К обоснованию одной математической модели плоского соединения трех волноводов. Часть II. H-плоскостная задача Текст научной статьи по специальности «Математика»

р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2015. № 4 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Яаёю Ше^гоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2015. № 4

РАД1ОФ1ЗИКА РАДИОФИЗИКА

КАВЮРНУ81С8

УДК 517.9 : 537.86

Онуфриенко Л. М.1, | Чумаченко В. П.2, Чумаченко Я. В.3

1Канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Запорожского национального технического

университета, Запорожье, Украина

2Д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Запорожского национального технического

университета, Запорожье, Украина

3Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры математических методов в инженерии Ивано-Франковского национального

технического университета нефти и газа, Ивано-Франковск, Украина

К ОБОСНОВАНИЮ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО СОЕДИНЕНИЯ ТРЕХ ВОЛНОВОДОВ. _ЧАСТЬ II. Н-ПЛОСКОСТНАЯ ЗАДАЧА_

В работе предложена и обоснована математическая модель Н-плоскостного соединения трех волноводов с произвольно треугольной областью связи. Задача рассеяния волноводных мод формулируется в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с однородными граничными условиями Дирихле на контуре конфигурации, условиями излучения в волноводах и условием на ребре. Модель основывается на представлении искомой компоненты поля внутри треугольной соединительной полости в виде суммы тригонометрических рядов, полученных на основе метода произведения областей. Для улучшения сходимости используемых рядов скорректирован традиционный для этого метода вид разложения по синусам. Изучены характерные особенности бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, возникающей в ходе решения задачи. Показано, что после простой модификации она приводится к эквивалентной системе, которая имеет те же свойства, что и система, которая была исследована в первой части работы при анализе аналогичной Е-плоскостной структуры. Этот факт позволил интерпретировать систему преобразованных уравнений,

как одно функциональное уравнение с фредгольмовым оператором в пространстве последовательностей /<3) = /1 © /1 © /1, где /1 является пространством абсолютно сходящихся рядов, а также доказать, что это уравнение имеет единственное решение, которое

может быть найдено методом редукции, сходящимся по норме /|3).

Ключевые слова: волноводные неоднородности, метод произведения областей, матрично-операторные уравнения.

НОМЕНКЛАТУРА

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений;

/1 - пространство последовательностей 8 = {?п} та-

да

ких, что ^ | 5п | < да; п=0

/2 - пространство последовательностей 8 = {яп} та-

да

ких, что | 50 |2 | 5п |2п < да; п=1

X © У - прямая сумма линейных пространств X и У; 0(х) - символ порядка: если /(х) = О^(х)) при х ^ а, то существует постоянная С такая, что | /(х) |< С | g(х)| при х ^ а; I - мнимая единица;

Яе с, 1ш с - действительная и мнимая части комплексного числа с;

5тп - символ Кронекера;

© Онуфриенко Л. М., Чумаченко В. П., Чумаченко Я. В. 2015 БОТ 10.15588/1607-3274-2015-4-1

еш - временная зависимость монохроматического процесса;

ю - круговая частота колебаний; 60, Ц-0 - электрическая и магнитная постоянные; е, ц - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, предполагается ц = 1;

X - волновое число, %

х, У, % - декартовы координаты.

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа является продолжением работ [1-3], посвященных построению эффективных математических моделей гибких автономных блоков треугольной формы, которые можно ввести в процессе сегментации волноводных узлов при применении метода обобщенных матриц рассеяния. В первой ее части [4] рассматривалась Е -плоскостная конфигурация, состоящая из трех волновых каналов, присоединенных к апертурам соединительной полости. Как и в предшествующих работах, в [4] для представления искомого поля внутри области связи были использованы тригонометрические разложения, получен-

ные на основе метода произведения областей [5]. Ниже предлагается и обосновывается математическая модель аналогичного соединения волноводов в Н-плоскости. Полученные результаты основываются на устанавливаемой в работе возможности сведения бесконечной СЛАУ, возникающей при решении задачи рассеяния собственных волн волноводов на их сочленении, к эквивалентной системе, которая в пространстве последовательностей

¡<3) = ¡1 © ¡1 © ¡1 являет собой матрично-операторное уравнение с теми же свойствами, что и уравнение, изученное в [4].

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сечение структуры плоскостью 7=сош1 имеет такой же вид, как и случае Е-плоскостного соединения. Для удобства читателя геометрия задачи восстановлена на рис. 1.

Кроме основной системы координат (х, у) для каждой из сторон треугольника * у длиной 2ау введена локальная система (Xj, yj ) так, что начало ее отсчета Oj находится в центре Sj, а ось OjУj направлена внутрь соединительной полости О. Через а j обозначены внутренние углы, отвечающие вершинам Mj (у = 1,3). Треугольник является невырожденным. Перпендикулярно к его сторонам присоединены полубесконечные волноводы Шу = {( Ху , у у ): -а у < Ху < а у , у у < 0}. Как и в [4], будем считать, что разветвление волноводов заполнено однородным диэлектриком с относительной проницаемостью е.

Со стороны плеча р соединение возбуждается г-й собственной волной единичной амплитуды, имеющей лишь электрическую составляющую вдоль оси г. Задача состоит в отыскании единственной г -компоненты

электромагнитного поля Ег = ие1ю1. Введем обозначения:

ыо = uV(х,у) е О, и(у) = uV(х,у) е Шу,

* У у = 51„ ^^, т пу) =

( \2 пп

2а,

2

■г . (1)

Рисунок 1 - Геометрия задачи

Функция и должна удовлетворять двумерному уравнению Гельмгольца

2

Ды + х и = 0

(2)

однородным граничным условиям Дирихле на контуре узла, условиям сопряжения полей в апертурах соединительной полости

ыО| п = и(я)

О1 у*=0+

дыО

у*=0-

ду*

ди

у*=0+

ду*

х* е (-а*, а*), * = 1,3,

=5 ф(Д х* )е у* + £ АП* * х* )е ^ у*,

п=1

у*=0-

V«,

(3)

(X*, у*) еШ*, * = 1,3 .

(4)

При 1т е < 0 существует единственное решение этой задачи для всех значений частоты ю > 0, исключая не более чем счетное множество точек [6]. В последующем мы рассматриваем только те значения ю, при которых граничная задача однозначно разрешима.

2 СЛАУ ЕДИНСТВЕННОСТЬ ЕЕ РЕШЕНИЯ

Как и в случае блока с двумя присоединенными волноводами [3], будем искать Ыо в виде

Ыо=! (иОУ) + ^0Ле*уУ ),

У=1

(У).

4У) = 1 °{пУ)*ф(пу)(ху)еуУ

(5)

п=1

Бесконечные вектор-столбцы коэффициентов разложений А(х) = {4ПХ)} и Б(у) = рПУ)} подлежат определению. Известно[7], что система функций, используемая в (5) для разложения величины Ыо , линейно независима за исключением некоторого счетного множества значений ю. Последнее множество также не включается в рассмотрение. Отметим, что в отличие от случая Е-плоско-стной структуры в сумму, представляющую Ыо, введены дополнительные слагаемые Р0У) уу. Это сделано с целью улучшения сходимости разложений ы^) по синусам. Для нахождения значений добавляются точечные граничные условия в вершинах треугольника

IР0 "е* уУ

V У=1

+ иО )(М1) = 0, I = 1,3.

(6)

м,

следующие из однородных условий Дирихле на контуре

(У)

узла в предположении, что ыО

хУ =±аУ

уу=0

= 0.

Подставив выражения (4), (5) в (3) и (6), а также воспользовавшись ортогональностью системы функций

Фи?)( х$ )} на интервале (-а,, а,), мы получим бесконечную СЛАУ относительно коэффициентов разложений:

3(1) (/) ^ / I Ет ) +Х Чщ о Ео + XX цЩ п ЕП) ¡¡рЬтг + аЩ ), (7)

l=1

lФsn=1

J UJ

D )+X ~S04l)+ХХЙМ = -s sp ьтг + Atf

i=1

l*sn=1

где s = 1,3, m = 1, да , а

, (8)

X t(VT) d0t) + ¿ ЬПУ) 0ПУ) = 0, v = 1,3, (9)

T=1 n=1

ственности решения рассматриваемой краевой задачи. Отметим в этой связи, что равномерная сходимость ря-

(s)

дов ы^'

ои

= ¿Dm)S^(mi)(xs), следующая из D(s) e l1, и

s m=1

непрерывность функций S m(s)(X ) (равных нулю на кон-Фт (xs >

(s)

цах интервала [-as, as ]) означает, что ы^

будет непре-

рывной функцией, обращающейся в нуль в этих же точках, а значит, граничное условие и^ (М/) = 0 действительно должно иметь вид (6).

Далее вместо системы (7)-(9) мы будем изучать эквивалентную систему, состоящую из уравнения (9) и разности уравнений (7) и (8), деленной на 2,

3 ю _

+Х = 0, V = 1,3 , (16)

т=1 п=1

m = - 1 ( У ) 0 S ФЙ)( Xs )dxs, (10)

as -a у=0

1 3 i да

D(s) + ÍY[q (sl) (sl)]Dd) + IvY[q (sl) (sl )]D (l) = S S

Dm +~X[qm0 - Pm0 ]D0 ^XX[qmn - Pmn ]Dn = Ssp Smr,

- lФи=1

s = 1,3, m = 1, да,

(17)

~ (sl) =_1

pm0

a Y(s) I

"si m —a.^ s

1 I dh, '

n. y¡

а также пересчетной формулы

3

hs = 0

s ^ ^ , (ii) Ams)=-2- ¿[¿s?+ppms0 )]D0l) + -2 xx [m+йм), a8)

2 г=1 2 t^sn=1

( l) 1 qmn = I

a

S ф(1 )

фп (xl)e

n > 1

Y(l) У

У*

=0 SФ(к)(Xs )dXs

(12)

~m n =

Fmn

a Y (m } us í m —a.

П—

S фП )(x; )e

n > 1,

1пУ1

hs =0

S ф£}(Xs )dXs

(13)

полученной после сложения этих уравнений и позволяющей определить последовательности коэффициентов

A(s) по известным D(l).

3 АНАЛИЗ МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ. РЕШЕНИЕ СЛАУ

Введем обозначения аналогичные принятым в [4]:

nn

Гп =Yn2)sin a3, 0 Гп = ^ sin «3, nn = — cos «3, (19) 2a2 2a2

b{:) = [SфПУ)(Xv)e"Y^y ]

t(VT) =(eix yx)

v <m „

M „

(14)

(15)

Как и в случае ^-плоскостного узла, наложим требование А(,), Б(,) е /1 с /2, которое является достаточным для выполнения условия конечности энергии в ограниченной области. Существование соответствующих последовательностей А(,), Б(следует из разрешимости СЛАУ, устанавливаемой в следующем разделе.

Соображения аналогичные изложенным в [4] приводят нас к утверждению, что если бесконечная СЛАУ (7)-

(9) имеет решение А(,),Б(^ е/1,(5 = 1,3), то после его подстановки в (4), (5) мы получим величину, удовлетворяющую как уравнению Гельмгольца, так и всем требуемым условиям на границе. Это означает, что эта система

может иметь в /1 не более одного решения, так как противоположное предположение противоречит теореме един-

Л n = 2П na1

ф± = Г2 +

^ тм -1- я 1

2

2a1

■±П n

=-L- ±-L

^ ф_

^mn ^mn

(20)

0 ф± = ^mn

2a!

С __ Л2

2a2

mnn

±-cos a3, Vmn > 0;

2a1a2

Vmn = 0,

0 щ± = 1 ± 1

i mn —

0 ф+

^mn

(21)

С целью анализа выпишем явные выражения для значений интегралов цЩ2 и при п > 1:

S

s

l=1

s

a

s

+

да

q(U) = .

4mn

2ai

(-1)m Гп - (Гп cos лn -

-П n sin лn

)e_2rnai ^ + ^ sin л ne-2rnai ч", } (22)

Умножим затем второе из полученных уравнений на (-1) т+1, сложим его с первым и результат разделим на тп

2

Мы получим

Z m) D0l) +X!dmn) D«) = 0, (25)

/=1 1ф sn=1

p(12) =

Fmn

2 Y (я1 ai

(-1)"

x2 sin «зcos a3T„¡n+o rnmnYmn 2ai

где

+ [ rn(rn sin An +Пn cos An) -- Y(n2) cos а3(Гп cos An -Пn sin лn )]e_2r"ai ^mn +

+ ^[y(n2) cos аз Sin A n +0 Гп cos A n ]eYm 2a1

]e-2rna1 m+ i n mn

(23)

Величины ^тПР и ртЛ1 могут быть найдены из (19)-(23) путем перестановок а1 О а2, ук1 О уи умножения полученных выражений на (-1)т+п. Если , номер стороны треугольника, следующей за * -й стороной против часовой стрелки, то значения д^П) и р^Л) могут быть получены из формул (19)-(23), заменяя в правых их частях индексы 1 на *, 2 на ,, а угол а3 на угол между сторонами * и ,. Если , -я сторона предшествует * -й стороне,

то значения дтП и р^П) получаются за таким же принципом из формул для д^тп1 и ртп1:)-

Изучение полученных формул показывает, что величины дтп) при больших т имеют порядок oV—причем при п > 1 это обусловлено тем, что в каждом из выражений

Jsl)

для дтп присутствует однотипное слагаемое, имеющее

, т

(12) mn для qm„ вид

sin Ane 2Tnai Y+n = O\ — \. Это значит-,

4а1

что матрицы, связанные с выписанной СЛАУ, нельзя рассматривать в качестве ограниченных операторов ¡1 ^ ¡1. Покажем, однако, что после простых преобразований анализ может быть переведен в это пространство.

После вычисления интегралов д(т0), устанавливаем, что их значения можно записать в виде

(si) = qm0 =

mn\e>xy ]м--(-1)m[eixyi ]m +}

2aS

(____V

V 2as y

2 2 -X sin P si

(24)

где М- и М+ - начальная и конечная точки * -й стороны (например, М1- = М2 , М+ = М3 ), а в^ - угол между сторонами * и ¡ (например, в** = 0, Р12 = Р21 =аэ). Запишем граничные условия (16) в точках М- и М+ .

oL'X у1 ] - (-1) m ex у1 ] } asi) = 2l[e ] м- ( 1 [e ] m+ f

m0

dW) ^-^sin A ne "2airn mn

(26)

а для других * и ¡ при т, п > 1 значения связаны со

значениями З^2 теми же правилами, что и дс д*^. Учитывая формулы (24), (26), несложно убедиться, что

p(si) = q(si) - d(si) =

qm0 ~ qm0 m0 ~

°m? J •i -

i = s,

qmn qmn dmn Oo ~ \,

2 Г П > 1.

(27)

Вычтем равенства (25), деленные на 2, из уравнений (17) для всех возможных значений * и т. К полученным

уравнениям добавим под номерами * = 1,3, т = 0 урав-нения (16), записанные для точек М+. В результате, вместо СЛАУ (16), (17) мы будем иметь систему

1

3 с»

Dm + 2 Z Z [qmn Ртп ]Dn hm , 2 i=1n=0

s = 1,3, m = 0,» ,

(28)

которую уже можно рассматривать как функциональное уравнение в пространстве ¡|3) = ¡1 © ¡1 © ¡1. Здесь

^ =5 *р5 тг, ~0п') = рр0«) = 0 при п > 0, ртп = р№ = 0 при тп > 1 и

p(sO = l2'(s~°,n = 0 p(s,s+) [2,п = 0;

= W), п > 1 , Р0п =|0, п > 1, (29)

- -1,* > 1; + к +1,* < 3; где * = 4 , и * = -

[3, * = 1, [1, * = 3.

Пусть т) = — [9тя) - Ртп)]. Будем рассматривать

матрицы е(*г)=(~тп)), р«=срап)) и )=))

1

1

+

т

в качестве операторов в пространстве последовательностей Очевидно, что операторы Р (ж?) являются ю-не-прерывными. Положим

0р(12) _ С-1)" 0

Чтп

2^1

Г 0 Ш-

х п mn .

0р(12) _ - (-1) _0 Г 0 ш +

2a-i

Г ^ш"1

1п 1mn,

0 f

J i

(12) _

mn

(-1)"

2a10 ф"п

(30)

и определим 0 д^П), 0ртП) Д™ ДРУГИХ значений s и i по

(si)

тем же правилам, что и qmn p(si)-0~(sl)

Pmn .

Разности Р(,и)> при 5 Ф / также являются ю-непрерывными. Сравнив формулы (30) с формулами

05

(18) из [4], мы видим, что 0Q(si) _-0p(sl),

,р(si) __0Q(sl)

и 0_~(5/) = 0/г(5/). Система (28) имеет тот же тип, что и СЛАУ (10) в работе [4]. Далее, проделав выкладки подобные выполненным в [4] в случае ^-плоскостной задачи,

устанавливаем, что система (28) имеет в /1(3) единственное решение, которое может быть найдено методом редукции, сходящимся по норме этого пространства.

ВЫВОДЫ

Рассмотрена задача рассеяния волн в однородно заполненном Я-плоскостном соединении трех волноводов с областью связи, ограниченной произвольным треугольником. Исследованы свойства матрицы бесконечной системы линейных уравнений, появляющейся при применении для анализа такой структуры метода произведения областей. Продемонстрировано, что после простых преобразований СЛАУ приводится к эквивалентной системе, которая имеет те же свойства, что и СЛАУ, возникающая в случае решения задачи рассеяния для аналогичной ^-плоскостной конфигурации. Это дает возможность интерпретировать преобразованную систему в качестве операторного уравнения фредгольмового типа

в пространстве последовательностей i|3), а также подобно [4] показать, что для почти всех значений частотного параметра ю > 0 рассматриваемая СЛАУ разрешима единственным образом и ее решение может быть найдено методом редукции, сходящимся по норме названного пространства.

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена в рамках госбюджетной научно-исследовательской темы Запорожского национального технического университета «Математические модели в прикладных проблемах механики и электродинамики» (номер гос. регистрации 0112U005342). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ващенко В. В. О выборе представления поля для базовой треугольной области в задачах моделирования ^-плоскостных вол-новодных узлов / В. В. Ващенко, В. П. Чумаченко // Радюелектронжа, шформатика, управлшня. - 2010. - № 1. - С. 5-9.

2. Chumachenko V. P. A GSM analysis of E-pane waveguide junctions filled with piecewise homogeneous dielectric / V. P. Chumachenko, V. V. Vashchenko // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. - 2012. - Vol. 25, No. 2. - P. 163-174.

3. Chumachenko V.P. Properties of some matrix operators appearing in the theory of planar waveguide junctions / V. P. Chumachenko // Telecommunications and Radio Engineering. - 2013. - Vol. 72, No. 6. - P. 469-484.

4. Онуфриенко Л. М. К обоснованию одной математической модели плоского соединения трех волноводов. Часть I. ¿-плоскостная задача / Л. М. Онуфриенко, В. П. Чумаченко, Я. В. Чумаченко // Радюелектронжа, шформатика, управлшня. - 2015. - №3(34). - С. 7-14.

5. Chumachenko V. P. Efficient field representation for polygonal region / V. P. Chumachenko // Electronics Letters. - 2001. -Vol. 37, No. 19. - P. 1164-1165.

6. Шестопалов В. П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур / В. П. Шестопалов. - Киев : Наукова думка, 1987. - 288 с.

7. Chumachenko V P. On linear independence of some function systems appearing in the theory of plane wave fields / V. P. Chumachenko // Telecommunications and Radio Engineering. -2015. - Vol. 74, No. 4. - P. 281-296.

Статья поступила в редакцию 20.05.2015.

После доработки 18.06.2015.

Онуфрieнко Л. М.1, Чумаченко В. П.2, Чумаченко Я. В.3

1Канд. фiз.-мат. наук, доцент, доцент кафедри вищо! математики Запорiзького нацюнального техшчного ушверситету, Запорiжжя, Украша

2Д-р фiз.-мат. наук, професор, завщувач кафедри вищо! математики Запорiзького нацюнального техшчного ушверситету, Запо-рiжжя, Украша

3Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри математичних метсдав в шженери 1вано-Франгавського нацюнального техшчного ушверситету нафти i газу, 1вано-Франгавськ, Украша

ДО ОБГРУНТУВАННЯ ОДШе! МАТЕМАТИЧНО1 МОДЕЛ1 ПЛОСКОГО З'еДНАННЯ ТРЬОХ ХВИЛЕВОД1В. ЧАСТИ-НА II. Я-ПЛОЩИННА ЗАДАЧА

В робот запропонована i обгрунтована математична модель Я-площинного з'еднання трьох хвилеводiв з областю зв'язку довшьно трикутно! форми. Задача розстовання хвилеводних мод формулюеться у виглядi крайово! задачi для рiвняння Гельмгольца з однорщни-ми межовими умовами Дирихле на контурi конфшураци, умовами випромшювання в хвилеводах та умовою на ребрг Модель грун-туеться на зображенш шукано! компоненти поля всередиш трикутно! з'еднувально! порожнини в виглядi суми тригонометричних рядiв, отриманих на основi методу добутку областей. Для покращення збiжностi рядiв, що використовуються, скорегований традицш-ний для цього методу вид розвинення по синусах. Вивчеш характерш особливост нескшченно! системи лшшних алгебра!чних рiвнянь, яка виникае в ходi розв'язування задача Показано, що шсля просто! модифжаци система приводиться до е^валентно! системи, яка мае т ж властивост, що i система, яка була дослщжена в першш частиш роботи при аналiзi аналопчно! £-площинно!' структури. Цей факт дозволив штерпретувати систему перетворених рiвнянь, як одне функцюнальне рiвняння з фредгольмовим оператором в простер

0

Г

п

посл1довностеи = ¡у © ¡у © ¡1, де ¡' е простором абсолютно зб1жних ряд1в, а також довести, що таке р1вняння мае единий розв'язок,

якиИ може бути знайдено методом редукци, зб1жним за нормою ¡Р.

Ключовi слова: хвилеводш неоднорщносп, метод добутку областей, матрично-операторш р1вняння.

Onufriyenko L. M.1, Chumachenko V. P.2, Chumachenko Ya. V.3

'Ph.D., Associate professor, Associate professor of department of higher mathematics, Zaporizhzhya National Technical University, Zaporizhzhya, Ukraine

2Dr.Sc., Professor, Head of department of higher mathematics, Zaporizhzhya National Technical University, Zaporizhzhya, Ukraine 3Ph.D., Associate professor, Associate professor of department of mathematical methods in engineering, Ivano-Frankivsk National Technical University of Oil and Gas, Ivano-Frankivsk, Ukraine

ON JUSTIFICATION OF A MATHEMATICAL MODEL FOR A PLANAR JUNCTION OF THREE WAVEGUIDES. PART II. H -PLANE PROBLEM

In the paper, a mathematical model of an H-plane three-port waveguide junction with an arbitrary-triangular coupling cavity has been presented and justified. The problem of scattering of waveguide modes is formulated as a boundary-value problem for the Helmholtz equation with the homogeneous Dirichlet boundary conditions on the periphery of the unit, radiation conductions in the waveguides and with the edge condition. The model is based on a trigonometric-series representation of the sought-for field in the triangular connecting region, which is constructed using the domain-product technique. The conventional expansion is revised to improve convergence properties of the used sine series. Properties of the infinite set of linear algebraic equations, which arises in the course of solving the problem, are studied. After simple modification, the system of equations is turned into an equivalent system, which is of the same kind as the system examined in the first part

of the paper in analyzing the similar E-plane structure. In the space

is the sequence space of absolutely convergent series), this fact allows to interpret the set of transformed equations as a single functional equation with the Fredholm operator and to prove

(3)

that the derived equation has a unique solution, which can be found by means of the truncation method convergent in the norm

of ¡y>.

Keywords: waveguide discontinuities, domain-product technique, matrix-operator equations.

REFERENCES

1. Vashchenko V. V., Chumachenko V. P. O vy'bore predstavleniya polya dlya bazovoj treugol'noj oblasti v zadachax modelirovaniya ^-ploskostny'x volnovodny'x uzlov, Radio Electronics, Computer Science, Control, 2010, No.1, pp. 5-9.

2. Chumachenko V. P., Vashchenko V. V. A GSM analysis of E-pane waveguide junctions filled with piecewise homogeneous dielectric, International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devicess and Fieldss, 2012, Vol. 25, No. 2, pp. 163174.

3. Chumachenko V.P. Properties of some matrix operators appearing in the theory of planar waveguide junctions, Telecommunications and Radio Engineering, 2013, Vol. 72, No. 6, pp. 469-484.

4. Onufriyenko L. M. Chumachenko V. P., Chumachenko Ya.V. K obosnovaniyu odnoj matematicheskoj modeli ploskogo soedineniya trex volnovodov. Chast' I. E-ploskostnaya zadacha, Radio Electronics, Computer Science, Control, 2015, No. 3 (34), pp.7-14

5. Chumachenko V. P. Efficient field representation for polygonal region, Electronics Letters, 2001, Vol. 37, No. 19, pp. 11641165.

6. Shestopalov V. P. Spektral'naya teoriya i vozbuzhdenie otkry'ty'x struktur. Kyiv, Naukova dumka, 1987, 288 p.

7. Chumachenko V. P. On linear independence of some function systems appearing in the theory of plane wave fields, Telecommunications and Radio Engineering, 2015, Vol. 74, No. 4, pp. 281-296.