CC BY
51
К ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕОДНОРОДНЫХ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ*
А. О. Ватульян1, Р. Д. Недин2
1. Южный федеральный университет (Ростов-на-Дону), д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
2. Южный федеральный университет (Ростов-на-Дону), студент, [email protected]
1. Введение
Предварительными называют напряжения, существующие в теле при отсутствии внешних воздействий. Такие напряжения создаются в твердых телах в процессе сварки, закалки, термообработки, других технологических операциях [1, 3-5, 12]. Наиболее часто при оценке таких напряжений используется модель однородного предварительного напряженного состояния, причем при оценке его уровня достаточно измерения скоростей упругих волн. В то же время весьма часто предварительное напряженное состояние неоднородно и сильно зависит от координат, особенно в окрестности концентраторов. Возможность идентифицировать неоднородное предварительное напряженное состояние может быть использована в весьма востребованных технологиях неразрушающего контроля в строительстве, машиностроении, нефтегазовой отрасли, биомеханике, при моделировании сложных композитов и функционально градиентных материалов, медицинской диагностике.
Одним же из наиболее эффективных неразрушающих методов оценки неоднородного предварительного напряженного состояния является акустический метод, с помощью которого в настоящей работе проведено теоретическое исследование возможности определения неоднородных предварительных напряжений. Решение задачи восстановления неоднородного предварительного напряженного состояния даже в рамках линеаризованной модели может быть осуществлено лишь на основе решения коэффициентной обратной задачи теории упругости, которая представляет собой нелинейную некорректную проблему. При этом необходимо решать задачи теории упругости с переменными характеристиками, что возможно лишь с использованием современных вычислительных технологий, в частности, конечноэлементных [8]. Основная трудность при исследовании проблем идентификации состоит в сложной процедуре построения операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции. Это обусловлено переменностью коэффициентов дифференциальных операторов и невозможностью построения в явном виде общих представлений решений для соответствующих задач теории упругости. В этом случае для решения прямых задач используется либо аппарат интегральных уравнений Фредгольма второго рода — для стержней и пластин, либо метод конечных элементов [9].
В настоящей работе описана постановка прямой задачи об установившихся колебаниях упругого изотропного тела, находящегося в условиях неоднородного предва-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00194-а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы (госконтракт П596) и Южного математического института г. Владикавказ.
© А. О. Ватульян, Р. Д. Недин, 2011
рительного напряженного состояния. Представлена слабая постановка прямой задачи, причем на основе метода линеаризации обратная задача сведена к последовательности задач [6]. На каждом шаге решается прямая задача и интегральное уравнение Фредгольма первого рода с непрерывным ядром относительно поправок к неизвестным функциям предварительных напряжений с помощью метода регуляризации А. Н. Тихонова [15].
Расчеты при решении модельных задач проведены с помощью метода конечных элементов в свободно распространяемом пакете ЕгееЕешН—Н [2, 13]; проведен ряд вычислительных экспериментов по восстановлению одноосного неоднородного предварительно напряженного состояния в прямоугольной области при различных способах приложения нагрузки, представлены рекомендации о наиболее предпочтительных частотных диапазонах.
2. Общая постановка прямой задачи для предварительно напряженного тела
Рассмотрим в плоской постановке установившиеся колебания произвольного тела, занимающего область П, с границей I = 1и и 1а. Часть границы 1и жестко защемлена, а на части 1а приложена нагрузка, осциллирующая с частотой ш. Материал тела неоднородный, причем Л = Л(х1,Х2), ц = ^(х1,х2) —коэффициенты Ламе и р = р(х 1,х2) — плотность являются гладкими положительными функциями координат. Будем также считать, что тело находится в условиях неоднородного предварительного напряженного состояния. Тогда линеаризованная постановка задачи об установившихся колебаниях примет вид краевой задачи (1)-(4)
+ рш2м* =0, (1)
+ иг,т^т3, (2)
М*|г„ = 0, (3)
п3 11а = р, (4)
где щ — компоненты вектора перемещений, Т3 — компоненты несимметричного тензора Пиолы [12], —компоненты симметричного тензора предварительных напряжений, а
для <г^ выполняется линейный закон Гука [14]
^ ¿3 — А ^¿3мк,к + , (5)
где ец — компоненты линейного тензора деформаций, А* = л2_^ (далее звездочку будем опускать) [15]. Будем считать, что поле предварительных напряжений самоуравнове-шено, т. е. выполнены уравнения равновесия стЗ = 0. Отметим, что для достаточно произвольных законов изменения предварительного напряженного состояния решение представленной задачи может быть получено лишь численно на основе некоторой дискретизации задачи.
3. Слабая постановка
Решение прямой задачи (1)-(4) реализовано с помощью метода конечных элементов в пакете ЕгееЕешН—Н, причем решение задачи осуществляется на основе слабой постановки. Выведем слабую постановку задачи (1)-(4) [13]. Рассмотрим пробные функции VI, удовлетворяющие тем же главным условиям, что и функции смещения Щ, т. е. VI |г .
Домножим (1) на vi и проинтегрируем по области П. Преобразуя интегралы по формуле Грина, получим слабую постановку задачи (1)—(4) аналогично [9]:
Для анализа точности получаемого с помощью ЕгееЕешН—Н решения задачи (1)—(4) было проведено сравнение этого решения для вытянутой прямоугольной области (соотношение сторон прямоугольника — менее 1/5) с однородными характеристиками (параметрами материала, плотностью, компонентами тензора предварительных напряжений) с аналитическим решением аналогичной задачи об изгибных колебаниях предварительно напряженного консольного стержня прямоугольного сечения [16].
Сравнительный анализ решения задачи показал, что для частот, находящихся ниже второго резонанса, относительная погрешность в узлах численного решения «2(хі, 0) по сравнению с аналитическим решением -ім^і) составляет менее 0.15% при сетке разбиения 100x20, что свидетельствует о достаточно хорошей схеме дискретизации и позволяет в дальнейшем использовать пакет ЕгееЕешН—Н для решения более сложных задач.
Было проведено исследование влияния величины предварительных напряжений <г0і на амплитудно-частотные характеристики в выбранной точке области для частот до второго резонанса; выявлено, что расхождение в амплитудно-частотных характеристиках вполне достаточно для использования этих данных для процедуры реконструкции предварительных напряжений; расхождение наиболее значительно при приближении к резонансным частотам [11].
4. Постановка обратной задачи
о восстановлении неоднородных предварительных напряжений в теле и формулировка итерационного процесса
Рассмотрим обратную задачу для тела, занимающего область П, с теми же характеристиками, что и в п. 2, с неоднородными предварительными напряжениями. Сформулируем задачу о восстановлении функций <г0-(хі,Х2),считая, что известны физические характеристики материала, нагрузка и дополнительная информация о поле смещений = fi, ш ^ [^-,^+].
Из слабой постановки легко получается выведенное ранее иным способом соотношение взаимности [7]
гг,«) — В (у) = 0,
(6)
где
А(д_°,и,у) = j (\uijVjj + 2це^(ик)е^(ук) + - рш2щу^П, (7)
п
'і,т® т3 ^і,3
— А{д^^2\уР'\уР^) = В('//-2'1) — В(м(-1-)),
(9)
которое с учетом (7)—(8) примет вид
Используя метод линеаризации в окрестности известного состояния, и считая, что
0(2) 0(1) . г ° (2) (1) , г
аг3' = аг^ + °а0з , и, ■ = Щ, ■ + 041 , ] получим
/
/
(11)
Окончательно получим равенство
У {^1 (ий) + (и2д)
2
+ 20ст°2
2
+
+0а°2 (и
(4!2) + (4!2) |^
/
Рг(и(1) - !г)3,1а
(12)
которое может служить для определения поправок для компонент тензора предварительных напряжений. После нахождения поправок находится следующая итерация и итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обеспечено достаточно точное выполнение дополнительного граничного условия.
В качестве модельного примера, демонстрирующего работоспособность предложенной схемы, рассмотрена одномерная обратная задача для прямоугольной области П = [0,/] х [—-|] с неоднородным предварительным напряжением а®1(х2). Пусть граница состоит из двух частей: 1и = {жх = 0, \х2 | < } и 1а = 1\ и и /3, где
1\ = {О < х\ < 1,Х2 = §}, ¿2 = {х\ = I, |х21 < -|}, /3 = {О < х\ < 1,х2 = — |}. В случае одноосного предварительно напряженного состояния уравнение (12) примет вид
Сформулированная обратная задача является некорректной, и построение решения требует регуляризации в той или иной форме [8-10]. Уравнение (13) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно поправок функции одноосных предварительных напряжений 0<т°1 (^2). Таким образом, построено линеаризованное операторное соотношение, связывающее искомые поправки компоненты предварительных напряжений и заданные функции поля граничных перемещений. Отметим, что решение представленного интегрального уравнения Фредгольма первого рода является некорректной задачей. Для отыскания его решения был использован метод регуляризации А. Н. Тихонова с автоматическим выбором шага [15].
5. Численные эксперименты по идентификации предварительного напряженного состояния
Была проведена серия вычислительных экспериментов по восстановлению закона изменения одноосных предварительных напряжений в рамках шести модельных задач, отличающихся видом нагружения на границах прямоугольника: 1) ^2^ = 0, Р1 |г1 = 0, ¡2 и ¡3 свободна от напряжений; 2) Р21г1 = 0, Р1 |г1 =0, ¡2 и ¡3 свободна от напряжений; 3) Р1112 = 0, Р2112 =0, ¡1 и ¡3 свободна от напряжений; 4) Р1|l2 = 0, Р2|;2 =0, ¡1 и ¡3 свободна от напряжений; 5) Р21¿1 = 0, Р1 |г1 =0, ¡2 и ¡3 свободна от напряжений; 6) Р11;2 = 0, Р21^2 =0, ¡1 и ¡3 свободна от напряжений.
10ст°1 (и1д) + (и2д) ¿П= I
Р*(иг(1) - и)Ма
(13)
1а
Эксперименты проводились для разных соотношений геометрических размеров области— были рассмотрены вытянутые области (К = у < ^—фактически, расчеты проводились в рамках балочной теории) и области с соотношением К = у > Как оказалось, для последних областей восстановление было точнее. В качестве неизвестных зависимостей а0 1 (^2) были выбраны 5 непрерывных функций: 1) а0 1 (х2) = 25еао7ж2 + 100; 2) а°п(х2) = -10е0 09ж2 - 100; 3) сг°п(х2) = -800(зш ^ - 1.2); 4) а°п(х2) = —508т(0.08ж2)е°'07ж2; 5) а<11(х2) = —400(8т^т|р — 1.2). При этом частоты колебаний ш прикладываемой нагрузки выбирались из первых двух частотных диапазонов амплитудно-частотной характеристики, т. е. до первой резонансной частоты и между первой и второй резонансными частотами. Во всех экспериментах уровни предварительных напряжений ст^жг) выбирались так, чтобы отношение тах ^ (Е— модуль Юнга материала) изменялось в диапазоне 10-5 ^ 10-3. В качестве начального приближения обычно выбиралась линейная функция, коэффициенты которой находились стандартным образом — путем минимизации функционала невязки.
В большинстве вычислительных экспериментов имело место ухудшение качества восстановления неизвестной функции ст^жг) на концах отрезка х2 £ [— , -|]. В некоторых примерах погрешность на концах отрезка превышала 40%, тогда как вдали от концов изменялись в пределах 1-10%. Это обстоятельство при решении обратной задачи скорее всего связано с достаточно грубой численной схемой вычисления частных производных от функций смещения иг, входящих в ядро интегрального уравнения (13), основанной на разностной аппроксимации. При этом стоит отметить, что само ядро не стремится к нулю в окрестности концов отрезка х2 £ [—-|]. Был проведен вычислительный эксперимент, в рамках которого значения неизвестной функции а01 (^2) считались заданными на концах отрезка. В этом случае качество восстановления в окрестности концов значительно возрастало. Вместе с тем, однако, для некоторых примеров восстановление на концах проходило достаточно успешно и без априорной информации о величинах предварительных напряжений а01 (^2) на концах отрезка.
Следует отметить, что наименее точные результаты восстановления были получены при рассмотрении третьей и четвертой модельных задач, т. е. когда к боковой границе области прикладывалась либо касательная, либо нормальная нагрузка, что свидетельствует о сильной некорректности такого вида нагружения, что связано с недо-определенностью некоторых вспомогательных задач Коши [6]. Однако, результаты решения шестой задачи оказались достаточно точными. Если же рассматривать только один тип нагружения на части границы (либо касательные, либо нормальные нагрузки), то наилучшие результаты получены при решении второй задачи. При этом оказалось, что для большинства рассмотренных примеров выбор частот из второго частотного диапазона дало гораздо более качественные результаты восстановления, нежели, чем из первого; при этом наиболее характерным это оказалось для типа нагружения, соответствующего первой задаче. Отметим, что в отличие от остальных модельных задач, в пятой задаче второй частотный диапазон уже не преобладает над первым с точки зрения качества восстановлении; более того, при выборе частот из второго диапазона требуется намного больше итераций для построения решения, чем на первом.
На рис. 1 (а-г) представлены результаты восстановления закона изменения одноосных предварительных напряжений а01(х2) в рамках второй модельной задачи на втором частотном диапазоне в области с соотношением размеров K = 0.5 и со следующими характеристиками: ¡ = 1 м, Н = 0.5 м, E = 1.96 • 1011 Па, V = 0.28, р = 7.8 • 103 кг/м3 (параметры стали). Сплошной линией показан точный закон распределения а^^), пунк-
тиром — первое приближение неизвестной функции ст0!(ж2), квадратиками — результат восстановления.
5. Заключение
На основе представленных постановок об идентификации предварительного напряженного состояния и проведенных вычислительных экспериментов сделан вывод о работоспособности предложенной итерационной схемы решения важного класса обратных задач. Проведен анализ влияния уровня предварительных напряжений на амплитуд-
но-частотные характеристики, выявлено, что наиболее благоприятными с точки зрения идентификации являются диапазоны частот, близкие к резонансам. В рамках идеологии метода Ньютона решения нелинейных задач сформулировано интегральное уравнение Фредгольма первого рода с непрерывным ядром относительно поправок функции предварительных напряжений. Предложена схема восстановления закона изменения предварительных напряжений, основанная на построении итерационного процесса, проведены вычислительные эксперименты по восстановлению гладких законов неоднородности — линейных, полиномиальных, экспоненциальных, тригонометрических при различных способах нагружения. Представлены обоснованные рекомендации по выбору наиболее эффективных способов нагружения.
Литература
1. Deaconu V. Finite Element Modelling of Residual Stress — A Powerful Tool in the Aid of Structural Integrity Assessment of Welded Structures // 5th Int. Conference Structural Integrity of Welded Structures (ISCS2007). Timisora, Romania. 2007. 9 p.
2. Hecht F., Pironneau O., Le Hyaric A., Ohtsuka K. FreeFemH—H. Third Edition. Version 3.5. http://www.freefem.org/ffH—H.
3. Robert L. Robertson. Determining Residual Stress from Boundary. Measurements: A Linearized Approach // Netherlands. Journal of Elasticity. 1998. Vol. 52. P. 63-73.
4. Siddique M. Experimental and finite element investigation of residual stresses and distortions in welded pipe-flange joints // Facuty of Mechanical Engineering, Ghulam Ishaq Khan Institute of Engineering Sciences and Technology. 2005. 249 p.
5. Биргер И. А. Остаточные напряжения. М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1963. 232 с.
6. Ватульян А. О. Итерационные процессы в обратных коэффициентных задачах // Труды XIV международной конференции «Современные проблемы МСС». Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2010. Т. 1. С. 81-85.
7. Ватульян А. О. О вариационной постановке обратных коэффициентных задач для упругих тел // Доклады РАН. 2008. Т. 422. №2. С. 182-184.
8. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физ-матлит, 2007. 223 с.
9. Ватульян А. О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестник Самарского госуниверситета. 2007. Вып. 54. №4. С. 93-103.
10. Ватульян А. О., Дударев В. В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в упругих телах // Изд. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4. Ч. 2. С. 25-32.
11. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д., Саакян Я. Г. О некоторых задачах идентификации предварительных напряжений // Труды XIV международной конференции «Современные проблемы МСС». Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2010. Т. 1. С. 86-90.
12. Гузь А. Н. Упругие волны в сжимаемых материалах с начальными напряжениями и неразрушающий ультразвуковой метод определения двухслойных остаточных напряжений // Прикладная механика. 1994. Т. 30. №1. С. 3-17.
13. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Использование пакета конечных элементов FreeFemH—H для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2008. 256 с.
14. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
15. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
16. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 734 с. Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.
