К РАСЧЕТУ ПАРМЕТРОВ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН ПРИ ИХ ПАДЕНИИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ОКЕАНА Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Всемирная организация здравоохранения, URL: http://www.who,int.ru (дата обращения: 08.05.2018).

2. Кошелев А. А, Бажутина А. Е., Правдип С. Ф., Ушенин К. С., Канцель-сон Л. Б., Соловьева О. Э. Модифицированная математическая модель анатомии левого желудочка сердца // Биофизика. 2017. Т. 61, JY2 5. С. 986-995.

3. Голядкииа А. А., Челнокова О. В.. Полиенко А. В. Персонифицированное конечно-элементное моделирование желудочков сердца человека // Практическая биомеханика : материалы докладов Всерос. конф. молодых ученых с между пар. участием / под ред. проф. Л. Ю. Коссовича. Саратов, 2016. С. 139-142.

4. Соловьева О. Э. Персонифицированные биомеханические модели в кардиологии /У Биомеханика - 2018 : материалы докл. XIII Всерос. (с между пар. участием) конф. Ростов и/Д, 2018. 85 с.

5. Голядкииа А. А., Иванов Д. В.. Каменский А. В.. Кириллова И. В.. Саль-ковский Ю. Е., Сафонов Р. А., Щучкииа О. А. Практическое применение системы автоматизированного проектирования Solidworks : учеб. пособие дня студентов естественных дисциплин. Саратов, 2011. С. 148.

6. Голядкииа А. А. Иванов И. В.. Доль А. В.. Полиенко А. В. Практические задания но применению пакета Ansys Mechanical APDL к задачам биомеханики сердечнососудистой системы : учеб.-метод. пособие. Саратов, 2015. С. 56.

УДК 519.257

Г. П. Шиндяпин, А. А. Матутин, М. С. Шахрай

К РАСЧЕТУ ПАРАМЕТРОВ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН ПРИ ИХ ПАДЕНИИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ОКЕАНА

Поступила в редакцию 30.05.2018 г.

Методами нелинейной теории взаимодействий ударных волн (УВ) в газожидкостных средах (ГЖС) [1] рассчитаны основные параметры рефракции режима К\¥, возникающего при падении УВ (АВ) со стороны

жидкости при возникновении отраженной УВ (АС) и преломленной УВ (АО) в воздухе (рис. 1). Расчеты уточняют и расширяют результаты теории коротких волн. 1. При падении У В (АВ) относительно малой интен-

10-2) под углом а к вертикали

сивности £ = Р0, (s

p 0

на свободную поверхность AF океана, разделяющую воздух и воду с газосодержаниями 7 + 7возникают различные режимы рефракции [2, 3] : ГШ^регулярной; NR нерегулярной с волной разрежения; RW рефракции с отраженной УВ, TNR twin Neumann réf. с двойной отраженной ударной волной, BPR bound precursor réf. когда преломленная УВ в т. А вертикальна (ш = 0) (Рис. 2).

Рис. 1. Режим RW с отраженной УВ

Особый интерес представляет режим К\¥, когда интенсивность преломленной УВ АБ

+ Рз - Ро = -

Р1 - Ро

может превышать интенсивность падающей УВ АВ в зависимости от £, а, 7.

Относительное газосодержание водной среды [1] 7 = 7- = (тьц — масса пузырьков газа, ш/ — масса жид кости, 0 < 7 < 10-4 При использовании модели гомогенной локально равновесной пузырьковой среды с газосодержаниями 7- для жидкоети и 7 + = то для газа были [1]

тельно слабых УВ (ро — плотность, с0 — скорость звука покоящейся среды

£ << 1, е = Ьо(7)е = Яо(7)Рю, Р10 =

Во(7) = Ро(7)со(7), ^о(7) =

РоДо(7) Во (7)

Р1 - Ро Во (7) '

(1)

от-

Рис. 2. Режимы рефракции УВ при

£ = о.о1

Здесь Во - масштаб давлепия, Р1о << 1 носительная интенсивность падающей УВ.

Используемые теоретические построения позволяют исследовать процесс рефракции УВ при произвольных углах падения а, обобщая теорию коротких волн [1], пригодную для малых углов а.

2. Для анализа режима рефракции К\¥ (когда У В пересекаются в точке А на свободной поверхности) используем точные соотношения на фронтах УВ (АВ, АС, АО) [1, 6]. Для элемента фронта УВ в автомодельных переменных £ = , П = 0ПИСЬ1ваем0Г0 уравнением

г — значение перед фрон-

£ = £(п) (£' = |

интенсивности Р, =

_ Уз ~Рг

в

том, ] — за фронтом), имеем условия динамической совместности:

Р-Ро

(£ - п£') - % - £'*

1+ £

/2

= N(Р,,); О- = "^ - Р»

Р.. = О" Ро

£'(^ - ^ = ^ - ^; N(Р,) = ^

V Со со / Со Со 2

Р,

N (Р,,)

(£ - п£') - - - £'-

Со Со

/ и, - щ _ V Со со/,

с!1 + Р,,^ ¿2 + Р,-с!з + Р,-

2

Условие совместности течений на свободной поверхности АК (в верх-

ней и нижней областях) в точке А (п+ = П- =0, Xa = ) приводят [7] к установлению двух инвариантов ( см. рис. 1) (при p3 = p2, u3n = u2n = un, un -геометрическая составляющая):

(т) о,о c+N 1/2(Рзо) c-N У2(Др)

(I) : c+U = co , или -=-, (3)

A A cos ш cos a

Í+Üg = ^ = I ■ (-1 -- ').

Из (II) инварианта (u° = u2, v- = v2; u + = u3, v + = v3) имеем

V^2 -V2U3 . , V2

q° =-, tan S = —--. (4)

V3 - V2 c° - 112

3. Упрощение условий на фронтах УВ. Для относительно слабой па-

дающей У В АВ при y = y - — 10-6 и стандартных условиях [1, табл. с. 29] имеем оценки параметров (Bo = p0CQ — 109 — 108, р0 — р* — 103):

Pío = Ю • е - 10-6 - 10-5; P21 = Ю • (q + - 1) ~ 10-6 - 10-5; (5)

Bo Bo

_ _2

Рзо = q+BPío - 10-3 - 10-2; ё = Lo(y)е - 10-2 - 10-1, B = РоС°2 - Ю3-

ро co

При записи выражений для N(Pj¿) согласно (2) имеем для фронтов АВ, АС и AD упрощения согласно порядков (5) (Do- скорость УВ):

N (Pío) = (D )2 = 1 + Ro(Y )Pío, Ro(Y) = - - rB^ (- - 1) ;

V co / po k + po V po )

2

N(P21) = 1 + (2Ro(y) - 1)Pío + Ro(y)P2í; g = ((1 -g) ;

N (P3o) = 1 + R+(y+)P3o = 1 + q+ L+(y+)е = 1 + ^ ё ё = - ® = —+—, L+ = , K = -

2, 2, 3, 3,

получим при упрощениях (5), (6) выражения для угла в и

1 _ _ (1 + e)í/2

tan в = tan a(1--2— • q+е); =-. (7)

2 sin2 a A cos a

126

4. Уравнения для ш и д. Используя выражения для скоростей за фронтами АС, AD согласно (2), получим из (4) для (II) инварианта выражение для tan ш:

tan ш =

(2 - q+ + q+ё) [ё2(1 + ё) - cos2 аРзо]До

[(1 + ё) - cos2 а • q+ • Рю]Рзо

После упрощений согласно (5), (6) для ш и 6 имеем

Р+

tan ш = -0: Ро

2 - q+ q+ - 1 _

+

tan а.

(8)

q+

+

2 sin2 а

£ • tan а; tan 6 =

sin ш • cos ш q 1 p0 £

(1 + L ё)

L

5. Уравнение для получим, исключая tanш из выражений для (I) и (II) инвариантов (3) в переменных av = ^f/r, cY = 1—1:

2c7 + av2 - + 1 = 0. L

(10)

6. Расчеты. В точке пересечения границ области К\¥ (см. рис. 2) = 1 и

--можно определить предельные

левой границы av2 = tan а

2 Я+=1\ _q+

j+ -i

q+e

значения y* < 7 и а°* < а° (подставляя = 1 в (10)). Так при £ = 0 имеем [4] с = 1, т.е. с-(7) = с+, и y * = 0.965 • 10-6,а°* = 0 при

£ = 0.041, y * = 1.000 • 10 , а°* = 11.8.

Для вычисления параметра = используем (10) в виде

q+ =

1

L+ё

0+

2(1 - -^т) + tan2 а + L-(y)е] co (Y)

График па рис. 3 дает

наглядно информацию: — растет (до границы ш = 0) с ростом а° при фиксированных £, ^^ ^ ^^^шанием Y при фиксированных а, £; с убыванием £ при фиксированных а, Y•

На рис. 4, 5 представлены результаты расчета углов ш, 5, в в пространстве параметров £, а, Y по формулам (9), (7). Углы ш, 5 — малы.

В целом углы ш возрастают при удалении от верхней границы (ш = 0) и приближении к границе = 1; углы 5 при удалении от

верхней границы ведут себя не монотонно. С ростом газосодержания Y и интенсивности £ также отмечаются возрастания углов ш и 5.

5 4 3 2 1 О

г = 1.97 ■ 10 ш = 0. у = 10" /'tú = 0 ** /

= 0.010 г' /у Í / t ^ J

/ / /е^Ъ. Е = 0.( )22 и Шу / /£ = 0.041

"г в = 0 022

а

10 12 14 16

Рис. 3. q+/£, а, y

IS

ы ■ 10"3

6 s 10 12 14 16 is 6 8 10 12 14 16 is

Рис, 4, u/e,a,j ; 5/e,a, y

Зависимость углов отражения ß от e, а, 7 на рис. 5 свидетельствует об их возрастании с ростом газосодержания 7 и убыванием с ро-

e

Результаты расчета параметров режима рефракции RW представляют практический

интерес, особенно для оценки ударных воздействий преломленной ударной волны в воздухе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шипдяпип Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожид-костпых средах. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1997. 104 с.

2. Henderson L. F., Ma J., Sakurai A., Takayama K. Refraction of shock wave at an air—water interface// Fluid Dynamic Research. 1990. JY2 5. P. 337-350.

3. Шипдяпип. Г. П., Матутип А. А. Возникновение невырожденной ударной волны в воздухе при рефракции ударной волны в океане// Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 136-141.

4. Шипдяпип Г. П., Матутип A.A., Баранова Ю.Д. Влияние газосодержапия водной среды на границы режимов рефракции ударных воли на поверхности океана// Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 141-146.

5. Кутателадзе С. С., Накоряков A.B. Теплообмен и волны в газожидкостпых системах. Новосибирск : Наука, 1984. 304 с.

6. Шипдяпип Г. П., Ковалев В. Е. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред : в 2 ч. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1988. Ч. I. 75 с.

7. Шипдяпип Г. П., Матутип A.A. О законах подобия рефракции ударных волн в газовых и газожидкостпых средах // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 146-150.

ß°

Рис. 5. Углы 2р ß/e,a,Y