К расчету времени единичного цикла поверхностного хрупкого термического разрушения горных пород Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Г.А. Янченко, Г.Н. Степанчук, Е.С. Булычева, 2002

УДК 622.94(045)

Г.А. Янченко, Г.Н. Степанчук, Е.С. Булычева

К РАСЧЕТУ ВРЕМЕНИ ЕДИНИЧНОГО ЦИКЛА ПОВЕРХНОСТНОГО ХРУПКОГО ТЕРМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

киз важнейших параметров процесса поверхностного Ъго термического разрушения (далее ПХТР), имеюще-го“место при термическом или электротермическом бурении и расширении шпуров и скважин, проходке горных выработок, поверхностной обработке камня и т.д., является время единичного цикла этого процесса тр, т.е. время от начала нагрева поверхностного слоя породы до момента его разрушения в результате потери устойчивости.

Согласно совместным представлениям о физике процесса ПХТР [1, 2], потеря устойчивости прогретого поверхностного слоя пород происходит при достижении его поверхности температуры:

Т =

Р

2Ку (1 -у) '

РЕ

+Т

0

(1)

где Ку, Е, р, V - условный предел прочности, Па, модуль продольной упругости (модуль Юнга), Па, коэффициенты линейного температурного расширения, К-1, и поперечной упругой деформации (коэффициент Пуассона) породы; Т0 -начальная температура породы, К.

Относительно метода определения величины Ку единого мнения в настоящее время нет: в [1] его предложено определять как Ку к0,8стсж, а в [2] как Ку к ст сж, где СТсж предел прочности породы на одноосное сжатие, Па. Показатели всех входящих в [1] физических свойств породы соответственно должны быть усреднены в диапазоне температур от Тд до Тр, где Тд - температура породы на обратной стороне прогретого поверхностного слоя толщиной Д в момент потери устойчивости, К.

Если в качестве модели разрушаемого массива породы принимается полуограниченное тело, нагреваемое со стороны плоской поверхности (далее случай А), то при использовании в качестве источника нагрева оптического или инфракрасного излечения температурное поле в поверхностном слое породы описывается решением уравнения теплопроводности с граничными условиями 2-го рода [3]. Из этого решения следует, что на плоской поверхности полуогра-ниченного тела, т.е. при ъ = 0, где ось ъ ориентирована перпендикулярно поверхности тела вглубь него, взаимосвязь между температурой нагрева поверхности Т(ъ, т) = Т(0, т) и временем теплового взаимодействия т имеет вид:

Т (0,т) = Т0 + (l,1284qu-Jar)/2,

(2)

где %и - поверхностная плотность результирующего теплового потока излучения, Вт/м2; Я, а - коэффициенты тепло-, Вт/(м-К), и температуропроводности, м2/с, породы, усредненные в диапазоне температур Тд .... Тр.

Учитывая, что в момент потери устойчивости прогретого поверхностного слоя т = тр и Т(0,т) = Тр из (2) следует:

Тр = 0,7854(Тр -То j2/(aqu) (3)

Если в качестве источника нагрева используются высокотемпературные газовые струи, генерируемые реактивными и плазменными термоинструментами, то в этом случае температурное поле в прогреваемом поверхностном слое описывается решением уравнения теплопроводности с граничными условиями 3-ого рода. Для плоской поверхности полуограниченного тела оно имеет вид [3]:

1 - exp(x)erfc(y[x ) = ©(0,т), (4)

где ©(0, т) = [Т(0, т) -Т0]/(Тт -Т0) - безразмерная температура; х = a2ar / 22; Тт , а - усредненные по площади нагрева температура, К, газообразного носителя и коэффициент его теплоотдачи, Вт/(м2-К), нагреваемой плоской поверхности полуограниченного тела;

erfc(jx )= 1 - erf (4х ); erf (4х ) - функция ошибок Гаусса. Соответственно при т = тр ©(0,тр)= ©р = (Тр - Т0)/(Тт -Т0).

Уравнение (4) в явном виде относительно т не решается, т.е. оно является трансцендентным. Оно может быть решено либо графоаналитическим методом с использованных табличных данных функции ошибок Гаусса erf(u), приведенных в соответствующих справочниках, либо с использованием ЭВМ с необходимым программным обеспечением. Для ©р = 0,1...0,5 корни уравнения (4) в затабулированном виде приведенні в работе [1].

В определенной степени расчет тр при использовании (4) может быть упрощен, если функцию erf(u) аппроксимировать более простой функцией. На сегодняшний день предложено несколько таких функций [4, 5, 6]. Их анализ показал, что наиболее точно функция erf(u) аппроксимируется выражением:

erf (u) и 1-exp(-1,26u2)J . (5)

Возникающая в этом случае относительная погрешность е в диапазоне изменения составляет s < 0,525%. Не смотря на то, что при использовании (5) вычисление тр по формуле (4) несколько упрощается, в явном виде выражение (4) относительно тр всё равно не решается.

В то же время не очень сложный вид зависимости ©(0,тр)= f(x) позволяет аппроксимировать ее довольно простой функцией, разрешимой в явном виде относительно т. Выполненный анализ показывает, что с очень большой точностью, корреляционное отношение r и 0,99, функция ©(0, T.p)=f(x) аппроксимируется выражением:

|.5

©(0,т) =

0,014 + 1,008х 0.55

0.55

(6)

0,78 + х

Результаты оценки е расчетов ©(0,т) по формуле (6) для диапазона изменения в(0,т)=0,1.. .0,7 приведены ниже

II ©(0,т) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 ||

II е, % 10,3 3,0 СО 2, со 2, 1,9 3,2 2,8

(

Анализ этих результатов показывает, что наибольшая погрешность в расчетах в(0,т) имеет место при довольно небольших в(0,т), порядка ©(0,т) к 0,1. Учитывая, что современные воздушно-огнеструйные реактивные горелки имеют на забое скважины Тт > 1200 К, а разрушаемые термическим способом породы Т0 и 280 К, получаем, что для выполнения условия ©(0,т) к0,1 породы должны иметь Тр и 370 К и 100 °С. Крепкие же горные породы имеют Тр > 500 К, поэтому є в определении тр при использовании выражения (6) на практике не превысит 3 %, что вполне приемлемо для практических расчетов.

Ограничившись четырьмя знаками после запятой, из (6) получим выражение для расчета тр в следующем виде:

11,8029

тц тп

1+16,

Ro

(9)

V У

то параметры температурного поля в прогреваемых слоях в обоих случаях А и Б будут одинаковыми. В связи с тем, что предложенный в [5] Фц оказался увязанным с текущим временем теплового воздействия 1, он получил название временного коэффициента формы цилиндрической плоскости.

С учетом (9) выражение (2) для расчета Т(Яо,т) преобразуется к виду:

\12&4qu^[a 4г

Т (r о,т) = т о +

ґ

1 +

хр =

(0,7800©р - 0,0143) 1,0081 -© р

\6л[ат

\

(10)

R о

(7)

где х = а аТр /2

Ниже приведены результаты расчётов хР по формулам (7), обозначим как хр(7), и (4), обозначим как хр(4). При расчётах хр(4) были использованы корни уравнения (4), приведённые в [1]

©р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

*К4) 0,0092 0,0420 0,124 0,282 0,592 1,228 2,697 7,014

хр(7) 0,0083 0,043 0,121 0,276 0,58 1,21 2,674 6,945

е, % 9,78 -2,38 2,42 2,13 2,03 1,46 0,85 0,98

Из (10) следует, что при одинаковых т в случаях А и Б, т.е. при тп = тц, Т(К0,т) будет меньше Т(0,т) и следовательно для достижения на поверхности цилиндрической полости Т(К0,т)=Тр необходимо в соответствующее количество раз Кт увеличить т, т.е. Тр,ц = Кт-тр,п, где тр,п и тр,ц - время единичного цикла ПХТР породы при нагреве ее поверхности в случае А и Б, соответственно Кт > 1,0.

Учитывая, что Т(К0,тр) = Тр и сделав соответствующие преобразования (10), получим:

тр 0,7854(гр -Т0)РX2

1 +

Хб^атР

Rn

aqu

Анализ этих результатов показывает, что уже при ©р >

0,2 погрешность є в расчётах хР становится несущественной и практически не превышает 3-х процентов.

В случае термического и электротермического расширения скважин в качестве модели породного массива применяется неограниченное тело нагреваемое через поверхность цилиндрической полости (далее случай Б). В этом случае характер термического поля в первом приближении аналогичен таковому в случае А, но нагрев тела на глубине происходит несколько медленнее, т.к. при радиальном распространения тепла происходит более быстрый рост прогреваемого объема с глубиной, чем это имеет место в случае А.

Аналогичность температурных полей в обоих случаях позволяет при расчете параметров температурного поля в прогреваемом слое в случая Б использовать соответствующие решения уравнения теплопроводности для случая А. Для этого в эти решения необходимо [4, 5] ввести соответствующие коэффициенты формы цилиндрической полости Фц. В работе [4] рекомендуется определять эти коэффициенты, используя только соотношение текущей глубины прогреваемого слоя и радиуса цилиндрической полости R0, а в [5] как:

(11)

Первая часть (11) есть тр в случае А, т.е. тр,п (соответственно при одинаковых а, л, Т0, %и). Учитывая, что тр в случае Б обозначена как тр,ц и обозначив 1,6л/а /R 0 как Д, представим (11) в виде квадратного уравнения:

(^РДДТр,п^

У,п^ тр,ц Тр,п 0,

(12)

)12 = 0,5 Дтр,п ±д/0,25Д2тР,п +тр,п

или

(тр,ц )1,2 = [0,5Дтр,п ±д/0,25ДЧп +тр,п ]' бе части (14) на тр,п получим:

0,5 Д-\] тр,п + Д10,25 Д 2jp,n + 1

Кт =

Р,Ц

Р,п

(13)

(14)

(15)

= 1 + 0,5 Д 2трп + д/ 0,25 Д 4т2рп + Д 2т

р,п •

фц =

(8)

где правые нижние индексы "п" и "ц" у 1 означает соответственно плоскую и цилиндрическую поверхности.

Из (8) следует, что если 1ц определять как

Из (15) следует, что перед квадратным корнем в (13) и (14) должен быть знак плюс. Действительно, при R0 = 0 (переход к плоской поверхности) Д = 0, а Кт =1. Последнее возможно только в том случае, если перед квадратным корнем будет знак плюс.

Анализ (14) и (15) показывает, что тр,ц всегда больше тр,п, однако Кф ^ const. Кф возрастает с ухудшением термо-разрушаемости породы (в этом случае происходит увеличение тр,п). Это же происходит и при уменьшении R0:

2

R0, м 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 0,175 0,2 0,225 0,25

Кф 1,33 1,15 1,1 1,074 1,059 1,049 1,042 1,036 1,032 1,029

Следовательно, при qu = const эффективность расширения скважин оптическим или инфракрасным излучением при уменьшении их начального радиуса расширяемой полости будет снижаться, что аналогично ухудшению термо-буримости разрушаемых пород.

С учетом (9) выражение (4) для расчета T(R0,t) при нагреве полуограниченного тела из цилиндрической полости высокотемпературным газообразным теплоносителем преобразуется к виду:

- - 0.5

1- exp x • erfc x = ©(*0,т) (16)

1 Г 1,6т[аг j + 1 *0 J 1 Г 1,6'у[ат j + 1 *0 J

Если обозначить х /[1 + (\\6л[ат /R0)] = у , то (16)

приобретает такой же вид, как и (4)

1 - ехр(у)-ег/сУу)=&(Я0,т), (17)

которое, как установлено выше, аппроксимируется выражением (6). Следовательно

ур = а2ат /{Л2 [1 + (1,6^аТр /Ro)]} может быть опреде-

лен из выражения (7), в котором в левой части место хр подставляется

Л>:

Ур =

( 0,7800©р - 0,0143Л 1,0081-© р

1,8029

(18)

Раскрывая в левой части (18) и учитывая, что 1,6л/а /R о = D , а правая часть (18) есть

x р = а2атр п /12 , представим (18) в виде:

а2 ат

Г рЦ У 1 + Дт\атр,ц )

а2ат

р,п

12

(19)

При одинаковых в случаях А и Б величинах а, X и а (19) преобразуется к виду аналогичному (12). Следовательно, и при использовании в качестве источника теплового воздействия высокотемпературных газовых струй величины Хр,ц и Кх можно рассчитывать по формулам (14) и (15), в которых величины Тр,п должны определяться при параметрах теплового воздействия, имеющих место в цилиндрической полости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Килль И.Д. Исследование процесса разрушения горных пород под действием высокотемпературных газовых струй при бурении взрывных скважин на карьерах: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - М., 1967.- 22 с.

2. Дмитриев А.П., Гончаров С.А. Термодинамические процессы в горных породах: Учебник для вузов. - М. : Недра, 1990.

- 360 с.

3. Пехович А.И., ЖидкихВ.М. Расчеты теплового режима твердых тел. - Л.: Энергия, 1976. - 352 с.

4. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1959. - 184 с.

5. ВоропаевА.Ф. Тепловое кондиционирование рудничного воздуха в глубоких шахтах. - М.: Недра, 1979. - 192 с.

6. Резников А.Н., Резников Л.А. Тепловые процессы в технологических системах: Учебник для вузов. - М.: Машиностроение, 1990. - 288 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ----------------------------------------------------------------------------------------------

профессор, доктор технических наук, кафедра «Физика горных пород и процессов», Московский госу-

- соискатель кафедры "Физика горных пород и процессов" Московского государственного

- студентка гр. ГФ-1- 97 Московского государственного университета.

Янченко Геннадий Алексеевич -дарственный горный университет. Степанчук Георгий Николаевич университета.

Булычёва Екатерина Сергеевна -