Колебания составных упругих систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта

УДК 5393

КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

Б.П. УМУШКИН

Вибродиагностика технического состояния авиадвигателей основана на оценке изменения динамических характеристик конструкции и её элементов. Вместе с тем, задача расчёта этих характеристик затрудняется сложностью двигателя, представляющего собой многомерную составную упругую систему. С целью обоснованного структурного упрощения его расчётной схемы ниже в общей постановке рассматриваются колебания систем, состоящих из подсистем с наложенными на них взаимными связями. Выделение элементарных подсистем производится по одному из трёх признаков: различию уравнений движения, систем координат, в которых описывается их движение, или конструктивно-технологическому признаку. В общем случае системы имеют распределенные параметры. Полученные соотношения между функциями Грина элементов позволяют оценить характер связей и выделить подсистемы, работу которых в заданном диапазоне частот возбуждения можно не учитывать при описании системы в целом.

Здесь же рассматривается проблема синтеза систем наибольшей динамической жёсткости, полученных из исходной наложением связей, обеспечивающих максимально возможную частоту основного тона собственных колебаний вновь образованной системы.

1. Структурные упрощения расчётной схемы составных систем

Составной будем называть систему, состоящую из подсистем с наложенными на них взаимными связями. Неоднозначность такой трактовки можно несколько сузить тем соображением, что в качестве подсистем следует выбирать такие, движение которых описывается уравнениями различного вида или в различных системах координат. Это, по существу, означает рассмотрение упругой системы, состоящей из твердых тел, основных элементов строительной механики (брусьев, прямых и кривых стержней, пластин, оболочек) и упругих тел.

В настоящее время достижения в области конечно-элементных методов позволяют произвести расчет колебаний практически любой упругой системы. Вместе с тем при колебаниях многомерных составных систем в определенном диапазоне частот могут проявляться сильные или слабые взаимодействия между подсистемами. В последнем случае расчетчик сталкивается с трудностями плохой обусловленности систем разрешающих уравнений. По этой причине еще до построения математической модели, алгоритма и программы расчетов имеет смысл произвести анализ составной системы с целью выявления «сильных» и «слабых» связей, рациональной ее декомпозиции и корректировки расчетных соотношений. Первая часть статьи содержит попытку решения этой проблемы.

Оценка возможности структурного упрощения составных систем в виде совокупности дискретных элементов за счет отбрасывания в рассматриваемом диапазоне частот «слабых» связей содержится в известных работах Л.Я. Банах [1,2]. Здесь же делается попытка решения задачи упрощения составной системы в том случае, когда составляющие подсистемы имеют распределенные параметры.

Амплитудные перемещения точки х подсистемы с номером г от действия единичной гармонической нагрузки с частотой о в произвольной точке б можно записать в виде:

Г(1) (х, s,о2) = Гг (х, s,о2) -1Г1 (х, г, о2)Яг-1 (я,г^г -1Г1 (х, г, о)2 )Я+ (я, ;

а а

где: Г1(х, я, о2) - функция динамической податливости (функция Грина) г - й подсистемы, свободной от связей как с г -1 - й, так и с г +1 -й подсистемами, Яг-1(я, г) и Ям(я, г) - распределённые реакции соответствующих подсистем, а - область существования х .

Заметим, что реакции могут быть распределены не по всей области а. Амплитуды перемещения подсистем с номерами г -1 и г +1 обусловлены действием соответствующих реакций.

Г(1-1) (х, я.ю2) = | Гм (х, г, О)2) Яг_1 (8, г )аг;

а

Г(1+1) (х, 8,а>2) = | Г1+1 (х, г, (О2) Яг+1 (8, г )ёг.

а

Условия совместности перемещений 1-й подсистемы в точках связей г с г _ 1 _ й и у с г +1 _ й подсистемами имеют вид:

Г1 (г, ьт2) = | Г1 (г, г, (О2)Яг_1 (8, £)йг _ | Г1(г, г, (О2)Яг+1 (8, £)йг = | Г-л (г, г, (О2)Яг_1 (8, г)аг;

Ь с Ь

Умножим первое из этих соотношений на Яг_1(8,г), второе - на Яг+1($,у) и проинтегрируем по г и у в пределах существования зон Ь и с.

" _! (8, г)аг = I 1Г1 (г, г, т )Яг_1 (8, г)Яг_1 (8, г)агаг + I 1Г 1(г, г, О )Я+1 (8, г)Яг_1 (8, г)

| Г1 (и, 8,0)2)Яг_1 (8, г)аг = || Г1 (г, г, О)2 )Яг_1 (8, г)Яг_1 (8, г)аМг +11 Г1(г, г,а>2 )Яг+1 (8, г)Яг_1 (8, г)агаг +

Ь Ь Ь Ь с

+11 Г-1 (г, г, О2) Я_1 (8, г) Я_ (8, г )агаг;

ЬЬ

| Г1 (у, s, со2 )Я+ ^ у)ау = || Г1 (у, г:1 со2 )Я_ & гЩ+1 & у)агау +11Г1 (у, z, со2) ^+1 (э, г )Я+1 & у)агау +

с с Ь с с

+11 Г1+1 (у, Z, 0 )Яг +1 (^ г)Яг+1 (^ у)агу;

сс

С учетом этих результатов выражение для Г(1)(х, 8, со2) в точке 8 приобретает вид:

Г(1)(б,8,о2) = Гг (8,8,а>2) _||(г, г, О2) + Гм (г, г, О)2)]Яг _1 (8,г)Яг_1 (8,г)агаг _11[Г1(у, г, О2) +

Ь Ь с с

+ Гг+1 (^ ^ 0)2 )]Яг+1 (S, г)Яг +1 (s, У^Ф _ 2| | Г1 (Z, у, 0 )Яг_1 (8 г)Я,+1 ($, .

сЬ

Заметим, что последний член правой части этого выражения равен нулю, так как он представляет собой суммарную работу г_ й подсистемы на перемещениях г_ 1 _ й подсистемы от реакций г +1 _ й и на перемещениях г +1 _ й от реакций г _ 1 _ й подсистемы.

Анализ возможности упрощения составной системы теперь сводится к сравнению оставшихся слагаемых правой части. Так, при выполнении в рассматриваемом диапазоне частот неравенства:

11 [Г1(г, г,т2) + Гм (г, г, (О2 )]Д. _1 (8, г)Я_1 (8, г)агаг « Г г (8,8, (О2)

ЬЬ

выражение Г(1)(8, $,ю2) совпадает с соответствующим выражением для системы, состоящей из г-й и г+1-й подсистем. В этом случае можно пренебречь г +1 -й подсистемой.

С учетом неотрицательности каждого члена левой части неравенства и известных выражений для резольвентных функций Г рина позитивных симметричных ядер полученное неравенство можно записать в виде двух соотношений:

¿||

(рг_х„(г)р,_1,п (г ''¡-К98-,г) тг )агаг

2 _ 2

п+1 ь Ь 0 т_1,п ____________<< 1 ,

р,т (.8')р,т (8)

0 _°1т

11 Р,т (г)Р,т (г)Я(S, г')Я(S, г)агаг

^--------------------------------------<< 1.

Рт (р,т (8)

Понятно, что для приближенной оценки влияния связей можно билинейные ряды, входящие в эти неравенства, заменить конечными суммами с оцениваемой равномерной погрешностью, приведенной в работе М. Д. Дольберга [3]:

|г(х,х,т2)_Г(к^х^т2)^ < е(х,г,т2) .

Здесь е _ некоторая вполне определенная при т} т функция, стремящаяся с ростом

числа удерживаемых членов сумм к нулю.

По существу, полученные выше неравенства свидетельствуют о том, что для решения вопроса о пренебрежении влиянием конкретных подсистем на динамику системы в целом следует произвести их сравнение по энергии и частотам собственных колебаний в рассматриваемом диапазоне частот возбуждения.

В частном случае упругих связей между подсистемами в точке можно не учитывать влияние такой связи при малой ее жесткости или соединения вблизи узлов соответствующих форм колебаний с частотами, близкими к частоте возбуждения.

Для точечных связей между подсистемами приведенные выше неравенства сводятся к условию:

__.2 2

=,а>2 - (Оі

т=\

22 О2 -О2

<< \.

Опуская подробности, следует заметить, что в ряде случаев расчет колебаний составных упругих систем с помощью функций динамической податливости (функций Грина дифференциальных операторов уравнений движения подсистем) упрощает решение задачи и делает его результаты более наглядными. С этой целью можно воспользоваться таблицами выражений функций влияния (ядер функций Грина), составленными для основных элементов строительной механики при различных комбинациях опорных условий [4].

2. Синтез систем наибольшей динамической жёсткости

Введем некоторые определения.

Системой Л' будем называть исходную двумерную упругую систему применительно к прямоугольным пластинам и цилиндрическим оболочкам с функцией влияния К(х, в, 8, р) , являющейся позитивным ядром. Из самого факта существования ядра следует, что система Л удовлетворяет некоторым условиям, накладываемым на нее опорами, т.е. удовлетворяет исходным связям.

Ядру К(х,в, 8,р) можно поставить в соответствие резольвентную функцию Г(х, в,$,,р,а>2) , являющуюся функцией динамической податливости исходной системы.

Ограничимся рассмотрением такой системы Л, исходные связи которой выражаются граничными условиями Навье, т.е. фундаментальные функции резольвенты Г (х,в,$>р,т2) являются тригонометрическими функциями, и резольвента может быть представлена точно двойным тригонометрическим рядом с коэффициентами.

Системой & назовем такую систему, которая образована из исходной системы Л наложением связей к по линиям. При этом будем считать, что связи накладываются по линиям, очертания которых пока неизвестны.

Если места расположения, очертания и другие параметры связей обеспечивают максимально возможную частоту основного тока колебаний образованной системы, то Лк будет называться системой наибольшей динамической жесткости.

\

Представим реакцию связей, действующую на исходную систему в виде суммы реакций, распределенных по каждой из к линий:

к

ёК(э,р,т2) = I ОД (э,р,о2); (1)

I =1

где С- — некоторый параметр, а функции ёг удовлетворяют условию:

| п(э, р, со2 )ёг (^, р,о>2) = 0; (2)

Примем, кроме того, условие независимости связей, выражающееся в том, что

к

1^1 пёг ф 0, (3)

1=1

если хотя бы одно а ф 0.

Понятно, что выполнение соотношений (1) - (3) обеспечивает соблюдение условия идеальности связей. Построим по известной Г(х,6,$,,р,со2) функцию динамической податливости системы 8к:

Гк (х, 6, $, р,о2) = Г (х, 6, э,р,а>2) — | Г (х, 6, э, р, о)2 )ёЯ(э, р,а)2);

Или с учетом выражения (1):

к

Гк (х, 6,$, р,а>2) = Г(х, 6,э,р,а>2) — I С | Г(х, 6,э, р, со2 )ё] (э, р,а>2).

1=1

Умножив полученное равенство на ёг^ (э,р,а2) и проинтегрировав по х,6 с учетом условия (1), получим:

к

| Г (х, 6, $, р, о)2 )ёг^ (х, 6,0) = IС1 1Г (х6 ,$,р,а)2 )ёг{ (э, р, о)2 )ёг^ (х,6,о2); (4)

-=1

Соотношение (4) может рассматриваться как система уравнений относительно неизвестных С с определителем:

|к

I

1у =1 '

0(о) = \Уу (о)[=; (5)

где у^ (о) = 11Г (х,6, э.р, о)2 )ёг (э, р, о)2 )ёг^ (х, 6, о2).

При статической нагрузке:

у} (о) о=0 = § = 11К (х 6, )ёг(s, р, )ёг] (х 6).

Для доказательства однозначности определения системы нужно показать, что определитель

к

1ег7 отличен от нуля.

I у \у=1

Требуемое положение будет доказано, если будет установлена положительность квадратичной формы:

к

; (6)

у=1

что, как нетрудно проверить, прямо следует из позитивности ядра К(х,6, э,р) и условия независимости связей (3).

Для выяснения особенностей спектра частот и определения предельного значения частоты обратимся к исследованию определителя П(о) .

Уравнение П(о) = 0 является условием определения частот собственных колебаний систем 8к, сопровождающихся перемещениями точек соединения системы 8к со связями.

Выше была доказана положительная определённость квадратичной формы (6), откуда следует вывод о том, что:

о(°)\а=0 > 0;

Для рассматриваемых здесь систем Г(х,6,$,р,а>2), а следовательно, и элементы у//(о)

имеют полюсы при тех значениях со, которые совпадают с частотами собственных колебаний системы £ . Отсюда следует, что частотный определитель П(о) положителен при со = 0 и терпит бесконечные разрывы при со, равных частотам собственных колебаний исходной системы.

Если потребовать, чтобы первая частота системы связей была достаточно высокой, то можно прийти к заключению, что первый полюс функции П(о) меньшее всех её нулей. Все эти особенности рассматриваемой функции дают известный результат, сводящийся к тому, что

о < °к )2 < 4+1, где: о) — частота основного тона системы £к;

о — частота основного тона исходной системы £;

сок+1 — частота колебаний исходной системы с к узловыми линиями.

Из этого неравенства следует, что

ок)2 < о2 •

Ш1 — шк+1 з

Таким образом, связи наибольшей динамической жёсткости должны удовлетворять условию

ок )2 = о

Ш1 к+1 •

Определим очертания и параметры связей, удовлетворяющих этому равенству.

Прежде всего, приведем без доказательства некоторые общие положения математической теории колебаний.

1) Для того, чтобы некоторая частота системы £ была также частотой системы £к, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна амплитудная функция системы £, отвечающая этой частоте, удовлетворяла условию связи.

2) Каждая амплитудная функция системы £, удовлетворяющая условию связи, является также амплитудной функцией системы £к.

3) Если существует такая амплитудная функция системы £, которая удовлетворяет условию связи и отвечает какой-либо частоте с номером т, п системы £, то условием определения

этой частоты, являющейся также и частотой системы£к, будет условие разрыва Г(х,6,$,р,ю2)

при со = сотп, т.е. сотп является полюсом этой функции.

Таким образом, наибольшими частотами системы £к являются некоторые частоты системы £, которые могут быть реализованы в том случае, если связи наложены по узловым линиям соответствующей формы колебаний системы £ .

В частном случае прямоугольной пластины или цилиндрической оболочки со свободным опиранием, соответствующим граничным условиям Навье, узловыми линиями являются линии, параллельные краям пластины и расположенные через равные интервалы, а для оболочки - линии с координатами х =———г и 6 = /, здесь Ь — длина оболочки, а т и п — целые числа,

- т +1 1 п +1

определяемые соответствующей формой колебаний.

Отсюда делаем важный для нас вывод о том, что для обеспечения наибольшей динамической жесткости рассматриваемых систем набор подкрепляющих элементов должен располагаться через равные интервалы параллельно краям пластины и по линиям главных кривизн цилиндрической оболочки. При всех других очертаниях линий контакта исходной системы с под-

крепляющими элементами система £к не имеет общих частот с системой £, и условие достижения наибольшей жёсткости выполнено быть не может.

Таким образом, задача об отыскании связей наибольшей жесткости сводится к задаче определения параметров равномерного подкрепления пластины или оболочки, обеспечивающих равенство частоты первого тона подкрепленной системы частоте такой формы колебаний исходной системы, при которой по линиям контакта с подкрепляющими элементами образуются узловые линии.

Известно, что частотные уравнения пластин и оболочек с однонаправленным силовым набором распадаются по волновым числам на независимые уравнения для каждой пары значений т, п.

При достаточно высокой частоте основного тона колебаний подкрепляющих элементов левые части этих уравнений (условимся обозначать их кт п), рассматриваемые как функции от о,

обладают следующими свойствами:

- Ьтп (о) за счет позитивности ядра К(х, в, 8, р) положительны при всех о, меньших, чем наименьший корень частотного уравнения исходной системы при заданных волновых числах т, п;

функции Ътп(о) имеют простые полюсы при со, равных частотам собственных колебаний исходной системы для заданной пары значений т, п;

- между полюсами указанные функции монотонно возрастают. Это означает, что их нули и полюсы перемежаются. При этом первый полюс ктп(о) меньше всех ее нулей.

Перечисленные свойства Ьтп (о) позволяют конкретизировать поставленную задачу с учётом особенностей спектров частот рассматриваемых систем.

Дело в том, что каждой паре волновых чисел (за исключением случая т = п для квадратной пластины) соответствует единственный корень частотного уравнения исходной системы, если в качестве таковой рассматривается неподкрепленная прямоугольная пластина. Для спектра гладкой цилиндрической оболочки характерно наличие трех частот для каждой пары волновых чисел.

Кроме того, минимальная частота колебаний оболочки, в отличие от пластины, не соответствует в общем случае простейшей форме колебаний, т.е. минимум частоты оболочки наблюдается при одной полуволне т = 1 по длине и отличном от единицы числе волн п по окружности.

Учитывая эти особенности, придем к следующей постановке задачи для каждой из рассматриваемых исходных систем.

Пусть связи накладываются по узловым линиям форм колебаний прямоугольной пластины, определяемых волновыми числами п . Тогда на основе анализа свойств функции ктп (о) можно

сделать заключение, что при наложении связей по к узловым линиям соответствующей формы колебаний для выполнения условия наибольшей жёсткости

ок )2 = о

тк к+1

необходимо и достаточно подбором параметров стрингеров обеспечить выполнение неравенства ь™ <0.

Достаточность этого условия следует из монотонности изменения Итп на интервале сок — сок+1, благодаря чему единственный корень Итп на этом интервале не может быть при соблюдении приведенного неравенства меньше, чем сок+1.

Необходимость этого условия легко доказывается от обратного.

Действительно, если предположить, что равенство о,)2 = о'2+1 выполняется без соблюдения приведенного условия, то это будет противоречить доказанной выше монотонности возраста-

ния Ьтп на рассматриваемом интервале. Обратимся к той же задаче для круговой цилиндрической оболочки. Решение ее не сопряжено с большими особенностями, если речь идет о максимально возможном повышении первой частоты колебаний в пределах заданного числа волн п по окружности с помощью кольцевого подкрепления.

Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве условий наибольшей динамической жесткости пластины со стрингерами, получим, что для максимального повышения наименьшей в пределах заданного числа волн п по окружности частоты колебаний оболочки, подкрепленной к кольцевыми шпангоутами, необходимо и достаточно, чтобы:

- первая частота колебаний шпангоутов была выше (о1 к+1 п;

- шпангоуты соединялись с оболочкой через равные интервалы по ее длине;

- параметры шпангоутов обеспечивали неположительность сумм:

к

I(о+1,п)<0 (1 = 1Л .4)'

т=1

Здесь о к+1 п - предельная частота, равная первой частоте (из трех) собственных колебаний гладкой круговой цилиндрической оболочки при т = к +1, п .

Индекс 1 соответствует левой части одного из частотных уравнений главных колебаний оболочки, подкрепленной кольцевыми шпангоутами [4].

При решении задачи о повышении частот собственных колебаний оболочки с помощью стрингерного подкрепления надо иметь в виду наличие минимума частот по волновым числам п . В связи с этим задача имеет смысл лишь для числа стрингеров к, большего, чем число волн п, соответствующего минимальной частоте при заданном т. Условиями достижения наибольшей в пределах заданного числа полуволн по длине оболочки минимальной частоты оболочки, подкрепленной к стрингерами, в этом случае будут следующие:

- первая частота стрингеров не меньше о1 т к+1;

- стрингеры расположены через одинаковые интервалы по окружности оболочки;

- суммы

1,.,,,(о.„,к+,.) < 0 (, = 1,2,..,4).

п=1

Индекс , соответствует левым частям одного из уравнений собственных колебаний оболочки, подкреплённой стрингерами.

В заключение заметим, что полученные результаты обеспечивают лишь относительный максимум частоты системы, так как рассматривается лишь однонаправленный силовой набор, и задача о повышении частоты решается в пределах заданного параметра волнообразований в направлении, нормальном к элементам этого набора.

По-видимому, постановкой вдоль узловых линий соответствующей формы колебаний перекрестных силовых элементов и соответствующим подбором их параметров можно обеспечить и абсолютный максимум частоты основного тона колебаний рассматриваемых систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Банах Л.Я. Слабые взаимодействия при колебаниях механических систем // Доклады АН СССР. Механика. Т. 331, 1994.

2. Банах Л.Я. Методы декомпозиции при колебаниях многомерных систем // Доклады АН СССР. Техническая физика. Т. 131.

3. Дольберг М.Д. О разложении позитивного ядра в билинейный ряд // Доклады АН СССР, т. 120, №5, 1958.

4. Умушкин Б.П., Кукушкин М.С., Лебедев К.Н. и др. Динамика и прочность элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1918.

THE OSCILLATION OF COMPOUND ELASTIC SYSTEMS

Oumouchkine B.

Thee oscillations of compound system care considered. The separation into subsystems is made on one from the two signs: the discrepancy Of motion equations or coordinate systems. In with one is featured their movement. Generally, systems have continuous parameters.

The nature of connections in the system is evaluated with the help of parities between differential operatives Green functions of motion subsystems equations. It allows to dedicate subsystems, with one can be leave outer for want if description of the system as a whole for a given excitation frequency range.

The problem of synthesizing for vicariate systems with the greatest dynamic stiffness is decided. These systems can be received with the help connections providing the greatest possible free-running frequency.

Сведения об авторе

Умушкин Борис Петрович, 1932 г.р., окончил Харьковское высшее авиационно-инженерное военное училище (1955), доктор технических наук, академик Российской академии космонавтики и Международной академии информатизации, профессор кафедры двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, автор более 140 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.