Летная эксплуатация воздушного судна для критических режимов, описываемых волновым уравнением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Реальное движение ВС, которому соответствует характеристическое уравнение (2), может быть представлено в виде суммы более простых движений, каждому из которых приводится в соответствие характеристическое уравнение второго порядка. Эти два вида движения имеют существенно различные частоты собственных колебаний и коэффициенты затухания. Большие корни характеристического уравнения (высокие частоты) отвечают короткопериоди-ческому движению, малые корни (низкие частоты) соответствуют длиннопериодическому движению ВС. Разделение движения ВС на два вида обосновано физически. Изменение угла атаки а практически полностью протекает в короткопериодическом движении, в то время как скорость полета V можно считать неизменной в коротко-периодической фазе движения; угол наклона траектории движения ВС 0 в основном изменяется в длиннопериодическом движении. Разделение движения ВС на две простые фазы невозможно, когда ВС обладает недостаточной степенью продольной статической устойчивости (неустойчивостью в фазе короткопериодического движения). Большинство самолетов обладают достаточной устойчивостью (соответствуют нормам летной годности) в отношении короткопериодического движения. Таким образом, интерес представляет исследование длиннопериодического движения.

Упрощенно можно считать, что длиннопериодическое движение начинается после окончания короткопериодического движения. Короткопериодическое движение вызвано нарушением равновесия сил, которыми пренебрегают в первый момент при определении характеристик короткопериодического движения.

Для длиннопериодического движения (Да~0): А(Р)л=р2+а1р+аг;

а1 =аА; я2 =«6^-аА;

а

v „

Pv cosa.

SPoVo

gsin0„. =pgS V. m

; ae =gcos0o; Pv sin a,

(3)

Sp0V0

Условия устойчивости Гурвица а1 > 0; а2 > 0. Отсюда следует, что устойчивость существенно зависит от производной Ру и коэффициентов сх, а период колебаний еще и от су, так как эти коэффициенты определяют значения проекций сил, нарушение равновесия которых вызывает длиннопериодические колебания.

Для пологих траекторий снижения коэффициент Ь0 достаточно мал, однако при больших значениях угла 0 коэффициент Ь0 играет существенную роль в колебательном процессе.

Анализируя коэффициенты (3), можно сделать вывод, что затухание колебаний (коэффициент демпфирования й = ^а^ зависит от конструктивных и динамических (кинематических) характеристик ВС, которые необходимо принимать в расчет в процессе летной эксплуатации:

те ,

Если параметры (нагрузка на крыло), сх (конфигурация ВС)

определены в данном полете, то на характеристики Ру и 0 экипаж может влиять (на модели влияние осуществляется через выбор коэффициентов управления К). □

Литература

1 Коваленко Г. В., Микинелов А. Л., Чепига В. Е. Летная эксплуатация. М.: Машиностроение, 2007. 416 с.

Летная эксплуатация воздушного судна для критических режимов, описываемых волновым уравнением

При летной эксплуатации самолетов в условиях, приближающихся к волновому кризису, должны учитываться эффекты, описываемые волновым уравнением в окрестности точки сингулярности. Для этого предлагается использовать гиперболическую систему координат. В новых переменных волновое уравнение принимает вид уравнения Лапласа в полярных координатах. Получено его решение, отличающееся от интеграла Пуассона. С его помощью появляется возможность более точно рассчитывать параметры обтекания самолета и его эксплуатационные характеристики.

Е. Ф. Жигалко,

доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика», Петербургского государственного университет путей сообщения (ПГУПС)

Ю. Е. Хорошавцев,

доктор техн. наук, профессор кафедры систем автоматизированного управления СПбГУ ГА

В. Е. Каленов,

аспирант кафедры летной эксплуатации

и профессионального обучения авиационного персонала СПбГУ ГА

Для эксплуатации воздушных судов необходимо ясное понимание физических процессов, происходящих в критических условиях полета. Обычно эти условия возникают, когда самолет выходит за диапазон допустимых скоростей, причем поскольку в пилотировании используются две

скорости — воздушная и индикаторная, то и диапазонов два, каждый из которых определяется на основании своих физических условий. Для этих диапазонов характерно относительно плавное, без сжатия, обтекание потоком воздуха, соответственно рассчитываются параметры устойчивости и управляемости самолета. Но при скоростях, приближающихся к скорости звука, возникает волновой кризис, характер обтекания, в первую очередь несущих поверхностей, существенно меняется, становится нестационарным со скачками уплотнений, а поведение самолета оказывается труднопредсказуемым [1]. Для таких режимов построение математических моделей становится непростой задачей.

Ниже предложен принципиально новый подход к описанию волнового кризиса, основанного на использовании волнового уравнения. Поскольку кризис возникает при околозвуковых скоростях, используется модель волны, записываемая в гиперболических координатах [3]. Для нее получено решение, предсказывающее возникновение в точке сингулярности зоны сжатия, которая на практике проявляется в виде скачков уплотнения среды и ударной волны.

Известные решения волнового уравнения получены применительно к классическим физическим процессам, имеющим волновую природу, и лежат в области вещественных чисел. Такое предположение является вполне обоснованным, однако математически не исчерпывает всех возможностей. С другой стороны, не ко всем волнам применима существующая теория. Мы сделали попытку найти новые решения, расширив область поиска, включающую комплексные переменные.

Пусть имеется однородное волновое уравнение относительно и

1 д2и 82m_q

с2 dt2 дх2 ~ '

(1)

Перейдем к новым криволинейным координатам г и ф, которые будем называть гиперболическими:

r = Jc2t2-x2|, г>0,

(2)

0=!ШИ1—, 1=у/-[ . (3)

с£

Переходя от старых х и С переменных к новым г и ф, получаем функцию и (г, ф).

После ряда выкладок в конечном итоге волновое уравнение относительно искомой функции и (г, ф) может быть переписано как

е2и 1 ди дг2 г дг г

X ^ 1 д и _

(4)

Оно совпадает с уравнением Лапласа в полярных координатах. На первый взгляд может показаться, что в этом случае все решения уравнения Лапласа формально могут быть распространены на волновое уравнение. Однако для этого еще необходимо, чтобы граничные условия, во многом определяющие решение задачи, были одинаковыми. В противном случае формально полученное решение будет лишено смысла. Как нетрудно заметить, граничные условия (не только в задаче Дирихле) уравнения Лапласа не могут быть физически корректно интерпретированы в волновом уравнении. Необходима их модификация.

То, что при переходе к гиперболическим координатам получилось уравнение Лапласа в полярных координатах, конечно, неслучайно и объясняется фундаментальной связью тригонометрических и гиперболических функций в области комплексных чисел.

Вместо условия задачи Дирихле на окружности радиуса г мы запишем ограничение в виде

"1^=/«- (5)

Оно задает вид волновой функции в зависимости от фазы при наблюдении волны из инерциальной системы координат, двигающейся со скоростью у0 = х0/С0, такой, что ф0 = гагШу0 /с.

Условия задачи таковы: в лабораторной системе координат покоится источник колебаний, создающий волну. Движущийся наблюдатель в каждый /-момент оказывается в точке х0. = у0Ьщ и регистрирует амплитуду волны [.. Полученная таким образом функция

н|л = /(г) = Г^^-Щ задает граничное условие задачи. Здесь

индекс 0 при х и С означает не конкретное значение, а множество, на котором определяется /(г).

Если ф0 = 0, что соответствует у0 = 0, то наблюдение ведется из лабораторной системы координат и наблюдаются колебания излучателя [ (су.

Кроме того, из определения гиперболического тангенса следует, что |Шф| < 1, а это, согласно (3), соответствует у < с.

Координате г можно придать следующий смысл: если принять, что с = ю/к, где ю — частота колебаний, а к — волновое число, то

r=i J((üt + fc»í)(<Ot-foí)|.

(6)

То есть г равно среднему геометрическому фаз прямой и обратной волн в масштабе к.

Таким образом, чтобы решение уравнения (4) описывало волну, оно должно быть периодической функцией от г. В соответствии со сказанным граничное условие принимает вид (5).

Далее решение уравнения (4) производится методом разделения переменных Фурье [2]:

и=Ф(фЩг). (7)

Подставляя это выражение в (4), приходим к

Ф"(ф)_ r2L"(r)+rL'(r)

Ф(0)

Ц.Г)

= Х2, А>0.

(8)

Необходимость положительного знака перед X будет видна в дальнейшем: она вытекает из требования периодичности решения по r.

Условие (8) распадается на два уравнения:

Ф"(ф)-Х2Ф(ф) = 0, (9)

r4'(r) + rL'(r) + X2L(r) = 0. (10)

Решая (9), находим

Ф = РеХф + Qex*. (11)

Решение уравнения (10) ищется в виде функции L = rm, после подстановки которой в (10) получаем m = ±iX и

L=Acos(Alnr) + Bsin(Alnr). (12)

Подставляя (11) и (12) в (7), находим частное решение: u; =[Acos(Alnr) + Bsin(Alnr)](Pe^ + Qe'^j.

Далее произвольно полагаем P = 0, ограничиваясь ф > 0, где знак перед ф определяет направление движения по отношению к лабораторной, неподвижной системе координат:

u¡ =[АЯ cos(Alnr) + Вх sin(Alnr)]e"^. Здесь A, В, P, Q AX = АО, BX = ВО — постоянные интегрирования.

Поскольку X — непрерывная величина, общим решением будет

и=|е"^ eos (А 1пг) + Вд sin (A lnr)]dA. (13)

о

Воспользуемся краевым условием (5):

/•(Г)=|е-^» [A, cos(Alnr) + В, sin(Alnr)] dX.

о

Перейдем к новой переменной а = lnr и, используя тождество r = exp(lnr), представим граничное условие f(r) в виде функции

60 | «Транспорт Российской Федерации»

№ 6 (43) 2012

!f

и-— e

Л'а

a\dX.

Меняя порядок интегрирования, имеем

ж ^ |Ла)^е_;1<^о)со8[Я(а-1пг] dXJj da.

Интеграл в круглых скобках табличный со значением (0o-0)cosA(a-lnr)+(a-lnr)sinA(a-lnr)

(Ф~Фо)2 + (а-1пг)2 = Ф~Фо

(ф-ф0)2+(а-\шУ

Подставляя (15) в (14) в конечном итоге получаем

и(г,ф)=

ф-фр

№da

Я ¿в(Ф~Фо)2 + (а-1пг)2

(14)

(15)

(16)

,Ф~Фо

-arctg

a-lnr

=1.

[ (1пг) = [(а). Очевидно, что -«> < а < Пусть полученная таким образом [ (а) может быть представлена интегралом Фурье. Тогда

А, =-| /(а)со5(Аа) da,

ем. »

В1 =-1 [(а)зт(Ха) da.

Подставляя найденные А, Б, в (13) и следуя обычной схеме преобразований, получаем

_Ф~Фо

Я -™(Ф~Фо)2 +(в-1пг)2

- da =

I

cosn(a-lnr) da

sinn(a-lnr) da

Лф-фо)2 +(«-lnr)2 1(ф-ф0)2+(а-In r)2 Второй интеграл в силу нечетности подынтегральной функции обращается в ноль, а первый — табличный. В результате

u=en<*„-«e™inr_ (17)

Совершенно аналогично для f(a) = exp (-ina) получаем

e_i"lnr. (18)

Уравнение Лапласа линейное, поэтому суперпозиция решений (17) и (18) приводит к

eim+e-tm

--z-= cos па,

' (19)

№-

и=е

cos(nlnr).

Найденный интеграл является искомым решением волнового уравнения в гиперболических координатах.

Проанализируем его следствия. Прежде всего, рассмотрим случай г = 1, т. е. ехр(1п1) = 1 или [(а) = 1. Физически мы имеем постоянную фазу волны. Очевидно, что все точки волны, имеющие одинаковую фазу, должны иметь одинаковую амплитуду, поскольку уравнение (1) не предусматривает рассеяние энергии. Действительно, подставляя в (16) значение [(а) = 1, получаем табличный интеграл

л ф-ф0

Несомненный интерес представляет колебательное граничное условие. Пусть

Яг) = е"1пг, п> 0. [(а) = е"а,

Если ф = ф0, эта функция удовлетворяет граничному условию. Непосредственной подстановкой в (4) легко убедиться, что она удовлетворяет и волновому уравнению.

Решение (19) имеет особую точку r = 0, в ней lnr — -«>. Это имеет место, когда x/t = c, или v = x/t = c. Какой это имеет физический смысл? При r — 0 функция cos (lnr) описывает колебания все большей частоты так, что в пределе частотный спектр колебаний приближается к 6 — функции Дирака, т. е. вся энергия волны сосредотачивается в точке сингулярности с координатой x = ct. Для звуковых волн, когда c — скорость звука, мы имеем ударную волну, несущую разрушительную энергию.

Полученное решение позволяет с новых физических позиций исследовать поведение воздушных судов на больших скоростях и обоснованно регламентировать правила их летной эксплуатации, а также организовывать управление воздушным движением. □

Литература

1. Аэродинамические особенности и критические режимы полета на изделии 2М / Под. ред. В. И. Андреева. М.: Минобороны, 1981.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1977.

3. Хорошавцев Ю. Е. Волновое уравнение в гиперболических координатах. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ // Межвуз. темат. сб. тр. Вып. 9. СПб.: СПбГАСУ, 2003. С. 137-148.

Ведущий вуз Российской Федерации, осуществляющий

за^нивЕрешнннввянн

подготовку авиационных специалистов для гражданской -ИВ?* ' гАЖДАНиШИ АеИАи^И _ _ _

авиации России, а также стран ближнего и дальнего зарубежья.

ФГБОУ ВПО СПбГУ ГА - это современный вертикально интегрированный университетский комплекс, реализующий широкий спектр инновационных образовательных программ среднего профессионального, высшего профессионального, послевузовского профессионального и дополнительного профессионального образования на основе применения современных образовательных технологий.

Адрес: Санкт-Петербург, ул. Пилотов, д.38 Тел. 8 (812)704-15-19 Факс 8(812)704-18-63 [email protected] www.academiaga.ru