Метод неразрушающего контроля теплопроводности теплоизоляционных материалов на основе интегральной формы уравнения Фурье Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.2:536.083

МЕТОД НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ ФУРЬЕ

И.В. Ковалева1, И.В. Кораблев1, Ю.И. Азима2

Кафедра «МАСК», Московский государственный университет инженерной экологии, г. Москва (1); кафедра «Метрология и системы качества»,

Новомосковский институт РХТУ им. Д.И. Менделеева (2)

Представлена членом редколлегии профессором С.В. Мищенко и членом редколлегии спецвыпуска профессором С.В. Пономаревым

Ключевые слова и фразы: интегральное уравнение Фурье; неразрушающий контроль свойств; теплоизоляционные материалы; теплоизмерительная ячейка.

Аннотация: Рассмотрены теоретические основы метода измерения теплопроводности теплоизоляционных материалов. Описана конструкция теплоизмерительной ячейки. Представлены результаты исследований.

Обозначения

А, В - градуировочные коэффициенты теплоизмерительной ячейки; а - температуропроводность, м2/с;

С - объемная теплоемкость объекта Дж/(м3-К);

d - характеристический размер, м;

ДЕ(т), ДЕтеп(т) - термоэдс дифференциальных термопар;

Бо = а т/г2 - число Фурье; к - толщина датчика теплового потока, м; д(т) - плотность теплового потока, Вт/м2; Q(т) - количество теплоты, Дж, или тепловой поток, Вт;

Q ( гу , х) - количество теплоты, прошедшее через единицу площади боковой поверхности сферы радиуса г1 за время т, Дж/м2;

Q (г, х) - количество теплоты, поступившее в образец от элементарного точечного источника за время т, Дж/м2;

г =(х— X)2 + (у-6)2 - расстояние от

точки с координатами (X; 6) до точки с координатами (х; у), м;

Я, Ь - длина и ширина прямоугольного источника тепла, м;

Я - радиус круглого источника тепла, м;

Ян - сопротивление нагревателя, Ом; г, х, у, г, ^, 0 - координаты, м;

S - площадь источника тепла, м2;

5 - чувствительность термопары; і(х, у, х), і(г, х), Т(х, у, х), Т(г, х) - температура как функция координат и времени, К; Ту(т), Т2(т) - температуры в точках с координатами (ху,у{) и (х2,^у2), К;

Дг (х, у, х)- приращение температуры относительно начальной, К; ин - напряжение нагревателя, В;

V, ю - весовые коэффициенты; а - время первого нагрева, с; у - время измерения при однократном нагреве, с;

т0, ту - моменты времени, с;

X - теплопроводность объекта, Вт/(м К);

Х^еп - теплопроводность датчика теплового потока, Вт/( мК); т - время, с;

е, у - координаты точки в полярной системе, м, рад;

ф - коэффициент, определяющий порог остывания образца.

В настоящее время в теплоэнергетике, космической технике, авиастроении, строительстве и других областях широкое применение находят различные теплоизоляционные материалы. Создается и производится все большее количество подобных материалов, вместе с этим увеличивается потребность в эффективных средствах измерения их теплофизических характеристик, в частности теплопроводности.

Существующие методы измерения теплопроводности делятся на стационарные и нестационарные. Стационарные методы при достаточно простой теории и высокой точности требуют значительного времени на проведение измерительного эксперимента. В нестационарных методах для определения теплопроводности применяют аналитические выражения, описывающие закономерно изменяющиеся во времени температурные поля. Это приводит к громоздким расчетным формулам, полученным из решения краевой задачи теплопроводности, а при их упрощении неизбежно возрастает отклонение модели от реального объекта, что приводит к увеличению методической погрешности. Кроме того, возникают трудности при реализации граничных условий, обусловленных теорией метода. Одним из путей решения данной проблемы является выбор модели с минимальным количеством условий проведения теплофизического эксперимента и простой технической реализацией. К таким моделям относится интегральная форма уравнения Фурье, полученная интегро-интерполяционным методом [4]. Применим данную модель для разработки метода измерения теплопроводности низкотеплопроводных материалов.

Объект исследования в виде полубесконечного тела подвергается тепловому воздействию от плоского, распределенного прямоугольного источника произвольной формы площадью Х В частности предлагается использовать источники прямоугольной (рис. 1) и круглой (рис. 2) формы. Источник имеет равномерную плотность теплового потока

Ч (X, 0, т) = Ч(т) , (1)

где X е [0; Л], 0 е [0; Ь] - для прямоугольного источника; X е [-Л; Л], 0 е [-Л; Л] -для круглого источника.

'rZ

Рис. 1

Измеряется количество теплоты, поступившее в образец от нагревателя за время т:

х х

| Л X Ц д (X, 0, х) Л ХЛ 0 = | £д (х) Л х = Q (х)

о ^ о

(2)

и температура в точках с координатами (хь уО и (Х2, у>):

/(х = хьу = у1, г = 0) = 7\(т);

(3)

/(х = х2, у = у2, г = 0) = Т2(т).

Причем точка XI выбирается таким образом, что - Я ® 0 , то есть с достаточной степенью точности можно считать, что точки X! и Я совпадают. Требуется определить теплопроводность.

Воспользуемся принципом суперпозиции температурных полей от элементарных точечных источников, составляющих распределенный по площади £ источник тепла постоянной плотности.

Будем считать, что в плоскости г = 0 действует элементарный точечный источник тепла с координатами (х = X, у = 9), выделяющий на единицу площади количество тепла Q. В таком случае создаваемое элементарным точечным источником температурное поле в исследуемом объекте описывается уравнением:

А.А | г 2 А | = с А.

г2 Эг| Эг) Эх

Проинтегрируем уравнение (4):

1) по координате г от г^-0 до г и по времени от 0 до т

г2 Q (г , х) = г2 Q ( , х) - С [А Г г2/(г, х) ЛгЛ х : 2 Эх

(4)

4 pr

Эх ■

о о

(5)

2) по координате г от г1 до г (г е [г1; г2]), по координате г от г1 до г2 и по времени от 0 до т:

г\ Q (П, х) I — - — I = 1 [ [ / (г1, х) - / (гг, х)] Л х + С [ [ г 2 / (г, х) Лг . (6)

1г1 г21 0 п 2 г

Подставим (5) в (6), а полученное выражение проинтегрируем: по X от 0 до Я и по 9 от 0 до Ь для прямоугольного источника; по е от 0 до Я и по у от 0 до 2п для круглого источника. В результате получим

Г2 Л z

dz г 2,

Qr = Ql + Q1C + Q2C

х

где Qr - dQ(х); Qi=1 j[^(х) - 72 (х)]dх ;

(7)

0

для прямоугольного источника

ЬЯ

Q1c - с Jjf — - —Ijr2t(r,х)dr dXd0 ;

0 0 v ri r2 J о

х

LRr2

Q2C = С Ііі 4 і л ( r. t) "Xàq ; à = - ±] dx dq ;

r1 0 0 v 12 '

r =V(x-X)1 + (y-0)2. i = 1. 2;

для круглого источника

p r ( 1 1 Vr 2

QlC = С і i|-|i r t ( r. t ) àrà e à y ;

0 0 v ri r2 ' 0

2PRr2 і z 2pR ( . .

Q2C = С • iii ii r2'(r. t)drd edy ; d=— ii( 7 - r

4

dedy ;

ri = J xi2 - 2 ex cos y+e2

i = 1. 2.

Проверка правильности выполненных преобразований проводилась на модели полуограниченного тела при действии плоского распределенного источника тепла постоянной мощности площадью S. Для этого использовалось решение задачи распределения температуры в полуограниченной однородной среде, вызванного действием точечного источника тепла постоянной мощности, имеющего координаты (X; 0) [5]:

T(r, 0) = T0 = const,

At ( r. t ) = T ( r. t ) - T0 =

Q

erfc

1

4 plr 2^F

(8)

где erfc

24F

= 1 - erf

24K'

В качестве исходных данных были приняты следующие значения: для прямоугольного источника а = 10-7 м2/с, X = 0,1 Вт/(м-К), х1 = 10-3 м, х2 = 3 -10-3 м, Я = 0,99х1, Ь = 2-10-3 м, у1 = у2 = 0,5Ь; для круглого источника а = 10-7 м2/с, X = = 0,1 Вт/(м-К), х1 = 10-3 м, х2 = 3-10-3 м, Я = 0,99х1, у1 = у2 = 0. Результаты расчетов представлены на рис. 3. График иллюстрирует равенство левой и правой частей уравнения (7) в любые моменты времени на исследуемом интервале.

время, с

Рис. 3

1

1

Для практического использования уравнения (7) заменим два интеграла QIC и Q'lC приближенными формулами. Для прямоугольного источника получим:

LR

Я

0 0

У(xi -x)2 +(y -0)2

x1 -X)2 + (yi -0)2 V(x2 -X)2 + (y2 -q)2

r2t( r, t) drd X d 0 =

LR

V( x2 -X)2 +( У2 -0 )2

ii J

00

V( xi-x )

dz

_2

(X >У >^

i=i

(9)

X î [0;R] ; y î [0;L] ;

z m

J r2t(r,t)drdXd0 » ^Vjt(Xj ,yy-,t),

2 +( yi -0 )2

V( xi-X )2 +( yi-0 )2

x, e[xi; x2 ] ; y, ebi;y2 ] ■

j=i

(i0)

Для круглого источника аналогично.

Общий подход построения приближенных формул (9), (10) основан на представлении подынтегральной функции в виде многочлена некоторой степени, определяемой количеством точек, в которых известны значения данной функции [3]. Для измерительной задачи с известными значениями функции /(х, у, т) на границах плоскости источника и в точках с координатами (х1, у1) и (х2, у2) формула (9) будет точна для многочлена нулевой степени, а формула (10) - для многочлена первой степени.

С учетом приближенных формул (9), (10) и известных величин (2) , (3) уравнение (7) принимает вид

У

¿а(У) = 1 $[Т (т)-Т2 (т)]dт + С[(Р0Т1 (У) + Р1Т2 (у))-(Р0Т1 (0) + Р1Т2 (0))], (11)

где Р0 =w0 + V0; Pi = Vi;

, LR

d=—ff

4pJ J

0 0

(xi -X)2 + (yi -0)2 V(X2 -X)2 + (y2 -0)2

d X d 0 - для пря-

моугольного источника;

d = — 4 p

0 0

\

V2 2 2 2

xj - 2 £xj cos a + e •4X2 - 2 ex2 cos a + e

d e d a - для круглого

источника.

Приведем некоторые значения коэффициентов р0, р1: для прямоугольного источника х1 = 10-3 м, х2 = 3 -10-3 м, Я = 0,99х1, Ь = 2-10-3 м, у1 = у2 = 0,5 Ь -р0 = 6,395-10-7, р1 = 3,639-10-7; для круглого источника х1 = 10-3 м, х2 = 3 -10-3 м, Я = 0,99х1, у1 = у2 = 0 - р0 = 3,348-10-4, р1 = 4,487-10-7.

Г

i

i

0

n

0

\

i

i

J

i

i

Отметим, что полученное уравнение (11) аналогично интегральной форме одномерного уравнения теплопроводности [1].

Будем считать, что с достаточной точностью выполняется условие

Т(х, у, 0) = Т(х, у, у). (12)

Т огда теплопроводность определяется по формуле

1=--------ад---------. 03)

У

$ [Т!( т) - Тг( т)] d т

0

Методическая погрешность определения теплопроводности по формуле (13) зависит от точности выполнения условия (12), которая в свою очередь связана со временем измерения у. Зависимость методической погрешности от времени измерения можно проиллюстрировать на тепловой модели. Наиболее адекватной в данном случае является модель распределенного прямоугольного источника постоянной плотности и мощности, действующего в полуограниченной среде в течение заданного интервала времени. Для нахождения распределения температуры в образце при ступенчатом нагреве использовался принцип суперпозиции температурных полей от двух источников постоянной мощности, сдвинутых во времени на время нагрева.

Точное решение уравнения теплопроводности для точечного источника постоянной тепловой мощности имеет вид:

А/ (х, у, т) = ~\~ ейс—^ , (14)

4 яЛг 2^о

1 1

где ейе ;= = 1 - ей"-

27б0 2^'

Учитывая, что используется распределенный источник, получаем следующее выражение

1 Ь Я

А/р (х, у, т) = — $ d0 $ А/ (х, у, т) dX . (15)

0 0

На основании данной информации вычислялись составляющие уравнения (13) и определялась теплопроводность, которая сравнивалась со значением X, используемом в модели.

Были проанализированы значения методической погрешности определения теплопроводности для теплоизоляционных материалов с теплофизическими свойствами: X = (0,03... 0,30) Вт/(м-К), а = (10-7 ... 10-6) м2/с.

Момент времени у окончания измерения определялся из условия

ад = фТ1(а) . (16)

В этом случае методическая погрешность зависит от температуропроводности материала. Значение коэффициента ф варьировалось в диапазоне 0,002.0,03,

время нагрева а принималось равным 3 с. Результаты расчетов представлены на рис. 4. Погрешности, соответствующие промежуточным значениям температуропроводности находятся в области между представленными кривыми.

Рис. 4

Для уменьшения времени измерения при сохранении приемлемой точности может быть использован двухступенчатый нагрев образца (двукратный нагрев). Наилучший вариант такого режима, обеспечивающий наименьшую относительную методическую погрешность, показан на рис. 5.

Моменты времени т0, т1 определяются, исходя из выполнения условия

ф[р0^(а) + /^(а)] = Р0Т1(Т0) + ^^(тО = р^тО + рТ2(тО. Расчетная формула в этом случае имеет аналогичный (13) вид

¿я (т -т0)

1 = -

(i7)

(i8)

J [7i(t) - T2(t )] dt

t0

Эффективность такого режима проведения измерения была проверена на модели, на которой исследовалась формула (13). Коэффициент ф выбирался из диапазона 0,1. 0,3. Время первого нагрева а = 3, второго 2 с. Результаты расчетов представлены на рис. 6.

Сравнительный анализ графиков на рис. 4 и 6 показывает существенный выигрыш во времени измерения при заданной точности для двукратного нагрева.

Для исследования метода измерения, основанного на формулах (13), (18), была создана теплоизмерительная ячейка (рис. 7).

Она состоит из медного теплоприемника 1, на нижней поверхности которого закреплен датчик теплового потока 2, изготовленный из материала с известной теплопроводностью. Снизу к датчику теплового потока 2 приклеен плоский прямоугольный электрический нагреватель 3 размерами 3,2 х 1,6 х 0,6 мм3. Дифференциальная термопара 4 используется для измерения разности температуры нагревателя и температуры на границе датчика теплового потока 2 и теплоприемни-ка 1. Дифференциальная термопара 5 измеряет разность температур образца в точках с координатами (х1, у1) и (х2, у2), входящую в расчетную формулу (13), (18).

С учетом параметров измерительной ячейки расчетная формула примет вид

UH a

В j ДЕтеп ( t ) dt

1 = -

0

g

(19)

А | АЕ (х) d х

о

где А = КЬ/(^5), В = К-Ь-Хтеа/(к 5) - градуировочные коэффициенты теплоизмерительной ячейки.

Т ак как значения величин d, к, К, Ь известны лишь приближенно, это не позволяет вычислить коэффициенты А и В, а, значит, и X по формуле (19) с достаточной точностью.

Поэтому для определения А и В

использовались стандартные об- <5

разцы, значения теплопроводностей которых для исследуемого диапазона X = (0,05... 0,40) Вт/(м-К) были получены по методу, рассмотренному в работе [2] с погрешностью 5 = 3 %. Для разных

стандартных образцов проводились измерения величин, входящих в формулу (19). Методом наименьших квадратов с использованием программного пакета Mahtcad определялись коэффициенты А и В.

Погрешность измерения теплопроводности образцов с помощью теплоизмерительной ячейки с учетом погрешности определения коэффициентов А и В не превышала 5 < 7 %.

Таким образом, предложенный метод имеет простую расчетную формулу, минимальное количество условий проведения эксперимента и позволяет измерять теплопроводность твердых теплоизоляционных материалов в диапазоне X = (0,05.0,40) Вт/(м-К) с погрешностью 5 < 10 % при времени измерения не превышающем двух минут.

Список литературы

1 Азима, Ю.И. Применение интегро-интерполяционного метода построения разностных уравнений для определения теплофизических свойств и нестационарных тепловых потоков / Ю.И. Азима // Инженерно-физический журнал. - 1998. -Т. 71. № 5. С. 811 - 818.

2 Азима, Ю.И. Метод измерения теплопроводности на основе интегральной формы уравнения Фурье / Ю.И. Азима // Заводская лаборатория, 2000, № 6. С. 27 - 32.

3 Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский - М., 1979. - 256 с.

4 Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. - М., 1977. -656 с.

5 Теплофизические измерения и приборы / Е.С. Платунов, С.Е. Буравой, В.В. Курепин, Г.С. Петров; под общ. ред. Е.С. Платунова. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986. - 256 с.

Method of Non-Destructive Control over Thermal Conductivity of Heat-Insulating Materials on the Basis of Integral Form of Fourier Equation

I.V. Kovalyova1, I.V. Korablyov1, Yu.I. Azima2

Department “MASK”, Moscow State University of Environmental Engineering (1); Department “Metrology and Quality Systems ” Novomoskovsk Institute of Russian Chemical Technological University after D.I. Mendeleyev (2)

Key words and phrases: integral Fourier equation; non-destructive control over properties; heat-insulating materials; heat measuring cell.

Abstract: Theoretical grounds of the method of measuring heat conductivity of heat-insulating materials are considered. The design of heat measuring cell is described. The results of the research are submitted.

Methode der nichtzerstörenden Kontrolle der Wärmeleitfähigkeit der Wärmedämmstoffe auf Grund der Integralform der Fourier-Gleichung

Zusammenfassung: Es sind die theoretischen Grunde der Methode der Messung der Wärmeleitfähigkeit der Wärmedämmstoffe betrachtet. Es ist die Konstruktion der Wärmemeßzelle beschrieben. Es sind die Untersuchungsergebnissen dargelegt.

Méthode du contrôle non-destructif de la conductibilité thermique des matériaux thermoisolants à la base de la forme intégrale des équations de Fourier

Résumé: Sont envisagées les bases théoriques de la méthode de la mesure de la conductibilité thermique des matériaux thermoisolants. Est décrite la construction de la cellule de la conductibilité thermique. Sont présentés les resultats des études.