К теории e -плоскостного волноводного трансформатора с осевой симметрией n-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1607-3274 Радюелектронжа, iнформатика, управлiння. 2014. № 1

РАД1ОФ1ЗИКА РАДИОФИЗИКА _КАРЮРНУЭТСЭ_

УДК 517.9 : 537.86

Онуфриенко Л. М.1, Чумаченко Я. В.2, Чумаченко В. П.3

1Канд. физ.-мат. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет, Украина 2Канд. техн. наук, доцент, Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа, Украина 3Д-р физ.-мат. наук, профессор, Запорожский национальный технический университет, Украина,

Е-mail: chumac@zntu.edu.ua

К ТЕОРИИ Е -ПЛОСКОСТНОГО ВОЛНОВОДНОГО ТРАНСФОРМАТОРА С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ ^-ГО ПОРЯДКА

Рассмотрена задача рассеяния волн в осесимметричном Е-плоскостном соединении N одинаковых прямоугольных волноводов. Дано строгое обоснование предложенной ранее математической модели узла, которая учитывает свойства его геометрии и использует тригонометрические разложения искомого поля, полученные с помощью метода произведения областей. Для 3 < N < 6 показано, что для почти всех значений частотного параметра каждая из N бесконечных систем линейных уравнений, к которым приводит развитый подход, разрешима единственным образом в пространстве последовательностей /1. Доказано, что эти решения могут быть найдены методом редукции, сходящимся по норме названного пространства.

Ключевые слова: волноводные неоднородности, метод произведения областей, матрично-операторные уравнения.

ВВЕДЕНИЕ

Анализу Е-плоскостных структур различными методами посвящены работы большого числа авторов (см., например, [1]—[4] и их библиографию). Одной из целей подобных исследований является построение адекватных и строго обоснованных математических моделей, которые обеспечивали бы точный и достоверный расчет характеристик волноводных узлов при изучении их свойств или при использовании этих объектов в качестве автономных блоков в системах автоматизированного проектирования устройств СВЧ и КВЧ.

В работе [4] была предложена электродинамическая модель соединения N одинаковых волноводов (размера а х Ь), которое имеет вращательную симметрию N -го порядка относительно оси Ох, перпендикулярной плоскости соединения (см. рис. 1). Отличительной особенностью модели является способ построения искомой компоненты магнитного поля Н х внутри соединительной полости О, основывающийся на методе произведения областей [5]. Используемые тригонометрические ряды позволяют избежать появления специальных функций и дают возможность выполнить аналитически все математические операции, предшествующие решению бесконечных систем ли-

нейных уравнений (БСЛУ), которым удовлетворяют коэффициенты разложений. Численный алгоритм был проверен на тестовых задачах и показал свою эффективность как при 3 < N < 6, так и при большем числе соединяемых волноводов. Однако формальное его обоснование не было дано. Настоящая работа заполняет этот пробел для 3 < N < 6. Подобно [6] и [7] возникающие БСЛУ рассматриваются в качестве операторных уравнений в пространстве последовательностей /1 = ]« = {¿п}: |< .

I п=0 \

Выбранное множество значений N охватывает практически все устройства, которые встречаются в приложениях и имеют указанную геометрию.

Статья организована следующим образом. В первом разделе конспективно (следуя [4]) изложен вывод БСЛУ, к которым сводится граничная задача, а также рассматривается вопрос единственности их решений. В двух последующих разделах изучаются свойства матриц систем, устанавливается разрешимость соответствующих операторных уравнений, анализируется возможность использования метода редукции. В заключении сформулированы основные результаты работы.

© Онуфриенко Л. М., Чумаченко Я. В., Чумаченко В. П., 2014 БОТ 10.15588/1607-3274-2014-1-1

В силу линейности уравнения Гельмгольца функцию и можно записать в виде суперпозиции

N

■ = Xи к=1

(к)

(2)

,(к)

его решений и4 отвечающих отдельным слагаемым в (1). Основываясь на свойствах симметричных соединений [11] и используя косинус -разложение решения уравнения Гельмгольца в выпукло многоугольной области

[5], величины и(к) можно представить в виде

(к) и) =е}к

1 х

N е У0 ^ + 14к Ч (у; )е"^

, п=0

; = 1, N, (3)

Рис. 1. Геометрия задачи

СВЕДЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ К БСЛУ ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

Требуется найти поле рассеянное конфигурацией при ее возбуждении со стороны первого плеча волной ТЕю единичной амплитуды. Известно (см., например [1]),

что после исключения временного множителя е'ш и зависимости от г задача такого типа сводится к нахождению некоторой функции и (х, у), которая должна удов -летворять двумерному уравнению Гельмгольца, однородным граничным условиям Неймана на контуре узла,

условиям сопряжения в апертурах Б; (; = 1, N) соединительной полости, условиям излучения в волноводах и условию конечности энергии, запасенной в любой ограниченной подобласти. Аналогичная граничная задача возникает и при анализе структур, имеющих другой физический смысл (например, соединений полосковых линий передачи [8] или акустических волноводов [9]). Существует единственное ее решение для всех значений частоты ю > 0 за исключением некоторого счетного множества точек [10]. Ниже предполагается, что ю не является элементом этого множества (в частности, не совпадает ни с одной из частот отсечки собственных волн волноводов).

Т

Представим вектор I = (1,0,... ,0) (Т-транспонирова-

N

ние) амплитуд волн основного типа, падающих на соединение со всех возможных направлений, суммой N векторов, каждый из которых описывает возбуждающее поле, обладающее некоторым типом осевой симметрии:

N (ек 1 J=N

I = Х\;\ , - = е(;-1)вк

к=11 N ];=!' ;

С) = X (Ч) , (;Чк) = е к XвПк)фЙ(у;)е^ .

;=1

п=0

(4)

Здесь и(к) = и(к) при х ; > 0 и 0 < у; < Ь, и(к) = и(к)

при (X,у) 6 О, фп(У;) = С08-

Ь

У п =■

* -X2,

х = д/ю2е0ц0 -(п/а)2 , е0 и ц0 - электрическая и магнитная постоянные, А^) и вПк) - искомые коэффициенты разложения. Представления (3) обеспечивают выполнение граничных условий на стенках волноводов и условий излучения. Можно показать, что система функций

j=N, п=<ю

ф (У;)е^ ХЦ п=0

(к),

(у )е'I , по которым разлагается и£ , ли-

нейно независима за исключением некоторого счетного множества точек значений ю. Такие точки также исключаются из рассмотрения.

Из условия непрерывности тангенциальных составляющих полей в апертурах соединительной полости следует

,(к)

Х[=0+

= и (к) = иС

ди[к)

Х;=0-

дх1

диСк)

х1=0+

дх1

х,=0-

х 6 (0,Ь).

(5)

Так как углы при ребрах конфигурации меньше 2п, то из требования конечности энергии, запасенной в ограниченной подобласти, вытекает (см., например, [12]), что нормальные производные, входящие в (5), могут иметь на интервале у 6 (0, Ь) лишь квадратично интегрируемые особенности. Использование условий (5) позволяет свести (см. [4]) задачи нахождения и(к )(к = 1, N ) к решению N независимых парных БСЛУ

вк=(к - , г2=-1.

(1)

18 + А(к) = в(к) + Х с(к) в(к) -

,ги0штлш "и т ¿.и^шп^п , ш =

N

п=0

(6)

1 да

_LSn - ) - ) + Id(k)B(k) -

ы 0m ^m ~ ^m T Zj mn^n , m - 0

N

n-0

m - 0, да , (7)

где

m -¿j dmn -!>дк; j-2 j-2

N

(j)

cmn - i ejkJmn , "mn jk^mn , (8)

J(J) f

" mn ,

eb ^mu о

Фп (у-) ej"xj

x1-0

Фm (ЛЖ

(9)

Kjn - 2 fA

^mn , -

embYm 0 dXl

Фп (yj ) eYnXj

x1-0

Фm (yi)dyi,(10)

ет = 1 + 80т и 50т - символ Кронекера, причем

т(N-/+2) = (-1)т+п т(I) к(N-1+2) = (-1)т+п к(/) (Ц) и шп \ V ° шт ^тп V V Лтп ^

при 1 < / < N/2 +1.

Вне соединительной полости условие конечности энергии в ограниченной области будет выполняться,

-столбец А(к) = \л<пк)}

если вектор-

удовлетворяет усло-

вию

A(k) е ~2 - j s-{^n}:! ^0 |2 +i I *n |2 n <+да^ [13].

n-1

В соединительной полости мы усилим это требование, наложив его на каждую из функций (/)иС) в отдельности, что приводит к Б(к) = {вПк) }е ~ . Более того, мы предположим, что А(к), Б(к) е /1 с /2 . Существование соответствующих последовательностей А(к), Б(к) следует из устанавливаемой ниже разрешимости БСЛУ, порождаемых граничными условиями.

Матричное уравнение (6) образовано путем приравнивания коэффициентов разложения величин, входящих в левые и правые части первого из равенств (5), по функциям (фп(Л))П=0. Если А(к),Б(к) е /1 то разложения

OU W

IАПк)Фп(yi) и IвПк)Фп(yi)

Vn\y 1J и

n-0 n-0

равномерно сходятся к

своим суммам, являясь их рядами Фурье. Аналогичный факт имеет место и для разложения по тем же функциям

N

~(к) (к) (1) (к) ^ (/) (к) , величины и£ ' = и£ — 'иус = ^^'иус в силу ее абсо

/=2

лютной непрерывности на ^ (При Б(к) е /1 условие

д~ск)

интегрируемости на ^ модуля производной -—— лег-

ко проверяется). Отсюда вытекает [14], что равенство Фурье-коэффициентов величин, входящих в первое граничное условие в (5), означает равенство самих этих величин всюду на ^

Таким образом, если БСЛУ (6),(7) имеет в /1 решение, то после его подстановки в (3), (4) условия на значения и(к) будут выполняться в каждой точке апертуры ^ а также ^г,---,5N. Из (7) и полноты системы {фп01)}=о в пространстве квадратично интегрируемых функций ¿2 (0, Ь) следует, что почти всюду на и других апертурах будут выполняться также и условия, накладываемые

на нормальную производную функции и (к ). Тем самым формулами (3), (4) задается величина, удовлетворяющая как уравнению Гельмгольца, так и всем требуемым условиям на границе. Ясно, что такая БСЛУ может иметь в /1 не более одного решения, так как противоположное предположение противоречит теореме единственности решения исходной краевой задачи.

Далее вместо системы (6),(7) мы будем изучать эквивалентную систему, состоящую из матричного уравнения

Bm) +11 (c(k) + dnk))Bnk) - -! s

m ^ г, Z-j^ nm ^"nmz-^n ,rui

n-0

N

0m , m - 0, да , (12)

дУ1

полученного из (6), (7) после исключения {4Пк)}, и пересчетной формулы для определения коэффициентов {4Пк)} по известным {вПк)}, которую мы не выписываем.

СВОЙСТВА МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ. РАЗРЕШИМОСТЬ БСЛУ

Будем рассматривать матрицы J(j) - (J^jn)), K(j) - (K^jn) в качестве операторов в пространстве последовательностей /1. Ниже !| • !!=!| • ||/1, а норма некоторого матричного оператора A - (amn): /1 ^ /1 определяется

да

формулой !! A ||- sup I! amn ! (см. [15], [16]). Извест-

0<п<да m-0

но [16], что для того, чтобы оператор A был ю -непрерывным (частный случай полной непрерывности), неда

обходимо и достаточно, чтобы lim sup 11 amn | - 0.

k ^да k <п<да m-0

При 2 < j < N таковыми являются матрицы j(j) и K(j), элементы которых содержат множители, которые убывают экспоненциально с ростом n и ведут себя как

O\-Kr I с ростом m.

(13)

Перепишем (12) в виде

(I + T(k) + F(k))B(k) - H,

m

РАД1ОФ1ЗИКА

где (см. (8))

T(k) =

1 N-1

- Z ejk(J(j) + K(1)) при N > 3,

2 1 =3

0 при N = 3,

(14)

Далее, так как e2k = cos вк + i sin Pk , em = cos Pk - ism Pk, (24) то в силу (11) и (15) имеем

Fk = M U{k), (25)

mn 1VJ- mn^ mn > v /

F(k) = 1 [ (J(2) + K(2)) + em (J(N) + K(N))

(15)

где

m = /2) + K(2)

H = ' N §°m

(16)

а I - тождественный оператор (бесконечная единичная

матрица). Оператор Т(к), как линейная комбинация вполне непрерывных операторов, также вполне непрерывен.

Рассмотрим более детально оператор р(к). Введем обозначения

Гп =yn sin P , ° Гп = ^sin P, Пn ~cos P, (17) b b

nn

(mn „

лп =Пnb , Ф(П =г„ +1— + Пn

2 f \2 0 2 ( nn 1 ¿mnn

mn , b j +t b

cos P при mn > при mn =

Y* = —^ + —, ° Y* = 1 + - 1

-1- fHfi — A П1И - -

Ф(П Ф(П

mn ° + — ° _ ° ф+ ° ф

VYIYI ^ П

(18)

(19)

(2°)

- mn ^mn

n N _ 2

где P =-п - угол при вершине правильного N -уголь-

N

ника, образующего 5Q. Учитывая, что

Х2 =_XjCOs P + sin P_ b sin P , >>2 = _xjsin P_ >1cos P+ b cos P, (21)

а также известные [17] формулы интегрирования, для значений /(П) и к((П) получим

J (2) =-

О щи

emb

U±kn =

Представим F( ' в виде

cos Pk при т + n четном, i sin Pk при m + n нечетном.

(k) ,

(26)

F(k) =1F(k) +*F(k) , ((Mmn_°MmnUmkk))+(0MmnU(m¿) , (27)

где

°m =_2Í_1T°г

mn . ° + x n

b ° ф

(28)

mn

Несложно установить, что оператор М-0 М является ю -непрерывным. Тем более ю-непрерывным будет оператор 1Г(к), порождаемый матрицей ((мшп -0Мшп уи'тп)). Рассмотрим далее оператор * Г(к). Найдем предел

lim Zi°MmnUmkn} I.

nii m=°

Мы получим

°

Предположим вначале, что n = 2n '.

limi Zi°MmnUmkn)| = |cosPki lim ZiMm,2n' i+

m=°

■> ' 1 m =1

+isin Pki lim Z i M2m -1,2n' i.

n m'=1

(29)

Далее

i ft 1 i 1

lim Zi°M2m'2П i = — lim П У л2 1

n m'=1 n n n m'=1 (m' I m'

. (3°)

— I + 2—;-cos P + 1 n j n

(_1)m Гп _ (Гп cos Лn _Пn sin Лn )e

-O

]+ (П •

J* mn + b SI

sin Лne Tnbx¥~_

(22)

2

0

фтп

2

b

i

1

K±2) =•

vm и

em Y mb

(_1)(

X2 sin P cos PT(n +° Гп^^^т-п b

Yn cos P(rn cos Лn -Пn sin Лn)_° Гп (Гп sin Лn +Пn cos Лn)

]nb +

Гп cos Лn _ yn cos P sin Лп

e"rnb<j/"

1

+

+

+

b

ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2014. № 1

Предел (30) может быть заменен некоторым интегралом, значение которого известно [17], а именно,

ти N(к) . Таким образом уравнение (13) можно переписать в виде

• п (

Hm H°M2m2„'l=

W ^^ TT •>

dv

'm'=1

0 v2 + 2v cos ß +1 n

-=P .(31)

W(k)B(k) = (G(k) +CF(k))B(k) = H .

(33)

G(k) = I+BF(k), CF(k) = T(k) +1F(k) + 2F(k), (34)

Заметим, что монотонность подынтегральной функции, являющаяся одним из условий перехода от предела

где оператор G(k) непрерывно обратим, а C F(k) вполне

C F (k) ,

к интегралу, существенна лишь для больших значений непрерывен. Это значит, что оператор W(к) фредголь-переменной интегрирования (см. [18], решение задачи мов и, так как Н е /l, то уравнение (33) в силу алгаршта-

вы Фредгольма [19] имеет в /1 единственное решение.

РЕШЕНИЕ БСЛУ МЕТОДОМ РЕДУКЦИИ

Пусть п > N(к), Хп = Рп/1 - подпространства в /1, Б(пк) е Хп и в$пк) = РпВР(к). Ясно, что О(к)Хп Ф Хп и

30 из второго отдела). Предел lim ^|0M2m --12n- | так-

n' ^ m '=1

же равен —. Значит, при n = 2n '

n ^ ^ n

lim

<x

YfMmnB™ |= в(| COSßk | + | Sinßk |) = д(к) . (32)

РпО(к)Б(пк) = (1+ВРпк))Б(пк) = О(к)Б(пк). Рассмотрим теперь наряду с точным уравнением (33) полученные из него усеченные уравнения

Wnк)Б(пк) = (О(к) + Рп С ¥(к) )Б(к) = РпН . (35)

Поскольку ||в $пк) ||<||в Р(к)||< 1, то операторы

Оп): Хп ^ Хп непрерывно обратимы, а обратные операторы ограничены по норме в совокупности:

m=0

Аналогичный результат получается и когда п ^ ж, пробегая нечетные значения. Прямая численная проверка показывает, что при 3 < N < 6 и любых возможных

значениях к справедливо неравенство 0 < А(к) < 1 - 8, где 5 > 0.

Введем проекторы Рп = diag(1,...,1,0,0...) и

п+1

Яп = I -Рп. Ясно, что Рп2 = Рп и || Рп ||= 1. Исходя из определения предела и (32), можно утверждать, что для любого е > 0 существует конечное число N(к) (е) такое,

ж

что ^М^вШпгИ < А(к) +еУп> N(к). Представим

ш=0

* Р(к) в виде *Р(к) =2 Р(к) +в Р(к), где 2 Р(к) =*Р(к ), а

вр(к) =*Р(к^да. Пусть е <8. Тогда ||вР(к) ||< 1, а оператор 2 р(к) является ю-непрерывным в силу конечнос-

|| (G(к))-1||<

1

1

1- ||B Fnk )|| 1- ||B F(k )||

(36)

Полагая X = У = /1 в условиях известной теоремы ([20], теорема 6.2) и принимая во внимание свойства

операторов W(k), О(к), С Р(к), Рп и О Щк), мы приходим к заключению, что для достаточно больших значений п системы (35) однозначно разрешимы и имеет место сходимость последовательности приближенных решений

*Bnk) = (Wnk ))-1PnH к точному ^ *B(k) = (W(k ))-1H:

решению

||* в(к) -*Bnk )||= O

inf ||*B(k) -B(nk)||

B(k Ьл

VBn ел n

= O

(|R n * B(k )||)

->0.

(37)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дано строгое математическое обоснование развитого ранее подхода к решению задачи рассеяния волн в осесимметричном соединении N волноводов в е -плоскости. Бесконечные системы линейных уравнений, к которым сводится исходная граничная задача, предложено рассматривать в качестве операторных уравнений в пространстве последовательностей /1. Показано, что для почти всех значений частотного параметра ю > 0 эти

уравнения могут иметь не более одного решения. С целью анализа матричный оператор каждого из уравнений представлен в виде суммы тождественного оператора, оператора, описывающего взаимодействие апертур первого и прилегающих волноводов, а также вполне непрерывного оператора, описывающего взаимодействие апертур первого и остальных волноводов. Для 3 < N < 6 установлено, что второй из перечисленных операторов может быть разделен на две части, а имен-

РАД1ОФ1ЗИКА

но, оператор сжатия и вполне непрерывный оператор. Тем самым обоснованы фредгольмовость рассматриваемых уравнений и их разрешимость. Доказано, что решение каждой из БСЛУ может быть найдено методом редукции, сходящимся по норме пространства ^.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шестопалов, В. П. Резонансное рассеяние волн. Т. 2. Вол-новодные неоднородности / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, Л. А. Рудь. - К. : Наукова думка, 1986. - 216 с.

2. Cullen, A. L. Using the least-squares boundary residual method to model the symmetrical five-port waveguide junction / A. L. Cullen, S. P. Yeo // IEE Proceedings on Microwaves, Antennas & Propagation. - 1987. - Vol. 134-H, No. 2. -P. 116-124.

3. Bialkowski, M. E. Analysis of an N-port consisting of a radial cavity and E-plane coupled rectangular waveguides / M. E. Bialkowski // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 1992. - Vol. 40, No. 9. - P. 1840-1843.

4. Chumachenko, V. P. Simple full-wave model of E-plane waveguide star junction / V. P. Chumachenko // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. - 2002. - Vol. 16, No. 9. - P. 1223-1232.

5. Chumachenko, V. P. Efficient field representation for polygonal region / V. P.Chumachenko // Electronics Letters. - 2001. -Vol. 37, No. 19. - P. 1164-1165.

6. Чумаченко, Я. В. О бесконечных системах линейных уравнений, связанных с задачами рассеяния волн в плоскостных волноводных узлах с областью взаимодействия прямоугольной формы / Я. В. Чумаченко, В. П. Чумаченко // Радюелектронжа, шформатика, управлшня. -

2012. - № 2. - С. 20-25.

7. Chumachenko, V. P. Properties of some matrix operators appearing in the theory of planar waveguide junctions / V P. Chumachenko // Telecommunications and Radio Engineering. -

2013. - Vol. 72, No. 6. - P. 469-484.

8. Kompa, G. Planar wavegude model for calculating microstrip components / G. Kompa, R. Mehran // Electronics Letters. -1975. - Vol. 11, No. 19. - P. 459-460.

9. Гртченко, В. Т. Основи акустики / В. Т. Гршченко, I. В. Вовк, В. Т. Маципура. - К. : Наукова думка, 2007. -640 с.

10. Шестопалов, В. П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур / В. П. Шестопалов. - К. : Наукова думка, 1987. - 288 с.

11. Montogomery, C. G. Principles of Microwave Circuits / C. G. Montogomery, R. H. Dicke, E. M. Purcell. - New York : McGraw-Hill, 1948. - 486 р.

12. Миттра, Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли. - М. : Мир, 1974. - 328 с.

13. Шестопалов, В. П. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, С. А. Масалов. - К. : Наукова думка, 1984. - 296 с.

14. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. -М. : Физматгиз, 1961. - 936 с.

15. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим. - М. : Мир, 1983. -432 с.

16. Грибанов, Ю. И. Координатные пространства и бесконечные системы линейных уравнений. Ш / Ю. И. Грибанов // Изв. вузов. Математика. - 1963. - №3 (34). - С. 27-39.

17. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Наука, 1971. - 1108 с.

18. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч.1 / Г. Полиа, Г. Сеге. - М. : Наука, 1978.- 392 с.

19. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Трено-гин. - М. : Наука, 1980. - 496 с.

20. Габдулхаев, Б. Г. Теория приближенных методов решения операторных уравнений / Б. Г. Габдулхаев. - Казань : Казанский государственный университет, 2006. - 112 с.

Статгя надшшла до редакци 29.01.2014.

Онуфрieнко Л. М.1, Чумаченко Я. В.2, Чумаченко В. П.3

1Канд. фiз.-мат наук, доцент, Запорiзький нацюнальний техшчний ушверситет, Украша

2Канд. техшчних наук, доцент, 1вано-Франювський нацюнальний техшчний ушверситет нафти i газу, Украша

3Д-р фiз.-мат наук, професор, Запорiзький нацюнальний техшчний ушверситет, Украша

ДО ТЕОРП E-ПЛОЩИННОГО ХВИЛЕВОДНОГО ТРАНСФОРМАТОРА З ОСЬОВОЮ СИМЕТР1СЮ N -ГО ПОРЯДКУ

Розглянута задача розстовання хвиль в E-площинному з'еднанш N однакових прямокутних хвилеводiв. Дано строге обгрун-тування запропоновано! рашше математично! моделi вузла, яка враховуе властивост його геометрй i використовуе тригономет-ричш розвинення шуканого поля, отримаш за допомогою методу добутку областей. Для 3 < N < 6 показано, що для майже вах значень частотного параметра кожна iз N несюнченних систем лшшних рiвнянь, до яких приводить розвинутий шдхщ, розв'яза-на единим чином в просторi послщовностей I1. Доведено, що щ розв'язки можуть бути знайдеш методом редукцй, збiжним за нормою названого простору.

Ключовi слова: хвилеводш неоднорщноси, метод добутку областей, матрично-операторш рiвняння.

Onufriyenko L. M.1, Chumachenko Ya. V.2, Chumachenko V. P.3

1Ph.D., Associate Professor, Zaporizhzhia National Technical University, Ukraine

2Ph.D., Associate Professor, Ivano-Frankivsk National Technical University of Oil and Gas, Ukraine

3Doctor of Science, Professor, Zaporizhzhia National Technical University, Ukraine

ON THE THEORY OF AN .E-PLANE WAVEGUIDE TRANSFORMER WITH THE N-FOLD ROTATIONAL SYMMETRY

The mathematical justification of an earlier full-wave model for a symmetrical junction of N rectangular waveguides coupled in E-plane is presented in the paper. The problem of scattering of waveguide modes is formulated in the form of a boundary value-problem for the Helmholtz equation with Neumann boundary conditions on the periphery of the unit, and with the edge and radiation conductions. The model is based on the symmetry properties of the geometry and on trigonometric-series expansions of the field in the connecting region, which are constructed using the domain-product technique.

ISSN 1607-3274. PagioeneKTpomKa, rn^opMaTHKa, ynpaBmHHA. 2014. № 1

It is suggested to consider N-infinite systems of linear equations (ISLE) with respect to expansion coefficients, which arise in the course of solving the problem, in the capacity of matrix-operator equations in the sequence space /j. The analysis has shown that an ISLE of the sort can have no more than one solution for almost all values of the frequency parameter. For 3 < N < 6, it has been found that operator of the ISLE can be presented as a sum of an identity operator, a contraction operator and a completely continuous operator. The obtained results allow considering the ISLE as a functional equation with the Fredholm operator. It has been proved that this equation is solvable in /j by means of the truncation method convergent in the norm.

Keywords: waveguide discontinuities, domain-product technique, matrix-operator equations.

5.

REFERENCES

Shestopalov V. P., Kirilenko A. A., Rud' L. A. Rezonansnoe rasseyanie voln. Vol. 2. Volnovodny'e neodnorodnosti. Kyiv, Naukova Dumka, 1986, 216 p.

Cullen A. L., Yeo S. P. Using the least-squares boundary residual method to model the symmetrical five-port waveguide junction, IEE Proceedings on Microwaves, Antennas & Propagation, 1987, Vol. 134-H, No. 2, pp. 116-124. Bialkowski M. E. Analysis of an N-port consisting of a radial cavity and E-plane coupled rectangular waveguides, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1992, Vol. 40, No. 9, pp.1840-1843.

Chumachenko V. P. Simple full-wave model of E-plane waveguide star junction, Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2002, Vol. 16, No. 9. pp. 1223-1232. Chumachenko V. P. Efficient field representation for polygonal region, Electronics Letters. 2001, Vol. 37, No. 19, pp. 11641165.

Chumachenko Ya. V., Chumachenko V. P. O beskonechny'x sistemax linejny'x uravnenij, svyazanny'x s zadachami rasseyaniya voln v ploskostny'x volnovodny'x uzlax s oblast'yu vzaimodejstviya pryamougol'noj formy', Radio Electronics, Computer Science, Control, 2012, No. 2, pp. 20-25.

Chumachenko V. P. Properties of some matrix operators appearing in the theory of planar waveguide junctions, Telecommunications and Radio Engineering. 2013, Vol. 72, No. 6, pp. 469-484.

8. Kompa G. Planar wavegude model for calculating microstrip components, Electronics Letters. 1975, Vol. 11, No. 19, pp. 459-460.

9. Grinchenko V. T., Vovk I. V., Macy'pura V. T. Osnovy' akusty'ky'. Kyiv, Naukova dumka, 2007, 640 p.

10. Shestopalov V. P. Spektral'naya teoriya i vozbuzhdenie otkry'ty'x struktur. Kyiv, Naukova dumka, 1987, 288 p.

11. Montogomery C. G., Dicke R. H., Purcell E. M. Principles of Microwave Circuits. New York, McGraw-Hill, 1948, 486 p.

12. Mittra R., Lee S. W. Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves. New York, Macmillan, 1971, 302 p.

13. Shestopalov V. P., Kirilenko A. A., Masalov S. A. Matrichny'e uravneniya tipa svertky' v teorii difrakcii. Kyiv, Naukova dumka, 1984, 296 p.

14. Bari N. K. Trigonometricheskie ryady'. Moscow, Fizmatgiz, 1961, 936 p.

15. Xatson V., Pim Dzh. Prilozheniya funkcional'nogo analiza i teorii operatorov. Moscow, Mir, 1983, 432 p.

16. Gribanov Yu. I. Koordinatny'e prostranstva i beskonechny'e sistemy' linejny'x uravnenij. III, Izv. vuzov. Matematika. 1963, No. 3 (34), pp. 27-39.

17. Gradshtejn I. S., Ry'zhik I. M. Tablicy' integralov, sum, ryadov i proizvedenij. Moscow, Nauka, 1971, 1108 p.

18. Polia G., Sege G. Zadachi i teoremy' iz analiza. Vol.1. Moscow, Nauka, 1978, 392 p.

19. Trenogin V.A. Funkcional'ny'j analiz. Moscow, Nauka, 1980, 496 p.

20. Gabdulxaev B. G. Teoriya priblizhenny'x metodov resheniya operatorny'x uravnenij. Kazan', Kazansky'j gosudarstvenny'j universitet, 2006, 112 p.

1.

3

6