CC BY
31
2007 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА №123
Серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники
УДК 5393
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ АВИАДВИГАТЕЛЯ КАК СОСТАВНОЙ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
Б.П. УМУШКИН, И. С. ШЕВЧЕНКО
Задача расчёта виброхарактеристик авиадвигателя лежит в основе вибродиагностики технического состояния конструкции. С целью структурного упрощения расчётной схемы предлагается использовать энергетический критерий оценки взаимного влияния упругих связей составляющих элементарных подсистем. Расчёт динамики и прочности полученной упрощённой системы ведётся методом функций динамической податливости. Приводятся основные расчётные соотношения и методика получения функций динамической податливости для основных элементов расчётной схемы.
1. Принцип структурного упрощения расчётной схемы газотурбинного авиадвигателя
Авиационный газотурбинный двигатель представляет собой сложную составную упругую систему, состоящую из элементарных более простых подсистем, объединённых наложением взаимных связей. Динамические характеристики этой составной системы полностью определяются числом, взаимным расположением подсистем и параметрами, а также характером наложенных связей.
В выборе способа разделения на элементарные подсистемы существует определённая свобода. Так, выбор элементарных подсистем может производиться по признаку отличия дифференциальных операторов их уравнений равновесия или движения, по признаку различия традиционно используемых для их описания систем координат или скачкообразного изменения по координатам жёсткости или массы системы. В нашем случае целесообразно использовать выбор составляющих подсистем по конструктивно-технологическим признакам. При этом основные узлы статора и ротора двигателя могут в расчётах схематизироваться в виде элементов строительной механики: балок, стержней, валов, дисков, сосредоточенных масс, пластин и оболочек.
При формальном подходе к использованию этого принципа расчётная схема двигателя оказывается очень сложной, а соответствующая ей математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных, которую надо решать совместно с алгебраическими условиями связей. Общий порядок этой системы настолько высок, что практическое решение задачи даже при использовании современной вычислительной техники вызывает большие трудности.
Эти трудности могут быть преодолены путём рационального структурного упрощения составной упругой системы ещё на стадии разработки расчётной схемы. Смысл такого упрощения заключается в том, что при производстве расчета частот собственных колебаний достаточно ограничиться лишь той частью спектра, которая лежит в диапазоне частот внешних эксплуатационных нагрузок, действующих на соответствующих режимах работы двигателя.
Структурное упрощение может быть выполнено с помощью энергетического критерия, приведенного в работе [2], и дающего возможность оценки вклада каждой из подсистем для рассматриваемого диапазона частот возбуждения в энергию колебаний системы в целом.
Упрощение составной системы производится путём последовательного сравнения энергетического вклада подсистем с номерами 1 и 1+1 с помощью неравенств, которые для связи, распределённой в координатном диапазоне Ь, имеют вид
2 И-
и+1 ь Ь
2 2 О -О-1,п
2
Рт (рт (я)
22 О -От
«1;
2И
Р+1,п (г р+1 (г)R(s, Г)R(s,
«1.
п+1 Ь Ь р,т (я)
Здесь р т, р+1 п - собственные функции ьй и i+1 подсистем с номерами п и m;
R(s, г) - распределённая по координате г в диапазоне Ь реакция связи подсистем от действия на г - ую подсистему в точке я единичной гармонической силы с частотой О ,
О пО+1 т - частоты собственных колебаний г - й и г + 1-й подсистем.
При условии выполнения этих неравенств г +1 -ая подсистема может быть исключена из расчётной схемы системы в целом.
Для точечного соединения подсистем выражение энергетического критерия существенно упрощается и имеет вид
1
2
т=1
2
О1 - О
2
2
п=1
2
О -О
2
«1.
(1)
1
2. Подход к расчёту двигателя как составной системы
Расчёт динамики и прочности составных систем удобно производить методом функций динамической податливости. Под функцией динамической податливости упругой системы следует понимать функцию А(х,я,О)2), выражающую обобщённое амплитудное перемещение произвольной точки х от единичной гармонической силы, действующей с частотой (О в произвольной точке я системы. При действии статической нагрузки ( О = 0 ) функция динамической податливости вырождается в функцию влияния Е (х, я) . Математическим аналогом этих функций являются функции Грина соответствующих дифференциальных операторов уравнений движения или равновесия упругой системы.
Связь между этими функциями выражается в виде соотношения
А(х,я,О2) = К(х,я)-О Г К(х.г)А(я,г)йг .
2 а
При известной функции динамической податливости перемещение у(х, I) системы от нагрузки ¥ (х, I) выражается в виде
Ь
у (х, I) = Г А (х, я, О )¥ (я, I)ёя.
а
Квадраты частот собственных колебаний системы соответствуют значениям О2, при которых функция динамической податливости А (х, я, О2) терпит разрыв.
Задача расчёта составной системы, таким образом, сводится к построению её функции динамической податливости или функции влияния на основе известных функций динамической податливости (влияния) составляющих подсистем и условий связей между этими подсистемами.
Принцип построения функции динамической податливости составной системы можно пояснить на следующем примере.
Пусть требуется определить функцию динамической податливости составной системы, полученной наложением связей на подсистемы с известными функциями динамической податли-
вости А1(х,я,О)2) и А2(х,я,О2). Связи обеспечивают условия линейной зависимости реакции R(2, о) (а < г < р) от относительного перемещений подсистем R(г, о) = к[и1 (г, о) -и2(г,о)] .
Приложим к какой-либо точке я первой подсистемы единичную сосредоточенную гармоническую силу и обозначим функцию динамической податливости составной системы
2 А (1)( х, я, О2),
А * (x, я,о2)={ ' /’ (2)
А( )(х,я,о ).
Индексом (1) и (2) здесь обозначены значения А *(х, я, О2) на первой и второй подсистемах.
Перемещения первой подсистемы будут обусловлены действием единичной силы и реакции связи
Р
А(1)(х, я, о2) = А1 (х, я, о2) - Г А1 (х, я, о2^(я, о)^.
а
Перемещения второй подсистемы происходят под действием только реакции связи
Р
А(2) (х, я, о2) = Г А2 (х, я, о2 ^(я, (О)ёя.
а
Из условия связи
R(z, œ) = k[А(1) (z, s, a2) - A(2) (z, s, со2)] (3)
или
R(z, œ) = k[A1 (z, s, œ2 ) - J A1(z, s, œ2 )R(s, œ)ds -JA2 (z, s, œ2 )R(s, œ)ds].
Таким образом, мы пришли к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной реакции R(г, о) :
b
R( z, œ) = kA1 ( z, s, œ2) - J G( z, s, œ2 )R(s, œ)ds
с симметричным позитивным (в силу теоремы Бэтти и неотрицательности энергии системы) ядром G( х, s, œ2) = k[ A1 ( x, s, œ2) - A2 ( x, s, œ2 )].
Такое ядро обеспечивает возможность получения формально точного решения для реакции R(z, œ), а следовательно, и для А *(x, s, œ2).
Рассмотрим более простой случай наложения связи лишь в одной точке z = s1. Тогда реакция R( z, œ) является сосредоточенной силой и может быть выражена с помощью функции Ди-
рака первого рода в виде R(z, s,œ2) = d(z - s1, s)R(s1, s,œ).
Подстановка этого выражения в уравнение (3) даёт:
R(s s о) =_______^>1- 0_____________________ (4)
( ^ ^ ) 1 + k[A1 (s1,s1,œ2) + А2(s1,s1,œ2)] .
Квадраты частот собственных колебаний определяются из условия равенства нулю знаменателя этого выражения
1 + k[A1(s1, s1,œ2) + A2(s1, s1,œ2)] = 0. (5)
a
a
a
3. Основные расчётные соотношения для балочных систем
Предварительные расчёты показывают, что в диапазоне рабочих режимов работы современных газотурбинных двигателей хорошие результаты даёт расчётная схема составной упругой системы, состоящей из балок с наложенных на них взаимными точечными связями. Для структурного упрощения такой системы можно использовать неравенство (1).Затем следует вывести для упрощённой балочной системы частотное уравнение, определить собственные частоты и оценить опасность возможных резонансных режимов или использовать результаты этих расчётов с целью вибродиагностики двигателя.
С целью демонстрации методики вывода основных расчётных соотношений рассмотрим несколько стержневых систем, состоящих из двух элементов.
Система, полученная наложением одной связи типа идеального шарнира (рис.1).
Пусть связь наложена в точке с координатой 51 по оси х, направление которой совпадает с
направлением осей балочных элементов системы. Предположим для простоты, что связь работает лишь по нормали к оси х. В этом случае задача сводится к определению амплитудных перемещений точек стержней под действием единичной гармонической силы, приложенной к одной из балок в точке я.
Рис. 1. Балки с совпадающими по направлению осями (связь-идеальный шарнир)
Обозначим для определённости функцию динамической податливости балки, к которой приложена единичная сила А1(х, я,т2) и будем называть её первой балкой. Функцию динамической податливости второй балки обозначим соответственно А2 (х, я, Т2).
Перемещения первой балки суммируются из перемещений от единичной силы и реакции связи. Поэтому для амплитудной функции справедливо соотношение:
Ь
Т
Г(1) (х, s,m2) = Г1 (х, я, т2) -1Г1 (х, 5, т2) Я(я, т^я.
Амплитудная функция системы на второй балке имеет вид:
ь
А(2) (х, Я, Т ) = | А2 (х, Я, Т )Я(я, Т^Я .
а
Условие отсутствия взаимных перемещений в точке связи выражается равенством
А(1) (х, я, Т2) = А(2) (х, я, Т ) .
Отсюда получим выражение для реакции:
А1(я1, 5, т2)
Я(&, Я1,Т) = ^ 2 - 2
А1(51, Я1,Т ) + А2(51, Я1,Т )
Функция динамической податливости системы А (х, я,т2) на первой и второй балках соответственно равна
А1 (х, 51, Т2 ) А1 (51, Я, Т )
А1(х, я,т )-
А1(51, 51,Т2) + А2(51, 51,Т2)
а
И
Г2(X, 51, О)Г1 (51, S, О)
Г1 (51, 51, СО2') + Г2 (51, s1,a^L)
Квадраты частот собственных колебаний системы определяются из уравнения
А^, s1,a^2) + А2(^, s1,w2) = 0.
Система, полученная наложением связи типа идеального шарнира на балки с пересекающимися осями (рис. 2).
Обозначим через а угол между осями х и о первой и второй балок и будем считать, что шарнирная связь передаёт усилия в плоскости этих осей.
Будем иметь в виду, что для балки характерно наличие матрицы функций динамической податливости:
Án( х, s, w2),0, 0, 0, 0,. 0,
0 Á22 (х, s, w2),0, 0 0,. Á26 (^ s,W)
0 0, Á33( х, s ,w2), 0, Á35 (x, s, w2),0
0, 0, 0, Á44( x, s, w2), 0,. 0
0, 0 Á53 (x, s, w2),0, Á5 5( x, s,w2),0
0, Á62 (^ sW2),° 0, 0,.. Á66( x s,W)
Элементы этой матрицы представляют собой возможные амплитудные перемещения в декартовой системе координат с нумерацией осей 1,2,3. Под возможными перемещениями понимают линейные смещения точек системы вдоль осей и повороты относительно этих осей. Принятая индексация определяет как характер перемещений, так и характер действующих единичных нагрузок. Первый индекс определяет направление и характер перемещений, второй - направление и характер нагрузки.
X
Рис. 2. Балки с пересекающимися осями
Линейным смещениям и силам относительно осей 1, 2 и 3 приняты соответствующие их направлению индексы 1,2,3. Углам поворота и момента относительно указанных осей присвоены соответственно индексы 4,5 и 6 Амплитудные перемещения первой балки по нормали к её оси:
А(1)(х, s, О) = А221 (х, s, со2') - А221 (x, v, со2)R(s, со2).
Амплитудные перемещения второй балки в том же направлении:
А(2)(y, s, О) = [А22 2 (y, v, О) cos2 a+А112(y, v, со2) sin2 a]R(s, О).
В этих выражениях третий индекс соответствует номеру стержня.
Условие совместности перемещения в точке связи даёт выражение реакции:
А221^,s1,w2) + А22 2(п1,п1,«2)со82а+А11 2(п1,п1,«2)вт2 а Система со связью типа жёсткой заделки с совпадающими осями балок (рис. 3).
О
О
►
X
Рис. 3. Балки с параллельными осями и связью типа жёсткой заделки
Амплитудные нормальные перемещения балок суммируются в этом случае из перемещений от внешней нагрузки (для одного из стержней), силы и момента реакции связи. Повторяя логику рассуждений, использованных в рассмотренных выше случаях, получим уравнение для
квадратов частот собственных колебаний в виде равенства нулю определителя
Система со связью типа жёсткой заделки, наложенной на балки с пересекающимися осями. Система уравнений для неизвестной силы и момента реакции связи имеет вид:
Условием определения частот собственных колебаний является равенство нулю определителя этой системы.
Система с линейной и моментной упругими связями, наложенными на балки с совпадающими по направлению осями (рис. 4).
Действие внешней единичной гармонической силы сопровождается возникновением силы и момента реакции связи, величина которых зависит от взаимных смещений и углов поворота изогнутых осей балок в точке связи.
0.
К,
Рис. 4. Параллельные балки с линейной и моментной связями
Обозначив жёсткости связи на перемещение к1 и поворот к2, получим выражения для силы
и момента реакции с учетом характеристик связи:
Я(5, со2) = к1 [ А(1) (5, 5,02) - А(2) (5,5, со2)],
Э
^2 _ \"1 V* 5^5^ /_||х=5,.
или
М (5, О ) = кг^~ [ А ™( X, 5, О ) - А (2) (X, 5, О )] |
Э5
— Я(5, О2) = А1(51, 5, О2) -Я(5, О2)[А1(51, 51,О2) - А-(51, 5^ О2)] -к1
Э
-М(51, СО2 ) — [Аі (5і, 5, О2) - А-(5,5, О2 )] |,=5
-1М (5,02) = Э- А' (5,5, СО2 ) | -Я(5, СО2 ) Э- [ А' (X, 5і, О2) - А- (X, 5і, СО2 )] |
к Эх 1 ^ 1
_Э_ Эх ‘
Э2
—М (я, О) —- [ (х, sl,w2) — А2( х, со2)] | .
дxдs
Частотное уравнение представляет собой равенство нулю определителя: к- А1 (я, эо2) + А2 (^ ^ °2); ^[ А1 (э1, яо2) + А2 (^ я со2)] Ц
Э5
Э - 2 2 1 Э2 - 2 2
—[А^х,51,О )-А-(X,51,О )]|х=51;—[4(х,5,О )-А-(X,51,О )]|х
Эх к ЭхЭ5
= 0
На приведенных примерах показана логика и последовательность расчета, которые могут быть использованы для исследования более сложных систем, состоящих из большого числа элементарных подсистем с различными связями.
4. Функции влияния и динамической податливости для балок с различными опорными условиями
Функции влияния и динамической податливости можно определять одним из двух способов. Первый способ заключается в отыскании двух частных решений однородного уравнения равновесия или движения, порознь удовлетворяющих граничным условиях на краях балки и условиям разрыва третьей производной (на единицу меньше порядка уравнения) на величину, обратную изгибной жёсткости в точке приложения единичной силы.
Второй способ состоит в решении того же уравнения при условии, что правая его часть представляет собой разрывную в точке приложения силы 8 — функцию Дирака первого рода.
Покажем определение функции влияния первым из этих способов на примере консольно защемлённой балки.
Исходное уравнение:
й2 ( _ й2ы ^ dx2
Е1-у ёх J
= 0.
Функция влияния:
К(х,5) =
І м1, X < 5, [м2, X ^ 5,
где
х х і 2 х
Яхдх г
------+ с21----+ сх + сЛ
о о ЕІ о
хёх
ЕІ
х х хОх2 ЕІ
ЕІ
хОх
оо
Г раничные условия для и1 :
Г раничные условия для и2 :
и1(0) = °, = 0.
ох
щ(1) = °, —т\х=і=°. ох
где I - длина балки.
Кроме того, должны быть выполнены условия непрерывности функции влияния в точке 5 :
, ^ ^ Ои, . . О и, . О |
и (5) = и2 (5); ^ и = 1„ ; - лт и=—гг и
ох
Ох Ох
ох2
из разрыва третьей производном:
О Зи,
О Зи
\х=5
1
йХ3 йХ3 Е1 (5)
Всех этих условий достаточно для определения констант интегрирования в выражениях и,
и и2.
В результате функция влияния записывается в виде:
Ях х хОх2 } хОх
-----+ ^ I-----, х < в,
ЕТ ^ ЕІ
К (х, в) =
0 0
х х і 2
II ГГ+(2* - х) I
0 0
хОх в 2(х - в)
-----+ —----------- , х ^ в /
ЕІ ЕІ (в)
Аналогично могут быть получены функции влияния и для других граничных условий. Выражения К22( х, 5) и К33( х, 5) для различных случаев опирания балки приведены в [1]. Второй способ можно продемонстрировать на примере определения функции динамической податливости балки.
Уравнение движения под действием единичной гармонической силы:
Э2
Эх2
ЕІ (х)
Э2и( х, г) Эх2
+ рР(х)
Э 2и( х, ї) Эг2
= 8(х - в)
будем решать методом разложения по собственным ортонормированным функциям (р{, удовлетворяющим граничным условиям задачи (условиям опирания), предварительно исключив методом Фурье параметр времени ^:
и( х) = Ё АР (х).
1=1
В результате подстановки искомого решения в уравнение получим:
х
0
0
0
А(X, S, О)2) = u(x) = ^
j (x)j (s)
=‘í
d dx2
i
dx -WI pF ( x)dx
Для балки постоянного сечения собственные функции имеют вид:
. . Chml + cosml /а1 ,
j (x) = Chmx - cos mx +----------— (Shmx - cos mix).
Shmi - sin ml
Входящие в это выражение параметры Hi определяются из уравнения:
Chmi - cos mil, Shmi - sin ml Shmi+sin mil, chmi - cos ml
■ 2(1 - chmi cos mii) = о
0
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Умушкин Б.П., Кукушкин М.С., Лебедев К.Н. и др. Динамика и прочность элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1978.
2. Умушкин Б.П. Колебания составных упругих систем // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Эксплуатация воздушного транспорта, № 109, 2006.
TO CALCULATE OF SEQUENCE OF VIBRATION GTE AS COMPOUND SYSTEM
Umuoshkin B.P., Shevchenko I.S.
Engines vibration parameters calculation is the main problem of technical state assessments of oscillated assemblies. To simplify sequence of calculations of vibration parameters the energetic criterion was introduced for estimation of interaction effects of elastic interconnections of under-systems units. Calculations of dynamic and strength of the simplified system taken place based on the functions of dynamical compliance. General correlations for calculations were demonstrated, and method of determination of dynamical compliance functions was introduced for main units of assembly.
Сведения об авторах
Умушкин Борис Петрович. 1932 г.р., окончил Харьковское высшее авиационное инженерное училище (1955), доктор технических наук, профессор, академик Российской академии космонавтики и Международной академии информатизации, заслуженный испытатель космической техники, заведующий кафедрой двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, автор более 150 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.
Шевченко Илья Сергеевич, 1983г.р., окончил МГТУ ГА (2006), аспирант кафедры двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.
