^,+фг-(о)) + Г ф(х) ^

Х1 —С^р—¿0)

/ шax(to ¿д) ¿р \

и(ж1 ,Ь) ^ + | и(ж2 ,Ь) ^

¿0 ¿0

+

Ж2+С^р — ¿0)

+ + I т*,

Х2 —c(tр — ¿0)

Дифференцируя по времени последние соотношения, получаем задачу Коши для перемещений в точках ж1 и ж2:

сЬ ^'(ж1 + с(Ьр — Ьо)) — ^'(ж1 — с(Ьр — Ьо)) .

Щ{х 1, = -у («(жь + и(ж2, - т)) + с- -Ь

+ У^(ж1 + с(^ ~ ¿о)) + УКЖ1 ~ с(^ ~ ¿о))

, , л сЬ + /, ^'(ж2 + с(Ьр — Ьо)) — <р'(ж2 — с(Ьр — Ьо)) .

«Цж2, = у (и(ж2, + и(Ж1, ^ - т)) + С-------------------------------------Ь

У^(ж2 + с(^ - ¿о)) + УКЖ2 - с(^ - ¿о))

2 ’

где г = ^1~Ж2^ — время прохождения ВОЛНЫ от одного подвеса до другого. Дифференцируя по времени (11) получим выражения для деформаций:

<,(*. + о,ад = ^ ^(11,(р) _ I«,, _ _ ¡о)),

Ф* - 0,(Р) = ^2 + е«г-<о))-9'(хг-е(<г-<о)) _ /2-Л Щ{Х2М _ 1Ф(Х2 + фр _ ш

Решение задачи внутри области даётся соотношением (5) как совокупность решений внутри каждой из областей ( — ТО, ж1], [ж1,ж2], [ж2, +то). При этом необходимо учитывать, что функции, входящие в (5), определены лишь в своей области решения.

Усилия в точках закрепления струны для заданных начальных условий <^(ж) = е—х ; ^(ж) =0 и параметров с = 1; Ь = 1; ж1 = —4; ж2 = 4 — представлены на рис. 2, положения и деформации струны в момент времени Ь = 4 сек — на рис. 3

Заключение. Преимущество такого подхода к решению задач, заключается в том, что решение выражено через функции, заданные на границе, что снижает размерность задачи на единицу. Кроме того, вид решения даёт возможность точно находить деформации, а соответственно и напряжения вблизи особых точек, поскольку операция дифференцирования может быть выполнена аналитически, а не численно. Последнее свойство решений, полученных методом граничных элементов, становится тем более актуально при решении задач большей размерности и задач с особенностями границы, поскольку позволяет уйти от некорректной операции численного дифференцирования.

Рис. 2. Усилия подвесов /1 (Ь) и /2(Ь) (одинаковые из-за симметрии задачи)

Рис. 3. Профиль (а) и деформации (б) струны в момент времени Ь = 4 сек

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Федотов, В. П. Решение связных диффузионно-деформационных задач на основе алгоритмов параллельного действия / В. П. Федотов, Л. Ф. Спевак.—Екатеринбург: УрО РАН, 2007. — 191 с. — ISBN 5-7691-1807-5.

2. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. — М.: Мир, 1987. — 524 с.

3. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики /А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М.: Наука, 1877. — 728 с.

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург Поступила 01.10.2007

fedotov@imach.uran.ru; ко^ееу1307@тап.1 .ги

В окончательном варианте 27.02.2008

V. P. Fedotov, A. A. Konteev

APPROACH TO SOLUTION OF HYPERBOLIC TYPE EQUATIONS BY METHOD OF BOUNDARY ELEMENTS

The paper presents a method of solution of hyperbolic type problems by the boundary elements method. Using example of an one-dimensional case a resolving boundary equation was obtained and applicability of the method was shown. In particular, the paper shows a possibility of precise calculation of partial derivative, that is of high practical importance, as it allows to discover stresses correctly even for problems with singularities.

Institute of Engineering Science, Ural Branch, Received 01.10.2007

Russian Academy of Sciences; Yekaterinburg, Russia fedotov@imach.uran.ru; konteev1307@mail.ru