К расчету напряженностей электромагнитного поля при СВЧ обработке диэлектрических плоскослоистых объектов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Вендин С. В., д-р техн. наук, проф. Белгородская государственная сельскохозяйственная академия им. В.Я. Горина

Трубаев П. А., д-р техн. наук, проф. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г.Шухова

D = sE,J = стE,B = цН, (1) где Б - диэлектрическая проницаемость среды; Ц - магнитная проницаемость среды; Ф - проводимость среды.

В этом случаеэлектродинамические аспекты состояния материальной среды, которая неподвижна относительно координатных осей, описываются уравнениями Максвелла [1, 2]:

Ж"

К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННОСТЕИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ СВЧ ОБРАБОТКЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛОСКОСЛОИСТЫХ ОБЪЕКТОВ

elapk@mail.ru

Рассмотрены вопросы расчета напряженностей электромагнитного поля при СВЧ обработке диэлектрических плоскослоистых объектов. Дается общая постановка задачи, в которой объект рассматривается, как структура, состоящая из нескольких плоскопараллельных слоев. Каждый объект характеризуется соответствующими электрофизическими характеристиками, характерными для диэлектрических сред.

В основу решения положены уравнения Максвелла для изотропной среды при отсутствии электрических зарядов. Приводятся: общее решение для плоскослоистой структуры, когда объект взаимодействует с плоской, монохроматической, линейно-поляризованной электромагнитной волной и матричная форма уравнений для определения комплексных коэффициентов

Ключевые слова: СВЧ, диэлектрический объект, плоскослоистый, электромагнитная волна, напряженность электромагнитного поля, электрическое поле, магнитное поле.

Важное место в технологических приемах СВЧ обработки занимают вопросы эффективности передачи СВЧ энергии от генератора к объекту, создание определенных условий в объекте по напряженности электромагнитного поля. В одном из случаев поставленная задача представляет собой электродинамическую задачу взаимодействия электромагнитной волны с диэлектрическими плоскослоистыми объектами (например обработка слоя материала на ленте под рупором антенны).

Решению вопросов распространения электромагнитных волн в плоскослоистых полупроводящих средах посвящено довольно много работ [1, 2]. Но учитывая, что в этих работах решаются отдельные конкретные задачи, приведем общее решение задачи распространения и отражения электромагнитных волн в плоскослоистых диэлектрических средах, имеющей важное значение при разработке технологических приемов, способов и технических средств для термической СВЧ-обработки диэлектрических материалов.

Согласно расчетной схемы задачи (рис. 1), будем полагать также, что объектявляется несовершенным диэлектриком, а электрофизические параметры внешней среды ц, 8, ст и каждого

слоя объекта и - р ■ ^ • являются постоянными Н' Р .1

и однородными по всему объему, а средняя объемная плотность электрического заряда р равна

нулю. Тогда, при незначительных изменениях электрофизических параметров вдоль линейных размеров для изотропной среды при р = 0 с достаточной степенью достоверности имеют место соотношения:

го® =

аБ + в

вёгуБ = 0,

_ ^н го1Б = -ц,—,&уН = 0,

а

(2)

где О - электрическая индукция; Б - напряженность электрического поля; Н - напряженность магнитного поля; В - магнитная индукция; Т - плотность электрического тока;

У

Л,

О ✓ J т /77+*

Мо ¿V

М-, 4>/ Ът**

г

Аг % Яш-/ Я™

м

- падающая ЭМВ,

Й2Р+1

- отраженная

ЭМВ, j = 0,1,2,...т +1. Рис.1. К задаче распространения электромагнитной волныв полупроводящих плоскослоистых средах

Для решения уравнений (2) весьма эффективно использовать метод комплексных величин, т.е. принимать, что напряженности электрического и магнитного полей в любой точке

пространства равны действительным частям

* * •

комплексных векторов Е Н вида Ае , где

A - комплексная величина, не зависящая от времени t.

Кроме того, полезно использовать ком-•

плексный вектор M, объединяющий напряженности электрического и магнитного полей. В

таком случае, обозначим:

* * • * * *

Н± ivE = Meirot ,или H ± ivE = M.(3)

Тогда комплексный вектор M в соответствии с (3) должен удовлетворять уравнениям: • • •

rot M = ±kM, div M = 0, (4)

где k = ^rav - коэффициент распространения

1

ЭМВ; v = [(ею - ia) / цю]2 - характеристическая проводимость среды; © = 2ftf - круговая

частота ЭМВ; f - частота ЭМВ.

Для отыскания решения воспользуемся известным в математике приемом [3] и возьмем

rot от первого уравнения (4):

• • •

rot(rot M) = graddiv M- V2 M. (5)

Тогда, с учетом (4) для комплексного вектора M получим дифференциальное уравнение • •

2 - 2 -V2M+ k2M = 0 (6)

Положим, что падающая на объект электромагнитная волна, является плоской с электрическим вектором, поляризованным вдоль оси Y, и распространяется вдоль оси Z. Тогда, для плоской ЭМВ в декартовых координатах справедливы соотношения [1]:

• • • •

дН _дН _дE_ д E dx ду dx ду

= 0,

(7)

с учетом которых, для вектора M имеем аналогичные выражения:

д M д M

= 0

dx ду

В таком случае, уравнение (6) с учетом (8)

и оператора Лапласа V2 [3] преобразуется к виду:

д2 М ,2 * (9)

—2 + к2 М = 0. (9)

&2

* •

Уравнение (9) при замене векторов Н и Е ' -' * - •

на соотношения Н = \ Н, Е = 3 Е разделяется на два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка

-—Н = Н, ^^Е .(10)

az"

dzf

Решением уравнений являются функции

вида:

Т7 ~ „ikz , „ -ikz

E = Ci e + C2 e ,

H = c3e

ikz

-ikz

(11)

с4 е • • • •

Для коэффициентов с1, с2, сз, с4 имеют • • • •

место равенства С3 = V С1; С4 = -V С2 .

В таком случае напряженности электрического Е и магнитного Н полей в плоскослоистой структуре для нашего случая описываются выражениями вида:

Ey = Ci e1

ikz

■C2 e

-ikz

Hx =-v

Qe^ - C2e_ikz

] (12)

Индексы "х", "у".указывают вдоль какой оси поляризован вектор напряженности поля,

знак (-) в выражении для Нх соответствует тому, что при такой поляризации ЭМВ вектор Н направлен в сторону, противоположную оси X.

Коэффициенты при функции соответствуют падающей ЭМВ, а коэффициенты при функциие"гкгсоответствуют отраженной ЭМВ.

Как уже указывалось ранее, неизвестные постоянные в случае плоских электромагнитных волн можно определить из условий непрерывности тангенциальных составляющих напряжен-ностей электрическогоЕи магнитного Н полей на границах раздела сред.

В общем случае напряженности электриче-скогоЕ и магнитного Н полей в соответствии с (12) в каждом слое (рис. .1) при напряженности,

(8) падающей на объект ЭМВ, E 0 определяются

следующими выражениями:

при да <z < 0

Еуо = Е°ек°2 + Е1е~^к°2;

уо _ ^о

Е о е

Нхо = -V

^ о2 _ Е1 е ^ °2

при Rj.1<z < Я], j = 1,2...ш-1

¡к '2 _|к '2

Еу = Е2] е ] + Е2]+1-е ]

* *

Е2]е -1 - Е2]+1 е -1

(13)

при Яш-1<г < Яш • •

Нхш — —V

Еуш = Е2ш е1кш2 + Е2ш+1 е

"¡кш2

ш

Е2ш е

¡кш2

Е2ш+1 е

-¡кш2

при Яш<2< да

• •

Еуш+1 = Е2ш+2е1кш+12,

Условия непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей на границах раздела сред имеет вид:

# #

Еуо(к0,0) = Еу1(к1,0), • •

Нхо(ко,0) = Нх1(к1,0), • •

= Еу]+1(к]+1,Я]),

(14)

Нх (к]Я ]) = Нх]+1 (к]+1,Я]), ] = 1,2...ш -1, • •

Еуш(кш,Яш) = EУш+1(kш+1,Rш),

Нхш (kш, Яш ) = Нхш+1 (кш+1, Яш ), Соотношения (14) с учетом (13) представляют систему уравнений относительно

Ер(р = 1,2,...2ш + 2), которая в матричной форме имеет вид:

МР=Щ15)

где

Нхш+1 — ^ш+1Е2ш+2е1кш+12.

" 411 412 413 0 0 0 0 0 0

421 422 423 0 0 0 0 0 0

0 432 433 434 435 0 0 0 0

м = 0 442 443 444 455 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 „2т+1 42т 2т+1 42т+1 2т+1 42т+2

0 0 0 0 0 0 „2т+2 42т „2т+2 42т+1 Пр Ф 0, р „2т+2 42т+2_ = 1,2

Р

Е1

Е 2

Е 2т+2

N

п1

п2 0

0

пр = 0, р = 3,4,...2т +1

п1 = - Е 0

п2 = -П) Е 0

Формулы для определения значений элементов квадратной матрицы М ранга 2т+2 приведен^! в таблице 1. Элементы матрицы 4р

имеют ненулевые значения только в рамках изменения индекса 8 , определенных таблицей 1. Кроме того, следует учесть, что индекс 8не может иметь значений менее 1 и более 2т+ 2, т.е. при пользовании таблицами следует иметь вви-

ду, что не существует элементов матрицы М, определенных следующим образом:

1) j =т + 1, Р = 2j -1 = 2т+1, Б=Р + 2=2т+3,

2т +1

Я2т+3 - не существует

2) j= т + 1, Р =2j= 2т+2, Б= Р+1 =2т+3, 2т+2

У2т+3 - не существует

Отметим, что в общем случае определитель матрицы М не равен нулю, следовательно, решение системы уравнений (2.60) однозначно определяет комплексные коэффициенты

Ер(Р = 1,2,...2т + 2).

Таблица 1

Формулы для определения значений элементов qP квадратной матрицы М ранга 2т+1

(Р - номер строки, 8- номер столбца)

Р-2 Р-1 Р Р+1 Р+2

р=1 0 0 1 -1 р+2

Р=2 0 -Уо "П 0

Р=2j -1 ]=2,3,...ш+1 0 e-1kj_lRj_l _ eikjRj-1

Р=2j ]=2,3,...ш+1 V j_le -V j_le j j 1к;Я 1 -1к,Я,_1 0

В заключение отметим, что непосредственный анализ и отыскание коэффициентов для •

плоскослоистых сред Ер можно осуществлять

любыми известными в математике методами решения систем уравнений [3, 4]. Однако, используя метод определителей для решения системы (15)можно сразу определять значения ко-•

эффициентов Ер для ]-го слоя, не проводя общего решения задачи.

Таким образом нами получено общее решение задачи распространения плоской линейно-поляризованной электромагнитной волны в среде с диэлектрическими плоскослоистыми объектами. Напряженности электрического и магнитного полей в каждом слое полностью определяются выражениями (13) и(15).

Мгновенные значения напряженностей

электрического Е и магнитного Н полей в любой точке будут определятся, как действительные части комплексных векторов вида:

Еу = Яе

е1ю1Е

у

Нх = Яе

е1Ы Нх

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Фальковский О.Н. Техническая электродинамика. М.: Изд. Связь, 1978. 432 с.

2. Кинг Р., Смит Г. Антенны в материальных средах. М.: Изд. Мир, 1984. Кн.1,2.

3.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Изд. Наука, 1984. 835 с.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Изд. Наука, 1964. 608 с.