CC BY
106
где V = 210 км/ч = 58,8 м/с — среднее значение скорости полета на расчетном участке по данным МСРП.
Для определения нормальной перегрузки пу используем формулу (8) при условии г2 = г :
Г,
Y=t
1-1
v nyj
Тогда перегрузка будет равна:
1 1
и„
s 1,08.
- 1-у 1-0,0731
Результаты расчетов представлены в табл. 3.
Литература
1. Руководство по управлению безопасностью полетов (Doc 9859 ИКАО). 2009.
2. Тарасенков А. М., Брага В. Г., Тараненко В. Т. Динамика полета и боевого маневрирования летательных аппаратов. Ч. I. Траектории движения и летные характеристики / под ред. А. М. Тарасен-кова. М.: ВВИА им. проф. Жуковского, 1973.
3. На пути к снижению аварийности при заходе и выполнении посадки. Оригинальная версия Airbus. Издание 1 октября 2000 г. / Русская версия. Аэрофлот. Издание 2 октября 2004 г.
Таблица 3. Значения управляющих функций
V, км/ч V n y Y,град.
x, м ср' км/ч Измеренные Расчетное Погреш- Измеренные Расчетное Погреш-
(МСРП) значение ность (МСРП) значение ность
10 800 208 1,03 5,1
10 330 210 1,15 5,3
9870 205 210 1,1 1,08 3 % 3,4 4,2 4 %
8790 207 1,1 4,2
7900 210 1 3,2
К проблеме устойчивости системы «экипаж — воздушное судно»
Система «экипаж - воздушное судно (ВС)» представляет собой сложную, динамическую систему с двумя основными элементами. При динамическом моделировании системы используются нелинейные уравнения движения ВС, законы отклонения рулей и изменения тяги двигателей, в которых действия экипажа (пилотов) задаются через коэффициенты управления. Ниже представлен упрощенный подход к исследованию устойчивости системы «экипаж - ВС». Уравнения устойчивости системы были получены путем линеаризации нелинейных уравнений движения ВС с заданным законом управления.
В динамической модели системы «экипаж — ВС» элемент ВС — сложный объект, состоящий из большого числа твердых деформируемых тел, имеющий переменную массу и жидкое наполнение (топливо), заменяется на твердое тело постоянной (недеформируемой) конфигурации переменной или постоянной массы. Экипаж ВС, второй сложный элемент системы, моделируется коэффициентом управления.
Проблема изучения поведения системы «экипаж — ВС» с формальной точки зрения сводится к проблеме изучения свойств решений системы нелинейных и линеаризованных дифференциальных уравнений. При этом основное внимание уделяется исследованию устойчивости движения, оказывающей существенное влияние на исход полета, особенно на этапе посадки при движении ВС по глиссаде.
Движение ВС в общем случае описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, а потому представляет известные сложности для исследований. Когда система нелинейна, то в зависимости от величины возмущения она может быть устойчи-доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры летной вой или неустойчивой. Если система линейна и устойчива, то она эксплуатации и профессионального обучения устойчива при любом по величине возмущении. Линейная система
авиационного персонала СПбГУ ГА хорошо описывает поведение нелинейной системы, когда началь-
ные возмущения малы.
В. И. Арбузов,
доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой физики и химии СПбГУ ГА
Е. Ф. Жигалко,
доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика» Петербургского государственного университет путей сообщения (ПГУПС)
А. П. Ушаков,
доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой диагностики технических систем СПбГУ ГА
В. Е. Чепига,
drk
Для получения простых решений линейных дифференциальных уравнений возможны дальнейшие упрощения задачи, связанные с допущением постоянства коэффициентов уравнений на исследуемом интервале времени. Так как продолжительность переходных процессов невелика, можно пренебречь изменением кинематических характеристик невозмущенного движения (метод «замороженных» коэффициентов).
Линеаризованная система дифференциальных уравнений в общем виде состоит из шести уравнений движения и девяти кинематических уравнений, которые можно еще упростить, предполагая, что полет происходит без крена и скольжения. В первом приближении продольное и боковое возмущенное движение ВС можно рассматривать независимо друг от друга.
Будем предполагать, что параметры возмущенного движения отличаются от параметров невозмущенного движения на бесконечно малую величину (вариацию) (с индексом «0»):
V = У0 + ДУ; & = &0 + Д&; = 0О +Д0 и т. д., где ДУ, ... — вариации параметров возмущенного движения.
Тогда можно считать, что произведения и квадраты отклонений параметров от невозмущенных значений пренебрежимо малы по сравнению с их первыми степенями, т. е. к динамической модели применим метод малых возмущений. Нелинейные уравнения движения [1], записанные в «возмущениях», линеаризуются в окрестности невозмущенного движения.
Линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка, разрешенная относительно старших производных, приводится к нормальной системе п уравнений Коши, которые в векторной форме имеют вид:
j-X-AX,
(1)
Для продольного движения п = 6. Искомый вектор и матрица коэффициентов имеют следующие компоненты: X = {AV>A0,Ae>l,M>Ayi>A*Jf};
au=~av ~CvaV + Сvydv> «12 =~«0 +aa + +
«13 = o; «14 = ~aa -w Qis=o; «i6 = o; а21=Ьу+Су-CfCiy +Cydv; a22 = ba-ba -c"vae + c'vaa + c'vde;
°2з=«24=К -çA; a2s=o; «26=_
a3i=K^vi «32 =<L +«33 = -q4 -1« -K;>
аы=-ча~К'> aK=K> «зб=°;
«4i =°; «42 =°; «43=1; «44 =°; «45 =°;a« =°; «SI =dv> «52 =de> «53 =°; «54 =°; «55 =°; «56 =°;
«6i = ki «62 = «63 = o; «64 = o; «6S = «66 = °>
где a0=gcos0o; aa -
2Gcos0c
h SpX
p0svj PvcosctA P" g sin0o
"r =—- c* —„ „ ; a. =—cosa.; ba = „ 4 m Sp0V0 ) m 0 6 w
m + SpX J ™ Г'
P"sina0
h spava
P^sino: Kb sPX_. =_Kb SPX. a mV„ I. A 2 ° 1*2
m''u тап _2 г I, 2 m
n =—z • n =—z • = ——— = —— ■ r =-■
Гг К К"1 PoSVi
a.c , b.c. , „
Л „о
2m
ftA
Для неуправляемого ВС
= = ky = =cv =cv = cvr =cv =^v= cv, = 0-
В формулах использованы следующие обозначения: Л., е.— коэффициенты управления по соответствующему параметру;
т — масса самолета;
— момент инерции самолета относительно поперечной оси; ЬА — средняя аэродинамическая хорда; V — скорость самолета;
юг — угловая скорость самолета относительно поперечной оси; тг — коэффициент момента тангажа; & — угол тангажа; 0 — угол наклона траектории; а — угол атаки;
сх — коэффициент лобового сопротивления; с — коэффициент подъемной силы; S — площадь крыла; Р — тяга двигателя; р — плотность воздуха; д — угол отклонения руля высоты.
Верхний индекс в выражениях с", с", т"', Ру, Рд означает
производную по соответствующему параметру (например: с" =
„ 8с „ 8т пУ дР х .. „ да
с" = —-; т ' = —-; Р = — и т. д.), нижний индекс «0» соответст-да дшг дУ
вует невозмущенному движению; «£» — обозначает земную систему координат.
Основное уравнение управления имеет вид [1]: д = -К„Дй + Ку АУу - К„г Д<иг - КвАв,
где Кь, Ку,Кш, Ке — коэффициенты управления.
ЛИ = Н-Н}; ДУу=Уу-Уу!; Ав = в-в3. Общий закон управления тягой двигателей преобразуется к виду:
Р = Р0-АР; АР = СуАУ + СуУ + СуАУу\ АУ = У-УЪ, '
где С — коэффициенты управления тягой.
Выведенная система однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (1), описывающая управляемое продольное движение ВС, имеет шестой порядок. При анализе устойчивого движения ВС можно заметить, что устойчивость не зависит от координаты (шестое уравнение) и пренебрежимо мало зависит от координаты (пятое уравнение). Тогда для исследования устойчивости системы «экипаж — ВС» можно использовать замкнутую систему уравнений четвертого порядка (четыре первых уравнения системы (1)).
Задавая решение обыкновенных линейных уравнений с постоянными коэффициентами (1) в известном виде, получим характеристическое уравнение системы в форме:
А (р) = р4 + а1р3 + а2р2 + а3р + а4, (2)
где коэффициенты а , а2, а3, а4 выражаются через компоненты матрицы (1).
В случае неуправляемого движения коэффициенты уравнения (2) с точностью до обозначений и малых величин совпадают с известными выражениями [1]:
«2 = «V (К - К - Ъу (аа - ав)+Ьд, + <?„ + + ^ )(аг - Ьв);
«з=<?„К -ьв)+<г»(«А -«Л)+К+<1а){авК -«Л);
«4 =Ча(овЬу -яуЬв).
Условие устойчивости соответствует неравенствам: Ор а2, аъ, а4> 0; а^а^-а^-аД >0.
58 | «Транспорт Российской Федерации»
№ 6 (43) 2012
Реальное движение ВС, которому соответствует характеристическое уравнение (2), может быть представлено в виде суммы более простых движений, каждому из которых приводится в соответствие характеристическое уравнение второго порядка. Эти два вида движения имеют существенно различные частоты собственных колебаний и коэффициенты затухания. Большие корни характеристического уравнения (высокие частоты) отвечают короткопериоди-ческому движению, малые корни (низкие частоты) соответствуют длиннопериодическому движению ВС. Разделение движения ВС на два вида обосновано физически. Изменение угла атаки а практически полностью протекает в короткопериодическом движении, в то время как скорость полета V можно считать неизменной в коротко-периодической фазе движения; угол наклона траектории движения ВС 0 в основном изменяется в длиннопериодическом движении. Разделение движения ВС на две простые фазы невозможно, когда ВС обладает недостаточной степенью продольной статической устойчивости (неустойчивостью в фазе короткопериодического движения). Большинство самолетов обладают достаточной устойчивостью (соответствуют нормам летной годности) в отношении короткопериодического движения. Таким образом, интерес представляет исследование длиннопериодического движения.
Упрощенно можно считать, что длиннопериодическое движение начинается после окончания короткопериодического движения. Короткопериодическое движение вызвано нарушением равновесия сил, которыми пренебрегают в первый момент при определении характеристик короткопериодического движения.
Для длиннопериодического движения (Да~0): А(Р)л=р2+а1р+аг;
а1 =аА; я2 =«6^-аА;
а
v „
Pv cosa.
SPoVo
gsin0„. =pgS V. m
; ae =gcos0o; Pv sin a,
(3)
Sp0V0
Условия устойчивости Гурвица а1 > 0; а2 > 0. Отсюда следует, что устойчивость существенно зависит от производной Ру и коэффициентов сх, а период колебаний еще и от су, так как эти коэффициенты определяют значения проекций сил, нарушение равновесия которых вызывает длиннопериодические колебания.
Для пологих траекторий снижения коэффициент Ь0 достаточно мал, однако при больших значениях угла 0 коэффициент Ь0 играет существенную роль в колебательном процессе.
Анализируя коэффициенты (3), можно сделать вывод, что затухание колебаний (коэффициент демпфирования й = ^а^ зависит от конструктивных и динамических (кинематических) характеристик ВС, которые необходимо принимать в расчет в процессе летной эксплуатации:
те ,
Если параметры (нагрузка на крыло), сх (конфигурация ВС)
определены в данном полете, то на характеристики Ру и 0 экипаж может влиять (на модели влияние осуществляется через выбор коэффициентов управления К). □
Литература
1 Коваленко Г. В., Микинелов А. Л., Чепига В. Е. Летная эксплуатация. М.: Машиностроение, 2007. 416 с.
Летная эксплуатация воздушного судна для критических режимов, описываемых волновым уравнением
При летной эксплуатации самолетов в условиях, приближающихся к волновому кризису, должны учитываться эффекты, описываемые волновым уравнением в окрестности точки сингулярности. Для этого предлагается использовать гиперболическую систему координат. В новых переменных волновое уравнение принимает вид уравнения Лапласа в полярных координатах. Получено его решение, отличающееся от интеграла Пуассона. С его помощью появляется возможность более точно рассчитывать параметры обтекания самолета и его эксплуатационные характеристики.
Е. Ф. Жигалко,
доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика», Петербургского государственного университет путей сообщения (ПГУПС)
Ю. Е. Хорошавцев,
доктор техн. наук, профессор кафедры систем автоматизированного управления СПбГУ ГА
В. Е. Каленов,
аспирант кафедры летной эксплуатации
и профессионального обучения авиационного персонала СПбГУ ГА
Для эксплуатации воздушных судов необходимо ясное понимание физических процессов, происходящих в критических условиях полета. Обычно эти условия возникают, когда самолет выходит за диапазон допустимых скоростей, причем поскольку в пилотировании используются две
