CC BY
65
Лысаков В.С.
Бузулукский гуманитарно-технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский
государственный университет».
К ОЦЕНКЕ ШИРИНЫ ЗОНЫ ПРОВОДИМОСТИ В а-КВАРЦЕ
В низкотемпературном кварце проведена оценка величины зоны проводимости Ес. Рассчитанная ширина Ес находится в хорошем согласии с одним из двух известных значений, приведенных в литературных источниках. Рассчитано изменение энергии электрона проводимости у дна зоны Ес.
Расчет ширины зоны проводимости
В настоящее время при использовании зонной модели широкозонных кристаллов применяются два важных параметра, связанных с энергией ионизации кристалла 1с и энергией сродства кристалла к электрону Ас. Последний параметр представляет собой энергию, освобождающуюся при вхождении электрона в кристалл с его поверхности, принимаемой в качестве нулевого уровня отсчета. При этом подразумевается, что внедренный электрон располагается на низшем уровне в зоне проводимости, т.е. на дне Ес. Таким образом, разность энергии между нулевым уровнем кристалла и его низшим энергетическим состоянием отражает ширину зоны проводимости, измеряемую в эВ. Другими словами, нулевой уровень поверхности и низшее энергетическое состояние - в рамках зонной модели - являются верхом Ес и ее дном соответственно, причем именно от дна зоны начинается отсчет ее ширины.
В свою очередь, 1с есть энергия, освобождаемая при аналогичном переносе электрона на т.н. валентный уровень, являющийся наиниз-шим энергетическим уровнем запрещенной зоны Ег Исходя из физического смысла процесса ионизации, под 1с понимается энергия, необходимая для удаления электрона с валентного уровня (дна Е!,, смыкающегося с потолком валентной зоны Еу) на нулевой уровень поверхности кристалла.
В рассматриваемом аспекте 1с представляет собой наименьшую энергию потенциала ионизации, полностью совпадающую с порогом его фотоэмиссии. Приведенная терминология, величины 1с и Ас определяют ширину закрепленной зоны Eg = 1С - Ас с непосредственной оценкой ширины зоны проводимости Ас = !с - Eg [1].
По данным работ [2, 3] ширина Ес = б,0эВ и хорошо согласуется с величиной эффективной массы электрона тП = 0,3т0, где т0 - масса покоя электрона; в работе [4] с шириной зоны проводимости связывается величина 3,4 эВ. Расхождение в значениях Ес довольно заметное и составляет 2,6 эВ. В этой связи нами были применены два различных соотношения, позволяющие провести оценку 1С, а тем самым ширину зоны Ес. Следует отметить, что на всех этапах расчета 1С необходимо знание ширины запрещенной зоны Е!,, которая в а-SiO2 связывалась с экситонным пиком 10,5 эВ. В то же время полная величина Еg в кварце может быть оценена с учетом знания энергии связи Есв экситона. Проведенные исследования позволили установить в кварце только экситоны Френкеля с Есв = 1,2эВ. Суммирование последней с эк-ситонным пиком и дает реальную величину Eg = 11,7эВ [5].
Ширина Ес, т.е. величина АС, представляет собой «электронное средство» кристалла. Для оценки АС необходимо знание величины порога фотоэмиссии кварца 1С, представляющей собой конкретную пороговую энергию ионизации широкозонного кристалла. Тогда, если эффективная масса дырки тр значительно превышает эффективную массу тП, то согласно [6]:
Поскольку в а- SiO2 тр = 10т0 и тП = 0,5то [2] , имеем:
Ас = 1С -Е!, = 15,1 - 11,7эВ = 3,4эВ , что ПОЛНОСТЬЮ совпадает с результатом работы [4].
Второе соотношение для оценки ионизационного потенциала кварца J(SiO2) имеет вид [7].
I(SiO2) =
l - fi
[(Si) +
1 + fi
[AT(G) .
Здесь £1 = 0,57 - степень ионности кварца, 1ф) = 5,2эВ - ионизационный потенциал кристаллического кремния, 1АТ(0) = 13,б2эВ - атомное значение кислорода. С учетом структурных особенностей а- SiO2 по сравнению с его более высокотемпературными модификациями в приведенном выражении для 1^Ю2) факторы | были заменены ренормализованным
фактором, равным 0,8. Поэтому
( ЦЙО2) = 0,в[1(81)+ 1АТ (0)],
причем расчет дал величину 1^Ю2) = 15,06 . Отсюда Ас = 3,3бэВ.
Сравнивая значения Ас, рассчитанных с помощью двух совершенно неодинаковых соотношений, можно уверенно считать, что ширина Ес в а-кварце составляет 3,38 эВ.
Электроны, внедренные в Ес кварца, располагаются вблизи дна зоны проводимости. В подобном энергетическом положении происходит их движение с групповой скоростью V = (8кТ / пт-)12, и отсчитываемой от дна зоны
m+v„
составляет
[8]. Групповая скорость
7 CM
1,4 ■ 1G7
а
Ес энергией Е =
электрона Е = 3,12 10-2 = 0,03эВ. Следовательно, внедренный электрон с тП = 0,5т0 перемещается относительно дна зоны проводимости на энергетическом расстоянии 0,03эВ, совпадающем с энергией движения самого носителя.
Если при температуре кварца, близкой к комнатной, электрон обладает энергией движения порядка 0,03 эВ, то возникает вопрос: каким минимальным значением должен обладать квазиимпульс электрона для его вылета из кристалла. Исходя из ширины зоны проводимости, которую должен преодолеть электрон с последующим выходом на поверхность кварца, вполне понятно, что справедливо выражение [9]:
h 2к2 2тП
> Ac
откуда
kmin = lV2m;Ac = 4,7 ■lG7 см-1 h
К оценке сдвига дна зоны проводимости
При движении электрона вблизи дна зоны Ec осуществляется его взаимодействие с продольными акустическими колебаниями (LAK), являющимися волнами сжатия и растяжения. В конкретном плане электроны взаимодействуют с LA-волнами (LAB), представляющими собой звуковые волны. С последними связано локальное изменение элементарной ячейки (э.я.) А в точке г, т.е. д(г)=АУ/Уэ.я., где ду - относительные изменения объема элементарной ячейки. Само же изменение объема Уэя_ означает изменение постоянных решетки, а следовательно, и параметров зонной модели, зависящих от параметров решетки.
Если в Er перемещается электрон с некоторой энергией En, то периодическое изменение постоянных решетки акустическими волнами будет вызывать периодическое изменение En электрона на величину SEn. В линейном приближении [10]:
SE„ = E
ДУ
V
где Е1 - т.н. константа деформационного потенциала, определяющая величину электрон-фонон-ной связи. С другой стороны, изменение энергий электронов на величину 5ЕП можно интерпретировать в виде энергетического смещения (сдвига) границы (дна) зоны проводимости ЕС из-за деформации кристаллической решетки. Для расчета изменения энергии электрона используются формулы деформационного потенциала
Е1 = 3 С и относительного изменения Уэ.я. при ее деформации на величину ду [11]:
Д(г)=
AV
V
л
Здесь Уэ . я . = 112,3 ■ 10-24 см3, а статический модуль упругости Сн = 8,605 1011—-. Ограничиваясь комнатной температурой, получим: Д(г )= 0,0142.
В формуле для Е1 константа С имеет размерность энергии. С физической точки зрения константа С характеризует интенсивность взаимодействия электрона с колебаниями решетки, а ее значение по порядку величины [12]:
С = П / 2т0а2, где а0 - постоянная решетки в случае кубических кристаллов . В сущности, С
2
2
2
меняется при переходе от одного твердого материала к другому обратно пропорционально квадрату постоянной кубической решетки (расстояние между структурными частицами простой кубической решетки), представляющей собой длину связи между атомами ё. Проведенный общий анализ структур кристаллов всех семи сингонии позволяет считать, что а0=ё полностью справедливо не только для кристаллов кубической ионной структуры, но и для кристаллов с симметрией тетраэдра. К последним и относится анализируемый нами а-кварц, структура которого представляет непрерывный кремнекислородный каркас (три измерения в пространстве) связанных между собой ионами кислорода SiO4 -тетраэдров. Поэтому в выражении для с в кварце под а0 должно пониматься расстояние Si - О , т.е.
0
dSi-O = 1,61 А , а вместо свободной массы т0 эффективная тП электрона. В окончательной за-
писи C=-
2<dsi-o
, и после подстановки значе-
ний тП и dSi-O получим С = 2,94эВ , а тем самым
2
Е1 = 3 С = 1,96эВ и 5ЕП = 0,0278эВ .
В выражении д(г)= ДУ/Уэ я_ ду - есть изменения объема Уэо при деформации, причем во всех реальных случаях деформация намного меньше единицы. Поэтому изменения энергии электрона интерпретируются как смещение дна зоны проводимости. Т.к. рассматривается взаимодействие электронов с ЬАК, являющимися волнами сжатия, то колебания решетки, не связанные с изменениями Уэ я , к которым относятся поперечные АВ, не меняют энергии носителей заряда, а тем самым и смещения дна зоны Ес ■ В этой связи полученная 5ЕП характеризует поднятие дна зоны с последующим его опусканием.
Судя по имеющимся литературным данным по кварцу нами впервые произведена оценка ширины его зоны проводимости, а также осуществлен расчет сдвига дна Ес.
2
Список использованной литературы:
1. Поуп М., Свенберг Ч. Электронные процессы в органических кристаллах. М.: «Мир», 1985. 554 с.
2. Chelikowsky T.R., Schluter M. Electron states in a-quartz//Phys. Rev. B., 1977, v. 15, №8 , pp. 4020-4028.
3. Nylen M. Electronis structure of an unreconstructed (IOTO) а-quartz surfac //Plys. Stat. Sol. (b), 1984, v. 122, p. 301-308.
4. Calabrese E., Fowler W. Electronic energy-band structure of а-quartz // Plys. Rev. B. , 1978, v. 18, № 6, pp. 2888-2895.
5. Лысаков В.С. Об акситонах в кристаллическом кварце // Вестник ОГУ, 2003, № 1, с. 37-40.
6. Эланго М.А. Элементарные неупругие радиационные процессы. М.: «Наука», 1988. 149 с.
7. Hubner K. Chemical bond and related properties of SiO2 // Proc. Intern. Topical Cent. «Physics of SiO2 and its interfaces», ed. s. t. Pante-lides, New-York, 1978, v. 1, p. 111- 115.
8. Мотт Н., Герни Р. Электронные процессы в ионных кристаллах. М.: «ИЛ», 1950. 304 с.
9. Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. М. : «Мир», 1986. 304 с.
10. Слэтер Дэн. Диэлектрики, полупроводники, металлы. М.: «Мир», 1969. 647 с.
11. Зеегер К. Физика полупроводников. М.: «Мир», 1986. 304 с.
12. Ансельм А.И. Введение в теорию проводников. М.: «Наука», 1978. 615 с.
