Синтез упругих систем наибольшей динамической жёсткости Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта

№ 134

УДК 51.31.735.02

СИНТЕЗ УПРУГИХ СИСТЕМ НАИБОЛЬШЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЖЁСТКОСТИ

Б.П. УМУШКИН

Определяются конфигурация и параметры системы заданного количества упругих связей, наложенных на исходную двумерную упругую систему с целью обеспечения наибольшего значения частоты основного тона собственных колебаний.

1. Основные определения. Постановка задачи

Системой наибольшей жёсткости будем называть упругую систему с заданным количеством связей, конфигурация и параметры которых обеспечивают наибольшее значение частоты основного тона собственных колебаний.

В работах М. Д. Дольберга и автора настоящей статьи [1], [2] приведены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять точечные связи, максимально повышающие частоту основного тона колебаний упругой балки, стержневой системы и прямоугольной пластины. В работе [3] содержатся результаты решения аналогичной задачи для подкреплённой прямоугольной пластины и цилиндрической оболочки в предположении, что в качестве упругих связей рассматриваются прямолинейные подкрепляющие элементы (стрингеры).

Целью настоящей статьи является определение условий для связей, наложенных на произвольную двумерную упругую систему. Можно, по-видимому, утверждать, что эти условия распространяются и на более общий случай пространственной системы, для собственных форм которой характерно наличие узловых поверхностей.

Введём некоторые определения.

Системой £ будем называть исходную упругую систему с функцией влияния К (х, г, в,д), являющейся позитивным ядром и представляющей собой обобщённое амплитудное перемещение произвольной точки системы с координатами х, ъ от действия единичной обобщённой нагрузки в точке б, д. Математическим выражением функции динамической податливости является функция Грина дифференциального оператора уравнения (или системы уравнений) равновесия системы.

Из самого факта существования функции К(х, г, я,д) следует, что исходная система удовлетворяет некоторым условиям, накладываемым на неё опорами, т. е. удовлетворяют исходным связям.

Ядру К(х, г, я,д) можно поставить в соответствие резольвентную функцию Г(х, г, $,д, со2), являющуюся функцией динамической податливости исходной системы.

Системой 8К назовём такую систему, которая образована из исходной наложением по к линиям связей с неизвестными пока очертаниями и параметрами жесткости.

Если расположение, очертания и другие параметры связей обеспечивают максимально возможную частоту основного тона колебаний образованной системы, то £К будет называться системой наибольшей динамической жёсткости.

Ниже рассматриваются идеальные связи, удовлетворяющие условию 18п( х, г)ёЯ( х, г) = 0, где 8и( х, г) - виртуальные перемещения системы;

йК(х, г) - реакции связей.

Таким образом, нашей задачей является определение условий, которым должны удовлетворять идеальные связи, наложенные по заданному количеству линий на исходную систему, чтобы вновь образованная система имела максимально возможную частоту основного тона собственных колебаний.

Для определения функции динамической податливости системы 8К представим реакцию

связей, действующих на исходную систему в виде суммы реакций, распределённых по каждой

из к линий.

2. Доказательство однозначности определения системы 8К

ЩЯ(х, г, ^, д, со2) = С1ёг1 (х, г, 5, д, со2), (1)

¿=1

где Ci — некоторый параметр, а функции удовлетворяют условию

| и( х.г, 5, д, О )ёг (х, г, 5, д, о2) = 0. (2)

Примем, кроме того, условие линейной независимости связей, заключающееся в том, что

к

| иёг Ф 0, (3)

¿=1

если хотя бы одно ai Ф 0.

Понятно, что выполнение соотношений (1) - (3) обеспечивает соблюдение условия идеальности связей.

По известной Г(х, г, 5,д,о2) исходной системы можно построить функции динамической податливости системы 8К.

Функция динамической податливости системы 8К :

к

Гк (х, г, 5, д, со2) = Г (х, г, 5, д, о2) — ^ | Г (х, г, 5, д, 5,0 )йт{ (5, д, О). (4)

Или с учётом (1)

¿=1

к

ГК (х, г.5, д, о)2) = Г (х, г.5, д, со2) — ^ С11Г (х, г.5, д, со2 )ёг1 (5, д, о2).

¿=1

Умножив полученное равенство на (х, г, О) и интегрируя по х, г в пределах их измене-

ния с учётом условия (3), получим

| ГК (х, г.5, д, (0')ф{ (х, г, О)2) = | Г (х, г.5, д, со2 )ёг- (х, г, О)2) —

к .. (5)

^ С {{ Г (х, г.5, д, со2 )йт{ (5, д, со2 )йт{ (х, г, а2).

¿=1

Соотношение (5) может рассматриваться как система алгебраических уравнений относительно неизвестных С- с определителем

I |к

£(о) = у (о) (6)

I ■> \г] =1

где у^ = 11А (х, г.5, д, соо )ёг1 (5, д, со2 )ёг1 (х, г, о2).

При статической нагрузке

у о=0=11К(х г 5 д)ёг(^ дЩ(хг).

Для доказательства однозначности определения системы нужно доказать, что определитель

I к

отличен от нуля.

I ] 1у=1

Требуемое положение будет доказано, если будет установлена неотрицательность квадра-

тичной формы ^ аа}ёу, что, как нетрудно проверить, прямо следует из позитивности ядра

У=1

К(х, г, 5, д) и условия независимости связей (3).

Обратимся к исследованию определителя В(а>) = \уь- (а>)

к

У=1

3. Особенности спектра собственных частот системы £К и предельное значение частоты основного тона

Уравнение Б(а) == 0 (7)

является условием определения частот собственных колебаний системы £К, сопровождающихся перемещениями точек соединения системы £ со связями.

к

Следствием положительности квадратичной формы ^ ааё у является вывод о том, что

¡, ] =1

До)0=0> 0. (8)

Для рассматриваемых здесь систем элементы у.(о) имеют полюсы при тех значениях со,

которые совпадают с частотами собственных колебаний системы £.

Таким образом, частотный определитель П(о) положителен при о = 0 и терпит бесконечные разрывы при о , равных частотам собственных колебаний исходной системы.

Если потребовать, чтобы первая частота системы связей была достаточно высокой, то можно придти к заключению, что первый полюс функции В(о) меньше всех её нулей. Эти особенности рассматриваемой функции дают известный результат, гласящий, что

^ ^ ^(К +1)2

° — °(К) — ° ,

где 0(К) — частота основного тона системы £К ;

О — частота основного тона исходной системы;

О ^ — частота собственных колебаний исходной системы с к узловыми линиями.

Из этого неравенства следует, что

О2(К) — 0К+1)2 .

Таким образом, для обеспечения наибольшей жёсткости полученной системы будем искать условия, которым должны удовлетворять связи, чтобы выполнялось условие

о2( к )=а к+1)2. (9)

4. Определение очертаний и параметров системы связей наибольшей динамической жёсткости

Прежде чем сформулировать требования к конфигурации и параметрам связей наибольшей жёсткости, приведём без доказательства некоторые общие положения математической теории колебаний.

1) Для того, чтобы некоторая собственная частота системы была также собственной частотой системы £К, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна амплитудная функция системы £ удовлетворяла условию связи.

2) Каждая амплитудная функция системы £, удовлетворяющая условию связи, должна быть также амплитудной функцией системы £К .

3) Если существует такая амплитудная функция системы £, которая удовлетворяет условию связи и отвечает какой-либо собственной частоте 0тп системы £, то условием определения этой частоты, являющейся также и собственной частотой системы £К, будет условие разрыва Г(х, г, 5,д,о2) при 0=0тп . Т.е. атп является полюсом Г(х, г, 5,д,о2).

Двойной индекс тп использован здесь для привязки собственной частоты к форме волнообразования двумерной системы.

Выше показано, что наибольшая частота системы £К является некоторой частотой системы

£, т.е. для реализации условия наибольшей динамической жёсткости требуется выполнение условий 1 и 2.

Эти условия можно выполнить, если связи наложены по узловым линиям соответствующей формы колебаний системы £. При всех других очертаниях линий контакта исходной системы со связями система £К не может иметь общих частот с системой £, и условие (9) выполнено быть не может.

Таким образом, задача отыскания связей наибольшей динамической жёсткости сводится к задаче определения параметров динамической жёсткости связей, обеспечивающих равенство частоты первого тона собственных колебаний системы со связями частоте такой собственной формы колебаний исходной системы, при которой её узловые линии являются линиями контакта со связями.

Понятно, что это условие выполняется при бесконечной жёсткости связей, но этот очевидный случай не представляет для нас интереса.

Рассмотрим характер зависимости от частоты а определителя П(о) .

Выше было установлено, что частотный определитель П(о) положителен при о = 0 и терпит бесконечные разрывы при о, равных частотам собственных колебаний исходной системы.

Если потребовать, чтобы первая частота системы связей была достаточно высокой, то можно придти к заключению, что первый полюс функции В(о) меньше всех её нулей. А поскольку нули В(о) совпадают с частотами собственных колебаний исходной системы, то можно утверждать, что В(о) сохраняет положительное значение при всех О, меньших, чем наименьшее значение собственной частоты исходной системы при заданном числе узловых линий.

При О, равных частотам собственных колебаний исходной системы функция П(о) имеет простые полюсы. Между полюсами эта функция монотонно возрастает. Это значит, что нули и полюсы В(о) перемежаются между собой.

Учитывая эти особенности частотного определителя, приходим к выводу о том, что для выполнения равенства:

0 К ) = 0 К +1)2

надо потребовать, чтобы частотный определитель системы, образованной наложением на исходную систему заданного числа связей по её узловым линиям подчинялся условию

До( К+1)]< 0. (10)

Достаточность этого условия следует из монотонности изменения Я(о) на интервале бОК), сОК+1), благодаря чему единственный корень В(ю) на этом интервале при соблюдении неравенства (10) не может быть меньше, чем Ок+1).

Необходимость условия (10) легко доказывается от обратного.

Действительно, если предположить, что равенство (9) выполняется без соблюдения условия (10), то это будет противоречить свойству монотонности П(О) на рассматриваемом интервале.

В заключение следует заметить, что полученные здесь результаты могут быть на практике использованы не только для отстройки конструкции от опасных резонансных режимов (например, с помощью правильно подобранной системы подкрепляющих элементов подкрепления тонкостенной оболочки), но и придают упругой системе другие полезные свойства. Так, опуская доказательства, можно утверждать, что система наибольшей динамической жёсткости обладает максимальной устойчивостью от действия сжимающей нагрузки и практически минимальными напряжениями от равномерно распределённой нагрузки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дольберг М.Д. О связях наибольшей жёсткости // Учёные записки харьковского математического общества. - Харьков, 1957.

2. Дольберг М. Д., Умушкин Б.П. Об определении оптимальных параметров транспортировочной системы, схематизированной в виде балки на упругом инерционном основании. Избранные главы строительной механики. Изд-во Мин. Обороны, 1967, №4.

3. Умушкин Б.П. О подкреплённых пластинах и оболочках наибольшей динамической жёсткости. Известия АН СССР Механика твёрдого тела, 1969, №4.

SUMMATION OF ELASTIC SYSTEMS OF MOST STRONG DYNAMIC

Umushkin B.P.

Shape and parameters of a system are determined for used number of elastic connections, which have been applied to initially be introduced two-dimensional system to realize maximum value of frequency of main tone of its own oscillations.

Сведения об авторе

Умушкин Борис Петрович, 1932 г.р., окончил Харьковское высшее авиационное инженерное военное училище (1955), доктор технических наук, академик Российской академии космонавтики и Международной академии информатизации, заслуженный испытатель космической техники, профессор кафедры двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, автор более 160 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.