К обоснованию одной математической модели плоского соединения трех волноводов. Часть I. e-плоскостная задача Текст научной статьи по специальности «Математика»

р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2015. № 3 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Яаёю Ше^гоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2015. № 3

УДК517.9 : 537.86

РАД1ОФ1ЗИКА РАДИОФИЗИКА

КАВЮРНУ81С8

Онуфриенко Л. М.1, Чумаченко В. П.2, Чумаченко Я. В.

1Канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Запорожского национального технического

университета, Запорожье, Украина

2Д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Запорожского национального технического

университета, Запорожье, Украина

3Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры математических методов в инженерии Ивано-Франковского национального

технического университета нефти и газа, Ивано-Франковск, Украина

3

К ОБОСНОВАНИЮ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО СОЕДИНЕНИЯ ТРЕХ ВОЛНОВОДОВ. _ЧАСТЬ I. Е-ПЛОСКОСТНАЯ ЗАДАЧА_

В статье предложена и обоснована математическая модель сочленения трех волноводов в Е-плоскости. Контур соединительной полости рассматриваемого волноводного трансформатора имеет форму произвольного треугольника. Задача рассеяния волноводных мод формулируется в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Неймана на стенках узла, условиями излучения в волноводах и условием на ребре. Модель основывается на специальном представлении искомой компоненты поля внутри треугольной области в виде суммы тригонометрических рядов, полученных с помощью метода произведения областей. Предлагается рассматривать блоки матрицы бесконечной системы линейных уравнений, которая возникает в ходе решения задачи, в качестве операторов в пространстве абсолютно сходящихся рядов /1. Продемонстрировано, что каждый такой оператор, описывающий взаимодействие сторон треугольника, может быть записан в виде суммы вполне непрерывного оператора и оператора сжатия.

Показано, что в пространстве последовательностей /<3) = /1 © /1 © /1 исследуемая система может интерпретироваться в качестве функционального уравнения с фредгольмовым оператором и что для почти всех значений частотного параметра такое уравнение

единственным образом разрешимо в /|3) методом усечения, сходящимся по норме этого пространства.

Ключевые слова: волноводные неоднородности, метод произведения областей, матрично-операторные уравнения.

НОМЕНКЛАТУРА

МОМР - метод обобщенных матриц рассеяния; СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений;

/1 - пространство последовательностей 8 = } таких,

да

что ЕI sn I <ю;

п=0

/2 - пространство последовательностей 8 = ^п} та-

да

ких, что | ¿о I2 +ЕI sn I2п < да; п=1

X © У - прямая сумма линейных пространств X и У; О(х) - символ порядка: если /(х) = 0(g(х)) при х ^ а, то существует постоянная С такая, что

| /(х) ^ С | И(x)| пРи х ^ а; I - мнимая единица;

Яе с, 1ш с - действительная и мнимая части комплексного числа с;

8тп - символ Кронекера;

© Онуфриенко Л. М., Чумаченко В. П., Чумаченко Я. В. 2015 БОТ 10.15588/1607-3274-2015-3-1

- временная зависимость монохроматического процесса;

ю - круговая частота колебаний;

80, Ц0 - электрическая и магнитная постоянные;

8, ц - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, предполагается ц = 1;

% - волновое число, % = Юд/880 ЦЦ0 ;

х, У, % - декартовы координаты. ВВЕДЕНИЕ

При исследовании волноводных структур широко используется их расчленение на отдельные элементы с последующим использованием метода сшивания, МОМР и других подходов [1, 2]. Прием успешно работает, если характеристики рассеяния элементарных блоков, возникающих после сегментации, могут быть рассчитаны с помощью высокоточных численно-аналитических методов. Примером может служить решение методом полуобращения обширного класса задач, геометрия которых допускает разбиение на регулярные участки волноводов и прямоугольные треугольники [3, 4].

В работах [5, 6] (см. также их библиографию) нами изучались возможности математического моделирования весьма гибких автономных блоков, образованных путем вычленения элементарных областей, ограниченных произвольными треугольниками. Отличительной особенностью рассмотренных моделей являлось представление искомой компоненты поля внутри треугольной области в виде тригонометрических рядов, полученных на основе метода произведения областей [7]. Как правило, достоверность получаемых результатов контролировалась с помощью различных тестов, однако все детали их формального обоснования не обсуждались. В [8], где дано строгое обоснование алгоритмов, предложенных для случая, когда треугольная область связи соединена с двумя волноводами, этот пробел был частично заполнен. В настоящей работе такое обоснование приводится для аналогичной конфигурации с тремя волновыми каналами. Узел является ключевым, так как путем последовательного присоединения к апертурам полости закороченных волноводов нулевой длины он позволяет получать в рамках МОМР матрицы рассеяния треугольной области как с двумя, так и с одним волно-водными плечами. Подобно [8], СЛАУ, которая возникает при решении задачи рассеяния собственных волн волноводов на их соединении, рассматривается в качестве операторного уравнения в пространстве последовательностей /|3) = 11 © 11 © 11. В первой части работы обсуждается модель Е-плоскостной конфигурации. 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сечение структуры плоскостью ъ=сош1 показано на рис. 1. Будем считать, что она представляет собой разветвление бесконечных вдоль оси ъ плоскопараллельных волноводов и заполнена однородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью е. (Переход к случаю прямоугольных волноводов хорошо известен [9]). Треугольник является невырожденным,

а

т. е. 8 < min а*-, maxа J < 1 -5, где 5 > 0, а j =-, а а j -

j j п

внутренний угол, отвечающий вершине M j. В дополнение к основной системе координат (х, y) для каждой стороны треугольника S-(j = 1,3) длиной 2aj введена локальная система (Xj, yj ) так, что начало ее отсчета O -

находится в центре Sj, а ось О1У1 направлена внутрь

соединительной полости П. Перпендикулярно к сторонам Sj присоединены полубесконечные волноводы

wj = {(х1, Уj): -а, < х1 < а1, у1 < 0}.

Со стороны плеча р соединение возбуждается г -й собственной волной единичной амплитуды, имеющей лишь магнитную составляющую вдоль оси г. Задача состоит в отыскании единственной ненулевой г -компоненты электромагнитного поля Н г = ывш. Введем обозначения: па = ыУ( х, у) еП, и(1) = иУ( х, у) е W.■,

C ( .) пп(х,- + а,-) ( .)

C ф«(х}) = cos-^-, у j =

2а

J

Г Л2 пп

2а ,-

v J /

■х2. (1)

Функция и должна удовлетворять двумерному уравнению Гельмгольца

Ди +х2и = 0, (2)

однородным граничным условиям Неймана на контуре узла, условиям сопряжения полей в апертурах соединительной полости

и0| n = u(s)

0I ys=0+

du0

ys=0-

dys

du(s)

ys=0+

cys

ys=0-

xs e (-as, as), s = 1,3,

(3)

условию конечности энергии поля, запасенной в любой ограниченной подобласти (условию на ребре) и условиям излучения в волноводах

,(s) =5 „C )e~Y<rS> ys + X 4S) C Фп^ (Xs )e Y ^ y,

n=0

(Xs, ys) e Ws, s = 1,3.

(4)

При 1т е< 0 существует единственное решение этой задачи для всех значений частоты ю > 0, исключая некоторое счетное множество точек [10]. В последующем мы рассматриваем только те значения ю, при которых граничная задача однозначно разрешима.

2 СЛАУ ЕДИНСТВЕННОСТЬ ЕЕ РЕШЕНИЯ

Следуя методу произведения областей [7], и^ запишем в виде

ип=! иОЛ, и^ = 1 БЫ с фПу)(ху )е1 (5)

1=1 п=0

Бесконечные вектор-столбцы коэффициентов разложений А(я) = {^П^} и Б( 1) = рП)} подлежат определению.

(1) 1 j=3,n=°= с ф( 1)( х )е _уП1) У1

Рисунок 1 - Геометрия задачи

Система функций s ФП (х- )e

' j=1,n=0

рым в (5) производится разложение, линейно независима за

р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2015. № 3 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Каёю Ше^гоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2015. № 3

исключением некоторого счетного множества значении ю [11]. Это множество также исключается из рассмотрения.

Подставив выражения (4), (5) в (3) и воспользовавшись ортогональностью системы функций {С ф^'?)(х, )}

на интервале (—а,, а, ), мы получим бесконечную СЛАУ относительно коэффициентов разложений:

П(,) +У )П(1) = 8 8 + А(,)

^т ' ¿.^Чтп ^п ' ^т

I Ф,п=0

—п(,) + уур(»')П(1) = —8 8 + А(,)

^т ^ ¿_! ¿_1Нтп ^п ияр^тг ^ ^т , IФ,п=0

(6)

(7)

где

() = — / \Сф®(XI)е"^*у е а

С ф(

У=0

фш (x ух, (8)

Ршп

7|_д_

е а у(,) J I ду,

С Ф(0

фп)( х1)е

-Уп У

с фш,)(x,)4х,, (9)

У,=0

ет = 1 + 50Ш, ш = 0, да и 5 = 1,3.

Вне соединительной полости условие конечности энергии в ограниченной области будет выполняться,

если вектор-столбец А(,) = А^" } удовлетворяет условию А(,) е 12 [3]. В соединительной полости мы усилим это требование, наложив его на каждую из функций и ^) в отдельности, что приводит к Б(,) е 12. Более того, мы предположим, что А(,),Б(,) е /1 с ¡2. Существование

соответствующих последовательностей А(,), Б( я) следует из устанавливаемой ниже разрешимости СЛАУ, порождаемой граничными условиями.

Матричные уравнения (6) и (7) образованы путем приравнивания коэффициентов разложений величин, входящих в левые и правые части равенств (3), по функциям

системы {С фШ,)(х, )}. Если А(,), Б(,) е ¡1, то разложения и (,)| 5 = У С фШЧх,) и и« = у пШ5) С фШ5)( X,)

5 ш=0 ш=0

равномерно сходятся к своим суммам, являясь их рядами Фурье. Аналогичный факт имеет место и для разложения

по тем же функциям величины и^" = UQ — и^" = У и^" в

/ ф,

силу ее абсолютной непрерывности на . (При Б(/) е ¡1 условие интегрируемости на модуля производной

(а также ~— ) легко проверяется). Отсюда вытекает [12], что равенство Фурье-коэффициентов величин, входящих в первое граничное условие в (3), означает равенство самих этих величин всюду на 5, .

диЦ

дх,

Отметим, что углы при ребрах конфигурации меньше 2П. Поэтому, исходя из известного [1] поведения компоненты поля Н 2 в их окрестностях, можно заключить, что нормальные производные, входящие в (3), на интервале (—а,, а, ) являются квадратично интегрируемыми. Из интегрируемо-

сти на 5, производных

диа

дУ, и дУ,

(/ Ф ,)

следует, что и

величина

ди£

СУ,

должна быть интегрируемой.

Таким образом, если бесконечная СЛАУ (6),(7) имеет решение А(,),Б(,) е ¡1 (, = 1,3), то после его подстановки в (4), (5) первое из условий (3) будет выполняться в каждой точке апертур 51, 52 и 53. Из (7) и полноты системы {С фШ -*( х, )} в пространстве суммируемых функций

Ь(—а,, а, ) вытекает, что почти всюду на 5, будет выполняться также и условие, накладываемое на нормальную производную функции и. Тем самым формулами (4),(5) задается величина, удовлетворяющая как уравнению Гельмгольца, так и всем требуемым условиям на границе. Это означает, что СЛАУ может иметь в ¡1 не более одного решения, так как противоположное предположение противоречит теореме единственности решения рассматриваемой краевой задачи.

Далее вместо системы (6), (7) мы будем изучать эквивалентную систему, состоящую из матричного уравнения

1 да

£>(,) +1у УГяШ) — рш) = (

т ' 2 ^"тп Утп ¡^п "т '

а ¡Ф,п=0 _ _ (10)

к(,) =8 ,р8тг, , = 1,3, ш = 0, да,

появляющегося после вычитания (7) из (6), и пересчетной формулы

1 да

А(,) = 1 ууг^) + Р(.А )]П (/)

т г. ^ ^ 14 тп ^ Итп ,

2 / Ф,п=0

(11)

полученной после сложения этих уравнений и позволяющей определять последовательности коэффициентов

А(,) по известным D(/

3 АНАЛИЗ МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ. РАЗРЕШИМОСТЬ СЛАУ

Будем рассматривать бесконечные матрицы

" = (&, ^" = (р™) и ^" = " —")

( , ф / ) в качестве операторов в пространстве последовательностей ¡1. Ниже II • ||=|| • ||/1, а норма некоторого матричного оператора А = (ашп) : ¡1 ^ ¡1 определяется фор-

мулой || А || 5ир У| атп | (см. [13]). Известно [14], что

0<п<да т=0

л

для того, чтобы ограниченный матричный оператор был ю -непрерывным (частный случай полной непрерывности), необходимо и достаточно, чтобы

0Л(12) = (~1)Ш 0г 0 Ч+ 0 р(12) =_ (-1)т 0г 0 Ч_ 1 п т тп, гтп 1 *> 1"

Чтп

2а1

2а1

Ит вир £ | атп I = 0.

к к <п«ю т=0 Рп = diag (1^^.,1,0,0^)

Введем проекторы

п+1

и = I _ Рп, где I - бесконеч-

ная единичная матрица, и изучим более детально ¿(12), Р(12) и ^(12). Пусть

г л\т 0 7(12) = (-1) 0, ^ тп п _1_

т

0 + п 5

2а10 Фтп

и представим операторы ¿(12), р(12), )7(12) суммами

^(12) =соЗ(12) +°0,(12), р(12) =ср(12) + 0р(12) и

£(12) =С£(12) + 0)7(12), где с#(12) = 1(с^(12) _ ср(12)).

пп

гп = уп2)вша3, 0Гп = —вша3, Пп = 2~соваз, (12) Запишем элементы матрщы с^щ = _0^)(12) в

2а 2

виде

Л п = 2П nal, Ф±тп = г2 +

2

±П п V 2а1 у

Фтп ф

тп ^тп

0 ф± =

^тп

2

тп

2а1

' пп V

2а2

(13)

тпп

±-сов а^ч тп > 0,

2а1а2

Утп = 0,

0 ч* = 1 ± 1 Чтп 0 ф+ " 0 ф_ • ^тп ^тп

(14)

сйи2) {:_1)т(гпЧт+п_0гп0Ч+п)_(гп совЛп _Пп втЛпК2^1 X

2ета1

X [0Ч+и + (Ч,+п_0Ч+П)]+ «¡п Лпе-2Тпа [0Чтп + (Чтп_0Ч„п)]| (19)

Будем рассматривать матрицу скак сумму

матриц, элементы которых определяются отдельными слагаемыми в правой части (19). С учетом формулы (А1), полученной в приложении, ясно, что верхняя грань

вир £

к <п<да т=0

(гп сов Л п _П п вт Л п )е~2Гпа10 Ч+п

2ета1

Учитывая, что

Х2 = (а1 _ Х1)сов аз + У1 втаз _а2,

У2 = (а1 _ хОвш аз _ у1 соваз , (15)

а также известные [15] формулы интегрирования, мы получим

<7(12) Чтп

2ета1

1 '|(_1)т г _ (г сов Л„ _Пп вт Л п )е-2гпа1

р = гтп

,Т,+ тп . . _2г а, ,т,_

х Ч +__в1П Л е п" 1 ч

х тп

2а1

(_1)т+1 Х2вЬ азсов азЧт+п + 0 гп ^Ч^ 2а1

(16)

2етУ т)а1

+ I гп (гп Лп + Пп сов Лп ) _ У п )

сов а3(гп сов Лп _ Пп вш Лп) |х X е-2Тпа Ч+П + -^[сов аз81п Лп + 0 гп сов Лп ]е] а1 Чтв! (17)

Введем

обозначения

0е(12) =(0л11П)),

0Р(12) =(0^Р+п2)) и 0¿(12) = -2(00?(12) _ 0Р(12)), где

вир

к <п<да

|гп сов Л п _П п вт Лп

"2^

2а1

V 0 Ч+

1 тп

т =1

достигается при конечных значениях п и стремится к нулю, когда к ^ го. Это значит, что соответствующее слагаемое в (19) задает ю-непрерывный матричный оператор. С помощью формулы (А5) устанавливаем также ю -непрерывность оператора, определяемого слагаемым

тп вт Л е_2гпа1 0 Ч_

п _тп. Несложно показать, что таковы-

4а1ет

ми будут и операторы, чьи матричные элементы вклю-

Ч+ _0 Ч+ и

тп тп

чают разности г Ч+„_0г„ 0 Ч+„ •

г х п А тп х п А тп -

Ч_п _0Ч+п . Таким образом оператор С0^(12) является ю -непрерывным. Из формул (18) и (А1) также следует ограниченность оператора 0<0(12). В такой же способ устанавливаем ю -непрерывность оператора ср(12), а стало быть и с £(12), и ограниченность оператора 0 р(12), а значит и 0 £(12).

2

+

00

1

+

Найдем далее предел

Г 1

'я ^ 1

lim Zi0/™^ lim-^ I 0 +

m=0 2a1 m=1 Ф,

m=1 ^mn 1

a^ sin a3 ,. 1 ^ —-— lim — I-

a2n —nm=1imi2 + 2maicos„.,+(ail

2' (20)

+ 2—1cos a3 +1 n I na2 I a2 J

Последнее выражение может быть заменено некоторым интегралом, значение которого известно [16], а именно,

lim I №1 = ^^ [

n^m m=0 a2n

dv

0 v2 + 2v—cos a3 +1 —

a2 l a2

X3. (21)

Заметим, что монотонность подынтегральной функции, являющаяся одним из условий перехода от предела к интегралу, существенна лишь для больших значений переменной интегрирования (см. [17], решение задачи 30 из второго отдела). Значит, для любого ~ > 0 существует конечное число N12 такое, что

ОО

Ii°/min2) 1 <a3 + ~Vn > N12 и ||°F(12)RNn ii<a3 + E .

m=0

Вычисление значений qm1 и pпоказывает, что они могут быть найдены из (16) и (17) путем перестановок a1 О a2, у® О у^ и умножения полученных вы-

ОО

ражений на (—1)m+n. Предел lim I I0/,«1 | совпадает

m=0 m"

с (21). Отсюда следует, что для всякого ~ > 0 найдется

^ 0 " 21 * число N21 такое, что 11 ."mn 1 < a3 + E Vn > N21 и m=0

||0i"(21)Rn21 ||<a3 +e. Если l номер стороны треугольника, следующей за 5 -й стороной против часовой стрелки, то значения q^ и p mj могут быть получены из формул (12)-(17), заменяя в правых их частях индексы 1 на 5 , 2 на l , а угол a3 на угол между сторонами 5 и l . Если l-я сторона предшествует 5 -й стороне, то значения qm^n и pmn получаются за таким же принципом из

формул для qm21 и p тni).

Обобщая полученные результаты, можно утверждать,

что V e > 0 существуют числа N[ = max(Nsi) такие, что

s*l

имеют место представления

p(sl) = рр(*1) + ВрЫ), ||Bi"(5l)||<ak + Е , k ф 5,l. (22)

Здесь Bp(sl) =0p(sl) r

Nl

а оператор

F "(5l) C T"(sl) 0 j"(sl)D F - Fy '+ Fy Pn1 является ю-непрерывным в силу

ю-непрерывности первого слагаемого и конечности Nl.

Введем прямую сумму ¡|3) = ¡1 © ¡1 © ¡1, а также тождественный оператор I(3) = diag(I,I,I):¡1(3) ^¡1(3).

Пусть х(1) ,х(2), х(3) е ¡1 и х = (х(1), х(2), х(3) )Т е ¡<3) , где Т - транспонирование. Снабдим

¡1(3)

нормой

11 x||3 I11 x( ) ||. Тогда для нормы некоторой оператор-

k=1

ной матрицы A = (A(sl)):lj3) ^

l1(3)

справедлива оценка

IIAII33< max Ц|| A(5l) ||.

1<l <3

5=1

Будем рассматривать систему (10) как одно функциональное уравнение в ¡1(3) :

^ = (1(3) + В + F)D = Н, (23)

где D = (D(1), D(2), D(3))T, Н = (Ь (1),Ь (2),Ь(3))Т, Ь(,) = (кЩ^) (, = 1,3) - векторы-столбцы правых частей, а операторные матрицы В, F имеют вид

B = [ В(sl)] =

F = [ F(sl)] =

0

Bjr(21)

В£(31) В р(Ъ2)

В^"(12) Bj"(13) 0 В^(23)

0

0

Ff"(21) F р(31) F F (32)

Fp(12) F р(\Ъ) 0 ^(23)

0

(24)

Заметим, что из предположений, сформулированных ранее, вытекает, что если уравнение (23) имеет решение, то оно единственно или, что одно и то же, однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Матрица F представляет собой вполне непрерывный

оператор ¡1(3) ^ ¡|3), что следует из вполне непрерывности F^" в ¡1 V.?, /. Оценим норму оператора В:

IB!33 = max IIIBF(sl) II < max ^ + 2~ = max(1 - a*) + 2~ =

5Ф1

5Ф1

= 1 - min al + 2e < 1 -8 + 2e < 1Ve <8 /2.

(25)

Таким образом, взяв числа N1 достаточно большими, убеждаемся, что оператор I(3) + в = С непрерывно обратим, а значит оператор К = С + F фредгольмов и,

так как Н е ¡|3), уравнение (23) в силу альтернативы Фредгольма [18] имеет единственное решение. 4 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕДУКЦИИ

Введем проекторы Р^" = diag(Рп[,,Рп3), Яп3) = 1(3) — где п1,п2,п3 ^ да, когда п ^ да. Имеют

2

место свойства Р^;3)2 = Рг(3), II Р«^ 11зз = 1

II ^п3)х|1з-

■0 Ух е /|3). Пусть, Хп = Рп3)/|3) -подпространства в /<3) , Вп е Хп и В п = рп3)В. Ясно, что ОХп Ф Хп и РпОБп = (I(3) + Вп)Вп - ОпВп. Положим п1 > N1 (1 = 1,3) и рассмотрим наряду с точным урав-нением (23) полученные из него усеченные уравнения

КпВп - (Оп + РпР)Вп = РпН . (26)

Поскольку II Вп Ц33<Ц В Ц33< 1, то операторы Оп : Xп — Xп непрерывно обратимы, а обратные операторы ограничены по норме в совокупности:

II (Сп)_1 И33<

1

1

1_ IIВп Ц33 1_ IIВ Ц33

(27)

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена в рамках госбюджетной научно-исследовательской темы Запорожского национального технического университета «Математические модели в прикладных проблемах механики и электродинамики» (номер гос. регистрации 0112и005342).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Воспользовавшись формулой 5.1.25(3) из [16], оценим суммы рассмотренных ниже рядов. Предполагается, что 0 <а3 <п и п > 1.

£ Чтп £| ° + + ° _ I £

2 г \2

+ |-I +--сов а3

2а1 у V 2а2 у 2аа

+ £•

1

1

2 / л2 т=1( тп 1 ( пп I тпп

-I +|-I--сов а3

2а1 у V 2а2 У 2а1а2

( 2а 12 т=да

2 ^1 — 2 ,(_ 01 Г + 01

т + | п—^ I + 2тп—сов а3

а2 у а2

Полагая X = У = /|3) в условиях известной теоремы ([19], теорема 6.2) и принимая во внимание свойства операторов К, С, Г, Рп и С п, мы приходим к заключению, что для достаточно больших значений п системы (26) однозначно разрешимы и имеет место сходимость последовательности приближенных решений

* _1 * _1

Вп = Кп РпН к точному решению В = К 1Н:

I В _ Вп ¡3 = 0| inf

I В„еХ„

В* _ ВпЬ | = о(( )

- 0

(28)

1

2а2 12=(V!2 £_

пп У 1 п ^ т=_да( а1 I2 | а1

_±_ О/ЛС П - I м _А.

4а1а

2ап

т + п—^сова3 I +| п—^sinа3

а2 У V а2

.к (2 пп-^вт а3)

_а2_

пп вт а3 , ,г, а1 3 ск (2 пп ——:

ок(2пп—1%\п а3) _ сов(2пп^^сов а3) а2 а2

-Пп=оР-) (А1)

0 Ч_

тп

<0 Ч+пУт > 1, то нижеследующий ряд

Так как

сходится и его сумма кп удовлетворяет неравенству

По известным Вп приближенные значения амплитуд рассеянных волноводных мод могут быть найдены с помощью пересчетных формул

А! = 2£ £йИ? + Р^Бк),* = 1,3, т = 0п , (29) 2 IФ.к=0

следующих из (11). ВЫВОДЫ

Рассмотрена задача рассеяния волн в однородно заполненном Е-плоскостном соединении трех волноводов с областью связи, ограниченной произвольным треугольником. Исследованы свойства матрицы бесконечной системы линейных уравнений, появляющейся при применении для анализа такой структуры метода произведения областей. Показано, что каждый блок матрицы, описывающий взаимодействие сторон треугольника, являет собой ограниченный матричный оператор /1 — /1. Этот оператор может быть представлен в виде суммы вполне непрерывного оператора и оператора сжатия, причем норма последнего не превышает некоторой величины, которая известным образом зависит от угла между сторонами. Бесконечную СЛАУ задачи предложено рассматривать в качестве операторного уравнения в пространстве последовательностей /13) = /1 © /1 © /1. Показано, что для почти всех значений частотного параметра ю > 0 это уравнение может иметь не более одного решения. Обоснована фредгольмовость рассматриваемого матричного уравнения и его разрешимость. Доказано, что решение системы может быть найдено методом редукции, сходящимся по норме пространства /|3).

£

т=1

Ч"

= кп <Пп = 0

(А2)

Из определения 0 ф+ и 0 ф_ следует, что при тп > 1

фтп фтп

А + ° _ тпп фтп_° фтп =-совaз,

(А3)

0 ф+ 0ф- =

^ тп ^ тп

2а

2

тп 1 | пп 1 тпп2 .

— I +1 —I + --Ива3 I

2а

тп! | пп 1 тпп2

2а1а 2 К°ва3|

(А4)

2а1 I I 2а2 у 2а1а2

Поэтому

£ т 0 Ч_ 1= £ т2пп2 I сова3 I <

¿_,т\ Ттп\ ° + а _ -

т=1а1а2 ф тп ф тп

22 т пп I сова3I

т=1

<£

т=1 | тп

а1а2 V 2а

,2 / \2 2 тп 1 | пп I тпп . .

+1-I--1 сов а3 I

2а

2а

16па31 сов а3 I т=° <-^—— £

2 у 2а1а 2 1

п^а2

а2

2

т=_да 2 а^ а1 . .

т +| п—^ | _ 2тп—|coв а3 I

а2

и

1

+

2

2

2

1

0

п

X

X

<

2

16naj| cosa3 |

1

П2«2

16— | cos a3

m — n—L|cos a3 11 +1 n—^sin a3 I

a2 J I a2 )

sh(2nn—^sin a3) _—2_

ch(2nn —^sina3) — cos(2nn—cosa3 |)

-= O(1). (А5)

18

19

—2 —2 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Мит-тра, С. Ли. - М. : Мир, 1974. - 328 с.

2. Arndt F. Automated design of waveguide components using hybrid mode-matching/numerical EM building-blocks in optimization-oriented CAD frameworks - State-of-the-art and recent advances / F. Arndt, R. Beyer, J. M. Reiter, T. Sieverding and T. Wolf // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -1997. - Vol. 45, No. 5. - P. 747-760.

3. Шестопалов В. П. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, С. А. Масалов. - Киев : Наукова думка, 1984.- 296 с.

4. Шестопалов В. П. Резонансное рассеяние волн. Т. 2. Волно-водные неоднородности / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, Л. А. Рудь. - Киев : Наукова думка, 1986. - 216 с.

5. Ващенко В. В. О выборе представления поля для базовой треугольной области в задачах моделирования Д-плоскостных вол-новодных узлов / В. В. Ващенко, В. П. Чумаченко // Радюелектронжа, шформатика, управлшня. - 2010. - № 1. - С. 5-9.

6. Chumachenko V. P. A GSM analysis of E-pane waveguide junctions filled with piecewise homogeneous dielectric / V. P. Chumachenko, V. V. Vashchenko // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. - 2012. - Vol. 25, No. 2. - P. 163-174.

7. Chumachenko V. P. Efficient field representation for polygonal region / V. P. Chumachenko // Electronics Letters. - 2001. -Vol. 37, No. 19. - P. 1164-1165.

Онуфр1енко Л. М.1, Чумаченко В. П.2, Чумаченко Я. В.3

'Канд. ф1з.-мат. наук, доцент, доцент кафедри вищо! математики Запор1зького нащонального техшчного ушверситету, Запор1жжя, Укра1на

2Д-р ф1з.-мат. наук, професор, завщувач кафедри вищо! математики Запор1зького нащонального техшчного ушверситету, Запор1-жжя, Укра!на

3Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри математичних метод1в в шженери 1вано-Франгавського нащонального техшчного ушверситету нафти i газу, 1вано-Франгавськ, Укра!на

ДО ОБГРУНТУВАННЯ ОДШе! МАТЕМАТИЧНО1 МОДЕЛ1 ПЛОСКОГО З'СДНАННЯ ТРЬОХ ХВИЛЕВОД1В. ЧАСТИ-НА I. Е-ПЛОЩИННА ЗАДАЧА

У статп запропонована i обгрунтована математична модель зчленування трьох хвилеводiв в Е-площиш. Контур з'еднувально! порож-нини хвилеводного трансформатора, що розглядаеться, мае форму дов^ного трикутника. Задача розаювання хвилеводних мод форму-люеться у виглядi крайово! задачi для рiвняння Гельмгольца з межовими умовами Неймана на стшках вузла, умовами випромшювання в хвилеводах та умовою на ребрг Модель грунтуеться на спещальному зображенш шукано! компонента поля всередиш трикутно! обласп в виглядi суми тригонометричних рядiв, отриманих за допомогою методу добутку областей. Пропонуеться розглядати блоки матрицi нескiнченноi' системи лшшних рiвнянь, яка виникае в ходi розв'язування задачi, в якостi оператс^в в просторi абсолютно збiжних рядiв /1. Продемонстровано, що кожний такий оператор, який описуе взаемодiю сторш трикутника, може бути записано в виглядi суми цiлком

(3)

неперервного оператора та оператора стиснення. Показано, що в простер послщовностей /^ = /1 © /1 © /1 дослщжувана система може бути штерпретована в якост1 одного функщонального рiвняння з фредгольмовим оператором i що майже для всiх значень частотного параметра отримане рiвняння единим чином розв'язне в /|3) методом зрiзання збiжним за нормою цього простору. Ключовi слова: хвилеводнi неоднорщнога, метод добутку областей, матрично-операторнi рiвняння.

8. Chumachenko V.P. Properties of some matrix operators appearing in the theory of planar waveguide junctions / V. P. Chumachenko / / Telecommunications and Radio Engineering. - 2013. - Vol. 72, No. 6. - P. 469-484.

9. Левин Л. Теория волноводов / Л. Левин. - М. : Радио и связь,

1981. - 312 с.

10. Шестопалов В. П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур / В. П. Шестопалов. - Киев : Наукова думка, 1987. - 288 с.

11. Chumachenko V P. On linear independence of some function systems appearing in the theory of plane wave fields / V. P. Chumachenko / / Telecommunications and Radio Engineering. - 2015. - Vol. 74, No. 4. - P. 281-296.

12. Бари Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. - М. : Физматгиз, 1961. - 936 с.

13. Хатсон В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим. - М. : Мир, 1983. - 432 с.

14. Грибанов Ю. И. Координатные пространства и бесконечные системы линейных уравнений. III / Ю. И. Грибанов // Изв. вузов. Математика. - 1963. - № 3(34). - С. 27-39.

15. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Наука, 1971. -1108 с.

16. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. -М. : Физматлит, 2002. - 632 с.

17. Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа.Ч. 1 / Г. Полиа, Г. Сеге. -М. : Наука, 1978.- 392 с.

Треногин В. А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. -М. : Наука, 1980. - 496 с.

Габдулхаев Б. Г. Теория приближенных методов решения операторных уравнений / Б. Г. Габдулхаев. - Казань : Казанский государственный университет, 2006. - 112 с.

Статья поступила в редакцию 20.05.2015.

После доработки 18.06.2015.

п sin a

3

Onufriyenko L. M.1, Chumachenko V. P.2, Chumachenko Ya. V.3

'Ph.D., Associate Professor, Associate Professor of Department of Higher Mathematics, Zaporizhzhya National Technical University, Zaporizhzhya, Ukraine

2Dr.Sc., Professor, Head of Department of Higher Mathematics, Zaporizhzhya National Technical University, Zaporizhzhya, Ukraine 3Ph.D., Associate Professor, Associate Professor of Department of Mathematical Methods in Engineering, Ivano-Frankivsk National Technical University of Oil and Gas, Ivano-Frankivsk, Ukraine

ON JUSTIFICATION OF A MATHEMATICAL MODEL FOR A PLANAR JUNCTION OF THREE WAVEGUIDES. PART I. £-PLANE PROBLEM

In the paper, a mathematical model of an E-plane junction of three waveguides has been presented and justified. The coupling cavity of the waveguide transformer in question has an arbitrary triangular shape. The problem of scattering of waveguide modes is formulated in the form of a boundary-value problem for the Helmholtz equation with Neumann boundary conditions on the periphery of the unit, radiation conductions in the waveguides and with the edge condition. The model is based on the specific trigonometric-series expansions of the field in the triangular connecting region, which are constructed using the domain-product technique. It is suggested to consider the blocks of the matrix of the infinite system of linear equations, which arises in the course of solving the problem, in the capacity of operators in the sequence space of absolutely convergent series l'. It has been demonstrated that each such operator, describing the interaction of sides of the triangle, can be represented as a sum of a completely continuous operator and the contraction operator. It has been shown that in the space of sequences

(3)

l' = l' © l' © l' the investigated system presents a functional equation with the Fredholm operator and that for almost all values of the

frequency parameter the resulting equation is uniquely solvable in by means of the truncation method convergent in the norm of this space. Keywords: waveguide discontinuities, domain-product technique, matrix-operator equations.

REFERENCES

1. Mittra R., Lee S. W. Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves. New York, Macmillan, 1971, 302 p.

2. Arndt F., Beyer R., Reiter J. M., Sieverding T. and Wolf T. Automated design of waveguide components using hybrid mode-matching/numerical EM building-blocks in optimization-oriented CAD frameworks - State-of-the-art and recent advances, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1997, Vol. 45, No. 5, pp. 747-760.

3. Shestopalov V. P. Matrichny'e uravneniya tipa svertki v teorii difrakcii / V. P. Shestopalov, A. A. Kirilenko, S. A. Masalov. Kyiv, Naukova dumka, 1984, 296 p.

4. Shestopalov V. P., Kirilenko A. A., Rud' L. A. Rezonansnoe rasseyanie voln. Vol. 2. Volnovodny'e neodnorodnosti. Kyiv, Naukova Dumka, 1986, 216 p.

5. Vashchenko V. V., Chumachenko V. P. O vy'bore predstavleniya polya dlya bazovoj treugol'noj oblasti v zadachax modelirovaniya _^-ploskostny'x volnovodny'x uzlov, Radio Electronics, Computer Science, Control, 2010, No. 1, pp. 5 - 9.

6. Chumachenko V. P., Vashchenko V. V. A GSM analysis of E-pane waveguide junctions filled with piecewise homogeneous dielectric, International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, 2012, Vol. 25, No. 2, pp. 163174.

7. Chumachenko V. P. Efficient field representation for polygonal region, Electronics Letters, 2001,Vol. 37, No. 19, pp. 11641165.

8. Chumachenko V. P. Properties of some matrix operators appearing

in the theory of planar waveguide junctions, Telecommunications and Radio Engineering, 2013, Vol. 72, No. 6, pp. 469-484.

9. Levin L. Teoriya volnovodov. Moscow, Radio i svyaz', 1981, 312 p.

10.Shestopalov V. P. Spektral'naya teoriya i vozbuzhdenie otkry'ty'x struktur. Kyiv, Naukova dumka, 1987, 288 p.

11. Chumachenko V. P. On linear independence of some function systems appearing in the theory of plane wave fields, Telecommunications and Radio Engineering, 2015, Vol. 74, No. 4, pp. 281-296.

12. Bari N. K. Trigonometricheskie ryady'. Moscow, Fizmatgiz, 1961, 936 p.

13. Xatson V., Pim Dzh. Prilozheniya funkcional'nogo analiza i teorii operatorov. Moscow, Mir, 1983, 432 p.

14. Gribanov Yu. I. Koordinatny'e prostranstva i beskonechny'e sistemy' linejny'x uravnenij. III, Izv. vuzov. Matematika, 1963, No.3(34), P. 27-39.

15. Gradshtejn I. S., Ry'zhik I. M. Tablicy' integralov, sum, ryadov i proizvedenij. Moscow, Nauka, 1971, 1108 p.

16. Prudnikov A. P., Bry'chkov Yu. A., Marichev O. I. Integraly' i ryady'. Vol.1. Elementarny'e funkcii. Moscow, Fizmatlit, 2002, 632 p.

17. Polia G., Sege G. Zadachi i teoremy' iz analiza. Vol.1. Moscow, Nauka, 1978, 392 p.

18. Trenogin V. A. Funkcional'ny'j analiz. Moscow, Nauka, 1980, 496 p.

19. Gabdulxaev B. G. Teoriya priblizhenny'x metodov resheniya operatorny'x uravnenij. Kazan', Kazanskij gosudarstvenny'j universitet, 2006, 112 p.