К решению задачи взаимодействия электромагнитной волны с многослойным сферическим диэлектрическим объектом Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Вендин С. В., д-р техн. наук, проф.

Белгородская государственная сельскохозяйственная академия им.В.Я.Горина

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ С МНОГОСЛОЙНЫМ СФЕРИЧЕСКИМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ

elapk@mail.ru

Рассмотрены вопросы расчета электромагнитных полей в многослойных диэлектрических объектах сферической формы при СВЧобработке. Дается общая постановка задачи, в которой объект рассматривается как внутренняя сфера, окруженная сферическими слоями. Каждый объект характеризуется соответствующими электрофизическими характеристиками, характерными для диэлектрических сред.

В основу решения положены уравнения Максвелла для изотропной среды при отсутствии электрических зарядов. Приводится общее решение для внутренней и внешней задачи, когда объект взаимодействует с плоской, монохроматической, линейно-поляризованной электромагнитной волной. Решение представлено в виде сумм бесконечного ряда по произведениям функций Бесселя, цилиндрическим функциям Ганкеля второго рода и присоединенным функциям Лежандра.

Ключевые слова: СВЧ, диэлектрический объект, слоистый, сферический, электромагнитная волна, напряженность электромагнитного поля, электрическое поле, магнитное поле, электродинамический потенциал.

При СВЧ обработке диэлектрических объектов для комплексного решения проблемы необходимо исследование вопросов распространения и отражения электромагнитных волн (ЭМВ) применительно к технологическим процессам обработки. Одной из таких технологических задач является обработка слоистых сферических объектов (драже, гранулированные семена, пораженные вредителем зерно и др.).

В научной литературе встречается решение задачи о рассеянии плоских волн для случая однородной сферической частицы [1,2 и др.], но, видимо в отсутствии практической необходимости, решение для многослойных сферических объектов многими авторами просто не рассматривалось.

В связи с этим, приведем решение задачи взаимодействия плоской, монохроматической, линейно-поляризованной электромагнитной волны с многослойными диэлектрическими объектами сферической формы. Расчетная схема задачи приведена на рис. 1.

Будем полагать также, что объект является несовершенным диэлектриком, а электрофизические параметры внешней среды Ц, 8, С и

каждого слоя объекта ц,^ £ ^ а j являются постоянными и однородными по всему объему.

Для несовершенных диэлектриков будем полагать, что средняя объемная плотность электрического заряда р равна нулю. Тогда, при

незначительных изменениях электрофизических параметров вдоль линейных размеров для изотропной среды при р — 0 с достаточной степенью достоверности имеют место соотношения:

Б = еБД = стБ,Б = цИ, (1)

где 8 - диэлектрическая проницаемость среды; Ц - магнитная проницаемость среды; С - проводимость среды.

г

Я

мг

//С" /Мгт- Мгт-л

М 0, М 2 .

падающая ЭМВ, Мг]1 - отражен-

ная ЭМВ, ] = 1,2....ш. Рис. 1. К расчету напряженности электромагнитного поля в многослойном диэлектрическом объекте сферической формы

В этом случае электродинамические аспекты состояния материальной среды, которая неподвижна относительно координатных осей, описываются уравнениями Максвелла [1, 2]:

ав"

го1Н =

аБ + е

а

,£&УБ = 0,

- Ш ,. -rotE = -и,— ,divH = 0,

at

(2)

где D - электрическая индукция; E - напряженность электрического поля; H - напряженность магнитного поля; B - магнитная индукция; J -плотность электрического тока;

Для решения уравнений (2) весьма эффективно использовать метод комплексных величин, т.е. принимать, что напряженности электрического и магнитного полей в любой точке

пространства равны действительным частям

* * • •

комплексных векторов E,H вида Aeirat, где A -комплексная величина, не зависящая от времени t.

Кроме того, полезно использовать ком-•

плексный вектор M, объединяющий напряженности электрического и магнитного полей. В

таком случае, обозначим:

* * • • • •

H ± iv E = M eirot ,или H ± iv E = M.

Тогда комплексный вектор M в соответствии с (2.3)-(2.5) должен удовлетворять уравнениям:

• • •

rot M = ±kM, div M = 0, (4)

где k = ^rav - коэффициент распространения

1

ЭМВ;v = [(еш - Ict) /цш]2 - характеристическая проводимость среды; ш = 2^f - круговая частота ЭМВ; f - частота ЭМВ.

Используя метод решения для однородной

сферической частицы, приведенный в работе [1],

•

для компонент вектора М : в сферических координатах будем полагать:

• -2 • •

о 2

М r = —2 (r Q) + Иг Q,

5г2

• •

* 1 д 2(r Q) k d(r Q)

M e =---—J-±—--ь—L ,

r SrS9 r sin 9 5ф

a^ ± k a(rQ), (5)

r sin 9 drdty r a9 • • • •

где функция Q = Qr = U+ iV является электродинамическим потенциалом, удовлетворяющим уравнению V2Q + k2Q = 0.

В этом случае функции

можно представить в виде сумм бесконечного ряда:

для сходящихся (падающих) волн • • •

r Q = rUo + Ir Vс >

• TO , ,4

rUc = ^ an^n(kr)PI1(cos 0) cos ф,'( )

n=1

• да

rVc = X bn V n(kr)Pi1(cos 6)sin ф.

n =1

для расходящихся (отраженных) волн • • •

r Q = rUp + ir Vp,

•да 1

rUp = E cn n (kr)Pn (cos 0)cos ф, (7)

n=1

да

,1

r Vp = Z dn^n(kr)Pn(cos 6)sin ф, F n =1

где an, bn, cn, dn - постоянные коэффициенты; Pj^ (cos 9)- присоединенные функции Ле-жандра;

1

Ф n(kr) = [7ikr/2]2J i(kr)' n+2

\ n(kr) = [7rkr/2]2H(2)1(kr),(8)

n+J

J 1 (krV H(2),(kr) n л— - . 1 v '

2

- соответственно функции

2

n+-2

Бесселя первого рода и цилиндрические функции Ганкеля второго рода,

В том случае, когда падающая на сферический объект, плоская монохроматическая электромагнитная волна имеет электрический вектор, поляризованный, например, параллельно координатной оси Y, её компоненты определяются в соответствии с выражениями:

(Mr , Me ,МФ) = eikr cos0±I* (sin 9, cos 0,±i), (9)

а соответствующая ей функция ^0 имеет разложение [171]:

• да ^ 1

r Q0 = k "2е±1фХ in4 21 V n (kr)P¿ (cos 9).

(10)

П=1 п(п +1) Постоянные коэффициенты в выражениях (6)-(7) определяются из условий непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границах

Г =

Функцию r Q0 целесообразно представить в

виде

г = I Ап,0^ п(кг)р;(оо8 0)е 1 (11)

п=1

В таком случае, электромагнитное поле вне сферы и поле внутри сферы для каждого слоя (рис.1) описывается выражениями вида: •да 1

гио = £ Ап0Уп(к0г)Рп(со8 0)с^ Ф> п=1 '

•да 1

гУ0 = I Вп0¥п(к0г)р11(с08б^т ф, п=1 '

• да 1

гИ2Н = ^ Ап2|-1Сп(к;_1г)Рп(со80)^ф, п=1

да

гИ2] = Е Ап 2]Фп(к;г)Рп(шз6)ш5ф, п=1

• да

rV2J = х В

п=1

1 = 1,2,3,...ш,

где

А

п,0

= В

п,0

, -2-п-1 2п +1 =к J -

п(п +1)

Коэффициенты Л^ и Бп1

(1=1,2,...2ш)однозначно определяются системами уравнений:

АХ = С, ВУ = Б, (13)

где

1 (12) = 2 Вп 21-1Сn(kj-lr)Plп(cose)sin ; п=1

А =

а.

0

0 •

0 0

а

а

а21 а22 а23

32

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

азз аз4 аз5

00 00 00 00

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

2т-1 2т-2 2т 2т-2

0 0 0 0

2т-1 2т-1 2т 2т-1

0 0 0 0

а а

2т-1 2т 2т 2т

X =

в

А„1

А

п ,3

А

п ,2 т

С =

С с,

Ъц Ъ12 Ъ13 0 0 0 0

Ь21 Ъ22 Ъ23 0 0 0 0

0 Ъ32 Ъ33 Ъ34 Ъ35 0 0

0 Ъ42 Ъ43 Ъ 44 Ъ45 0 0

• • • • • • •

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

* 0, р = 1,2

= 0, р = 3,4,.. .2,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

• • •

2 т-1 2т-2 (2 т 2т-2 / 2т-1 Ъ2т-1 Ъ2т 2 т-1 / 2т-1 Ъ2т Ъ2 т 2т

Формулы для определения значений ненулевых элементов векторов-столбцовС и Бранга 2ш приведены в таблице 1.

а42 а43 а44 а45

0

0

Таблица 1

С: С2

-— (ко Я) ^0 - - ЛЖ(-0 Я) - -0Вп,0^п (-0Ю К ^0

Формулы для определения значений ненулевых элементов квадратных матриц А и В ранга 2т приведены в таблицах 2-3, где индекс 8 не может иметь значений менее 1 и более 2т.

При пользовании таблицами 2-3 следует иметь в виду, что не существует элементов определенных следующим образом:

1) Р=2И=1, 8=Р-1=0;

2) ]=1, Р=2л=2, Б=Р-2=0;

3) ]=т, Р=2_)-1=2ш-1, Б=Р+2=2ш+1;

4) ]=ш, P=2j=2ш, Б=Р+1=2ш+1.

Таблица2

р

Формулы для определения значений элементов квадратной матрицыЛ ранга 2т

Р-2 Р-1 Р р+1 Р+2

Р= 2]-1 0 -> 1 — Уп (---Я, ) — - - -> 1 — ^П (---Я, ) - , (К._1Я.) у -, (-А) у

Р= -]-Уп(-, -1 (-..Я.) --1' п^ 1-1 ]' - к^: (.я ) - (-Я) 0

]=1,2,...ш; Р,8=1,2,...2ш

Таблица 3

Формулы для определения значений элементов Ьр квадратной матрицый ранга 2т

( р - номер строки, 8 - номер столбца)

Р-2 Р-1 Р Р+1 Р+2

| | Т ^ с? 0 --(---1я, ) - ---х¥п (-1-Я0 - (-Я-)

P=2j -< 1 — (---Я,) V 1 1 -. 1 ^ ?п (--Я-) -< (-мЯ-) -< ' --(-Л) 0

]=1,2,...ш; Р,Б=1,2,.2ш

В общем случае определители матриц Аи В не равны нулю, следовательно, решение системы уравнений (13) однозначно определяет неизвестные коэффициенты Лп>1 и Бп>1 (1 = 1, 2, ....2ш). Непосредственный анализ и отыскание коэффициентов можно осуществлять любыми известными в математике методами решения систем уравнений.Например, используя метод определителей [3 и др.], можно сразу определять значения коэффициентов и получать решение для ] -го слоя не проводя общего решения задачи. Однако важно заметить, что, согласно расчетной схемы задачи (рис,1), общая напряженность электрического и магнитного полей в ]-м •

слое Мц будет определяться суммой напряжен-

ностей падающей и отраженной электромагнитных волн, т.е.

• • •

М = М2+ы^ .¡=1,2,-ш-1. (14)

Отметим, что полученное решение полностью определяет значение комплексного вектора

М .В тоже время, на практике, интерес пред-

•

ставляет не сам вектор М, а значения напря-женностей электрического и магнитного полей. В связи с этим, учитывая, что при электромагнитных возмущениях в диэлектрической среде

доминирующими являются волны электрическо-•

го типа - V, то напряженности электрического и магнитного полей можно рассчитать исходя из соотношений (3) и (5):

Нг = 0, ¿г = 1

д2 • 2 • — + к2^

бг2

H 9 =

H ф - -

= 5(rV) E0 = 1 a2(rV) (15)

г sin 9 5ф vr 3r59

ik <9(rV)

г 59

Еф —

_J_д 2(rV)

vrsin 9 drdq>

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Бейтмен Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн. М.: Изд. Наука, 1958. 180 с.

2. Фальковский О.Н.Техническая электродинамика. М.: Изд. Связь, 1978. 432 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Изд. Наука, 1984. 835 с.