О граничной обратной задаче для конечного упругого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК. 539.3

О ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ КОНЕЧНОГО УПРУГОГО ТЕЛА

©2004 г. A. O. BamynbHH, A. H. KosapeHKO

In this work we compare two methods of solving boundary inverse problem for the limited elastic body. The comparative analysis of their effectiveness, depending on the wave number, was made.

Введение

Задачи об определении нагрузок, действующих на упругое тело, являются чрезвычайно актуальными в последнее время в связи с проблемами неразрушающего контроля конструкций [1-3]. Эта проблема возникает в тех ситуациях, когда поле нагрузок оказывается недоступным для непосредственного измерения. Его требуется восстановить по косвенной информации о поле перемещений на границе тела в той части, где возможно установить датчики перемещений. При этом упругие волны несут в себе информацию о таких важнейших характеристиках поля нагрузок, как главный вектор и главный момент. С математической точки зрения задачи такого типа приводятся к граничным обратным задачам, которые весьма сходны с математическими проблемами дефектометрии. Эти задачи являются некорректными [4], и малая погрешность в измеренных полях перемещений может привести к большой погрешности при определении нагрузок. Одним из наиболее популярных методов исследования таких задач является метод сведения к операторным уравнениям первого рода с гладкими ядрами [5], а наиболее распространенный способ их обращения -метод, использующий регуляризацию по А. Н. Тихонову, успешно применяемый для решения различных некорректных задач [6,7]. В последнее время для статических задач теории упругости был предложен иной метод решения обратной задачи по определению нагрузок [8], основанный на анализе задачи Коши для эллиптического оператора и последовательном решении ряда прямых задач в возникающем при этом итерационном процессе.

В настоящей работе предлагается для анализа подобных задач в случае установившихся колебаний использовать либо метод регуляризации А. Н. Тихонова [7], либо модификацию альтернирующей итерационной процедуры [8], которая представляет собой последовательное решение корректных смешанных краевых задач для исходного оператора. Проведено численное сравнение двух методов решения обратной граничной задачи о восстановлении нагрузок на поверхности упругого тела для канонической области в виде прямоугольника в зависимости от частоты колебаний в антиплоской задаче. Отметим, что эти методы имеют свои особенности применения, свои достоинства и недостатки, о которых речь пойдет ниже.

Постановка задачи

Пусть упругое тело V ограничено гладкой поверх-

4

ностью £ = и Sk .

k=1

Краевая задача об установившихся колебаниях анизотропного тела V с частотой й описывается системой уравнений [9] и граничными условиями на час-

ти S (на S2 граничные условия не формулируются)

2 = 0 , i = 1,2,3,

Lu = cijkiukij +P«

(1)

= О,

= О, i = 1,2,3,

-jnj

= О, u,

= ui{

i = 1,2,3,

где р - плотность; сщ - компоненты тензора упругих постоянных, удовлетворяющих обычным требованиям положительной определенности и симметрии ( с,]Ы = скН] = с],ы = с,]Ш ). Требуется определить граничные значения вектора смещений и напряжений на границе £2. Такого типа задача возникает при регистрации волновых полей, которые служат исходной информацией при решении обратной граничной задачи об определении нагрузки, на свободной от нагрузок части поверхности тела.

Описание итерационного метода

В [8] предложена итерационная схема решения краевой задачи типа (1) для оператора Лапласа и для оператора статической теории упругости. Применим эту схему к решению поставленной задачи. Суть этого подхода заключается в том, что решается последовательность смешанных краевых задач, причем граничные условия на £3 и £4 сохраняются, а условия на £1 и £ 2 корректируются, изменяясь от итерации к итерации. Существенным препятствием на пути непосредственного использования итерационной процедуры, предложенной в статике в [8], является наличие резонансных частот у вспомогательной задачи, которая может быть сформулирована различным образом.

С целью подробного описания итерационной схемы рассмотрим общую задачу:

Ьи =0 в V

=О

nj

= О , i = 1,2,3,

nj

= p,

,(°)

i = 1,2,3.

В зависимости от частоты колебаний возможны следующие варианты построения алгоритма.

Вариант 1

Задается начальное приближение р(0) на £2 и находится и(0) как решение следующей смешанной задачи (задача 1а)

crij-cij}kiu

k ,i

u

Л

Л

4

3

s

s

u

Л

Л

4

3

=u

Л

Л

Lu (О) = О в F , u

(О)

= О, ст(0'1 n,

= О , i = 1,2,3 .

(О) rij nj

(О) (О)

= Pi . ui )

= u , i = 1,2,3 .

(2)

(1) ^ nj

= Pi , u

= О , i = 1,2,3.

= u^ , i = 1,2,3.

(3)

то далее на-как решение задачи

=О,

4

r(2k+1)n ■

,j "j

(2k+1) г- n

,j "j

= О, i = 1,2,3,

= Pi , u

(2k+1)

= u(2k), i = 1,2,3.

После построения вектор-функции и ближение и(2к+2) получаем, решая задачу

Ьи(2к+2) = 0 в V , и?к+2) = 0,

(2k+1)

при-

(2k+2) Г- n

= О, i = 1,2,3,

(2k+2) Г nj

(2k+1) (2k+2)

= Г 1 nj u ( )

= u, , i = 1,2,3.

Lu (О) = О в F ,

(О)

= О , г(0'1 n.

= О , i = 1,2,3,

(О)

ГУ nj

(О) (О)

=Pi . Г) nj

= Pi, i = 1,2,3.

Вычислив и(0), находим и(и, решая задачу (задача 2б):

(1)

Lu (1) = О в F , u

(1)

=°, гіР nj

= О , i = 1,2,3,

Эта задача разрешима для любых частот, кроме первого резонансного набора , соответствующего нетривиальному решению задачи (2) для однородных условий на £, £2. Определив и(0), находим и(1), решая задачу (3) с граничными условиями на £ 2, найденными из предыдущего этапа (задача 1б)

Ьи(1) = 0 в V , и{(1

(1)

= uP, u«

= u, , i = 1,2,3.

Если построено приближение и\2к), то построим вектор функцию и(2к+1), удовлетворяющую задаче

Ьи(2к+1) = 0 в V , и,(2к+1)

=О

(2k+1)

Г- n

,j "j

= О, i = 1,2,3.

j+1) nj

, (2k+1)

= Pi, г( )n

(2k )

= Г nj

i = 1,2,3.

Эта задача разрешима для всех частот, кроме частот второго резонансного набора , соответствующего нетривиальным решениям однородной задачи (3).

Если построено приближение и(2к) ходим вектор-функцию и(2к+1)

Ьи(2к+1) = 0 в V , и(2к+1)

После того как построена вектор-функция и приближение и(2к+2) получаем, решая задачу

(2k+1)

Lu(2k+2) = О в F, u(2k+2)

=О

(2k+2)

Г- n

,j j

= О, i = 1,2,3.

u(2k+2) i = u (2k+1) _ ui , uPk+2) = u* , i = 1,2,3

Л2 Л2 Л1

В некоторых ситуациях (когда частота колебаний для задач (2), (3) близка к резонансному набору со('к>,а((^>) удобнее использовать другую итерационную схему, которая имеет свои наборы резонансных частот ок3,ок4).

Вариант 2

Задается начальное приближение р(0) на £2 и находится и(0) как решение смешанной задачи (задача 2а):

Эффективность предлагаемых итерационных схем в значительной степени определяется взаимным расположением резонансных наборов юк и может быть

исследована численно.

В качестве примера применения изложенного выше алгоритма рассмотрим частный случай геометрии области, когда V - цилиндр с осью вдоль оси ох, О -его поперечное сечение плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра, ограниченное кусочно-гладкой

4

кривой Г = и Гк . Будем считать, что колебания вы-

к=1

званы касательной нагрузкой Р, приложенной на Г2; граница Г3 свободна от напряжений, а граница Г4 защемлена. На Г1 известны смещения и напряжения, и по этим данным требуется восстановить граничные поля на границе Г2 . Будем считать, что из компонент вектора перемещений отлична от нуля компонента и 2 = и(х, у). Краевая задача имеет вид:

АП + к2и = 0 в О,

д и

U = О на Г 4

U = U

• = О на Г 3,

ду

д U

------= О на Г.

ду 1

(4)

1- 7 2 рй

у - единичная внешняя нормаль к 1 , к =----------------,

М

р - плотность, м - модуль сдвига. Требуется опреде-

Л

Л

4

3

Л

Л

4

3

Л

Л

2

Л

Л

2

Л

4

Л

Л

Л

3

3

Л

Л

Л

Л

Л

2

2

Л

4

Л

3

Л

3

Л

Л

2

Л

4

Л

3

Л

Л

2

2

Л

Л

3

4

Л

Л

2

лить нагрузку, действующую на Г2.

В дальнейшем будем считать, что задано прибли-

женное значение функции u , lU - u

< є и требу-

ДU + k U = 0 в Q = [-l,l]X[0,h],

U y=0 = 0

U|x=l =i

5U|

дУ

д U,

дx

У=h

=О,

x=l = P .

(5)

(б)

Для осуществления численных экспериментов предварительно была решена прямая (корректная) задача:

АП + к2П = 0 в О , (7)

дИ |

UL=о = 0,

дУ

y=h

=О

l = p (y).

(S)

і = p(0) ТТІ =

\x=-l = p , U x=l =

U|.

=-l = u

для задачи 1а

= u (О) для задачи 1б.

ди = 0 дИ|

дх = 1 , дх

Найденное значение и (у) = П| х=1 было взято в

качестве граничного условия в (6). В схеме первого варианта итерационного алгоритма решаются две смешанные краевые задачи вида (5) и следующими граничными условиями на торцах: д И, дх

д И = * и ~дк'х=г = Р ’ и|х=-1

В рамках второго варианта итерационного алгоритма решаются другие две смешанные краевые задачи с граничными условиями на торцах следующего вида: д И, дх

и И х=-1 = и(1), И х=1 = и * для задачи 2б.

Найдем решение задачи (7), (8) при помощи метода разделения переменных [10].

Общее решение представимо в виде

ад

П (х, у) =2 (ЛпА’к(мпх) + Бпск(мпх)) зт(Л,„у), (9)

п=1

Л п(2п -1) 1~2 ~

где Лп =-----------; Мп =^К - к ;

2п

= P (О)

x =-l = P

д U, *

-----\x=i = P для задачи 2а

дx

-JP*(y)sin(2my)dy = P*m . m=1, 2.---.

ется найти «хорошее» приближение к и, в частности на границе Г2. Применим описанные выше итерационные процессы для решения задачи (4).

Численный эксперимент для итерационного алгоритма

В качестве примера рассмотрим задачу об установившихся антиплоских колебаниях изотропного бруса с прямоугольным поперечным сечением со сторонами 21 и И, где на правой грани известно поле смещений и напряжений, нижняя часть бруса жестко защемлена, а верхняя часть границы свободна от нагрузок. Необходимо определить поле нагрузок и поле перемещений на левой грани бруса. Краевая задача имеет вид

Am =

Bm =-

2сКМт1)Мт 2^(МтОМт

Отметим, что прямая задача разрешима только для тех значений к, при которых ,$к(2мт1) ^ 0, т. е.

к 2 (2п -1)2 + т2к2 , т = 0, 1, 2,..., п = 1, 2,...

2М

Найдем решение вспомогательных задач, используемых в ходе итерационного процесса. Они решаются таким же методом, как и задача (7), (8). Разница состоит лишь в граничных условиях. Отметим, что для них общее решение представимо также в виде (9), где для задачи 1 а

2 к

-1Р <а)(У)$іп(КУ)<ЛУ = Рт) ,

h о 2 h

-J u *( y)sin(2my)dy = u* h °

Am =

1

Bm =

ch(2Mml ) 1

m=1, 2,...

P (°)

f p (°) А u m^Mm^ + m ch(Mm^)

Mm

ск(2Мт1) ч

Аналогично для задачи 1б

2к - -к

п (0)

u *mch(Mml )------—^M1 )

Mm

J P (y)sin(2my)dy = Pm

/

-Ju(1)(y)sin(2my)dy = um , m=1, 2,.

Am =

1

Bm =

ch(2-ml ) 1

ch(2Mml )

Для задачи 2а 2h

J P (0)(У) sin(2mУ)dy = P

h

f * А

- u*Лh-ml) +^ch(Mml)

Mm

* А

u(m ch(-ml ) + — лКм*1 )

Mm

(О)

2 h * *

-Jp*(y)sin(2my)dy = p*. m = 1. 2.... h °

Am =

1

2Mmch(Mml )

Bm =

1

2Mmsh(Mml ) Для задачи 2б 2h

(P*m + P(m ) .

(Pm - p* ).

J u (1)(y ) sin(2m y ) dy = u

h

(1)

-j u *c y)sin(2my)dy=u m h °

;=1,2,...

Am =

і-t- (u +u<1) ),

2ch—ml )

U

*

*

Bm =

-1—r(um - u™).

2як(Мт1)

Вообще говоря, для задачи (5),(6) со сформулированными граничными условиями существует решение в виде ряда (9), причем коэффициенты разложения имеют вид 2

-J p ( y) sin(2m У) dy = Pm

h

-J u *(y)sin(2my)dy = u m , m=1, 2,.

(1О)

и начальным

приближением р(0)(у) = ^(^ у) ,

достижения погрешности менее 1 % понадобилось

всего 2 итерации. В задаче с нагрузкой

* п п

р (у) = 281и(3—у) + 381и(5—у) и начальным прибли-

k := 1О,995б для

жением р(0)(у) = у), к := 8,6394 для достижения погрешности менее 1 % понадобилось также 2 итерации.

Численный эксперимент для метода

А. Н. Тихонова

В этом методе [11] исходная задача (4) сводилась к интегральному уравнению Фредгольма первого рода с гладким ядром и для построения его решения использован метод А. Н. Тихонова [7].

Осуществим сведение краевой задачи (5)-(6) к интегральному уравнению Фредгольма с гладким ядром. С этой целью решается смешанная краевая задача вида

д И|

ДU + k U = 0 в Q .

U\y=° = 0,

ду

y=h

=О,

И х=-1 = / (У), дИ\х=1 = Р *(У). Ее решение имеет вид (10), где

-J f ( y)sin(2my)dy = fm

-J P m ( У) sin(2m У) dy = P*m . m=1, 2..

Am =

1--------1) (P*mch(Mml) - Mmfm ЛКMml))

Ат = -итік(Мт1) + —ск(Мт1) ,

Мт

*

Вт = и *тск(Мт1) -~^Мт^.

Мт

Заметим попутно, что задача типа (5), (6) разрешима при любых к в отличие от классических краевых задач. Однако, анализируя в этом ряде асимптотику коэффициентов Ат и Вт, приходим к тому, что он сходится далеко не для любых исходных данных р *(у), и *(у) є Ь2[0, к], что является следствием некорректности задачи [4]. Особенно выпукло это проявляется, если исходные данные заданы приближенно.

Итерационный метод был применен для задач с различными видами нагрузок. При проведении серии расчетов принято 1=1, к=1. В задаче с нагрузкой

р*(у) = ЄІП(П у) + 5ІП(3 П у) + 5ІП(5 П у)

-тск(2-т1)

Бт =-----Г1------- (Р*тяк(Мт1) +-т/т ск(-т1)) .

-тск(2-т1)

Удовлетворяя граничному условию при х=1 для определения /- (^), получаем интегральное уравнение первого рода с гладким ядром:

К/~= 1 /- (#)к(#, у)й^ = /(у), у е [0, к]

где k (i, у) = f S (^

h n=i ch(2—nl)

(11)

/ (у) = и ‘(у) - к £ к

к п=10 —п

Отметим, что вследствие экспоненциального убывания элементов ряда (11) в силу теоремы Вейершт-расса ряд сходится равномерно и ядро представляет собой непрерывную функцию.

Для метода, использующего регуляризацию А. Н. Тихонова, получено достаточно хорошее приближение к точному решению для широкого диапазона изменения волнового числа к (погрешность решения обратной задачи не превышает 1 %). В частности, при проведении численного эксперимента использовались следующие наборы входных параметров:

1) к := 8,6394, р* = 5ш(Пу), а = 10~7.

2) k := S,6394 , p = (1 - у)* у , а= 10

7

Анализ областей сходимости итерационного метода

Итерационный метод позволяет находить решение данной задачи с любой наперед заданной точностью, однако он обладает следующими особенностями. Каждый из вариантов альтернирующей итерационной процедуры сходится далеко не для любых значений волнового числа к. С большой уверенностью можно сказать, что это вызвано наличием резонансных частот для решений вспомогательных задач, и для конкретной геометрии область сходимости для обоих вариантов носит периодический характер.

На рисунке изображена зависимость числа итераций в альтернирующем методе от волнового числа к

для р* = ^п(~ у), где решение получено с погрешностью менее 2 %.

О 2 4 6 8 10 X

Заметим, что в окрестности некоторых частот (как правило, это частоты, расположенные между резонансными частотами вспомогательных задач) требуется достаточно большое число итераций N>50, что свидетельствует о неэффективности метода или его практической расходимости.

Заключение

В отличие от задачи Коши для уравнения Лапласа, для которой доказана сходимость предложенного итерационного процесса [8], в обратной граничной задаче для уравнения Гельмгольца имеются области, в которых метод либо не сходится, либо число итераций слишком велико, что для более сложных задач

Ростовский государственный университет_____________

приведет к большому накоплению погрешности. В этой ситуации целесообразно использовать метод сведения обратной задачи к интегральному уравнению Фредгольма первого рода и далее решать его методом А. Н. Тихонова.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы НШ-2113.2003.1.

Литература

1. Бобровницкий Ю.И. // Акустический журн. 1994. Т. 40. Вып. 3. С. 367-376.

2. Pabst U., Hagedorn P. // J. Sound and Vibr. 1995. Vol. 182. № 4. P. 567-575.

3. Ватульян А.О., Драгилев В.М., Драгилева Л.Л. // Акустический журн. 2001. Т. 47. № 6. С. 829-834.

4. Ландис Е. М. // УМН. 1963. Т. 18. № 1. С. 3-62.

5. Ватульян А.О. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2000. № 3. С. 34-37.

6. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректно поставленные задачи. Новосибирск, 1999.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.

8. Козлов В.А., Мазья В.Г., Фомин А.В. // Журн. выч. мат. и мат. физики. 1991. Т 31. № 1. С. 64-74.

9. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. // ПММ. 2000. Т. 64. № 3. С. 373-380.

10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения мат. физики. М., 1977.

11. Ватульян А.О., Садчиков Е.В. // Акустический журн. 1998. Т. 44. № 3. С. 326-330.

12 января 2004 г.