CC BY
15
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.972 : 536.77 © А. И. Карпов
ФОРМЫ ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ВОЛНЫ ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
Рассматривается математическая модель стационарного режима распространения фронта химического превращения на примере одного из наиболее распространенных процессов такого типа - распространения пламени по перемешанной газовой смеси [1]. В подвижной системе координат, связанной с фронтом реакции, стационарное уравнение переноса для переменной Т (в данном случае - температуры) имеет вид
йТ й2Т р
Ст*=А^ + ятй<г' (1)
где скорость реакции определяется соотношением
W = Ттк ехр (—Е/ЯоТ), (2)
С, X, р, Я, Q, к, Е, Яо — константы, а значение стационарной скорости распространения т выступает в качестве собственного значения задачи, являющегося результатом преобразования системы координат при переходе к стационарной формулировке. Для определения т (значение которого, как интегрального параметра, отражающего совокупный результат взаимодействия всех имеющих место локальных физико-химических процессов, представляет наибольший интерес) используется замыкание постановки задачи, основанное на использовании интегральных соотношений сохранения массы реагирующего компонента.
Общая схема численного решения нелинейного уравнения (1) основана на итерационной последовательности вида
, ,йТ(п+1) й2Т(п+1) р / ,
Ст(и)-—-----= А , 9 +Я—^\У (Т^) , (3)
йх йх2 ^ ДТН V ) ’ у 7
о
т(п+1) = I (р/КТ(га+1)) pW (т(га+1)) йх, (4)
для которой известны различные подходы к ускорению сходимости при сохранении ее двухшагового характера.
Основная идея предлагаемого здесь подхода к решению рассматриваемой задачи заключается в формулировке ее вариационной постановки в виде минимизации некоторого функционала Р = [ айх , который, при соответствующем выборе потенциала а, обеспечивал бы эквивалентность дифференциальной постановке. Целью является предполагаемая возможность получения условия вида дР/дт = 0 для параметра т (дополнительно к соотношениям дР/дщ = 0, для Т(х) = ^ ^N1 (х) при использовании проекционно-сеточных методов) и представлении его, таким образом, как зависимой переменной.
Исходной предпосылкой настоящего анализа является применение экстремальных термодинамических принципов, базирующихся на минимальном производстве энтропии в стационарном состоянии термодинамической системы (например, [2]). В оригинальном виде производство энтропии выражается билинейной формой а = ^ 3{Х{ для термодинамических потоков и обобщенных сил, соответствующих физическим типам необратимых процессов, которые для рассматриваемой здесь теплопроводности имеют вид Зт = —ХйТ/йх , Хт = й (1/Т)/йх . Очевидно, что при использовании потенциала а в классической форме производства энтропии функционал Р = айх не разрешим относительно т и, более того, для него невозможно
получить уравнение Эйлера, соответствующее (1). Следуя [3], используется представление для теплового потока вида Зт = —ХйТ/йх + СтТ, позволяющее включить в анализ переменную т . Для обобщенной силы, соответствующей химической реакции, получено [4] соотношение Хщ = Q (1/Т — \/Т]), Т$ - константа интегрирования, поток определяется стандартным образом: Зщ = Wp/ЯT.
Нелинейность уравнения (2) приводит к необходимости применения метода локального потенциала [3] (ограниченных вариаций) для квадратичной формы вида а = Ьг(Т)Х2(Т) , где Ьг = Зг(Т)/Хг(Т) - феноменологический коэффициент (здесь варьирование по Т не проводится). Условие дР/дт = 0 для полученного функционала выполняется при Х = 0 (соответственно, З = 0) , что соответствует метастабильному состоянию равновесия и дает тривиальное решение т = 0 . Рассмотрение альтернативного представления потенциала через потоки [5], выражающегося соотношениями а = Яг(Т)З (Т)2 , Ьг = Хг(Т)^Зг(Т) приводит к окончательному уравнению для скорости распространения фронта реакции:
Следует отметить, что в силу существенно нелинейной (экспоненциальной) зависимости (2) для скорости химической реакции от температуры, уравнение Эйлера для данного потенциала отличается от исходного дифференциального уравнения (1) на величину множителя
1 + (1/T — 1/Tf) E/Ro для второго слагаемого правой части. Таким образом, эквивалентность обеих постановок асимптотически выполняется вблизи равновесного состояния при T ^ Tf или для малых значений энергий активации реакции.
Полученное соотношение (5) главным образом представляет интерес для оптимизации вычислительного алгоритма решения рассматриваемой задачи, поскольку позволяет свести двухшаговую схему (3)-(4) к одношаговой, что имеет ценность для получения последовательных приближений для параметра m, особенно на начальных итерациях.
Список литературы
1. Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука. 1980. 478 с.
2. де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир. 1964. 456 с.
3. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир. 1973. 280 с.
4. Karpov A. I. Minimal entropy production as an approach to the prediction of stationary rate of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 1992. V. 17. No 1. P. 1-9.
5. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир. 1974. 304 с.
Карпов Александр Иванович
Институт прикладной механики УрО РАН,
Россия, Ижевск
e-mail: karpov@udman.ru
