CC BY
20
ФИЗИКА PHYSICS
УДК 533.9 ББК 22.336 Б 72
Бобылев Ю.В.
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, Тула, тел. (4872) 5620-03, e-mail: bobylev.yu@mail.ru Панин В.А.
Доктор физико-математических наук, профессор, ректор Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, Тула, тел. (4872) 35-91-62, e-mail: panin@tspu.tula.ru
К нелинейной теории неустойчивости типа отрицательной массы, развивающейся в прямолинейном потоке электронов при его распространении в произвольной замедляющей системе
(Рецензирована)
Аннотация. Показано, что при определенных параметрах в прямолинейном потоке электронов возможно развитие апериодической неустойчивости типа отрицательной массы в режимах, при которых в начальный период развития этой неустойчивости будет доминировать первая гармоника плотности заряда, что в свою очередь имеет большое значение для создания пучков с заранее заданными свойствами.
Ключевые слова: электронный пучок, апериодическая неустойчивость, аналитические методы.
Bobylev Yu.V.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor of General and Theoretical Physics Department, Tula State Pedagogical University named after Lev Tolstoy, Tula, ph. (4872) 56-20-03, e-mail: boby-lev.yu@mail.ru
Panin V.A.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Rector of Tula State Pedagogical University named after Lev Tolstoy, Tula, ph. (4872) 35-91-62, e-mail: panin@tspu.tula.ru
The nonlinear theory of instability of the negative mass type developing in rectilinear flow of electrons at its distribution in any slowing-down system
Abstract. The article shows that under certain parameters in rectilinear flow of electrons may develop aperiodic instability type negative mass in the early development of this instability will dominate the first harmonica charge density, which in turn is essential to create beams with preset properties. Keywords: electron beam, aperiodic instability, analytical methods.
При взаимодействии электронных пучков с плазмой или иной замедляющей системой в этих пучках могут развиваться различные неустойчивости как излучательные, сопровождающиеся преобразованием энергии направленного движения электронов в энергию электромагнитного излучения, так и неизлучательные.
Излучательные неустойчивости представляют большой прикладной интерес, в частности, для создания мощных источников когерентного электромагнитного излучения, в связи с чем их изучению посвящена весьма обширная литература, в которой подробно описываются физические механизмы, приводящие к развитию этих неустойчивостей (например, [1, 2]). Вместе с тем помимо излучательных существует одна интересная неустойчивость, развивающаяся в прямолинейном электронном потоке - неустойчивость типа отрицательной массы. Данная неустойчивость связана с самомодуляцией электронного потока по плотности и аналогична неустойчивости, реализующейся в кольцевых ускорителях [3]. В настоящей работе мы рассмотрим именно эту неустойчивость.
Будем считать, что электронный пучок распространяется вдоль достаточно сильного внешнего продольного магнитного поля, сонаправленного с осью 2, при этом движение электронов можно считать одномерным. Вид замедляющей системы для дальнейшего изложения не имеет принципиального значения и поэтому не конкретизируется. Исследование нелинейной динамики пучковой неустойчивости может быть проведено исходя из следующей модельной системы нелинейных уравнений (подробный вывод подобных уравнений для различных электродинамических систем приведен в [1, 2]):
= "1г¿— { ехр(шу) - к.с.\ йт 2 П=1 п
1 2л
Рп = - Г ехр(-шу^у^ (1)
77" ^
X 0
y 1„о=Уо ф.24 f
= 0
т=0
Здесь у = к{г -Ш), у0 = кг0, т = , где и - невозмущенная скорость электронов пучка, направленная вдоль оси г, к - волновое число, а Оъ - частота собственных колебаний электронов в системе отсчета пучка с учетом геометрии задачи. Кроме того, геометрический фактор содержится также в коэффициентах ап для п > 2 , а ^ = 1. Например, в предельном случае бесконечно тонкого в поперечном сечении пучка в волноводе ОЬь = ^ър1ъ / {к2); ап = / {п2к2 )// {к2), где 8ъ - площадь сечения пучка,
ад
f (2 )=!-
x2 <Л, (К) /2 = 4xne2
Шъ —
2
m
=1 к1 + *2 <
к1т и <т - собственные значения и функция волновода соответственно, гъ - координата пучка в поперечном сечении, а ||<т||2 - квадрат нормы собственной функции, величины рп имеют смысл безразмерных гармоник плотности заряда электронов пучка;
уравнения (1) дополнены стандартными начальными условиями [1, 2].
Модуль в выражении для безразмерного времени т означает, что пучок может быть апериодически неустойчивым, а частота Оъ может быть, следовательно, чисто
мнимой. Такая ситуация имеет место, например, при пучковой неустойчивости газа релятивистских осцилляторов.
Первое уравнение в (1) представляет собой уравнение движения электрона, записанное в безразмерном виде; выражение, стоящее в его правой части, определяет силу высокочастотного пространственного заряда пучка, возникающую в результате группировки электронов (сокращение к .с. означает «комплексно сопряженное»).
В линейном приближении, представляя координату электрона в виде У = У0 + У, |У| «1, из (1) получаем уравнение:
й 2
+ ар1 = 0, (2)
ат
откуда, полагая р1 ~ ехр(-¡5т), имеем дисперсионное уравнение 52 - а1 = 0, из которого следует, что при а) = -1 инкремент неустойчивости оказывается чисто мнимым: 5 = г. В свою очередь отсюда следует, что за время порядка обратного инкремента неустойчивость приводит к полной модуляции пучка по плотности (самомодуляция пучка). Разумеется, в реальной системе при а1 = -1 будет наблюдаться конкуренция двух
процессов: излучения электромагнитном волны и самомодуляции пучка по плотности. Однако чтобы исследовать неустойчивость отрицательной массы в «чистом» виде, мы пренебрегли силой, действующей на электрон со стороны поля излучения (поля возбуждаемой электромагнитной волны).
Дальнейшая наша задача будет заключаться в исследовании временной динамики гармоник плотности заряда пучка в зависимости от величины затравочного возмущения. Прежде всего, нужно заметить, что система (1) имеет первый интеграл, получающийся при домножении обеих частей уравнения движения на ёу/ёт и интегрировании по у0 от 0 до 2ж:
-Ц у 2ёУо ря\2 = а\ Ло|2 +1. (3)
0 я=1 Я
Отсюда видно, что при положительных значениях ая (я=1,2,...) пучок модулируется (рп растет) за счет убыли его средней кинетической энергии, а при а1 = -1 возможен одновременный рост средней кинетической энергии пучка и гармоник возмущения плотности заряда.
При малой модуляции пучка по плотности динамику неустойчивости можно описать с помощью метода разложения по траекториям частиц [4], суть которого в нашем случае заключается в представлении координаты электрона в виде:
1 ад
у = Уо + х(Уо,т) , х(Уо,т) = (т) ехр(1'пУо) + к.с.) , (4)
2 я=1
где ~(уо,т) - «2ж » - периодическая функция уо (осцилляторная часть траектории электрона, которая представляется в виде ряда Фурье по уо), и дальнейшем разложе-ниии экспонент, входящих в (1), в ряды Тейлора по степеням возмущения ~ , считающимся малым. В результате проведения данной процедуры с точностью до членов третьей степени малости получим следующую систему дифференциальных уравнений (положим сразу а1 = -1):
d a
= a1 - '(l + a2 )a*a2 - — (l + a2 )Щ2 a1,
с)т2 1 4 " 1 ' 2 (5)
ё 2 а ! (5)
-= -а9а9 + — (а2 +1 )а2
ёт2 2 2 2К ^
Аналитически решить эту систему уравнений не удается, тем не менее, интересные сведения о ее поведении в начальный момент времени получить возможно. Решим второе уравнение системы (5) методом вариации постоянных:
а2 = ^ 1г=2 а* I а1 ) (((т - . (6)
2 л/а2 о
После подстановки (6) в первое уравнение системы (5) эта система сводится к ин-тегро-дифференциальному уравнению:
= а , (1 + а2)2
2 ■ = a1 +-—г== a | а,2
dr
2+^- а*Iа!281п((т - -2(1 + а2ЖГа1. (7)
2у а2 о 2
Из (7) видно, что если в начальный момент времени а1 было действительным, т.е. Яе а1 |о ^ о; 1т а1 | = о, то оно таким останется и во все последующие моменты времени. Это имеет место при начальных условиях (сделаем замену а1 ^ Яеа1):
а1 Uq а10;
daj dr
= 0.
r=0
Из (7) следует:
d2 а,
dr2
1 +
а10
2 a3
10
(8)
(9)
r=0
Отсюда и из (8) получаем, что при а10 <
1 + а.
2 а^, или
V
1 + а2
< а,
10
(10)
Рис. 1. Зависимости амплитуды Ц | от времени, полученные при
интегрировании системы (1) (сплошная линия) и приближенной системы (5) (пунктирная линия) при а2 = 250, а10 = 0,1
первая производная ёа1/ёт в начальный момент
времени будет уменьшаться, т.е. станет отрицательной, что в свою очередь приведет к убыванию а1 при временах, близких к т = 0 . Соответственно, при выполнении обратного неравенства (10), а1 в начальный момент времени начнет сразу расти. Поскольку разложение по траекториям применимо при Щ «1, то чтобы удовлетворить условию (10),
необходимо выбрать а2 очень большим.
Системы уравнений (1) и (5) интегрировались численно при а2 = 250; а10 = 0,1; а20 = 0. Уравнения (1)
интегрировались методом крупных частиц, при этом учитывалось пять гармоник плотности заряда пучка.
На рисунке 1 представлены: зависимость от времени [а^ (сплошная линия), полученная при интегрировании уравнений (1), а1 при этом определя-
лась выражением
2л
1
а = — f У • exp(-inyo)dya, л i
(11)
и зависимость от времени |а11, полученная при интегрировании системы (5), (пунктирная линия). Из этого рисунка видно, что отмеченный ранее спад а1 в начальный момент времени действительно имеет место в обоих случаях, но является очень незначительным по величине и непродолжительным по времени.
Нужно отметить, что сравнение результатов численного решения систем (1) и (5) в целом, в области применимости приближенной системы (5) (до т ~3 ), вполне удовлетворительное. Вместе с тем, как видно из рисунка 1, решение системы (5) приводит к неограниченному росту а1, в то же время система (1), интегрируемая с помощью метода крупных частиц, дает ограниченное решение. Из этого следует, что необходим учет нелинейностей более высокого порядка при разложении экспонент. Поэтому дальнейшее исследование зависимости динамики неустойчивости от величины начального возмущения продолжим только численными методами.
На следующих четырех рисунках даны графики модулей амплитуд гармоник плотности заряда пучка , |р2| и |р3|, полученные при интегрировании системы (1).
2
2
Рисунки 2а - 2г иллюстрируют различие в поведении гармоник pi ( = 1,2,3) в начальный момент времени в зависимости от амплитуды а10. На рисунке 2а а10 = 2 - все три гармоники растут с т = 0 . На рисунке 2б а10 = 2,5 . Здесь в начальный момент времени растут первая и вторая гармоники плотности, а третья - убывает почти до нуля. На рисунках 2в и 2г а10 = 3,5 и а10 = 6,0, соответственно. Здесь уже наблюдается убывание второй и третьей гармоник одновременно при росте первой. Особенно ярко это выражено на рисунке 2г, где р1 в начальный момент времени значительно превосходит остальные pi ( = 2,3).
Рис. 2. Зависимости амплитуды гармоник плотности заряда пучка |р;| ( = 1,2,3) от времени т
при развитии неустойчивости типа отрицательной массы, полученные при решении системы (1) с начальными условиями: а: а10 = 2; б: а10 = 2,5 ; в: а10 = 3,5; г: а10 = 6
Таким образом, при сравнительно больших затравочных модуляциях плотности пучка возможны такие режимы развития неустойчивости типа отрицательной массы, при которых в начальный период развития первая гармоника плотности будет доминировать над другими. Данное обстоятельство в принципе можно использовать для формирования пучков заряженных частиц с заранее заданными свойствами, задавая соответствующую начальную модуляцию плотности заряда.
Примечания:
1. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М.: Наука, 1990. 336 с.
2. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В. Нелинейные явления при электромагнитных взаимодействиях электронных пучков с плазмой. М.: Физматлит, 2009. 456 с.
3. Коломенский А.А. Физические основы методов ускорения заряженных частиц. М.: Изд-во МГУ, 1980. 302 с.
4. Метод разложения по траекториям в нелинейной электродинамике неравновесной плазмы / М.В. Кузелев, А.А. Рухадзе, Ю.В. Бобылев, В. А. Панин // ЖЭТФ, 1986. Т. 91, № 5 (11). С. 1620-1632.
References:
1. Kuzelev M.V., Rukhadze A.A. Electrodynamics of dense electron beams in plasma. M.: Nauka, 1990. 336 pp.
2. Bobylev Yu.V., Kuzelev M.V. The nonlinear phenomena of electromagnetic interactions of electron beams with plasma. M.: Fizmatlit, 2009. 456 pp.
3. Kolomenskiy A.A. Physical bases of methods of acceleration of charged particles. M.: MSU Publishing House, 1980. 302 pp.
4. Decomposition method on trajectories in nonlinear electrodynamics of nonequilibrium plasma / M.V. Kuzelev, A.A. Rukhadze, Yu.V. Bobylev, V.A. Panin // ZhETF, 1986. Vol. 91, No. 5 (11). P. 1620-1632.
