Геометрические методы теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. Н. Ваенский

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассматриваются новые подходы к приемам изображений и суперпозиции, позволяющие значительно расширить возможности метода источников при расчетах нестационарной теплопроводности.

Под геометрическими методами теплопроводности понимаются такие методы расчета температур, которые предусматривают те или иные геометрические построения. В частности, к этим методам относятся широко известные метод изображений и метод суперпозиции.

1. Традиционно при использовании метода изображений искомое ограниченное тело путем построения отраженных источников достраивают до неограниченного тела, т.е. расчет температур в ограниченном теле сводят к более простым расчетам в неограниченном теле. Однако ограниченное тело, например клин, таким же образом, т.е. путем построения отраженных источников, можно достроить до другого ограниченного тела, для которого известно температурное распределение, например, до клина с углом раствора 90 = 2л. Это существенно расширяет возможности метода изображений. Так, например, при переходе к неограниченному телу удается рассчитать температуры в клиньях с углом раствора л/п при адиабатических и изотермических (То = 0) условиях на границах и в клиньях с углом раствора л/2п при смешанных граничных условиях. Здесь п - числа 2, 3, 4, 5 и т.д. При переходе к клину 90 = 2л можно рассчитать температуры в клиньях с углом раствора 90=2л/п при одинаковых условиях на границах и в клиньях 90=л/п при смешанных граничных условиях. Построение отраженных источников при переходе от клина 90=2л/3 к клину 90 = 2л показано на рис. 1. Здесь и далее адиабатические границы условно будем обозначать знаком "+", а изотермические (Т0 = 0) - знаком "-".

Температурное распределение в клине 90=2л с адиабатическими и изотермическими (Т0=0) границами имеет простой и явный вид [1].

2. Вместо изображений источников можно использовать изображения точки поиска, т. е. точки, для которой осуществляется расчет температур. В этом случае искомую температуру получают суперпозицией температур от действительного источника в действительной и отраженных точках поиска. Правила построения последних аналогичны известным правилам построения отраженных источников, причем знаки температур в отраженных точках поиска выбирают так, чтобы при перенесении действительной точки поиска на границу суперпозиция температур в действительной и отраженных точках поиска обеспечивала бы заданные условия на границе

искомого тела. Такой подход получил название метода изображения точки поиска.

Р и с. 1. Построение отраженных Р и с. 2. Переход от полуограниченного тела (а) к

источников при переходе от клина неограниченному методом изображения точки поиска (б)

90=2л/3 к клину с 90=2л и получение температурного распределения полуограни-

ченного тела перегибом неограниченного (в)

Проиллюстрируем метод на простейшем примере. Температура в точке 1 полуограниченного тела с адиабатической границей и нулевой начальной температурой от линейного источника I (рис. 2, а) может быть определена как сумма температур в действительной точке 1 и отраженной точке 2 неограниченного тела с таким же источником (рис.2, б). В случае нулевых условий на границе полуограниченного тела температуру в точке 2 следует взять с обратным знаком.

Физический смысл изображений точки поиска состоит в том, что температурное поле какого-либо тела может быть получено перегибами температурного распределения другого, большего по размерам тела, для которого известно решение температурной задачи, и наложением образованных перегибами частей поля друг на друга с условием соблюдения заданных граничных и начальных условий. При этом действительная и отраженные точки поиска накладываются друг на друга. Простейший пример перегиба показан на рис. 2, в. Таким образом, метод изображения точки поиска и метод перегиба, который иногда применяется в расчетах распространения волн [2], - это однозначные методы, однако первый более удобен в графическом исполнении.

Как известно, метод изображения источников не может быть использован в задачах с источниками заданной температуры, поскольку последние не могут находиться внутри тела [3]. Метод изображения точки поиска не зависит от типа источника и может быть использован в задачах как с заданными тепловыми потоками, так и с заданными температурами.

Рассмотрим решения некоторых задач с источниками заданной температуры методом изображения точки поиска.

Температурное распределение в неограниченной пластине толщиной I с температурой Т0 на поверхности х=0 и нулевой начальной температурой легко может быть получено из температурного поля для полуограниченного тела с такими же граничными и начальными условиями. Для этого достаточно просуммировать температуры в действительной и отраженных точках поиска с учетом знаков, которые определяются условиями на второй границе пластины. При нулевых условиях на второй границе пластины знаки в отраженных точках чередуются (рис.3, а). Таким образом, температура Т в любой точке 1 пластины может быть определена как сумма температур в точках 1, 2, 3 ... для полуограниченного тела:

Т - Т2 + Тз - Т +..........................+ Тп

(1)

Р и с. 3. Построение отраженных точек поиска при переходе от пластины толщиной I к неограниченному телу при изотермической (Т0=0) границе при х=1 (а) и адиабатической (б)

Р и с.4.Изображения точек поиска при переходе к полуограниченному телу от клина 90=р/3 с температурой Т0 на границах и нулевой начальной температурой

Поскольку Тп = Т0 гг/с хп/(2 4сй ),

то

■А 2т1 + х ■А 2т1 - х

X гг/с^гГ г ^гг~

т=0 2 ^ т=1 2

(2)

В случае адиабатических условий на второй границе пластины знаки температур в точках 1, 2, 3. будут чередоваться попарно. Тогда

T6 = To

Z (-І)merfc lml+-X -Z (-І)merfc 2ml-X

m=o 2^^ at п=і 2^ at

(З)

Из того же температурного распределения для полуограниченного тела можно получить решение для неограниченного клина с углом раствора 60 = p/ n, где n = З, S, У и т.д. с начальной температурой, равной нулю, и температурой T0 на границах. Изображения точек поиска для клина 60 = p/З показаны на рис. 4. В общем случае

гг г~(n-)/2 , R sin(2m6 0 +6) (п^і)/2 ,R sin(2m6 0 -6) '

T = T0 У erfc------------ Y erfc----------------------. (4)

ë m=0 2 Vat 2 Vat J

Используя в качестве исходного температурное распределение для клина с углом раствора 60=p/2, получим решения для клиньев с 60=p/2n, где n также равно З, S, У и т.д. В частности, для клина с нулевой начальной температурой и температурой T0 на границах получим (рис. 5,а)

(п-і)/2 '

T = T0 Z

m= 0

_ R sin(2m6 0 +6) R cos(2m6 0 + 6)

і - erf -----------P=°------------------erf - 0

24at

2vat

1 - erf R sin(2m в0 - q) ef R cos(2m qo - q)

24at

24at

(S)

Р и с.5. Изображения точек поиска при переходе к

клину 90=р/2 от клина 90=р/6 с условиями на

границе 9=90, соответствующими температуре Т0 (а) и тепловой изоляции (б)

Р и с.6. Тепловые лучи при контакте полу-раниченных тел с различными начальны-температурами

T = To

Для клиньев с 9 0=р/2п со смешанными граничными условиями, а именно для случая, когда граница 9=90 адиабатическая (рис.5,б), а на второй границе температура равна Т0,, используя соответственно в качестве исходного тела клин 90=р/2 с такими же граничными и начальными условиями, получим

"(П^/2(-1) тгГгсК 51П(т° + в) -(П^/2(-1) тг/с* 51п(2тв ~ в) 1. (6)

т=0 2лП т=1 2лП

Методом изображения точки поиска можно получить также решения для задач с заданной начальной температурой. Например, для неограниченного клина 90=р/п с начальной температурой Т0 и нулевой температурой на границах имеем

"(пхЦ/2 я 81п(2тв0 + в) (пхЦ/2 .Я 81п(2тв0 - в)"

X гг/—2 п - X гг/—2 г- <7>

т= 0 2\ ПТ т=1 2^^ ПТ

3. Большие возможности перед методом источников открывает лучевой метод расчета температур. В его основу положено свойство тепловых потоков (лучей) подчиняться некоторым законам геометрической оптики. От адиабатической границы тепловой луч отражается без изменения знака и коэффициента мощности, от изотермической - с изменением знака на обратный. Угол падения луча равен углу отражения. Для одномерных задач выявлены законы прохождения и отражения лучей для контактных задач, в том числе с граничным тепловым сопротивлением, и законы отражения тепловых лучей от границ третьего рода [4, 5].

T = T0

Рассмотрим контакт двух полуограниченных тел с теплофизическими коэффициентами її, аь и 12, a2. Начальная температура первого тела Т01=Т0 , второго - равна нулю (Т02=0).Процесс теплообмена представим действием тепловых лучей: положительных лучей от контактной границы в тело 2 (рис.6), вызывающих в нем температуру Т2 ,и отрицательных - в тело 1, вызывающих в нем понижение температуры. Тогда температурные распределения в телах 1 и 2 можно представить следующим образом:

" 1а 2 , ..

(8)

Т =

2

Тф

Т = Т 21 20

Тф

/ X /

¡а1ґ

(9)

Л\“2 1 '^'-ч

В случае контакта ограниченных тел следует учесть действие лучей, отраженных от внешних границ, и особенности прохождения отраженных лучей и лучей от источников через границу контакта. Луч, падающий на границу контакта объектов с различными теплофизическими свойствами, делится на два луча: проходящий и отраженный. Мощность проходящего луча следует умножить на коэффициент мощности т12, представляющий собой частное от деления двух коэффициентов тепловой активности первого тела на сумму коэффициентов тепловой активности первого и второго, если луч направлен из тела 1 в тело 2 (рис.7):

21 ,1а2 2е,

- ^ 1 (10)

1У'-12 1 '^'-ч где е1 и е2 - коэффициенты тепловой активности.

При обратном направлении луча коэффициент мощности соответственно равен т21 и определяется соотношением

Р и с. 7. Схема тепловых лучей при контакте полуограниченных тел

Р и с. 8. Ход тепловых лучей при контакте пластины с полуограниченным телом

Это следует из решения контактной задачи для двух полуограниченных тел.

Очевидно, что тепловое действие на границу контакта падающего и отраженного лучей в сумме равно тепловому действию проходящего луча. Отсюда коэффициенты мощности отраженных лучей п = т - 1 имеют следующие выражения:

1 уа2 - 12л[а1 1 л1а2 + Л2л[а2 еі + е2

12Л/ а1

1 у а2 +12 л[а1 е1 + е2

(12)

(13)

Пользуясь изложенным, легко практически сразу записать решения для широкого круга задач подобного рода. Например, при контакте пластины с начальной температурой Т0 с коэф-

П12 =

е2 е1

П21 =

фициентами 11 и а1 и адиабатической границей, с полуограниченным телом с теплофизическими свойствами 12 и а2 и нулевой начальной температурой получим (рис.8)

Т = Т

2 10

— {Ф*

С* '

[а~

х і а2

2д/ а 21

2— I — - —

■(-1)п —— ЕІ -

е Т0

Т = Т А1 А0

{Ф

(-1)п Е! -

— -—

2 я=1 \С1 и-1

ф'

— - — * 2п1 - х

—---- Ф —

— + —2 2д/а1?

Необходимо заметить, что для лучевого метода количество находящихся в контакте тел с различными теплофизическими свойствами и различными температурами, количество источников как заданного потока, так и заданной температуры не имеет значения.

Решая методом преобразования Лапласа контактные задачи для полуограниченных тел с контактным термическим сопротивлением с различного рода источниками, нетрудно установить, что любой луч, падая на границу контакта, образует три луча: один проходящий и два

отраженных (рис.9).

Р и с. 9. Схема тепловых лучей при контакте

го

полуограниченных тел с контактным термическим сопротивлением 1/н

ков

Р и с. 10 Схема тепловых лучей от линейно-

источника в полуограниченном теле (а), в клине р/2 (б) и в клине р/3 (в) от источни-

заданной температуры

Мощность одного отраженного луча равна мощности падающего. Такой луч можно назвать адиабатическим. Мощность второго отраженного луча в теле с теплофизическими коэффициентами 11 и а1 и мощность проходящего в это тело луча из тела с коэффициентами 12 и а2 необходимо умножить на коэффициент Ц21, а мощность второго отраженного луча в теле с коэффициентами 12 и а2 и мощность проходящего в это тело луча из тела с коэффициентами 11 и а1 необходимо умножить на Ц12,

2Ик 2 И

где ц

(16)

12(&1 + КУ 21 1(8 2 + К2) 4р

К =

ш=^=; q2=

л/а1 л

Н (1^1 а2 + 12Л/а1

к=.

; К2 = "

Н (1л/ а2 + 12^а 1

(17)

(18)

а

2

Причем речь здесь идет о выражениях для температур в пространстве изображений по Лапласу.

Пользуясь изложенным и уже известными законами отражения лучей от границ, можно сразу в пространстве изображений записать температурные решения для любых задач рассматриваемого класса.

Так, например, решение для составного тела с нулевой начальной температурой, которое при 0 < х < / имеет теплофизические коэффициенты 1 и а\, а при х > / - коэффициенты 12 и а2 при действии на уровне х = 0 плоского мгновенного источника единичной мощности, контактном термическом сопротивлении 1/И и адиабатических условиях на границе после действия источника будет иметь в области изображений следующий вид:

1 ¥ ¥

Т =-------(X ехр[-41 (2т/ + х1)] + У ехр[-41 (2т/ - х1)] +

а141 т= 0 т=1

¥ 2 И ¥

+ У[—-------гг]" (п -!)” У (т - п + 1)ерх[-41 (2т1 - х)] +

п=1 — (41 + П1 ) т=п

¥ тг ¥

+ У --------ГГ]п (-!)п У (т - п + 1)ерх[-41 (2т/ + х^}, (19)

п=1 1 (41 + ¿1) т= п

- 2И к ^

Т2 = —------—-------------------((У ехр(-42[(2т-1)к/ + х2 -/]} +

12 (42 + П2) а242 т=1

¥ ^ ТТ ¥

+ У [,,/ , / (-1)п У (т - п)ехр(-42 [2т -1) к/ + х2 - /]}}}. (20)

п=1 —к (42 + ¿2) т= п+1

Переход к оригиналу представляет известные трудности, однако часто с достаточной для практики точностью, особенно при небольших значениях можно ограничиться табличными значениями оригиналов. В частности, для Т1 получим:

1 ^ (2т/ + х1)2 2И 2 * 2т/ + х1 ,—

Т » I------(Уерх[ ----------— ----]-Ут — ехр[^(2т/ + х1) + а^г^ф [ ,— + А^а1?]-

д/ра1? т=0 4а1? т=1 11 2^а^

2И 2 * 2т/ - х ,-

- Ут-—ерх[к1(2т/ - х1) + аД ]Ф [------------^=- + й^а/]} .

т=1 11 2д/ а1?

(21)

При аналогичном исследовании поведения тепловых потоков (лучей) на границе третьего рода установлено, что каждое п-ное отражение, например, луча типа

1 (х - х)2

^/50Герх[ - ^0^]

т.е. теплового потока, вызывающего в неограниченном теле такую температуру, приводит к образованию отраженных адиабатического луча и луча, который в пространстве изображений по Лапласу отличается от падающего на границу только коэффициентом мощности и определяется выражением

2 п-1 ьп

(-1) 04^+А)п ехр[ - 4( х + х)]’

или изотермического луча и луча типа

2п-1 кп-1 ,

— — ехр[-4(х + х )],

а (4 + п)

где п - номер отражения от границ третьего рода.

Лучевой метод в определенных условиях, а именно в тех случаях, для которых применим метод изображений источников или точки поиска, может быть использован для решения двумерных и трехмерных задач. На рис. 10 показаны схемы лучей в полуограниченном теле и в клине л/2 от линейного источника и в клине л/3 от источников заданной температуры.

Казалось бы простая задача определения температурного распределения в клине л/2 с температурой Т0 на одной границе и температурой, равной нулю, - на другой изложенными мето-

дами не разрешима. В [1] есть решение с применением функций Бесселя, которое трудно осуществить даже с использованием мощных быстродействующих ЭВМ.

Оказалось, что эта задача и другие ей подобные легко решаются с помощью лучей, которые были названы косыми лучами. Схема решения показана на рис. 11, а соответствующая формула имеет вид

Т = Т0 [erfc L - cosa-erfc L ], (22)

2v at V 2at

где Li - длина прямого луча 1, а L2 - длина косого отраженного луча 2.

Решение удовлетворяет уравнению теплопроводности, граничным и начальным условиям. Тем не менее была проведена проверка метода численными расчетами. Для этого было использовано известное температурное распределение в клине л/3 с нулевой начальной температурой и температурой Т0 на границах. Оказалось, что отраженный луч 3 (рис.12) может быть заменен на два косых луча 4 и 5.

Р и с. 11. Прямой луч 1 и Р и с. 12. Схема косых лучей в клине р/3 (а) (показан

косой луч 2 в клине р/2 пунктиром) и в развертке клина в полуограниченное

тело по методу изображения точки поиска (б)

Наложив друг на друга температурные распределения, как это показано на рис. 13, получим решение для клина р/2 с нулевой начальной температурой и температурой Т0 на границах.

Р и с. 13. Суперпозиция температурных распределений клиньев p/2

Р и с. 14. Граничная суперпозиция двух полуограниченных тел

4. Определенный интерес представляет прием, получивший название метода граничной суперпозиции. При наложении температурных распределений одинаковых по форме тел, по расположению и мощности источников на участке, где на адиабатическую границу накладывается граница с нулевой температурой, границы тела на этом участке исчезают, а тело должно быть достроено симметрично исчезнувшей границе. Причем в первой части тела температурное распределение равно полусумме температурных распределений накладываемых тел, а в достроенной - полуразности. Действительно, если наложить температурные распределения полуограни-ченных тел с адиабатической границей и границей с нулевой температурой, получим температурное распределение неограниченного тела (рис. 14). Правильность полученного решения легко проверяется методом перегиба.

На рис. 15 показаны некоторые примеры граничной суперпозиции.

Р и с. 15. Граничная суперпозиция клиньев с углом Р и с. 16. Клинья с углом раствора p/n, где

раствора p (а) и p/2 (б) n = 3. 5. 7 и т.д., для которых могут быть

получены решения для полуограничен-

ного

тела по рис.15

Показанные на рис. 15 температурные распределения в клиньях с углом раствора p легко могут быть получены из известного решения для клина 2p.

Из температурного поля полуограниченного тела по рис. 15, б, например методом изображений точки поиска, могут быть получены решения для клиньев, показанных на рис.16.

Г раничная суперпозиция температурных распределений тел с двумя или более границами с различными условиями представляет интерес при решении тепловых задач для оболочек (рис. 17).

0,5

+ 0,5

б

Р и с. 17. Решение тепловых задач для конической (а) и цилиндрической (б) оболочек

5. Отметим еще один прием суперпозиции, получивший название метода перелистывания. Представим полуограниченное тело с нулевой начальной температурой и нулевой температурой на границе в трехлистном исполнении, как это показано на рис. 18а. Температура на листах 2 и

г. _т. -Ті -Т» -Т.___________________________ -ТЬ -Те -т> -т. ^т„

3 определяется лучами 1 и 2. На листе 1 действуют такие же лучи, но с обратными знаками.

Р и с. 18. Пример суперпозиции перелистыванием Перекинем температурное распределение листа 2 направо, а температурное распределение листа 3 - налево (рис. 18, б). Сложив температурные распределения и поделив на 2, получим решение для тела, показанного на рис. 18, в. Температура в точке А определяется действием лучей 1 и 2, а в точке Б - лучей 3, 4 и 5:

ТА = 0,5Т0 cos а • ег/е ^ - 0,5Т0 cos Ь • ег/е ; (23)

2ы а 24 а

ТБ = Т0ег/е ^5 -0,5T0cosg• ег/е -0,5T0cosd• ег/е—■?=. (24)

2ы а 2ы а 2л/ а

Таким образом, изложенные геометрические методы расчета температур позволяют сравнительно простыми приемами находить температурные распределения для широкого класса задач, в том числе для таких, решение которых известными методами связано со значительными математическими трудностями даже с использованием современных электронных вычислительных машин.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 412с.

2.ХаркевичА.А. Неустановившиеся волновые явления. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 160с.

3.ПеховичА.И., ЖидкихВ.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия, 1968. С.44-51.

4.Ваенский В.Н. Применение лучевого метода к контактным задачам теплопроводности и к задачам для составных объектов // Теплофизика и оптимизация тепловых процессов: Сб. науч. тр. Куйбыш. Авиац. ин-т, 1978. С.13-18.

5.Ваенский В.Н. Применение лучевого метода к тепловым задачам для составных тел с контактным термическим сопротивлением // Физика и химия обработки материалов. 1984. №1. С.36-42.

124