К моделированию падения испаряющейся капли диспергированного огнетушащего вещества Текст научной статьи по специальности «Физика»

Д-р физ.-мат. наук, профессор Академии гражданской защиты Украины

В. П. Ольшанский

Аспирант Национального технического университета "Харьковский политехнический институт"

С. В. Ольшанский

УДК 614.84:664

К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПАДЕНИЯ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ КАПЛИ ДИСПЕРГИРОВАННОГО ОГНЕТУШАЩЕГО ВЕЩЕСТВА

Построена нелинейная модель, описывающая падение испаряющейся капли жидкого огнетушащего вещества сучетом восходящего вертикального и бокового горизонтального потоков газа. Для квадратичной зависимости силы аэродинамического сопротивления движению от скорости обтекания капли газом приближенное решение задачи Коши выражено с помощью интегральной показательной функции. Расчет начального этапа движения сведен к применению замкнутого решения в элементарных функциях. Изложено применение теории к расчету граничного допустимого расстояния (высоты) между пламеподавителем и очагом горения при вертикальной подаче диспергированной огнетушащей жидкости.

Введение

Установлено, что подача жидких огнетушащих веществ (ЖОВ) в область горения в распыленном виде повышает эффективность использования их при тушении пожаров [1-3].

Для диспергирования ЖОВ и подачи их к месту горения созданы разнообразные технические устройства [4, 5]. Однако, как показала практика пожаротушения, в результате диспергирования ухудшаются баллистические характеристики распыленной струи. Кроме того, возрастает аэродинамическое сопротивление полету капель, а также усиливается их испарение в нагретой газовой среде, т. е. существенно уменьшается дальность эффективной подачи ЖОВ. В связи с этим становится актуальным исследование движения испаряющихся капель жидкости с целью установить зависимость допустимой дальности полета от размера капель, скорости истечения и других факторов. Такая информация позволит совершенствовать характеристики проектируемых установок пожаротушения, а также ускорить процесс испытаний создаваемых образцов.

Краткий обзор имеющихся публикаций

Наметилось два основных направления при моделировании распыленных струй. В первом, опираясь на опытные данные, упрощающие предположения и законы физики, определяют обобщенные характеристики движения струи [6-8]. Речь идет о групповом движении всех частиц струи и таких па-

раметрах, как секундный расход, угол раствора, средняя скорость и пр. Во втором направлении траектория распыленной струи рассматривается как совокупность траекторий движения отдельных частиц. Основное внимание фокусируется на изучении движения отдельной капли. К публикациям второго направления относятся [9-14] и др.

В случае вертикального падения частицы постоянной массы существенной характеристикой ее движения является скорость витания [15], которую обычно вычисляют по формуле Н. Е. Жуковского. Однако при наличии испарения нет установившегося процесса падения и соответствующей ему скорости витания. Приходится рассматривать неустановившееся движение материальной точки переменной массы, решая задачу Коши для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Такой подход к описанию падения испаряющейся капли находим в работах [10, 12, 13]. В монографии [10] показано, что учет силы гравитации не вносит существенных изменений в результаты расчета и ею можно пренебречь. Вследствие большой начальной скорости истечения капли из пламеподавителя и существенной нестационарности движения превалируют силы инерции и аэродинамического сопротивления. В монографии [10] приведены также результаты экспериментального измерения скорости падения капли в зависимости от пройденного ею пути и расчетные значения при квадратичной зависимости силы аэродинамического сопротивления от скорости полета частицы. В работах [12, 13], в отличие от [10], принимаются

другие выражения силы аэродинамического сопротивления. Однако в указанных публикациях, за исключением [13], не учитывается действие бокового потока газа, т. е. рассматривается одномерное движение. Ниже ставится задача создания более общей модели падения испаряющейся капли с учетом встречного восходящего и бокового потоков газа, которые порождаются перепадами температуры и давления в зоне горения. Учитывая высокоскоростное истечение капли из пламеподавителя, аналогично [10] принимаем квадратичную зависимость силы сопротивления движению от скорости обтекания капли газом, а также гипотезу испарения, согласно которой текущий радиус сферообразной капли является линейной функцией времени ее полета.

Постановка задачи и ее решение

При квадратичном сопротивлении движению падение испаряющейся капли описывается системой двух связанных нелинейных дифференциальных уравнений:

2' + -^- (2+ ¥з ^(2 + Уз )2 + (х- VI)2 = Го -уг

+ (х-У1^а+ Уз)2 + (х-У1)2 = о, (1)

Го -Уг

где 2 и х — вертикальная и горизонтальная проекции перемещения как функции времени г; 2 = 2 (г); х = х (г);

к — приведенный коэффициент аэродинамического сопротивления движению; Г0 — начальный радиус капли; у — скорость убывания (испарения) радиуса капли;

У1 — скорость горизонтального потока газа; У з — скорость восходящего вертикального потока газа;

& — ускорение свободного падения;

точка над символом означает производную по

времени.

Уравнения (1) нужно решать при начальных условиях:

2(0) = х(0) = х(0) = 0; ¿(0) = из,

(2)

где и з — начальная скорость истечения (падения) капли, направленная по оси О2. Как уже отмечалось выше, уравнения в системе (1) связаны и имеют нелинейный характер, к тому же в них входят переменные коэффициенты. Задачу Коши, представленную выражениями (1) и (2), приходится решать численно на компьютере.

Чтобы построить приближенное аналитическое решение, нужно упростить систему (1), о чем и пойдет речь ниже.

Исследования [10, 12, 1з] показали, что из-за малого веса капли и большой скорости истечения из сила гравитации слабо влияет на процесс падения, поэтому в уравнениях (1) допустимо принять & = 0. В результате этого упрощения из выражений (1) и (2) следует, что

х х- У1 (х- У1)2

2 2 + Уз (2 + Уз)2

= со^ =

У2

(из + Уз)2

Система (1) получает упрощенную формулу

•• . Р

Г0 -Уг

■( 2 + Уз)2 = 0;

Р

Г0 -Уг

(х - У1)(2 + Уз) = 0,

(з)

Р = к,11 + У12(и з + Уз)-2.

где р =

Решение уравнений (з) при начальных условиях (2) можно получить в аналитическом виде. Первыми интегралами уравнений (з) являются:

2 (г) =

из + Уз

1 - 11п [1 X

- Уз;

х (г) = У1 -

У1

1 - 11п [1 -У-

X

; х =

X

Р( и з + Уз)

(4)

Вычисляя вторые интегралы

I I.

2 (г) = | 2 (г) йг; х (г) = | х (г) йг,

учтем, что [14, 16]

и -ц х

йх

х + Ю

= ец [Ег (-ци - цю) - Е1 (-цю)],

где Е1 (-2) — интегральная показательная функция, протабулированная в [17, 18] и других справочниках по специальным функциям. В результате проекции перемещения капли описываются выражениями:

0 X

2 (г) = е

Р

Е11 -X - 1п

Г0 - Уг

- Ег(-X)

- Уз г;

х (г) =

У1

(5)

и з + Уз

[из г - 2(г)].

0

0

0

Для эффективного пожаротушения требуется [10, 11], чтобы в момент контакта с фронтом пламени текущий радиус капли г (г) был не менее половины исходного: г (г) > 0,5г0. Это налагает ограничения на допустимую дальность полета капли:

Н не должно превышать меньшее из расстояний

^ и 2 .

При отсутствии таблиц специальных функций

*

могут возникнуть затруднения в вычислении 2& и 2 . В связи с этим упростим решение.

х(г) < хя; г(г) < г.

(6)

где 28 = г0 е 1 щ (-X - 1п 2) - Е1 (-X)] -

Vз г,

3'0

Р

2у

V,

х8 =-

8 и 3 + V3

и 3П

3'0

- 2„

[_ 2у

Полное испарение капли наступает при гк = г0у-1. В этот момент времени концевая точка траектории имеет координаты:

V3г0

е"Е1(-1) -

Р V!

г (гк) = --0 е1Е1 (-1) -

3'0

У

х( гк) =

V,

и 3П

У0

У

- 2(гЪ)

Траектория движения оказывается ограниченной в бесконечном пространстве временем существования капли.

Расчет граничного удаления пламеподавителя от очага горения

Чтобы рассчитать максимальное расстояние Н от пламеподавителя до очага горения, нужно учитывать не только неравенство (6), но и эффект возможного отражения капли восходящим потоком газа. Если расстояние Н и скорость У3 достаточно велики, то в некоторый момент времени г = г0 проекция вертикальной скорости 2( г0) окажется равной нулю и в последующие моменты времени вместо падения вниз капля будет подниматься вверх, увлеченная потоком газа. Поэтому, по мнению авторов [8], для эффективного пожаротушения в момент контакта с фронтом пламени должно быть 2( г) > V3. Для выполнения этого требования нужно определить время г = г*, когда 2(г*) = V3. Обращаясь к выражениям (4), находим, что

-Чи! -1

г* = ^ - ехр у

2 I V3

Согласно (5) ему соответствует

2 * = е1

Р

(

Е1

-1 - 1п

г0 - Уг

- Ег( -1)

- V3 г .

Таким образом, при установке пламеподавителя высоту Нследует принимать такой, чтобы соблюдалось неравенство Н < 28 и Н < 2*. Иными словами,

Приближенное решение задачи в элементарных функциях

Введем аппроксимацию типа Паде:

1п I 1

уг

; а = 0,557; г е

г0 - а у г На этом промежутке времени

2(г) * (и3 + V3)(г0 - ауг) - Vз;

(г0 - а у г) + у Ьг

^ (г0 - ауг) _

. 2у_

X (г) * Vl -

(г0 - а у г) + у Ьг

2(г) * (и3 + Vз) X

Ьг

у(Ь - а)2

1п

1 + (Ь - а) ^ г

0 J

аг

-а

- Vз г; (7)

х 1п

х( г) * V1г - V1

1 + (Ь - а)

г0 J

Ьг0

у( Ь - а)

аг

-а

; Ь = 1/1.

Использование формул (7) существенно упрощает расчет высоты установки пламеподавителя над очагом горения. Чтобы определить Н, нужно найти параметр

^ = 1 - ехр

-М^ -1

2 I V

(8)

Далее, задав в (7)

у-1 при ^ < 0,5; 0,5г0у-1 при ^ > 0,5,

г=

(9)

следует вычислить 2 (г) и принять Н < 2 (г).

Определяющий фактор можно выделить и по

*

критической скорости восходящего потока V3 , имеющей значение

2 1п2

+ 1

V3 = и3

Если V3 > V-* , то Н < 2*. Если V3 < V3 , то

Н < .

Анализ численных результатов

Расчеты приведены при г0=2-10-4 м; и3 =100 м/с; к = 3,12-10-5; у = 4-10-4 м/с.

В табл. 1 указаны значения скорости падения капли 2(t), полученные при ¥1 = ¥3 = 0. Символом 2 э обозначены экспериментальные результаты, заимствованные из работы [10], 2р —расчетные значения.

Как видим из табл. 1, расхождения между значениями, вычисленными по формулам (4) и (7), не превышают 1 %, что подтверждает хорошую точность введенной аппроксимации типа Паде.

Наблюдается также удовлетворительное соответствие между вычисленными и экспериментально замеренными значениями скорости падения капли.

В табл. 2 приведены полученные тремя способами вертикальные перемещения капли как функции времени.

Численное интегрирование дает немного большие значения 2 ^), чем аналитические решения (5) и (7), поскольку в последних игнорируется действие силы гравитации. Расчеты показывают, что погрешность такого упрощения увеличивается с ростом параметра t, однако на промежутке 0 < t < 0,5г0 у-1 она составляет менее 2 %.

О влиянии восходящего и бокового газовых потоков на процесс падения капли позволяют судить данные табл. 3, в которой указаны значения 2 ^) и х ^), вычисленные при ¥1=4 м/с, ¥3 = 10 м/с и прежних остальных параметрах.

Расчеты показывают, что под действием восходящего встречного потока газа уменьшается вертикальная проекция перемещения 2 ^). Результаты численного интегрирования для х ^) с точностью до двух знаков после запятой совпадают с результатами расчетов по формулам (5) и (7), что свидетельствует о высокой точности аналитических решений. В рассматриваемом случае 2„ « 7,56 м, * *

t ~ 0,204 с, 2 « 7,05 м. Максимальное значение Н,

и *

определенное величиной 2 , не должно превышать 7,05 м. Для принятых исходных данных в момент t = 0,5г0у-1 = 0,25 с движение капли происходит

вниз. Однако если увеличить скорость восходящего потока, то в этот момент времени она может уже двигаться вверх. Подтверждением этому являются результаты вычисления 2 ^) и х ^), полученные при ¥1 = 5 м/с, ¥3 = 20 м/с и прежних остальных параметрах (табл. 4).

ТАБЛИЦА 2. Значения г ^) при ¥1 = ¥3 = 0

Значения 2 ^ ), м, полученные

t, с численным интегрированием системы (1) по уравнениям (5) по формулам (7)

0,02 1,74 1,74 1,74

0,05 3,68 3,67 3,67

0,10 5,93 5,90 5,89

0,15 7,51 7,45 7,43

0,20 8,69 8,60 8,57

0,25 9,62 9,49 9,46

ТАБЛИЦА 3. Значения 2 ^ )и х ^) в метрах при ¥1 = 4 м/с, ¥3 = 10 м/с

t, м/с Численное интегрирование системы (1) Уравнения (5) Формулы (7)

2 ^ ) х ^ ) 2 ^ ) х ^ ) 2 ^ ) х ^ )

0,02 1,69 0,01 1,69 0,01 1,69 0,01

0,05 3,45 0,06 3,44 0,06 3,44 0,06

0,10 5,29 0,17 5,27 0,17 5,25 0,17

0,15 6,42 0,31 6,36 0,31 6,34 0,31

0,20 7,12 0,47 7,04 0,47 7,01 0,47

0,25 7,56 0,64 7,44 0,64 7,40 0,64

ТАБЛИЦА 4. Значения 2 ^ )и х ^) в метрах при ¥1 = 5 м/с, ¥3 = 20 м/с

ТАБЛИЦА 1. Экспериментальные и расчетные значения скорости падения капли 2(t)

Показатель Значения показателя при t, с

0,03 0,07 0,14 0,20 0,25

2э, м/с 67 43 30 21 18

2р, м/с 67,5 46,0 28,1 20,1 15,6

67,4 45,8 27,9 20,0 15,6

Примечание. Над чертой даны значения, вычисленные по формулам (4), под чертой — по формулам (7).

t, м/с Численное интегрирование системы (1) Уравнения (5) Формулы (7)

2 ^ ) х ^ ) 2 ^ ) х ^ ) 2 ^ ) х ^ )

0,02 1,64 0,02 1,63 0,02 1,63 0,02

0,05 3,21 0,08 3,20 0,08 3,20 0,08

0,10 4,64 0,22 4,61 0,22 4,60 0,22

0,15 5,30 0,41 5,25 0,41 5,22 0,41

0,20 5,53 0,61 5,44 0,61 5,41 0,61

0,25 5,48 0,82 5,36 0,82 5,32 0,82

0,30 5,23 1,04 5,06 1,04 5,03 1,04

0,35 4,83 1,27 4,62 1,27 4,60 1,27

0,40 4,30 1,50 4,05 1,50 4,07 1,50

0,45 3,67 1,74 3,37 1,73 3,44 1,73

0,50 2,90 1,98 2,57 1,98 2,74 1,97

Здесь 2 (г) при г = 0,25 с меньше, чем при г = 0,2 с. В момент, когда произошло двукратное уменьшение радиуса капли, она уже двигалась вверх, отраженная встречным восходящим потоком газа. Траектория движения имеет экстремум и загнута в сторону положительного направления оси Ох. Такой характер деформирования траектории падения капли давала и линейная модель движения, предложенная в работе [13].

Выясним, какой должна быть высота Н при V1 = 5 м/с, V3 = 20 м/с. В этом случае согласно (8) и (9) л * 0,1925, г * 0,0963 с. Расчет по формуле (7) дает2 * 4,53 м. Таким образом, Н < 4,53 м. Увеличе-

ние скорости восходящего потока существенно уменьшило граничную высоту установки пламе-подавителя над очагом горения.

Выводы

Сопоставление результатов численного и приближенного аналитического решений задачи Коши показало, что для расчета граничной высоты установки пламеподавителя над очагом горения можно использовать простые аналитические решения. Они позволяют учесть влияние восходящего и бокового газовых потоков на точность подачи диспергированной огнетушащей жидкости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Цариченко С. Г. Состояние вопроса использования тонкораспыленной воды при тушении пожаров // Алгоритм безопасности. — 2003. — № 2.— С. 14-16.

2. Дауэнгауэр С. А. Пожаротушение тонкораспыленной водой: механизмы, особенности, перспективы // Пожаровзрывобезопасность. — 2004. — Т. 13, № 6. — С. 78-81.

3. Yao В., Chow W. К. A review of water mist fire suppression // J. Appl. Fire Sci. — 2001. — № 3. — P.277-294.

4. Цариченко С. Г. Некоторые вопросы пожаротушения тонкораспыленной водой // Средства спасения и противопожарная защита: Каталог. — М., 2004. — С. 203-204.

5. Цариченко С. Г., Былинкин В. А., Дымов С. М. и др. Переносные и передвижные устройства пожаротушения с высокоскоростной подачей огнетушащих веществ. Требования пожарной безопасности. Методы испытаний / ВНИИПО. — М., 2003. — 51 с.

6. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй. — М.: Наука, 1969. — 824 с.

7. Ходаков В. Ф. Гидравлика в пожарном деле / Высшая школа МООП РСФСР. — М., 1965. — 204 с.

8. Севриков В. В. Автономная автоматическая противопожарная защита промышленных сооружений. — Киев-Донецк: Вища школа, 1979. — 188 с.

9. Безродный И. Ф., Пучков С. И., Филиппов В. Д. Расчеты траектории испаряющейся капли в среде с пространственно-неоднородными свойствами // Проблемы пожарной безопасности зданий и сооружений / ВНИИПО МВД СССР. — М., 1990. — С. 184-185.

10. Севриков В. В., Карпенко В. А., Севриков И. В. Автоматические быстродействующие системы пожарной защиты. — Севастополь: Изд-во СевГТУ, 1996. — 262 с.

11. Абрамов Ю. А., Росоха В. Е., Шаповалова Е. А. Моделирование процессов в пожарных стволах. — Харьков: Фолио, 2001. — 195 с.

12. Линчевский Е. А., Ольшанский В. П. О падении испаряющейся капли огнетушащего вещества в восходящем тепловом потоке // Проблемы пожарной безопасности. — Харьков: Фолио, 2004. — Вып. 16. — С. 136-142.

13. Ольшанский В. П., Лавинский В. И., Ольшанский С. В. О динамике испаряющейся капли жидкого огнетушащего вещества, диспергированного установкой пожаротушения // Проблемы пожарной безопасности. — Харьков: Фолио, 2005. — Вып. 17. — С. 138-147.

14. Ольшанский В. П., Ольшанский С. В. К расчету предельной дальности подачи испаряющихся тонкораспыленных огнетушащих веществ установками импульсного пожаротушения // Пожаровзрывобезопасность. — 2005. — Т. 14, № 4. — С. 67-70.

15. Иванов Е. Н. Противопожарное водоснабжение. — М.: Стройиздат, 1986. — 316 с.

16. Градштейн И. М., Рыжик И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физ-матгиз, 1962. — 1100 с.

17. Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами). — М.: Наука, 1979. — 832 с.

18. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977. — 344 с.

Поступила в редакцию 14.12.05.