CC BY
18
ПРОЦЕССЫ ГОРЕНИЯ И ВЗРЫВА
УДК 536.46:519.624.2
К РАСЧЕТУ СТАЦИОНАРНОЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАМЕНИ: ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
КАРПОВ А.И., *КУДРИН А.В.
Институт механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34 *Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
АННОТАЦИЯ. Для задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени сформулирован алгоритм, основанный на вариационном принципе неравновесной термодинамики. Представлены результаты расчетов скорости распространения пламени по смеси перемешанных газов, показавшие, что предложенный алгоритм обеспечивает лучшую сходимость и устойчивость итерационного решения при различных начальных приближениях по сравнению с традиционным подходом.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: распространение пламени, стационарное состояние, вариационный принцип, термодинамический функционал.
ВВЕДЕНИЕ
Расчет стационарной скорости распространения пламени по смеси предварительно перемешанных газов - классическая задача теории горения [1 - 3], имеющая давнюю историю, общепризнанные и устоявшиеся теоретические положения, апробированные методики расчета, результаты которых подтверждены многочисленными экспериментальными исследованиями. Таким образом, какое либо существенное развитие в решении данной задачи направлено на физическую сторону вопроса, заключающуюся, главным образом, в совершенствовании кинетических схем реакций горения. Тем не менее, отметим, что математическая постановка рассматриваемой задачи представляет собой систему сильно нелинейных дифференциальных уравнений, численное решение которых основано на привлечении тех или иных итерационных процедур. Конкретная реализация итерационных алгоритмов решения достаточно сложных нелинейных систем всегда (или почти всегда) оставляет пути для их дальнейшего совершенствования, чему, собственно, и посвящена настоящая работа.
Стационарный режим распространения пламени предполагает возможность получения математической формулировки задачи в стационарных уравнениях, записанной в подвижной системе координат, связанной с фронтом пламени, движущемся с постоянной скоростью. Исходя из предположения (в общем, вполне разумного), что понижение размерности дифференциального уравнения приводит к упрощению (и потенциальному ускорению) процесса получения его численного решения, сосредоточим дальнейший анализ именно на стационарной постановке задачи. Численное решение рассматриваемой задачи основано либо на непосредственной аппроксимации дифференциальных уравнений методом конечных разностей, либо на применении проекционно-сеточных методов [4]. Последний подход представляется более эффективным, поскольку позволяет с большей точностью вычислить значение скорости химической реакции горения - источникового члена дифференциального уравнения, определяющего его нелинейные свойства. Так или иначе, известные способы решения задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени (или любого другого фронта химических превращений суммарно экзотермических реакций, допускающих автомодельное распространение) основано на решении системы дифференциальных уравнений с собственным параметром, которым является значение искомой скорости распространения. С другой стороны, определение стационарного состояния физической
системы может быть сопоставлено с поиском стационарного решения математической задачи в вариационной формулировке - минимизации некоторого функционала, основанного на естественных вариационных принципах. Последнее замечание относительно естественных (физических) вариационных принципов особенно важно, поскольку не существует универсального способа получения потенциала для нелинейных систем [5 - 6], а широко используемые вариационные постановки не являются таковыми в полном смысле, так как основаны на применении метода взвешенных невязок к дифференциальным уравнениям. Целью приведенного ниже анализа рассматриваемой задачи является получение соотношений, позволяющих использовать преимущества естественной вариационной постановки, и проведение численных исследований для оценки их достоверности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
С учетом принятых допущений (одна макроскопическая реакция горения, постоянство теплофизических параметров, число Льюиса равно единице) математическая модель процесса одномерного стационарного распространения адиабатического пламени по смеси перемешанных газов имеет вид [7 - 12]:
Cm— = X <d-Tr + QpW, (1)
dx dx
x = -ю : T = T0, (2)
x = -ю : — = 0, (3)
dx
x = ю : <T = 0, (4)
dx
где T - температура; C - теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; Q - теплота реакции; m - массовая скорость распространения пламени; р - плотность.
Дополнительное адиабатическое условие (3) на холодной границе дает три граничных условия (2) - (4) для уравнения второго порядка (1), выполнение которых обеспечивается при значении собственного параметра m, соответствующего искомой стационарной скорости распространении пламени. Интегрирование уравнения (1) с граничными условиями (2) - (4) приводит к соотношениям для адиабатической температуры и скорости распространения пламени соответственно:
Tf = To + QIC , (5)
<х>
m =| pWdx . (6)
-ю
Постановка задачи (1) - (4) замыкается соотношениями для скорости химической реакции и плотности соответственно:
W =
С Tf - T л
k exp(-E / R0T), (7)
р = р / ЯТ . (8)
Здесь к - предэкспоненциальный множитель; Е - энергия активации; Яд - универсальная газовая постоянная; р - давление; Я - удельная газовая постоянная.
Численное решение задачи (1), (6) с граничными условиями (2), (4) заключается в проведении следующей итерационной процедуры.
А л г о р и т м 1.
1. Имеется некоторое приближение для функции Т<(к) (х) и параметра т(().
2. Проводится внутренний итерационный процесс для решения уравнения
ЛТ(к) d2T(k) I \ I \
Ст(к) —п+1 = X-П+1 + ОР (Т(()) ^ (Т(()), соответствующего (1), при некотором
Лх dx2 \ ) \ )
значении т(() до получения сходящегося решения 7^+1 ^ Ти(().
3. По полученному распределению Т(+1 (х) из интеграла (6) определяется следующее
ю
приближение скорости распространения пламени: т((+1) = | р (ТП^^ (т(+1 ) Лх.
—ю
4. Проводится внешний итерационный процесс до получения сходящегося решения т((т1) ^ т(().
Отметим, что данный алгоритм представляет собой элементарный метод последовательных приближений и не отличается вычислительной изысканностью, в отличие от подхода [13, 14] и его дальнейшего развития (например, [15]), основанного на методе Ньютона, обеспечивающего квадратичную сходимость. При этом там же [14] прямым текстом признается, что сходимость такого итерационного процесса требует "хорошего" начального приближения, что очевидно, поскольку градиентные методы работоспособны и эффективны лишь в окрестности, близкой к искомому (сходящемуся) решению. В принципе, проблема получения начального приближения не имеет непосредственного отношения к вычислительной процедуре и подразумевает привлечение каких либо физических представлений о характеристиках рассматриваемого процесса. В работах [7 - 12, 16 - 22] для задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени были использованы положения термодинамики необратимых процессов в виде принципа минимального производства энтропии, результаты которых показали физическую адекватность его применения.
Рассмотрим задачу о поиске стационарного состояния системы в вариационной формулировке
P = \ad¥ ^ min, (9)
V
где потенциал представляет собой производство энтропии в рассматриваемой термодинамической системе, а минимум функционала (9) соответствует стационарному состоянию [23, 24]:
а= JTXT + JWXW . (10)
Термодинамический поток (с учетом конвективного переноса [25]) и обобщенная сила, обусловленные теплопроводностью, имеют, соответственно, вид:
irp
JT =-Х — + CmT , (11)
dx
XT = — - (12)
dx T
Соотношения для термодинамического потока и обобщенной силы, обусловленные химической реакцией, имеют вид:
Jw = Р & , Xw = Q/т.
(13)
(14)
Здесь сродство химической реакции полагалось равным ее тепловому эффекту [7, 17]. В работе [12] проведен анализ соответствия друг другу дифференциальной (1) и вариационной (9) постановок, результатом которого стало выражение для скорости распространения пламени, полученное на основе применения вариационного принципа:
1
т =
С Ь (т//то)
^АМ2 + £ wл
Т2 I Ьх ) + Т Р
I
Ьх.
(15)
Полученное соотношение (15) предназначено для применения в вычислительном алгоритме в качестве альтернативы интегралу (6), что приводит к формулировке следующей формулировке.
А л г о р и т м 2.
1. По алгоритму 1.
2. По алгоритму 1.
3. По полученному распределению Т(+1 (х) из интеграла (15) определяется следующее приближение скорости распространения пламени:
т
(к +1) _
1
С 1п (Т//То )_ 4. По алгоритму 1.
I
X
ЬТ
(к) >
и+1
(«.' у
Ьх
+ ■
£
Т
(к)
р
и+1
(«Н(т(+?)
Ьх.
2
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ОБСУЖДЕНИЕ
Для численного решения уравнения (1) применяется метод конечных элементов [11]. Теплофизические и кинетические параметры (примерно соответствующие горению низкомолекулярных соединений - окиси углерода или метана) имеют следующие значения [8]: С = 1000 Дж/(к-К); X = 0,05 Вт/(м-К); £ = 1000 кДж/кг; к = 5-1010 1/с; Е = 100 кДж/моль; Ео = 8,31 Дж/(моль-К); Я = 333 Дж/(кг-К); р = 105 Па; Т0= 300 К. Значение стационарной скорости распространения пламени для этих данных составляет т = 1,46 кг/(с-м ).
На рис. 1, 2 представлены результаты исследования сходимости рассмотренных алгоритмов, относительная точность вычисления температуры на внутренних итерациях (шаг 2 представленных выше алгоритмов) составила 10-3. Анализ данных графиков позволяет сделать вывод, что предложенный алгоритм расчета скорости распространения пламени, использующий интеграл (15), полученный с применением термодинамического вариационного принципа, показывает лучшую сходимость по сравнению с "классическим" представлением. Особенно стоит отметить данные рис. 2, рассчитанные при начальном приближении скорости распространения пламени, отличающемся в пять раз (в ту и другую стороны) от точного значения (1,46). Для т0 = 4,5 стандартный алгоритм (кривая 3) показывает существенные осцилляции на начальных итерациях (однако, тем не менее, сходится в дальнейшем), тогда как предложенный метод (кривая 4) проявляет заметную устойчивость к возмущениям решения, вызванным заданием грубого начального приближения.
итерация
1 - алгоритм 1, т0 = 1,0; 2 - алгоритм 2, т 0 = 1,0; 3 - алгоритм 1, т 0 = 2,0; 4 - алгоритм 2, т 0 = 2,0 Рис. 1. Сходимость итерационного решения по скорости распространения пламени
итерация
1 - алгоритм 1, т 0 = 0,3; 2 - алгоритм 2, т 0 = 0,3; 3 - алгоритм 1, т 0 = 4,5; 4 - алгоритм 2, т 0 = 4,5 Рис. 2. Сходимость итерационного решения по скорости распространения пламени
На рис. 3 представлены результаты расчетов, проведенные без использования внутренних итераций. В этом случае сходимость внешнего итерационного процесса замедляется, поскольку имеет место скачок значения скорости распространения пламени на первой итерации, а результаты, полученные с использованием предложенного алгоритма (кривые 2, 4), также показывают лучшую сходимость.
итерация
1 - алгоритм 1, m 0 = 1,0; 2 - алгоритм 2, m 0 = 1,0;3 - алгоритм 1, m 0 = 2,0; 4 - алгоритм 2, m 0 = 2,0
Рис. 3. Сходимость итерационного решения по скорости распространения пламени (внутренние итерации не проводятся)
В заключение отметим, что при расчете характеристик пламени (или какого либо другого фронта химических превращений) в новых системах, значение стационарной скорости распространения в которых заранее неизвестно, выбор начального приближения для него представляет собой нетривиальную задачу, решение которой требует либо привлечения косвенных предпосылок, либо проведения обширных прикидочных вычислений. Представленные здесь результаты расчетов показали, что предложенный алгоритм обеспечивает (при прочих равных условиях) лучшую сходимость и устойчивость итерационного процесса и являются доказательным вычислительным экспериментом для леммы, сформулированной в работе [12].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М. : Наука, 1967. 491 с.
2. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б. и др. Математическая теория горения и взрыва. М. : Наука, 1980. 478 с.
3. Williams F.A. Combustion theory. Redwood, CA: Addison-Wesley, 1985. 699 с.
4. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. : Наука, 1981. 416 с.
5. Finlayson B.A., Scriven L.E. On the search for variational principles // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1967. V. 10. P. 799-821.
6. Шехтер Р.С. Вариационный метод в инженерных расчетах. М. : Мир, 1971. 291 с.
7. Карпов А.И., Булгаков В.К. Об одном нетрадиционном алгоритме расчета скорости распространения пламени // Физика горения и взрыва. 1990. Т. 26, № 5. С. 137-138.
8. Karpov A.I. Minimal entropy production as an approach to the prediction of stationary rate of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 1992. V. 17, № 1. P. 1-9.
9. Karpov A.I., Bulgakov V.K., Novozhilov B.V. Quantitative estimation of relationship between the state with minimal entropy production and the actual stationary regime of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 2003. V. 28, № 3. P. 193-205.
10. Карпов А.И. О формулировке термодинамического вариационного принципа для задачи о стационарном распространении пламени // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. № 3. С. 61-68.
11. Карпов А.И., Кудрин А.В. Метод локального потенциала для расчета стационарной скорости распространения пламени // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. № 4. С. 87-95.
12. Кудрин А.В., Карпов А.И. Вариационная формулировка задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени на основе обобщенного термодинамического функционала // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. № 4. С. 80-85.
13. Smooke M.D. Solution of burner stabilized premixed laminar flames by boundary value methods // Journal of Computational Physics. 1982. V. 48. P. 72-105.
14. Smooke M.D., Miller J.A., Kee R.J. Determination of adiabatic flame speeds by boundary value methods // Combustion Science and Technology. 1983. V. 34. P. 79-90.
15. Noskov M., Smooke M.D. An implicit compact scheme solver with application to chemically reacting flows // Journal of Computational Physics. 2005. V. 203. P. 700-730.
16. Сабденов К.О., Постников С.Н. К теории ламинарного пламени (сообщение I) // Физика горения и взрыва. 1993. Т. 29, № 1. С. 42-46.
17. Герасев А.П. Неравновесная термодинамика автоволн ламинарного горения // Физика горения и взрыва. 2001. Т. 37, № 6. С. 13-21.
18. Герасев А.П. Неравновесная термодинамика автоволновых процессов в слое катализатора // Успехи физических наук. 2004. Т. 174, № 10. С. 1061-1087.
19. Gerasev A.P. Variational principles in irreversible thermodynamics with application to combustion waves // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 2011. V. 36, № 1. P. 55-73.
20. Karpov A.I., Bulgakov V.K. Prediction of the steady rate of flame spread over combustible materials // Proceedings of 4th International Symposium on Fire Safety Science. Ottawa : IAFSS, 1994. P. 373-384.
21. Karpov A.I., Galat A.A., Bulgakov V.K. Prediction of the steady flame spread rate by the principle of minimal entropy production // Combustion Theory and Modelling. 1999. V. 3. P. 535-546.
22. Карпов А.И., Галат А.А., Булгаков В.К. К обобщению расчетов стационарной скорости распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала // Инженерно-физический журнал. 2007. Т. 80, № 3. С. 103-111.
23. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М. : ИЛ, 1960. 314 с.
24. де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М. : Мир, 1964. 456 с.
25. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М. : Мир, 1973. 280 с.
ON THE PREDICTION OF THE STEADY FLAME SPREAD RATE: AN APPLICATION OF THE IRREVERSIBLE THERMODYNAMICS PRINCIPLES
Karpov A.I., *Kudrin A.V.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia *Udmurt State University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The algorithm based on the variational principle of non-equilibrium thermodynamics has been formulated for the problem of steady flame spread rate prediction. The calculations of flame spread rate over premixed gas mixture have been presented showing a better convergence and stability upon various initial estimations in comparison with commonly used approach.
KEYWORDS: flame spread, stationary state, variational principle, thermodynamic functional.
Карпов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией физико-химической механики ИМ УрО РАН, e-mail: karpov@udman.ru
Кудрин Алексей Владимирович, аспирант кафедры вычислительной механики УдГУ
