CC BY
79
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
УДК 536.423
А.Ю.Снегирёв, С.С.Сажин, В.А. Талалов, М.В.Савин
АПРОБАЦИЯ МОДЕЛИ ТЕПЛООБМЕНА И ИСПАРЕНИЯ КАПЕЛЬ ДИСПЕРГИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
Ключевым компонентом модели испарения диспергированной жидкости является испарение одиночной капли в газовом потоке. В свою очередь, численная модель испарения капли жидкости включает следующие составные части:
уравнения тепло- и массообмена поверхности капли и окружающего газа;
способ определения эффективных теплофи-зических свойств парогазовой смеси;
метод расчета теплопередачи (как кондук-тивной, так и радиационной) внутри капли и циркуляции жидкости в ней;
закон сопротивления испаряющейся капли при движении в окружающем газе.
Каждая из перечисленных составных частей модели испарения капли является приближенной и содержит источник возможной погрешности, которая проявляется в численных расчетах диаметра, температуры, скорости испарения и скорости движения испаряющихся капель. В связи с этим возникает необходимость всесторонней проверки модели испарения капли путем сопоставления результатов расчета с имеющимися экспериментальными данными. При этом модель должна быть апробирована для жидкостей с существенно разными теплофизическими свойствами и в широком диапазоне параметров.
При построении и апробации модели следует отметить особое значение теплопередачи внутри капли и циркуляции жидкости в ней. В прикладных расчетах, как правило, используются модели, игнорирующие неравномерность распределения температуры внутри капель; их называют моделями «бесконечной» теплопроводности (см., например [ 1]). Однако в последние годы разработаны более точные модели, в которых поле
температуры в капле определяется путем численного или аналитического решения уравнения теплопроводности [1—4]. В рамках таких моделей открывается возможность приближенно учесть циркуляцию жидкости в капле путем введения коэффициента эффективной теплопроводности. Вычислительные затраты на решение уравнения теплопроводности могут быть существенно сокращены при использовании приближенного подхода, в котором поле температуры внутри капли аппроксимируется параболическим профилем [5—7]. При этом, с одной стороны, учитывается возможная неравномерность поля температуры в капле, а с другой — не увеличиваются вычислительные затраты по сравнению с моделями «бесконечной» теплопроводности.
В данной работе рассматривается модель испарения одиночной капли, сформулированная в работе [8] с использованием параболического профиля температуры внутри капли и реализованная как составная часть вычислительного гидродинамического кода РкеЗО [9]. Цель данной части работы — провести сравнение результатов расчетов с данными измерений, продемонстрировать работоспособность модели для разных жидкостей в разных режимах их испарения. Адекватность модели проверяется путем сравнения с результатами расчетов по более точной модели (использующей решение уравнения теплопроводности в капле), а также с результатами измерений среднеобъемной температуры, диаметра и скорости осаждения испаряющихся капель. При этом используются экспериментальные данные для легко- и труднолетучей жидкостей (ацетон и вода соответственно). Рассмат-
риваемые режимы испарения капли предусматривают как снижение, так и рост ее температуры. Для апробации модели использованы литературные данные и собственные результаты измерений авторов.
Моделирование теплопередачи внутри капли
Модель теплообмена и испарения капли, использованная в данной работе, подробно описана в статье [8]. В рамках данной модели теплопередача внутри капли описывается сферически симметричным уравнением теплопроводности:
зт 1 з 2. зт
где с, =с, {Т),Р1=Р1 (Г) и \еВ = У (Г)р(Ре) -
теплоемкость, плотность и эффективный коэффициент теплопроводности жидкости с учетом ее циркуляции в капле; у (Т) — коэффициент теплопроводности жидкости; р(Ре) — множитель, учитывающий влияние циркуляции жидкости в капле; Ре = с,р, |и - и^ | й/у — число Пекле, построенное по диаметру капли й и разности скоростей капли и и окружающего газа ие •
Поле температуры в капле удовлетворяет следующим граничным условиям:
дТ
-у—
дг
= 0;
г=0
-У
дТ дг
. + <7,
х'ар
-=Л(г) 4лЛ2 (()
(2)
йТ ш
х'ар '
(3)
гдеЯШр 2(ДА^ -^[г-Т|г=д(г)))т, асреднеобъ-емная температура Т определяется равенством
Т = -
| Т(г)Акг2с!г.
где уС01П, — конвективный тепловой поток с учетом расходования тепла на нагрев образующегося пара; дшр = ДАга^т — расход тепла на испарение жидкости {Актр — теплота испарения при температуре поверхности капли, т — скорость убыли массы испаряющейся капли).
Метод расчета дсопу и т приводится в работе [8].
Интегрирование уравнения (1) по объему капли приводит к уравнению баланса тепла:
4ял (?) 0
Уравнение (3) является жестким из-за значительного различия времени релаксации температуры капли к равновесному значению и времени жизни капли. Экономичный метод численного решения, учитывающий эту особенность уравнения (3), также описан в работе [8].
В данной работе расчет нагрева (охлаждения) капли выполнен двумя способами. В первом из них используется численное решение уравнения (1) с помощью метода конечных объемов на равномерной сетке, движущейся с учетом изменения радиуса капли со временем. В результате определяется температура поверхности капли
ГЦг), от которой зависит скорость испарения
капли т. Такой подход позволяет получить решение уравнения (1) с наперед заданной точностью. Однако при моделировании газокапельных струй с большим количеством вычислительных частиц (105—106) численное решение уравнения переноса тепла внутри капли приводит к недопустимо большому объему вычислений. В связи с этим в данной работе используется еще один (приближенный и более экономичный) подход, в рамках которого распределение температуры внутри капли аппроксимируется параболическим профилем [5, 8]. При этом среднеобъемная температура капли Т определяется из численного решения уравнения (3), а температура поверхности вычисляется из приближенного равенства
Т\г__к (0 = т + (яс0т + яшр)1(1)'
полученного в работе [8].
Для демонстрации работоспособности приближенной модели на основе параболического профиля температуры в капле приведем сравнение с численным расчетом, включающим аналитическое [4] и численное (данная работа) решения уравнения теплопроводности, а также с результатами измерений, выполненных для капель чистого ацетона в работе [10]. В экспериментах [10] монодисперсные капли движутся вдоль одной и той же прямолинейной траектории на заданном расстоянии друг от друга. Поскольку капли движутся в следе, созданном их предшественниками, необходимо учесть сниже-
ние интенсивности тепло- и массообмена с окружающим воздухом. Как и в статьях [10, 4], в данной работе для этого использован эмпирический коэффициент и , на который умножаются числа Нуссельта и Шервуда, определяемые для изолированных капель, как описано в статье [8]. По данным работ [10, 4], зависимость указанного коэффициента от близости капель
друг к другу выражается равенством вида и (С), где С — отношение расстояния между каплями к их диаметру. Отметим, что в рассматриваемом диапазоне значений С коэффициент и существенно меньше единицы. В экспериментах [10] измерена зависимость скорости летящей капли от времени. Использование этой зависимости в расчетах позволяет исключить решение уравнений движения капли и благодаря этому дает возможность независимо оценивать адекватность модели нагрева и испарения капли. Условия эксперимента, приведенные в работе [10], использованные в расчетах, приводятся в таблице.
Сравнение результатов расчетов на основе численного решения уравнения (1) и при использовании параболического профиля температуры (рис. 1) показывает следующее. Существует начальный промежуток времени (порядка 1—2 мс), в течение которого параболический профиль температуры заметно отличается от точного решения уравнения (1), причем наибольшее рассогласование достигается в центре капли. Однако по истечении указанного промежутка параболический профиль с хорошей точностью воспроизводит точное решение. В работе [8] показано, что длительность данного промежутка
времени определяется временем релаксации поля температуры в капле X/. Отметим, что в рассматриваемом случае имеем
^=(Д}Чр//Ч<#)/15 = 1,4 мс,
где Яа = 0,0715 мм — начальный радиус капли.
На рис. 2 приведено сравнение результатов расчетов по модели [8] с некоторыми результатами измерений, выполненных в работе [10] для двух режимов испарения капель (движение подогретой капли в холодном воздухе и движение холодной капли в горячем воздухе). Несмотря на значительную ошибку параболического профиля в центре капли, искусственное сглаживание зависимости температуры поверхности капли от времени при малых значениях / (подробнее см. в [5, 8]) позволяет с хорошей точностью рассчитать указанную зависимость даже на начальной стадии нагрева капли (рис. 2, а).
Помимо вычислительной экономичности, обоснованность и целесообразность использования параболического профиля температуры в используемой приближенной модели обусловлены следующими факторами. Во-первых, длительность указанной стадии такова, что за это время испаряется пренебрежимо малая часть массы капли. Во-вторых, приближенное сглаживание зависимости температуры поверхности от времени Т5 (г), предложенное в работах [5] и использованное в приближенной модели [8], позволяет значительно уменьшить ошибку в расчете ()
Наконец, следует иметь в виду, что на начальной стадии модель, использующая решение уравнения
Условия эксперимента [10], использованные в расчетах
Параметр Движение капли в воздухе
холодном горячем
Начальный момент времени, мс 0,79 0
Начальный диаметр, мм 0,143 0,126
Начальная температура капли, °С 34,8 21,0
Изменение скорости капли, м/с (время / в мс) 12,81-0,316/ 9,85-0,261/
Температура окружающей среды, °С 21,5 Зависит от расстояния, пройденного каплей [11, рис. 3]
Отношение расстояния между каплями к диаметру 7,1 7,6
теплопроводности, но не учитывающая нестационарность поля скорости в капле, по-прежнему неполна: она не учитывает конечное время релаксации поля скорости и связанную с ним зависимость эффективной теплопроводности (коэффициент р) от времени.
Еще раз подчеркнем, что результат расчета по приближенной модели [8] на основе параболического профиля температуры в капле с хорошей точностью воспроизводит результат расчета по более точной модели, где поле температуры в капле определяется с использованием аналитического или численного решения уравнения теплопроводности. Кроме того, как следует из рис. 2, имеет место удовлетворительное согласие результатов расчета с измеренной температурой капли (предполагается, что измеренные в работе [10] значения соответствуют среднеобъемной температуре капли). Данный вывод оказывается справедливым как для случая подогретой капли, движущейся в холодном воздухе (рис. 2, а), так и для холодной капли, движущейся в горячем воздухе (рис. 2, б). С учетом изложенного далее в расчетах используется параболический профиль температуры в капле.
Сравнение результатов расчетов с данными измерений
Дальнейшее сопоставление результатов расчетов по модели [8] выполнено для изолированных капель ацетона и воды. В частности, на рис. 3 использованы выполненные в работе [12] измерения диаметра неподвижной капли, нахо-
Т, К
310
300
290
280
270,
1
-
-
-
-
-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Г/К
Рис. 1. Расчетные профили температуры в капле ацетона для условий эксперимента 110) (см. таблицу, движение в холодном воздухе). Время, мс:0,17 (/); 1,8 (2); 4,3 (3); 15,3'(4). Сплошная линия — точное решение уравнения (1), пунктир — параболический профиль
дящейся в потоке воздуха, нагретого до 78—81 °С. Видно, что имеет место хорошее согласие расчетной и экспериментальной зависимостей £/(г)Д/0 для воды (рис. 3,а). Для ацетона расчет предсказывает более высокую скорость испарения, чем эксперимент (отметим, что аналогичный вывод следует из результатов расчетов, приведенных в работе [12]).
На рис. 4 представлены результаты измерений и расчетов для неподвижных капель воды с разным начальным диаметром. Важно отметить, что даже для достаточно мелких капель, где можно ожидать увеличения роли неравновесных и кинетических эффектов в динамике испарения (в данной модели эти эффекты не учитыва-
Рис. 2. Сравнение экспериментальных (символы) и расчетных (линии) зависимостей температуры капли ацетона от времени в условиях эксперимента 110) (см. таблицу):
а — движение подогретой капли в холодном воздухе; б— движение холодной капли в горячем воздухе (показана среднеобъемная температура капли). Расчеты выполнены по модели [8] (сплошные линии) и модели [4] (пунктир)
Рис. 4. Сравнение расчетных (линии) и измеренных (символы) диаметров капель воды:
а — испарение крупных капель (измерения |25|, с!0 = 1,05 мм); б — испарение мелких капель (измерения |15|, 1— с!0 = 0,0566 мм, 2— с!0 = 0,044 мм)
Рис. 3. Сравнение результатов расчетов (линии) испарения капель с экспериментальными данными (символы) из работы |12| (температура воздуха 351 К, скорость 5,1 м/с): а — испарение капли воды, d0 = 2,90 мм, Т0 = 20 °С; б — испарение капли ацетона, d0 = 2,29 мм, Т0 = 0 °С
ются), используемая модель позволяет получить достоверные зависимости диаметра капель от времени. Это хорошо видно на рис. 4, б, где показана динамика испарения капель с начальными диаметрами 0,0439 и 0,0566 мм. Отметим, что экспериментальные данные, приведенные на рис. 4, б, получены для изолированных неподвижных капель, подвешенных в электрическом поле в атмосфере сухого азота при атмосферном давлении [15].
В недавно опубликованной работе [13] приведены результаты измерений диаметра и температуры поверхности испаряющихся капель воды, выполненных при двух скоростях набегающего потока воздуха (0,8 и 2 м/с, что соответствует значениям числа Рейнольдса 60 и 150 для начального диаметра капель) и при разных
значениях влажности окружающего воздуха (0 и 30 %).
Рис. 5, а, ¿¡показывает, что результаты расчета по рассматриваемой модели удовлетворительно согласуются с измеренными зависимостями диаметра капель от времени. Экспериментально установлено, что при выбранном соотношении начальной температуры капли и температуры окружающего воздуха увеличение влажности окружающего воздуха от 0 до 30 % приводит к смене направления изменения температуры капли в ходе ее испарения. Именно, при влажности 0 % наблюдалось снижение температуры капли, а при влажности 30 % — увеличение, что связано с соответствующим изменением равновесной температуры капли (температуры мокрого термометра). Как показано на рис. 5, б, в, численные
Рис. 5. Расчетные (линии) и измеренные (символы) зависимости относительного диаметра (а, б) и температуры поверхности (в, г) капли воды от времени (с/0 = 1,2 мм, Т0 = 30 °С, начальная температура капли 15 °С)
Влажность воздуха: 0 % (сплошные линии, незакрашенные символы); 30 % (пунктир, закрашенные символы). Скорость потока воздуха: 0,8 м/с (а, в): 2,0 м/с (б, г)
расчеты по рассматриваемой модели правильно воспроизводят это наблюдение, хотя и при несколько меньшей разнице значений равновесных температур, соответствующих разным значениям влажности воздуха.
Для того, чтобы исследовать влияние скорости набегающего потока газа и начального диаметра капель на скорость их испарения, в данной работе выполнены специальные измерения. Для одиночной капли, закрепленной на тонкой стеклянной нити на оси круглой трубы (диаметр 18 мм), продуваемой потоком осушенного воздуха, при комнатной температуре измерялась зависимость диаметра капли от времени. Значения диаметра капли определялись по видеозаписи, сделанной через окуляр микроскопа. Запись выполняли до тех пор, пока капля не теряла сферическую форму. Результаты измерений и расчетов по модели [8] приведены на рис. 6.
Влияние скорости набегающего потока при заданном начальном диаметре капли показано на рис. 6, а для воды и рис. 6, в для ацетона. Динамика испарения капель разного диаметра при заданной скорости набегающего потока представлена на рис. 6, б и гдля воды и ацетона соответственно. Сравнение расчетных и экспериментальных данных указывает на их удовлетворительное согласие как для воды, так и для ацетона. Возможной причиной наблюдающегося рассогласования является неточное определение скорости воздуха в месте расположения капли (в расчетах использовано среднерасходное значение скорости в трубе) и влияние нити на теплообмен.
Приведенные выше расчеты выполнены для заданной скорости газа относительно испаряющейся капли. В этом случае уравнение движения капли не решается, а точность определения
о)
й?, мм
б)
с1, мм
0 200 400 600 800 1000 1200
г,С
1
2
Рис. 6. Сравнение расчетных (линии) и измеренных (символы) диаметров испаряющихся капель воды (а, б) (Т0 = 21 °С, Та1-Г= 23 °С) и ацетона (в, г) (Т0= Таи. = 20 °С): а - с!0 = 1,5 мм (К0, м/с: 1 - 0,20; 2 - 0,58); б - У0 = 0,48 м/с (с!0, мм: 1 - 1,64; 2 - 1,97); в - с10= 1,55 мм (К0, м/с: 1 - 0,04; 2 - 0,76); г - У0 = 0,04 м/с (с10, мм: 1 - 1,35; 2 - 1,74)
силы сопротивления и прогноз скорости не оказывает влияния на расчетную скорость испарения. Следовательно, адекватность закона сопротивления испаряющейся капли требует дополнительной проверки. Такая проверка выполнена путем сравнения расчетной скорости движения испаряющейся капли при свободном падении в воздухе с данными измерений скорости осаждения, приведенными в работе [16]. В рассматриваемой модели [8] коэффициент сопротивления определяется по формуле
Сд = тах((24Де)(1 + Ле2/3/б); 0,424),
где Яе = р^ |и - и^ | _ число Рейнольдса для капли, вычисленное через ее диаметр и разность между скоростями частицы и потока (, м^ — плотность и вязкость газа).
Скорость капли изменяется от своего начального значения У0 до значения установившейся скорости
-р/р/)'
где хш1о — характерное время релаксации ско-
Р°сти;туе/0=(4^/3)(Р//РСд|и-и8|).
Сравнение расчетных и экспериментальных данных приведено на рис. 7, где показана скорость осаждения капель с разными начальными диаметрами в поле силы тяжести. В рассматриваемом случае начальные значения времени динамической релаксации составляют 0,29 и 0,22 с для капель с начальными диаметрами 0,769 и 0,557 мм (соответствующие начальные значения числа Рейнольдса равны 150 и 75). Таким образом, характерное время динамической релаксации намного меньше времени жизни капли (166 и 100 с соответственно). Это значит, что по истечении очень малого начального промежутка значения скорости рассматриваемых капель становятся равными установившимся значениям. Рис. 7 показывает, что расчет по модели [8]
удовлетворительно воспроизводит данные измерений [16], что указывает на приемлемую точность используемого закона сопротивления сферических капель.
Итак, в данной работе модель испарения капли [8] применена для расчета динамики испарения капель чистого ацетона и воды в условиях экспериментов, в которых были измерены зависимости от времени температуры, диаметра или скорости осаждения капли. Для рассматриваемых экспериментальных данных характерно использование двух жидкостей с существенно разной скоростью испарения (ацетон и вода) при разном соотношении начальной температуры капли и равновесной температуры, которая, в свою очередь, определяется температурой и влажностью окружающей среды, а также скоростью набегающего потока.
В работе выполнено сравнение результатов расчетов, выполненных с помощью приближенной модели теплопередачи внутри капли на основе параболического профиля температуры и при использовании численного решения уравнения теплопроводности в капле. Оказалось, что отличие исчезает по истечении начального временного интервала, длительность которого имеет порядок времени релаксации поля температуры в капле х,. Данный интервал составляет лишь малую часть времени релаксации среднеобъем-ной температуры капли к своему равновесному значению (температуре мокрого термометра), а указанное время релаксации, в свою очередь, намного меньше времени жизни испаряющейся капли. Это подтверждает обоснованность использования параболического профиля в качестве приближенного решения уравнения теплопроводности при расчете испарения капли.
Сравнение результатов расчетов с результатами измерений позволяет сделать следующие выводы. Имеет место удовлетворительное согласие расчетных и измеренных данных (среднеобъ-
V, м/с з.о
2.0
1,0
О 50 100 150
t, с
Рис. 7. Изменение скорости испаряющейся капли при свободном падении: 1 - i/o = 0,769 мм (К0 = 3,5 с, Т0 = Tair = 23 аС, Pair = 99940 Па), 2- d0 = 0,557 мм (К0 = 2,3 с, То = Tair = 24,3 аС, Pair = 99330 Па)
Линии — расчет, точки — измерения [16]
емная температура, диаметр, скорость осаждения капли) в рассмотренных режимах испарения. Модель испарения капли, сформулированная в [8], удовлетворительно воспроизводит динамику испарения капель как легколетучей (ацетон), так и труднолетучей (вода) жидкости, причем для воды согласие расчетных и измеренных данных получено как для крупнодисперсных (1—3 мм), так и мелкодисперсных (0,04—0,06 мм) капель.
С учетом сделанных выводов модель испарения капли [8] может быть рекомендована для использования в качестве модуля в модели Fire3D [9], разрабатываемой для численного прогнозирования динамики пожаротушения тонкораспыленными огнетушащими жидкостями.
Данная работа выполнена в рамках проекта «Универсальная модель газокапельной струи для инженерных приложений» при поддержке РФФИ (грант 10-08-92602-К0_а), Royal Society (Великобритания, грант JP090548) и ООО «Гефест» (Санкт-Петербург). Эксперименты по испарению капель ацетона и воды выполнены при участии К.А, Куфтырёва.
Приложение
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ
Зависимость теплофизических свойств жидкостей (ацетон, вода) от температуры определяли по опубликованным данным [17—23| и аппроксимировали полиномами:
= ДжДкг-К);
г
Р/*(Г) = ХР£Г,Кг/М3;
г
i!iq
(Г) = Х<Г, н/м;
= Вт/(м-К),
г
) = > Вт/(м-К),
где температура Т выражена в К.
Численные значения полиномиальных коэффициентов приведены в табл. П.1 для ацетона и П.2 для воды.
Зависимость теплофизических свойств пара от температуры определяли по опубликованным данным [17—231 и аппроксимировали полиномами:
ср„{т) = ^]тр(т-тй] , ДжДкг-К);
г
где температура Г выражена в К и Г = 298,15 К. Численные значения полиномиальных коэффициентов приведены в табл. П.З для ацетона и П.4 для воды.
Коэффициент диффузии пара в воздухе вычисляли по формуле [221:
Тар (Г) = 1,8583-10"7х
У-.1Т
м м ■
Ра
vap-airXT
М2/С,
где Ma¡r = 28,85 г/моль; Mv = 58,08 г/моль для ацетона и 18,015 г/моль для воды; Р = 1 атм;
Gvap-air ={Gvap выражен о в Á; Т выражена
в К. Интеграл столкновений для потенциала Лен-нарда — Джонса вычисляли по интерполяционной формуле [221:
Таблица П.1
Численные значения полиномиальных коэффициентов (жидкий ацетон)
i C(i) P,liq о® Pliq n(i) liq м (i) riiq y(i) liq
0 2,221869Е + 03 1,128519Е + 03 6,064579Е - 02 1,165992Е — 03 2,720543E — 01
1 -1,540310Е + 00 —1Д53500Е + 00 — 1,260000Е — 04 —2,831074Е — 06 —3,755591E — 04
2 — 1,548394Е — 03 0 0 0 0
3 2,0747544Е - 05 0 0 0 0
Таблица П.2
Численные значения полиномиальных коэффициентов (вода)
i r(i) D(i) Pliq a® liq (i) V-liq y(i) liq
0 1,056524E + 04 2,483620E + 02 1Д61726Е—01 4,808200E—01 —4,613208E—01
1 —5,549487E + 01 6,632476E—00 — 1,476881E—04 -5,581131E-03 5,729264E—03
2 1,588475E—01 — 1,839273E—02 0 2,440365E—05 —7Д59082Е—06
3 — 1,493784E—04 1,532476E—05 0 —4,754580E—08 0
4 0 0 0 3,478704E—11 0
Таблица П.З
Численные значения полиномиальных коэффициентов (газообразный ацетон)
i p(i) P,vap (i) V'vap vhp
0 1,351604E + 03 2,267423E — 06 —1,012E — 02
1 2,682825E + 00 1,487149E — 08 5,290E — 05
2 —9,218182E — 04 1,206107E — 11 5,780E — 08
Таблица П.4
Численные значения полиномиальных коэффициентов (водяной пар)
i c{i) P,vap (i) M'vop vap
0 1,864424Е + 03 —1,724378Е — 06 —5,302160Е — 04
1 2,694378Е — 01 3,442102Е — 08 4,132031Е — 05
2 1,087549Е — 03 7,832654Е — 12 7,205514Е — 08
3 — 1,454627Е — 06 —3,806505Е — 15 — 1,595361Е — 11
4 1,206020Е — 09 0 0
5 —6,597280Е — 13 0 0
6 1,997766Е — 16 0 0
7 —2,464166Е — 20 0 0
А 3 ( Г)Л
гжА= 1,0636: В= 0,1561, С, =0,193; Ц =0,47635; С2 = 1,03587; = 1,52996; С3 = 1,76474; =
— 3,89411, 7» = Т 1{гтр_а1гI£уар-тг ~у]ГуарГа1г ■
Для воздуха использовали данные [22]: еа1г/кв = = 97 К; стш> = 3,617 А; для газообразного ацетона — данные [23]: ем,/*в = 560,2 К; 4,600 А; для
водяного пара — данные [23]: =809,1 К; <зуар =
А
Вычисленную зависимость Ттр (Т) аппроксимировали степенной функцией вида:
^^о^} " ,
где для диффузии газообразного ацетона в воздухе получено = 0,0915Т0^4 м2/с, пт = 1,745;
а для диффузии водяного пара в воздухе — Ттр 0 = = 0,1922-Ю^4 м2/с; пт = 1,767.
Давление насыщенного пара вычисляли по формуле Антуана:
где для ацетона принимали А = 4,24448; В = 1312,253; С = —32,445, а для воды использовали данные табл. П.5 [19|.
Теплоту испарения вычисляли по формуле Щар (Т) = A<f +с{Тш -Т), Дж/кг,
где для ацетона принимали Ah^'J = 0,501 ТО6 Дж/кг; Тш = 329,3 К; с = 991,638 ДжДкг-К) [19|, а для воды - Ah^' = 2,26-106 Дж/кг; Тьм = 373,15 К; с = = 2500 ДжДкг-К).
Аппроксимация свойств жидкой фазы выполнена в диапазоне температур от температуры плавления до температуры кипения при давлении 1 атм. Аппроксимация свойств жидкой фазы выполнена в диапазоне температур от 200 до 2000 К.
Вязкость и теплопроводность смеси пара и воздуха определяли по формулам [24j :
-^-т-;
ij*jl + Wxjlxi
Таблица П.5 Значения констант в формуле Антуана для воды [19]
г,к А В С
273-303 5,40221 1838,675 -31,737
304-333 5,20389 1733,926 -39,485
334-363 5,07680 1659,793 -45,854
344-373 5,08354 1663,125 -45,622
V1 у i
y= 2 i +1 065—х Jx ' щенных соотношений ц = и У = а
' ^У JI 1 í í
(l + ^jylMj/Mi
для смеси газообразного ацетона и воздуха — ра-
где ф- = 1 ' венств ц = и y = l/X^iAi • В указанных
" Ml + MJM,) lili
* v ' • / случаях отклонение от более точных формул, при-Отметим, что для смеси водяного пара и воз- веденных выше, не превышало нескольких продуха оказалось допустимым использование упро- центов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abramzon, В. Droplet vaporization model for spray combustion calculations [Текст] / В. Abramzon, W.A. Sirignano // International Journal of Heat and Mass Transfer.- 1989,- Vol. 32,- No 9,- P. 1605— 1618.
2. Sazhin, S.S. Advanced models of fuel droplet heating and evaporation [Текст] / S.S. Sazhin // Progress in Energy and Combustion Science.— 2006,— Vol. 32,- No2.— P. 162-214.
3. Miliauskas, G. Interaction of transfer processes during unsteady evaporation of water droplets [Текст] / G. Miliauskas, V. Sabanas // International Journal of Heat and Mass Transfer.- 2006,- Vol. 49,- No. 1112,- P. 1790-1803.
4. Sazhin, S.S. A simplified model for bi-com-ponent droplet heating and evaporation. Original Research Article [Текст] / S.S. Sazhin, A. Elwardany, PA. Krutitskii |et al.| // International Journal of Heat and Mass Transfer.- 2010,- Vol. 53,- No 21-22,-P 4495-4505.
5. Dombrovsky, L.A. A parabolic temperature profile model for heating of droplets [Текст] / E.A. Dombrovsky, S.S. Sazhin // ASME Journal of Heat Transfer.-" 2003,- Vol. 125,- P. 535-537.
6. Sazhin, S.S. New approaches to numerical modelling of droplet transient heating and evaporation [Текст] / S.S. Sazhin, W.A. Abdelghaffar, PA. Krutitskii, E.M. Sazhina |et al.| // International Journal of Heat and Mass Transfer.- 2005,- Vol. 48,- No. 1920,- P. 4215-4228.
7. Watkins, A.P. Modelling the mean temperatures used for calculating heat and mass transfer in sprays [Текст] / A.P. Watkins // International Journal of Heat and Fluid Flow.- 2007,- Vol. 28,- No 3,- P. 388-406.
8. Снегирёв, А.Ю. Модель и алгоритм расчета теплообмена и испарения капель диспергированной жидкости [Текст] / А.Ю. Снегирёв, С.С. Са-жин, В.А. Талалов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки,— 2011,- № 1,- С. 44-55.
9. Snegirev, A. Flame suppression by water sprays: flame-spray interaction regimes and governing criteria [Текст] / A. Snegirev, A. Eipjainen, V. Talalov // Proc. of the 12th International conference interflam 2010
(Nottingham, UK, 5—7 July 2010).— interscience Comm., London.- 2010,- Vol. 1,- P. 189-199.
10. Maqua, C. Bicomponent droplets evaporation: Temperature measurements and modeling [Текст] /
C. Maqua, G. Castanet, F. Lemoine // Fuel.— 2008.— Vol. 87,- No. 13-14,- P. 2932-2942.
11. Maqua, C. Monodisperse droplet heating and evaporation: Experimental study and modeling [Текст] / С. Maqua, G. Castanet, F. Grisch [et al.| // International Journal of Heat and Mass Transfer.— 2008,— Vol. 51,- No 15-16,- P. 3932-3945.
12. Терехов, В.И. Тепломассообмен при испарении капель бинарных растворов [Текст] / В.И. Терехов, Н.Е. Шишкин // Труды 5-й Российской национальной конференции по тепломассообмену РНКТ-5,— М.: Изд-во МЭИ,- 2010.— X 4,- С. 302-305.
13. Fujita, A. Experimental study on effect of relative humidity on heat transfer of an evaporating water droplet in air flow [Текст] / A. Fujita, R. Kurose, S. Komori // International Journal of Multiphase Flow.— 2010.— Vol. 36,- No 3,- P. 244-247.
14. Miller, R.S. Evaluation of equilibrium and non-equilibrium evaporation models for many-droplet gasliquid flow simulations [Текст] / R.S. Miller, K. Hars-tad, J. Bellan // International Journal of Multiphase Flow.- 1998,- Vol. 24,- No 6,- P. 1025-1055.
15. Tallin, D.C. Measurement of droplet interfacial phenomena by light-scattering techniques |Текст] /
D.C. Taflin, S.H. Zhang, T. Allen, E.J. Davis // A.l.Ch.E. Journal.- 1988,- Vol. 34,- P. 1310-1320.
16. Gavin, P.M. Program DROP: A computer program for prediction of evaporation from freely falling multicomponent drops [Текст] / P.M. Gavin // Report No. SAND96-2878.— Sandia National Laboratories.— 1996.
17. Варгафтик, Н.Б. Справочник по теплофи-зическим свойствам газов и жидкостей [Текст] / Н.Б. Варгафтик. М.: Наука,— 1972,— 721 с.
18. Варгафтик, Н.Б. Справочник по теплопроводности жидкостей и газов [Текст] / Н.Б. Варгафтик,— М.: Энергоатомиздат,— 1990,— 316 с.
19. N1ST Chemistry WebBook [Электронный ресурс| http://webbook.nist.gov
20. Dean, J.A. Lange's handbook of chemistry |Текст|: 15th ed. / J.A. Dean.— New York: McGraw-Hill.- 1999,- 345 p.
21. Бабичев, А.П. Физические величины [Текст]: Справочник. / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский [и др.|. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова,— М.: Энергоатомиздат,— 1991.— 1232 с.
22. Bird, R.B. Transport phenomena. [Текст]: 2nd ed. / R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot.— New
York: Wiley, Sons, Inc.- 2002,- 895 p.
23. Reid, R.C. The properties of gases and liquids. |Текст|: 4th ed. / R.C. Reid, J.M. Prausnitz, B.E. Poling.- New York: McGraw-Hill.- 1987,- 741 p.
24. Бретшнайдер, С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета [Текст] / С. Бретшнайдер,— М.: Химия,— 1966,— 536 с.
25. Ranz, W.E. Evaporation from drops: 11 [Текст] / W.E. Ranz, W.R. Marshall // Chemical Engineering Progress.- 1952,- Vol. 48. P. 173-180.
УДК 536.423
И.Я. Шейнман, А.Ю. Снегирёв
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ КАПЕЛЬ
В ГАЗОКАПЕЛЬНОЙ СТРУЕ
Струйные течения распыленной жидкости встречаются в важных технологических приложениях: при смесеобразовании в двигателях внутреннего сгорания, в топках котлов, работающих на жидком топливе, в системах пожаротушения и охлаждения, в технологиях сушки суспензий, порошковой металлургии, при аварийных выбросах сжиженных газов, а также в атмосферных явлениях. Для понимания особенностей и прогнозирования поведения подобных течений наряду с экспериментальными исследованиями необходимо развитие математических моделей тесно взаимодействующих физических процессов в газокапельной струе. Среди них одним из наименее исследованных является столкновение капель жидкости, которое характерно для плотных спреев и непосредственно влияет на распределение капель по размерам и скоростям, а также (опосредованно) на скорость их испарения и течение парогазовой смеси. Несмотря на значительное количество опубликованных работ и разнообразие теоретических моделей исходов столкновений [1], на сегодняшний день отсутствуют параметрические исследования, указывающие область характеристик распыла жидкости, в которой роль столкновений значительна или, наоборот, пренебрежимо мала. Кроме того, подавляющее большинство работ по моделированию столкновений в газокапельных струях ориентировано на область параметров, характерных для задач ввода топлива и смесеобразова-
ния в дизельных двигателях, а приложениям в области пожаротушения посвящены лишь единичные публикации, например статья [2].
В представленной работе приводится модель столкновений капель, программно реализованная авторами в коде рцеЗО [3], предназначенном, в частности, для расчета турбулентных газокапельных струй огнетушащих жидкостей. Обсуждаются результаты численного тестирования двух используемых моделей подсчета частоты столкновений капель. Описанная модель столкновений капель применена для расчета турбулентной газокапельной струи испаряющейся жидкости, что позволило продемонстрировать влияние столкновений на расчетную концентрацию пара в струе.
Модель газокапельной струи
Для моделирования турбулентного течения газа используется метод крупных вихрей [4, 5]. Для расчета подсеточной вязкости применяется модель Смагоринского — Лилли, позволяющая учесть снижение указанной вязкости по мере приближения к твердой поверхности [5]. Влияние дисперсной фазы на подсеточную модель не учитывается, что представляется допустимым при условии малости энергии под сеточных пульсаций скорости по сравнению с энергией разрешенного поля.
Предполагается, что атомизация струи жидкости происходит внутри форсунки и на корот-
