Теоретические основы влияния океанского волновода на условия распространения низкочастотного просветного сигнала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Теоретические основы влияния океанского волновода на условия распространения низкочастотного просветного сигнала

Стародубцев П.А.(рауе1@1аа.гиЛ Стародубцев Е.П.

Тихоокеанский Военно-Морской институт имени С.О.Макарова

Владивосток

Введение. Улучшение характеристик устройств обработки требует более глубокого понимания особенностей распространения акустических волн в водной среде, а усовершенствование акустических моделей стимулирует разработку более сложных методов обработки. Характер распространения акустических волн в океане определяется целым рядом факторов[1-3], обусловленных свойствами, как самой среды, так и ее границ. Для морской среды характерно наличие неоднородностей или в общем случае областей с различными значениями показателей преломления звука, которые находятся в состоянии турбулентного движения. Наличие подобных пространственно-временных неоднородностей среды обуславливает прием сигналов по нескольким лучам, причем их количество и углы прихода, а также амплитуды и фазы, составляющих сигнала будут непрерывно изменяться [2,3].

Наибольшее влияние на распространение звука в море оказывают вертикальные градиенты скорости звука, создающие рефракцию, и, как следствие, многолуче-вость сигнала в точке приема. Акустическое поле описывается уравнениями линейной акустики, в которых детерминированная компонента скорости звука представляет собой явление рефракции. Случайная компонента, вызвана флуктуациями поля температуры, поля солености, внутренними волнами и представлена в теории акустического поля явлением объемного рассеяния звука.

Рефракция, как физическое явление, характерна для распространения волн в среде с изменяющейся регулярным образом в пространстве - времени скоростью звука. Она состоит в искривлении лучей, возникающем в результате их внутренних отражений от областей с различными скоростями звука. В плоско - слоистой модели морского волновода искривление лучей возникает в вертикальной плоскости. В областях с вертикально-горизонтальными градиентами скорости звука лучи искривляются в двух плоскостях - перпендикулярной и параллельной поверхности. При волновой трактов-

ке задачи распространения рефракция возникает как результат интерференции различных мод колебаний и имеет форму трасс (лучевых трубок), по которым происходит преимущественное распространение звуковой энергии [3].

Детерминированная компонента акустического поля допускает модовое (волновое) описание распространения волн в области низких частот, а в области средних и высоких частот - лучевую (оптическую) асимптотику.

Постановка задачи. Для учета реальных условий распространения низкочастотных звуковых волн в океанском волноводе определим математические зависимости для коэффициентов межмодового рассеяния, функционально влияющие на процесс изменения спектральных характеристик просветных сигналов, на основании уравнения Гельмгольца [1-3]:

рdiv(р—grad и) + (®2/ с2)и = 0. (1)

Для проведения дальнейших рассуждений, введем малый параметр £ и разложения и=и0 +£и\,р~р0 +£р,с =с0 +£С1. Предположим, что плотность (р0) и скорость звука (с0) зависят только от глубины ( г), и неоднородности Р1 и С1 как функции х, у имеют компактный носитель П..

Подстановки и 0 = ф(г )И^(к]Я'), и1 = (х, у)ф, где фг- суть рас-

пространяющиеся моды, Я' = (х — х 0 ) 2 + (у — у0 ) 2 , (х 0, у0) - координаты источника звука, дают, с помощью некоторых приближений дальнего поля, формулы для С.

Эти формулы обобщают соответствующие формулы из [3 ], где рассматривался случай р =р1+0(г — (х,у))(р2 — Р1) , с = С + 0(г — (х,у))(С2 — сх) с постоянными Р1, Р2 , сх, с2 (0 — ступенчатая функция Хевисайда). С помощью специального выбора (х,у)-координатной системы с началом в П, простые формулы, использующие двумерное преобразование Фурье функции топографии / (х, у) были получены в[3] в случае удаленного источника. Решающее приближение, сделанное в

[3], состояло в замене 1/л/Я7 на 1/ д/х0 + у0 в асимптотике функции Ханкеля. С помощью использования разложений Фурье и Фурье-Бесселя р1,(р1 / Р0) и ^ по

угловой и радиальной координатам соответственно, получаем простые формулы для С, которые не используют это приближение и работают одинаково хорошо как для

удаленных, так и для близко расположенных источников.

При выводе этих формул существенно использованы теоремы сложения для цилиндрических функций и замкнутые выражения для трилинейных комбинаций для функций Бесселя. Полученные формулы могут быть использованы для регуляризации обратной задачи.

Определение коэффициентов межмодового рассеяния. Перейдем к более подробному изложению. Звуковое поле точечного источника в волноводе постоянной глубины Н описывается уравнением Гельмгольца [3-6]

Р

^ д 1 ди д 1 д д 1 ди^ -2

+---+

дх рдх ду р ду дх рдх) с 2

+ — и = 8(х - х0) (2)

с граничными условиями и

= 0, ди

0 дz

х=0

= 0.

х=Н

Будем предполагать, что повсюду, за исключением некоторой ограниченной области П, плотность р и скорость звука с однородны относительно горизонтальных координат и принимают значения соответственно Р0 (х) и С0 (х) . Внутри области П

плотность и скорость звука неоднородны и принимают значения Р1(х, у, х)

и С1 (х, у, х).

Предполагая, что эти значения малы, решим задачу рассеяния звукового поля точечного источника на области неоднородности. Запишем скорость звука и плотность в виде

с = с0(х) + ас1(х, у,х); Р = Рс(х) + £рх(х, у,х), (3)

где а — малый параметр, а звуковое поле и запишем в виде и = и0 + Би\, где и0 -звуковое поле источника, и - рассеянное поле. Подставим выражения для Р, с и и в уравнение (3) и выпишем члены при а:

Р0

дх р0 А

и1х +

-и*. + ■

д 1

д 1

д Р0 1 у д Р0 )

\ 2 а

и

1г

+

21

и =

сп

р

х р1 у

и0 х +— и0 у +

0

р

0

2

р) + 2^^и0

Vрo ) г с0 с0

(4)

Полагаем и0 = фу (г)И((1) (куЯ'), где Я' = ^(х — х0)2 + (у — у0)2 — расстояние от источника с координатами (х0 , у0 ) до точки наблюдения в декартовой системе координат, центр которой находится в области П, фу и к у — собственная функция и собственное значение с номером у, удовлетворяющие следующей краевой

задаче

р0дг

1

ф

чр0 )

+ ^ ф = к фф\г=0 = 0,д

с дг

= 0

(5)

г=И

Подставим выражение для и0 в (5) и возьмем преобразование Фурье

г и1 +р

■и

р0

1г

Л 2 а

+—и1 =

с

) г 0

я

JxJy

Г/

р1х А ( \ --ф, (г)

к,(х—х0) р1

р0

К

——ф} (г) р0

ку(у—у0) К

И?(к,К) +

(6)

+

(г л

р1

а 2 с1

ЧЧр0 )

ф, + 2^-ф

с2 с 1

0 0 )

к )

exp(/г(x со^Р+у svn^))dydx

Полагаем и = X гС$гфг-, тогда слева имеем:

Г

2 ^

— г и1 + р0

-ил

\р0 )

2

а Л +—и

с

1 = £ (С, (—г2 +Л2 ф

где Л' — собственное значение ф . Помножим обе части выражения на проин-

тегрируем по 2, и возьмем обратное преобразование Фурье. Получим следующие формулы для коэффициентов рассеяния из '-той моды в у-тую:

1

г

1

г

4П2 f .f J J

f (x, y) exp(ir(x cos sin ¥)) x

x exp(irn cos(¥ - в))

1

(7)

л2 - r2

rdydxd¥ dr

где

f (x, y)

I

Pixki(x - x0) Plykj (y - У0Л ф ф

+

V P0 R'

ффп

P0

R'

P0

(8)

/V Л Pl

.2

,Vjz С1 фф, + 2 —--1-1

VVp0 /

H01}( j')

[0 v^ j

dz

х Р0 с0 с0 Р0 )

Для оценки интеграла по ¥ в формуле (7) воспользуемся методом стационарной фазы в точке ¥=в. Получим следующее выражение

с,, (Ф

42л

-in/4

e

IJ J.f(x,y)rexp(Kn-lxcoeyнхфdrdydx

(9)

4л2 П у ' л/Т(Л2 -r2)

Найдем теперь асимптотику для интеграла по r. Рассмотрим замкнутый контур, охватывающий первую четверть комплексной плоскости. Интеграл по этому контуру будет равен вычету в точке Л, и интегралу по мнимой оси, оценку которого найдем по методу Лапласа. Таким образом, для интеграла вида

• exp(ir(п - [x cos в + y sin в])))

I =

4~r (л2 - r2)

dr имеем оценку:

I

-j= exp(^(п - [x cos в + y sin в])))

+

2,Л2 (п - (x cos в + y sin в))3/2

(10)

Поскольку второе слагаемое мало, мы можем им пренебречь и окончательно получить следующее выражение:

1

Cij(n) = -

п exp(,An - in / 4)

4п

х

X

í í

д/лП

f (x, y) exp(-^ (x cos в + y sin 6))dydx

(11)

Чтобы восстановить из производных плотность, в выражении для Дху), проинтегрируем первое слагаемое по частям по х и по у. Тогда формула (8) будет иметь вид:

f(x y)=L

P1 ФiФj

P0 P0

+

f л

P_

P y

ФФ

iTjz

P0

+2

a

С фф

2

c0 c0 p0

Hf(kR)dz -

k■(x X0)

R

k, (y - y0) Л сов—--Sine

R

P фф

(12)

P0 P0

HÍ1)(k,R')d

z

Перейдем в полярные координаты x = R cos а , y = R sin а .Тогда R' = y¡R2 + R02 - 2RR0 cos(a-a0)

где (R , а 0 ) - координаты точечного источника. Отметим, что поскольку коэффициенты k, (x x0 ) / R' и к,(y - y0 ) / R' представляют собой соответственно

cos (щ - а) и sin (щ - а) , где щ-угол между R и R', то по теореме сложения Графа имеем разложения [4,5]:

да

cos щН:(1) j) = УHÜ+h(kj.R0)Jm(kjR) cosm(a - а0)

m=-x¡

(13)

H^)(k,R') = У HÜ1 (kR) Jm (kjR )cos т(а-ае)

s

j / J j

m=-x>

Подставляя их в формулу (12), имеем:

2

z

Си (п)

/л/2П е(1Ап

-П/4)

4п ^/Лп

х

X

<Х)

I

т=-ж

нт\км

Ал

Ыт (к^)

•ю

f0 (Я, а) exp(-¡ЯЛ cos (в - а)) х

•0

- ШЩМ)

х cosт(а - а0) ССасСЯ

Ал

Я^т (кЯ )

0

/ (Я,а) exp(-IЯЛ cos(в - а)) х

0

х(соэт(а - а0) cos(а0 + в) + sinт(а - а0) sin(а0 + вв) сСасСЯ

где

/0(Я,а) =

£

к 2 Р\_ ФФ) +

1

Р0 Р0

С \

Р1 ^Р0 )

ФФ }2 О2 с1 ФгФ Р0

с 02 с0 Р0

Сх

/1( Я, а)

Р1 ФФ

Сг

-н Р0 Р0

, (14)

(15)

Разложим exp{—¡ЯЛ COs(в - а)} по функциям Бесселя Jn (ЛЯ) , а функции Р1, (Р\ / Р0)х и с разложим в ряды Фурье:

го _ ^ го го

к=-ю

Р

\Р )

Р =1 (Я)еа; Я =1 (Я)/*; с = ^0^.

1=-(Х>

(16)

Теперь интегралы по а во всех слагаемых будут иметь вид

Ал

¡(к+п )а

cosт(а-а0)сСа = яе 08

к+п ,т>

0

где 8 к+пт - символ Кронекера, в результате чего в рядах Фурье остаются только

члены с индексом т-п [7,8].Тогда получаем следующее выражение для межмодовых коэффициентов:

¿'=-00

¡Т2п exp(¡Лn-П/4) .у

Сч (п) = --\[Лп- ^ 1' exp(-lnв) х

< I exp(l•mаo)j {((кД)-¡АН^ЩУ^ +в))х

т=-ю

Íю

~т-п(ЯУт 1)ЯСЯ + + Н^кЯ)^ Ьт-п (Я) Jт (к-Я)ЯСЯ +

+ (Я) Jm (куЯ)ЯСЯ

(17)

где

а

а

с

Ь = Г Ь ^Сх,

" т=п I „ т-п '

Р0 Р0 ^н Р0

О2 ст-п ФФ

•4 2 с с Р

00

Сх

(18)

0 0 0

Коэффициенты а(Я), Ь(Я), с(Я) разложим в ряды Фурье-Бесселя по функциям Jm-п (у к Я / Ь), где Ь- правая граница интервала разложения (0<Я<Ь), у к -положительные корни уравнения Jm-п (Я) = 0 . Коэффициенты разложения обозначим соответственно Ак , В к , Ск . Подставляя эти разложения в выражение для С¡-, окон-

чательно получаем[3,8]:

С ( ч ¡л/2п exp(iЛп- ¡п/4) .)п . в

С/ (п) =-----г=-1(-1) exP(-lnв)

х

х

4п д/ЛП __

Ю Ю , Ч

I exp(¡ma0){((кЛ)-¡АH¡¡+i(k,Яo)е¡('•0+в))

'=1

+

+ НЦЧкЛ) В, + Н,1)(к1Я0)Ск

exp(¡'(т Ф - пФ2 ))

,0

^ Л

V Ь )

Jm (к 1-Я) Jn (ЛЯ) ЯСЯ.

П

о

4((к.I Л2 -

к2 - (Ч-Л2

где

2

А =£ к2 — ^^ В„ = Г С = I 2

¿-и

оо2 с

т-п ТгТ]

¿2

(19)

Ро Ро " Ро " с0 с0 Ро

Полученное выражение можно свести к еще более простому виду, подставив значение интеграла

/•ад

^ тп ^ т

(у, Л

V Ь J

Зт (к Я) Зп (ЛЯ) ЯйЯ,

2

ехр((тф- пф2))

п

4(

) Л2 -(к? I2-Л2 )

• при

Ъ -Л

Ь

{к {^+Л

] Ь

/

(20)

0 - приневыполнеии этогоусловия

Заключение. Формула (20) может использоваться для решения обратной задачи восстановления неоднородности морской среды, что позволяет в приближенной форме учитывать условия распространения низкочастотного просветного сигнала в океанском волноводе. Обрезая входящие в данное выражение, ряды конечным числом членов, можно прийти к линейной системе уравнений, которая в общем случае является невырожденной. Проведенные Тихоокеанским океанологическим институтом (ТОИ) численные исследования показывают, что эта система линейных уравнений плохо обусловлена, так что требуется дополнительная регуляризация дескриптивного характера, а в перспективе дополнительных теоретических изысканий наиболее эффективных методов учета влияния среды на распространяющийся просветный сигнал.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Математическая энциклопедия. Издательство.-М.: Советская энциклопедия,1985.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука,1976.

3. Подводная акустика / Перевод с английского М.: Мир, 1970, с.246-325.

4. Савельев И.В. Дифракция света // Курс физики. Т.3.-М.: Наука, 1971.-с.284-319.

5. Клещев А.А., Шейба Л.С. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероидами // Акустический журнал.-1970г,-Т.26, №2, с.264-268.

6. Клюкин И.И., Колестиков А.Е. Моделирование при акустических измерениях // Акустические измерения в судостроении.-Л.: Судостроение, 1982.-с.199-206.

7. Багрянцева Н.А., Плахов Д.Д. Дифракция сферической звуковой волны на бесконечной цилиндрической оболочке // Акустический журнал-1974.-Т.20, №5.-с.673-679.

8. Бархатов А.Н. Моделирование распространения звука в море.-Л.: Гидрометеоиз-дат, 1969.-56с.

9. Стародубцев П.А., Шостак С.В., Богданов В.И.Об одном свойстве двумерного преобразования Фурье//. 38 Всерос.межвуз.научн.-техн. конф.:Сб.докл.-Владивосток,МО РФ,ТОВВМУ,1995.-Т.1.-Ч.1.-189с.