Теоретические основы влияния океанского волновода на условия распространения низкочастотного просветного сигнала
Стародубцев П.А.(рауе1@1аа.гиЛ Стародубцев Е.П.
Тихоокеанский Военно-Морской институт имени С.О.Макарова
Владивосток
Введение. Улучшение характеристик устройств обработки требует более глубокого понимания особенностей распространения акустических волн в водной среде, а усовершенствование акустических моделей стимулирует разработку более сложных методов обработки. Характер распространения акустических волн в океане определяется целым рядом факторов[1-3], обусловленных свойствами, как самой среды, так и ее границ. Для морской среды характерно наличие неоднородностей или в общем случае областей с различными значениями показателей преломления звука, которые находятся в состоянии турбулентного движения. Наличие подобных пространственно-временных неоднородностей среды обуславливает прием сигналов по нескольким лучам, причем их количество и углы прихода, а также амплитуды и фазы, составляющих сигнала будут непрерывно изменяться [2,3].
Наибольшее влияние на распространение звука в море оказывают вертикальные градиенты скорости звука, создающие рефракцию, и, как следствие, многолуче-вость сигнала в точке приема. Акустическое поле описывается уравнениями линейной акустики, в которых детерминированная компонента скорости звука представляет собой явление рефракции. Случайная компонента, вызвана флуктуациями поля температуры, поля солености, внутренними волнами и представлена в теории акустического поля явлением объемного рассеяния звука.
Рефракция, как физическое явление, характерна для распространения волн в среде с изменяющейся регулярным образом в пространстве - времени скоростью звука. Она состоит в искривлении лучей, возникающем в результате их внутренних отражений от областей с различными скоростями звука. В плоско - слоистой модели морского волновода искривление лучей возникает в вертикальной плоскости. В областях с вертикально-горизонтальными градиентами скорости звука лучи искривляются в двух плоскостях - перпендикулярной и параллельной поверхности. При волновой трактов-
ке задачи распространения рефракция возникает как результат интерференции различных мод колебаний и имеет форму трасс (лучевых трубок), по которым происходит преимущественное распространение звуковой энергии [3].
Детерминированная компонента акустического поля допускает модовое (волновое) описание распространения волн в области низких частот, а в области средних и высоких частот - лучевую (оптическую) асимптотику.
Постановка задачи. Для учета реальных условий распространения низкочастотных звуковых волн в океанском волноводе определим математические зависимости для коэффициентов межмодового рассеяния, функционально влияющие на процесс изменения спектральных характеристик просветных сигналов, на основании уравнения Гельмгольца [1-3]:
рdiv(р—grad и) + (®2/ с2)и = 0. (1)
Для проведения дальнейших рассуждений, введем малый параметр £ и разложения и=и0 +£и\,р~р0 +£р,с =с0 +£С1. Предположим, что плотность (р0) и скорость звука (с0) зависят только от глубины ( г), и неоднородности Р1 и С1 как функции х, у имеют компактный носитель П..
Подстановки и 0 = ф(г )И^(к]Я'), и1 = (х, у)ф, где фг- суть рас-
пространяющиеся моды, Я' = (х — х 0 ) 2 + (у — у0 ) 2 , (х 0, у0) - координаты источника звука, дают, с помощью некоторых приближений дальнего поля, формулы для С.
Эти формулы обобщают соответствующие формулы из [3 ], где рассматривался случай р =р1+0(г — (х,у))(р2 — Р1) , с = С + 0(г — (х,у))(С2 — сх) с постоянными Р1, Р2 , сх, с2 (0 — ступенчатая функция Хевисайда). С помощью специального выбора (х,у)-координатной системы с началом в П, простые формулы, использующие двумерное преобразование Фурье функции топографии / (х, у) были получены в[3] в случае удаленного источника. Решающее приближение, сделанное в
[3], состояло в замене 1/л/Я7 на 1/ д/х0 + у0 в асимптотике функции Ханкеля. С помощью использования разложений Фурье и Фурье-Бесселя р1,(р1 / Р0) и ^ по
угловой и радиальной координатам соответственно, получаем простые формулы для С, которые не используют это приближение и работают одинаково хорошо как для
удаленных, так и для близко расположенных источников.
При выводе этих формул существенно использованы теоремы сложения для цилиндрических функций и замкнутые выражения для трилинейных комбинаций для функций Бесселя. Полученные формулы могут быть использованы для регуляризации обратной задачи.
Определение коэффициентов межмодового рассеяния. Перейдем к более подробному изложению. Звуковое поле точечного источника в волноводе постоянной глубины Н описывается уравнением Гельмгольца [3-6]
Р
^ д 1 ди д 1 д д 1 ди^ -2
+---+
дх рдх ду р ду дх рдх) с 2
+ — и = 8(х - х0) (2)
с граничными условиями и
= 0, ди
0 дz
х=0
= 0.
х=Н
Будем предполагать, что повсюду, за исключением некоторой ограниченной области П, плотность р и скорость звука с однородны относительно горизонтальных координат и принимают значения соответственно Р0 (х) и С0 (х) . Внутри области П
плотность и скорость звука неоднородны и принимают значения Р1(х, у, х)
и С1 (х, у, х).
Предполагая, что эти значения малы, решим задачу рассеяния звукового поля точечного источника на области неоднородности. Запишем скорость звука и плотность в виде
с = с0(х) + ас1(х, у,х); Р = Рс(х) + £рх(х, у,х), (3)
где а — малый параметр, а звуковое поле и запишем в виде и = и0 + Би\, где и0 -звуковое поле источника, и - рассеянное поле. Подставим выражения для Р, с и и в уравнение (3) и выпишем члены при а:
Р0
дх р0 А
и1х +
-и*. + ■
д 1
д 1
д Р0 1 у д Р0 )
\ 2 а
и
1г
+
21
и =
сп
р
х р1 у
и0 х +— и0 у +
0
р
0
2
р) + 2^^и0
Vрo ) г с0 с0
(4)
Полагаем и0 = фу (г)И((1) (куЯ'), где Я' = ^(х — х0)2 + (у — у0)2 — расстояние от источника с координатами (х0 , у0 ) до точки наблюдения в декартовой системе координат, центр которой находится в области П, фу и к у — собственная функция и собственное значение с номером у, удовлетворяющие следующей краевой
задаче
р0дг
1
ф
чр0 )
+ ^ ф = к фф\г=0 = 0,д
с дг
= 0
(5)
г=И
Подставим выражение для и0 в (5) и возьмем преобразование Фурье
г и1 +р
■и
р0
1г
Л 2 а
+—и1 =
с
) г 0
я
JxJy
Г/
р1х А ( \ --ф, (г)
к,(х—х0) р1
р0
К
——ф} (г) р0
ку(у—у0) К
И?(к,К) +
(6)
+
(г л
р1
а 2 с1
ЧЧр0 )
ф, + 2^-ф
с2 с 1
0 0 )
к )
exp(/г(x со^Р+у svn^))dydx
Полагаем и = X гС$гфг-, тогда слева имеем:
Г
2 ^
— г и1 + р0
-ил
\р0 )
2
а Л +—и
с
1 = £ (С, (—г2 +Л2 ф
где Л' — собственное значение ф . Помножим обе части выражения на проин-
тегрируем по 2, и возьмем обратное преобразование Фурье. Получим следующие формулы для коэффициентов рассеяния из '-той моды в у-тую:
1
г
1
г
4П2 f .f J J
f (x, y) exp(ir(x cos sin ¥)) x
x exp(irn cos(¥ - в))
1
(7)
л2 - r2
rdydxd¥ dr
где
f (x, y)
I
Pixki(x - x0) Plykj (y - У0Л ф ф
+
V P0 R'
ффп
P0
R'
P0
(8)
/V Л Pl
.2
,Vjz С1 фф, + 2 —--1-1
VVp0 /
H01}( j')
[0 v^ j
dz
х Р0 с0 с0 Р0 )
Для оценки интеграла по ¥ в формуле (7) воспользуемся методом стационарной фазы в точке ¥=в. Получим следующее выражение
с,, (Ф
42л
-in/4
e
IJ J.f(x,y)rexp(Kn-lxcoeyнхфdrdydx
(9)
4л2 П у ' л/Т(Л2 -r2)
Найдем теперь асимптотику для интеграла по r. Рассмотрим замкнутый контур, охватывающий первую четверть комплексной плоскости. Интеграл по этому контуру будет равен вычету в точке Л, и интегралу по мнимой оси, оценку которого найдем по методу Лапласа. Таким образом, для интеграла вида
• exp(ir(п - [x cos в + y sin в])))
I =
4~r (л2 - r2)
dr имеем оценку:
I
-j= exp(^(п - [x cos в + y sin в])))
+
2,Л2 (п - (x cos в + y sin в))3/2
(10)
Поскольку второе слагаемое мало, мы можем им пренебречь и окончательно получить следующее выражение:
1
Cij(n) = -
п exp(,An - in / 4)
4п
х
X
í í
д/лП
f (x, y) exp(-^ (x cos в + y sin 6))dydx
(11)
Чтобы восстановить из производных плотность, в выражении для Дху), проинтегрируем первое слагаемое по частям по х и по у. Тогда формула (8) будет иметь вид:
f(x y)=L
P1 ФiФj
P0 P0
+
f л
P_
P y
ФФ
iTjz
P0
+2
a
С фф
2
c0 c0 p0
Hf(kR)dz -
k■(x X0)
R
k, (y - y0) Л сов—--Sine
R
P фф
(12)
P0 P0
HÍ1)(k,R')d
z
Перейдем в полярные координаты x = R cos а , y = R sin а .Тогда R' = y¡R2 + R02 - 2RR0 cos(a-a0)
где (R , а 0 ) - координаты точечного источника. Отметим, что поскольку коэффициенты k, (x x0 ) / R' и к,(y - y0 ) / R' представляют собой соответственно
cos (щ - а) и sin (щ - а) , где щ-угол между R и R', то по теореме сложения Графа имеем разложения [4,5]:
да
cos щН:(1) j) = УHÜ+h(kj.R0)Jm(kjR) cosm(a - а0)
m=-x¡
(13)
H^)(k,R') = У HÜ1 (kR) Jm (kjR )cos т(а-ае)
s
j / J j
m=-x>
Подставляя их в формулу (12), имеем:
2
z
Си (п)
/л/2П е(1Ап
-П/4)
4п ^/Лп
х
X
<Х)
I
т=-ж
нт\км
Ал
Ыт (к^)
•ю
f0 (Я, а) exp(-¡ЯЛ cos (в - а)) х
•0
- ШЩМ)
х cosт(а - а0) ССасСЯ
Ал
Я^т (кЯ )
0
/ (Я,а) exp(-IЯЛ cos(в - а)) х
0
х(соэт(а - а0) cos(а0 + в) + sinт(а - а0) sin(а0 + вв) сСасСЯ
где
/0(Я,а) =
£
к 2 Р\_ ФФ) +
1
Р0 Р0
С \
Р1 ^Р0 )
ФФ }2 О2 с1 ФгФ Р0
с 02 с0 Р0
Сх
/1( Я, а)
Р1 ФФ
Сг
-н Р0 Р0
, (14)
(15)
Разложим exp{—¡ЯЛ COs(в - а)} по функциям Бесселя Jn (ЛЯ) , а функции Р1, (Р\ / Р0)х и с разложим в ряды Фурье:
го _ ^ го го
к=-ю
Р
\Р )
Р =1 (Я)еа; Я =1 (Я)/*; с = ^0^.
1=-(Х>
(16)
Теперь интегралы по а во всех слагаемых будут иметь вид
Ал
¡(к+п )а
cosт(а-а0)сСа = яе 08
к+п ,т>
0
где 8 к+пт - символ Кронекера, в результате чего в рядах Фурье остаются только
члены с индексом т-п [7,8].Тогда получаем следующее выражение для межмодовых коэффициентов:
¿'=-00
¡Т2п exp(¡Лn-П/4) .у
Сч (п) = --\[Лп- ^ 1' exp(-lnв) х
< I exp(l•mаo)j {((кД)-¡АН^ЩУ^ +в))х
т=-ю
Íю
~т-п(ЯУт 1)ЯСЯ + + Н^кЯ)^ Ьт-п (Я) Jт (к-Я)ЯСЯ +
+ (Я) Jm (куЯ)ЯСЯ
(17)
где
а
а
с
Ь = Г Ь ^Сх,
" т=п I „ т-п '
Р0 Р0 ^н Р0
О2 ст-п ФФ
•4 2 с с Р
00
Сх
(18)
0 0 0
Коэффициенты а(Я), Ь(Я), с(Я) разложим в ряды Фурье-Бесселя по функциям Jm-п (у к Я / Ь), где Ь- правая граница интервала разложения (0<Я<Ь), у к -положительные корни уравнения Jm-п (Я) = 0 . Коэффициенты разложения обозначим соответственно Ак , В к , Ск . Подставляя эти разложения в выражение для С¡-, окон-
чательно получаем[3,8]:
С ( ч ¡л/2п exp(iЛп- ¡п/4) .)п . в
С/ (п) =-----г=-1(-1) exP(-lnв)
х
х
4п д/ЛП __
Ю Ю , Ч
I exp(¡ma0){((кЛ)-¡АH¡¡+i(k,Яo)е¡('•0+в))
'=1
+
+ НЦЧкЛ) В, + Н,1)(к1Я0)Ск
exp(¡'(т Ф - пФ2 ))
,0
^ Л
V Ь )
Jm (к 1-Я) Jn (ЛЯ) ЯСЯ.
П
о
4((к.I Л2 -
к2 - (Ч-Л2
где
2
А =£ к2 — ^^ В„ = Г С = I 2
¿-и
оо2 с
т-п ТгТ]
¿2
(19)
Ро Ро " Ро " с0 с0 Ро
Полученное выражение можно свести к еще более простому виду, подставив значение интеграла
/•ад
^ тп ^ т
(у, Л
V Ь J
Зт (к Я) Зп (ЛЯ) ЯйЯ,
2
ехр((тф- пф2))
п
4(
) Л2 -(к? I2-Л2 )
• при
Ъ -Л
Ь
{к {^+Л
] Ь
/
(20)
0 - приневыполнеии этогоусловия
Заключение. Формула (20) может использоваться для решения обратной задачи восстановления неоднородности морской среды, что позволяет в приближенной форме учитывать условия распространения низкочастотного просветного сигнала в океанском волноводе. Обрезая входящие в данное выражение, ряды конечным числом членов, можно прийти к линейной системе уравнений, которая в общем случае является невырожденной. Проведенные Тихоокеанским океанологическим институтом (ТОИ) численные исследования показывают, что эта система линейных уравнений плохо обусловлена, так что требуется дополнительная регуляризация дескриптивного характера, а в перспективе дополнительных теоретических изысканий наиболее эффективных методов учета влияния среды на распространяющийся просветный сигнал.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Математическая энциклопедия. Издательство.-М.: Советская энциклопедия,1985.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука,1976.
3. Подводная акустика / Перевод с английского М.: Мир, 1970, с.246-325.
4. Савельев И.В. Дифракция света // Курс физики. Т.3.-М.: Наука, 1971.-с.284-319.
5. Клещев А.А., Шейба Л.С. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероидами // Акустический журнал.-1970г,-Т.26, №2, с.264-268.
6. Клюкин И.И., Колестиков А.Е. Моделирование при акустических измерениях // Акустические измерения в судостроении.-Л.: Судостроение, 1982.-с.199-206.
7. Багрянцева Н.А., Плахов Д.Д. Дифракция сферической звуковой волны на бесконечной цилиндрической оболочке // Акустический журнал-1974.-Т.20, №5.-с.673-679.
8. Бархатов А.Н. Моделирование распространения звука в море.-Л.: Гидрометеоиз-дат, 1969.-56с.
9. Стародубцев П.А., Шостак С.В., Богданов В.И.Об одном свойстве двумерного преобразования Фурье//. 38 Всерос.межвуз.научн.-техн. конф.:Сб.докл.-Владивосток,МО РФ,ТОВВМУ,1995.-Т.1.-Ч.1.-189с.