Аналитические методы в нелинейной электродинамике плазмы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

PHYSICS

УДК 533.9 ББК 22.333 Б 72

Бобылев Ю.В.

Доктор физико-матаматических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики факультета .математики, физики и информатики Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, Тула, тел. (4872) 35-59-06 (доб. 20-91), e-mail: bobylev.yu@mail.ru Панин В.А.

- , , -ческогоуниверситета им. Л.Н. Толстого, Тула, тел. (4872) 35-91-62, e-mail: panin@tspu.tula.ru

Аналитические методы в нелинейной электродинамике плазмы

(Рецензирована)

Аннотация

Рассматривается метод аналитического решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими нелинейностями. Проведено обобщение данного метода на подобные системы наиболее общего вида и получены критерии возможности существования у таких систем аналитического решения. Применение метода проиллюстрировано на конкретной задаче нелинейной электродинамики плазмы.

: , .

Bobylev Yu.V.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of General and Theoretical Physics Department, Faculty of Mathematics, Physics and Computer Science, Tula State Pedagogical University named after L.N. Tolstoy, Tula, ph. (4872) 35-59-06 (2091), e-mail: physics@tspu.tula.ru Panin V.A.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Rector of the Tula State Pedagogical University named after L.N. Tolstoy, Tula, ph. (4872) 35-91-62, e-mail: panin@tspu.tula.ru

Analytical methods in nonlinear plasma electrodynamics

Abstract

The paper considers the method of analytical solution of systems of the first order ordinary differential equations with cubic nonlinearities. This method is generalized for such systems of the most common form. The criteria are found for the existence of an analytical solution at such systems. Application of the method is illustrated by the specific problem of nonlinear plasma electrodynamics.

Keywords: analytical methods, nonlinear interaction of waves in plasma.

В различных задачах нелинейной электродинамики приходится иметь дело с комплексными системами дифференциальных уравнений первого порядка, содержащими только алгебраические нелинейности, т.е. степени искомых комплекснозначных функций и различные комбинации произведений этих функций. Такими системами уравнений описываются, в частности, некоторые режимы процессов рассеяния [1], резонансного пучково-плазменного взаимодействия [2, 3], а также нелинейного взаимодействия волн в плазме [4, 5]. Общим для данных систем является то, что если они содержат нелинейности максимум до третьего порядка включительно (поскольку именно кубические нелинейности определяют насыщение развивающихся в рассматриваемых режимах неустойчивостей), то эти системы допускают аналитическое решение. Отличие же

их заключается в том, что как количество нелинейных слагаемых, так и их структура в различных случаях оказываются различными (например, учет релятивизма пучка приводит к появлению дополнительных кубических нелинейностей), и поэтому применяемые для решения данных дифференциальных уравнений методы обладают определенной спецификой.

Выработке единого подхода к решению комплексных систем дифференциальных уравнений первого порядка наиболее общего вида, содержащих кубические нелинейности, определению критериев, при которых эти системы допускают аналитические решения, и посвящена настоящая статья. Авторы в течение продолжительного времени работают в области нелинейной электродинамики плазмы, и представленный материал является обобщением как уже известных методов, так и их собственного опыта работы.

Рассмотрим следующую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь кц - вещественные постоянные (как эти коэффициенты должны быть связаны друг с другом, чтобы система (1) допускала аналитическое решение, будет установлено в дальнейшем); f1 и /2 - неизвестные комплекснозначные функции. Заметим, что в правых частях уравнений (1) содержатся все нелинейности, возникающие при преобразовании системы уравнений Максвелла-Власова, являющейся исходной во многих задачах нелинейной электродинамики плазмы [6].

Введем действительные амплитуды и фазы неизвестных функций f1 и f2 [7]:

Домножим первое уравнение на a1, третье на в ■ a2, где в = const - некоторый коэффициент пропорциональности, и сложим. При этом, если выполняются условия

где а10 и а20 - начальные значения амплитуд ах и а2 (см. ниже формулу (7)).

Чтобы получить интеграл для разности фаз Ф домножим первое уравнение в (3)

(1)

f1 = ai exp (ft) , f2 = a2exp (Щ ) , Ф = ^2 -ft.

Подставляя (2) в (1) и разделяя действительные и мнимые части, имеем:

(2)

(3)

k12 в k21, k16 в( k25 k28), k14 k17 в k23, k18 в k27 ,

то мы получаем следующий интеграл для амплитуд:

a1 + ea2 = a10 + ea20 ,

(4)

(5)

йф1

йа1

йф2

йа-,

на а1 ——, второе на —1, третье на ва2—^~2, четвертое на в—2 и сложим друг с дру-йг йг йг йг

гом. При этом оказывается, что интеграл для Ф существует, если коэффициенты системы (1) помимо (4) удовлетворяют еще условиям

*14 2*17, *25 2*28 •

(6)

При выполнении (6), принимая для краткости последующих записей начальные условия

а11(=0 — а0, а2 |(=0= 0, ^11(=0 = 0, ^2|г=0= 0, (7)

имеем такой интеграл

а1

*11а1 + *13 2 + *15а2

+ва

\

*22 + *26 2 + *24а1

+

2а1а2 (*12 + вк-^а + *16а2 )ео8 Ф + *18а12а2 ео8 2Ф = а,

*11 + *

13

2

2

(8)

Получим теперь дифференциальное уравнение для амплитуды а1, для чего дом-ножим первое уравнение в (3) на а1:

1 =а1а2 (*12 + в*23а1 + *16а2 ^тФ+*18а12

2 йг

а,2 а2 8т2Ф,

(9)

и исключим из него с помощью интегралов (5) и (8) амплитуду а2 и разность фаз Ф .

Однако из структуры интеграла (8) и уравнения (9) видно, что это возможно сделать при наличии в правой части (9) только одного слагаемого. При этом получаемое из (9) уравнение будет содержать только алгебраические нелинейности (см. (13)), сохраняя тем самым возможность получения его аналитического решения. Чтобы удовлетворить этому, положим

*18 = 0. (10)

Возводя далее в квадрат (9), используя (5) и (8), с учетом (10), для величины х = а2 (х0 = а0) получаем уравнение

где обозначено

V йг

*

■ 4 х(х0 - х)(А1 + А2 х )2 - (аз + А4 х + А5 х2)

в

А1 = *12 + п х0, А2 = в*23 п , А3 = х(

в

в

* - * + — *11 *22 + 2

*

* - *6

*13 -

\\

в

у)

х 1

А4 = *22 - *11 + (*26 - *15 ), А5 = *24 - “

в

+ -

*

15

в ) в

(11)

(12)

После возведения в квадрат и группировки слагаемых с одинаковыми степенями х окончательно имеем следующее уравнение для х:

йх

— = д/в4х4 + В3х + В2 х2 + В^х + В) , йг

коэффициенты в котором определяются выражениями

2

и

B0 = - A32 , B1 = в x0 A12 - 2 A3 A4, B2 = в (2x0 A1A2 - A12 ) - (A4 + 2 A3 A5 I

B3 = в (x0 A22 - 2 A1A2 ) - 2 A4 A5 , B4 = - A52 + в A

в V в

Дальнейшее решение уравнения (13) проводится по стандартной схеме [7]. После разделения переменных в (13) имеем интеграл по х, значение которого определяется нулями многочлена, стоящего под радикалом

В4х + В3х + В2х + В1Х + Во = 0 . (15)

Для определения корней уравнения четвертой степени (15) зачастую используют приближенную процедуру, поскольку формулы, дающие точные значения этих корней (формулы Кардана), весьма громоздки и поэтому мало информативны. Расположим корни уравнения (15) в порядке их возрастания и зададим область изменения величины х следующим образом:

х1 < х2 < х3 < х < х4. (16)

При этом мы предполагаем, что х3 ~ х0, и х растет до максимального значения хШах = х4. Такой выбор области изменения х определяет в соответствие с интегралом (5), в котором 00 = х0, а20 = 0, знак параметра в: должно быть в < 0.

Итак, после разделения переменных в уравнении (13), с учетом (16), имеем:

] . (1х = '[ (1х = \ж = г. (17)

хУ В4х4 + В3х3 + В2х2 + В1х + В0 ^\ВА|(х4 - х)(х - х3 )(х - х2 )(х - х) 0

Интеграл в (17) может быть выражен через эллиптический интеграл 1-го рода [8]

Г йх 2 F(Я, г), (18)

ХзЛ]B4x4 + B3x3 + B2x2 + B1x + B0 д/|В4|(x4 - x2 )(x3 - x1)

где

Л i ^ sin Л 1

F (Л, r)= Г d(p = f dx (19)

0 д/l - r2 sin2 p 0 V(1 - x2 )(l - r2x2)

- нормальные тригонометрическая и лежандрова формы эллиптического интеграла 1-го рода,

X = arcsin Из (17) и (18) имеем

(x4 - Х2 )(x - Х3 ) r =

(x4 - Х3 )(Х - Х2 У V

(х4 - Х3 )(x2 - Х1 ) (20)

(х4 - Х2 )(Х3 - Х1 ) ’

F(X r) = ^|В4|(х4 - Х2 )(Х3 - Х1 ) ' t • (21)

> Г ) = -^|^4 |\Х4 - Х2 )(Х3 - Х1

Как видно из (20) искомая величина х содержится в аргументе эллиптического интеграла. Для ее выражения нужно использовать стандартную процедуру обращения эллиптического интеграла, что дает следующий результат:

х2 (х4 - х3 ) яп2у — (х4 - Х2 ) Х3 = Х2Х4 ЯП2у + Х2Х3 сп2у - Х4Х3

Х = і \ 2 і \ = 2 2 ’ (22) (х4 - х3 )яп у - (х4 - Х2 ) х2 - Х3 ЯП у - Х4 сп у

1В4 |(х4 - х2 )(х3 - х1) ' г-.

1(Х4 - Х2 )(Х3 - Х1 )' г , (23)

а $пу и сп у - эллиптические синус и косинус соответственно. Таким образом, форму-

I |2

ла (22) определяет квадрат модуля а = х как функцию переменной г. Квадрат модуля

I |2

второй функции а2 может быть найден с помощью интеграла (5).

Важной характеристикой является значение переменной г, которое обозначим через т , при котором функции а1 (г) и а2 (г) достигают своих максимумов. Следовательно

х\=т = хтах = х4. Как видно из (21) в данном случае Я = агс8т1 = п/ 2, и из (21) имеем

Т 71^41(Х4 - Х2 )(хз - Х1 ) К(Г) , (24)

где К (г ) = Г (П 2, г) - полный эллиптический интеграл 1-го рода [8].

Рассмотрим еще случай решения системы уравнений (1) в так называемом адиабатическом приближении, когда начальные значения функций а1 и а2 принимаются равными нулю при г ^ -<^. Это приближение часто используется при описании нелинейной динамики различных неустойчивостей, поскольку оно позволяет достаточно просто, в сравнении с только что описанной процедурой, получить выражения для максимальных значений функций а1 и а2. Данное упрощение обусловлено тем, что при х0 = 0, как это видно из (12) и (14), В0 = В1 = 0, и один кратный корень уравнения (16)

равен нулю. Тогда вместо (18) получаем соотношение, интеграл в котором легко может быть выражен через элементарные функции

г йх 1 . 2В2 + В3х + 2^1 В2 (в4х + В3х + В2)

^/п п =-^1П

0 х д/ В4 х + В3 х + В2 л] В2 В2х

г

= |йг . (25)

Условием применимости формулы (25) является требование В2 > 0, что имеет место при в < 0. Считая, что «бесконечности» в нижних подстановках левой и правой частей (25) компенсируют друг друга, получаем следующее выражение для х :

х = 4В22 = 4В22ехр(-л/В2г)

В2 ехр(-л/В7г)+ (В32 - 4В2В4 )ехр^л/В7г)- 2В2В3 (в2 ехр(- у[Вг)- в3}- 4В2В4 ’

Данное решение также можно записать в более симметричном виде через гиперболические функции. Для этого нужно определить значение параметра гтах, при котором х достигает максимума, и сделать соответствующую замену переменной. В результате вместо (26) будем иметь

2В2

х = I 2 2 / 1—л—, (27)

Л/ В3 - 4В2В4 ' С^ЧВ2 г )-В3

где

г = г - гтах, гтах = ~1п I 2 • (28)

л/В2 л/В32 -4В2В4

х

0

В приложениях часто встречается случай, когда коэффициент В3 = 0. Для получения решения в этом случае удобней исходить не из формулы (25), а воспользоваться формулой

Описанная в данной статье процедура аналитического решения системы двух нелинейных уравнений оказывается довольно громоздкой. В случае системы трех уравнений эта процедура еще более усложняется, но основные ее этапы остаются прежними.

В качестве конкретного примера применения изложенного метода рассмотрим решение системы двух уравнений, подробный вывод которой приведен в работе [2]. В этой работе аналитическими и численными методами была исследована нелинейная динамика резонансного взаимодействия плотного электронного пучка с плазмой. При этом использовалась следующая модель пучково-плазменной системы: цилиндрический металлический волновод с произвольным односвязным поперечным сечением, в котором находятся бесконечно тонкие в поперечном сечении («игольчатые») нерелятивистский электронный пучок и плазма, помещен в продольное сильное внешнее магнитное поле, препятствующее поперечным движениям электронов пучка и плазмы (движение тяжелых ионов вообще не учитывается). И пучок и плазма являются холодными. Как показано в [2], в случае слабой связи пучковой и плазменной подсистем, неустойчивость развивается в режиме коллективного вынужденного эффекта Черенкова, а стабилизирующим ее фактором является нелинейный сдвиг частоты, обусловленный как торможением электронного пучка в среднем, так и генерацией высших гармоник плотности. Определяющую роль при этом играют нелинейности низших порядков и прежде всего кубическая нелинейность [2]. Именно в этом случае исходная система уравнений Максвелла-Власова сводится к следующей системе двух уравнений:

волны Яп = Ь/п (Ь - характерный продольный размер (период) начального возмущения в рассматриваемой системе). Они не сводятся просто к соответствующим плазменным частотам, а зависят и от поперечной геометрии. Коэффициент q1 описывает степень взаимодействия собственных колебаний пучка и плазмы на длине волны Я1. Заметим, что gan и q1 существенно определяют свойства рассматриваемой системы. Из (31)

(29)

Выражая из (30) х, получаем

(30)

где Ьа1 (а = р, Ь) - безразмерные комплексные амплитуды взаимодействующих пер-

вых гармоник плазменной и пучковой волн; т - безразмерное время; й2 - величины, пропорциональные погонным плотностям электронов пучка и плазмы; величины (а = р, Ь) являются частотами собственных колебаний в пучке и в плазме на длине

видно, что в данной системе учитывается нерезонансное возбуждение вторых гармоник возмущения плотности заряда в плазме и пучке (величины gp2 и gb2, соответственно).

В [2] было получено решение системы (31) только для случая адиабатического включения поля в бесконечно прошлом, когда |ЬЬ1р1| ——— > 0 (т.е. использована процедура, приводящая к формуле (30)). Это решение имеет вид

ЧЧР

Ь =

1 и| 0,^ + арЧ

ара?2

gb1^g р1 gb1

ы =

4ql^

аа2+ара2

ара,

ек _1

(»рЩ

1

^2

( gp1gb1 )

Ь1

ек

-1

ql-

арЧ

( gp1gb1 )

(32)

где введены обозначения

ар =1 -

3 gp2 <^р1

2 gp2 - 4gp1

3 gb2 gb1

2 gЬ2 - 4gb1

(33)

Формулы (32) (при т = 0) дают выражения только для максимальных амплитуд взаимодействующих первых гармоник пучковой и плазменной волн, достигаемые в рассматриваемом процессе - коэффициенты при гиперболических косинусах. Для определения же времени развития неустойчивости необходимо решать систему уравнений (31) с ненулевыми начальными условиями, используя процедуру, приводящую к формулам (22) - (24). После проведения соответствующих преобразований решение системы уравнений (31) записывается следующим образом:

2хг

Ы2 =-

/ —2 V2

——а —

1+^—2 ар V р )

/

/

2

\

с

Х0 + * I хг0 + — 2

2

V

-\

1 ч —

‘+0

V р

еп (у, г) + х0,ш2 (у, г)

Іgpl

2х

1 ч —

1+^2 ар Ч р

V р J

/ —2 V2

а0 —

1+-—г ар Ч ,

V р у

2

—2 1+Ч а / + Ч ар

V р у

х0 + ,1 х02 +—2

—2 1+Ч а / + Ч ар

V р

х

еп1 (у, г) + х0 sn2 (у, г)

(34)

Здесь х0 = а0 (а0 - начальное условие для системы (31) - считаем, что в начальный момент времени электронный пучок был замодулирован по плотности на первой гармонике в невозмущенной плазме, при этом начальная модуляция пучка пропорциональна а0 << 1); аргумент и модуль эллиптических функций определяются формулами

(ОрЩ

к

р1 g21 }4

гг ;

1 х0

г = 1--------

2

\2

\

л Ч —

1 + а р

со р

ч р у

г-2

2 , —2

х0 + х

2

\

-2

і Ч —

1 + а р

со р

ч р у

(35)

г

г

2

а через -x 2 обозначено выражение

(—b “p + “b —p ) gbl^/gb1g pl

(36)

Время развития неустойчивости (время насыщения роста амплитуд (34)) дается

выражением

2(gpl gbl)4 ql —p —b

ln

4

x

2

\

1 -b ~

1 + ^-ьг “ p

V —p p у

2,-2 Хо + x

2

\

— 2

1 -b ~

1 + -—r “ p

V —p p у

(37)

которое определяет зависимость времени стабилизации неустойчивости как от параметров задачи, так и от начальных условий.

Поскольку целью настоящей работы является математический формализм решения систем нелинейных уравнений, возникающих в различных задачах электродинамики плазмы, подробно обсуждать физику процесса пучково-плазменного взаимодействия, описываемого в приведенном выше примере, мы не будем (такое обсуждение имеется в [2]). Отметим лишь, что получение возможно более полной информации о динамике развития этого процесса, выражаемой именно аналитическими формулами, и является стимулом для проведения весьма громоздких преобразований, приводящих к формулам (34) - (37). Различные примеры использования изложенного в данной статье общего подхода к решению систем как двух, так и трех комплексных уравнений в конкретных задачах физики плазмы можно найти в [1-6].

2

2

Примечания:

1. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В., Панин В.А. Релятивистская теория рассеяния линейно поляризованных электромагнитных волн на незамагниченном пучке электронов // ЖЭТФ. 1993. Т. 104, № 1 (7). С. 2339-2365.

2. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Нелинейная теория резонансного пучковоплазменного взаимодействия. Нерелятивистский случай // ЖЭТФ. 2000. Т. 118, вып. 1 (7). С. 105-118.

3. . ., . .

явления при электромагнитных взаимодействиях электронных пучков с плазмой. М.: Физматлит, 2009. 456 с.

4. . ., . ., . .

К теории резонансного четырехволнового

//

. . 3. . -

мия, 1988. Т. 29, № 4. С. 48-52.

5. . ., . . . .

Распадные и взрывные неустойчивости нерелятивистской пучковой плазмы в при// -

вестия вузов. Сер. Радиофизика, 1988. Т.

References:

1. Bobylev Yu.V., Kuzelev M.V., Panin V.A. The relativistic theory of dispersion of linearly polarized electromagnetic waves on the nonmagnetized bunch of electrons // ZhETF. 1993. Vol. 104, No. 1 (7). P. 2339-2365.

2. Bobylev Yu.V., Kuzelev M.V., Rukhadze A.A. Nonlinear theory of resonant beam and plasma interaction. The nonrelativistic case // ZhETF. 2000. Vol. 118, Iss. 1 (7). P. 105-118.

3. Bobylev Yu.V., Kuzelev M.V. The nonlinear phenomena during electromagnetic interactions between electronic bunches and plasma. M.: Fizmatlit, 2009. 456 pp.

4. Bobylev Yu.V., Kuzelev M.V., Panin V.A. On the theory of resonant four-wave interaction of waves in the beam plasma // The Bulletin of the Moscow State University. Series 3. Physics. Astronomy, 1988. Vol. 29, No. 4. P. 48-52.

5. Bobylev Yu.V., Kuzelev M.V., Panin V.A. Decay and explosive instabilities of the nonre-lativistic beam plasma in approach of cubic nonlinearity // News of higher schools. Series Radiophysics, 1988. Vol. 31, No. 10. P. 1193-

31, № 10. С. 1193-1200.

6. Метод разложения по траекториям в нелинейной электродинамике неравновесной плазмы / М.В. Кузелев [и др.] // ЖЭТФ. 1986. Т. 91, № 6 (11). С. 1620-1632.

7. Вильхельмсон X., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. М.: Энергоиздат, 1981. 223 с.

8. . ., . .

интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.

1200.

6. Trajectory expansion method in nonlinear electrodynamics of nonequilibrium plasma / M.V. Kuzelev [etc.] // ZhETF. 1986. Vol. 91, No. 6 (11). P. 1620-1632.

7. Wilhelmsson H., Weiland J. Coherent nonlinear interaction of waves in plasma. M.: Ener-goizdat, 1981. 223 pp.

8. Ryzhik I.M., Gradstein I.S. Tables of integrals, sums, series and products. M.: Fizmat-giz, 1962. 1100 pp.