К расчёту кинетических характеристик полёта лёгкой горящей частицы Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. П. Ольшанский

д-р физ.-мат. наук, профессор Харьковского национального технического университета сельского хозяйства им. П. Василенко

А. Н. Ларин

д-р техн. наук, профессор, начальник кафедры Университета гражданской защиты Украины

В. П. Пустомельник

преподаватель Университета гражданской защиты Украины

УДК 662.61:531

К РАСЧЕТУ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЕТА ЛЕГКОЙ ГОРЯЩЕЙ ЧАСТИЦЫ

В приближенной постановке, без учета силы гравитации, уравнение полета легкой горящей частицы (искры) сведено к уравнению типа Бесселя. В результате аналитического решения задачи Коши получены компактные формулы для расчета скорости и дальности полета частицы с учетом линейно-квадратичного сопротивления газовой среды.

Ключевые слова: горящая частица, условия полета, траектория, дальность полета, реактивная сила.

Актуальность темы и цель исследования

Изучение закономерностей полета горящих частиц (искр) нужно для обоснованного расчета взаиморасположения легковоспламеняемых объектов, когда распространение пожара может происходить не только за счет теплового излучения, а также переносом искр. К таким, в первую очередь, относятся сельхозобъекты, связанные с открытым хранением и переработкой волокнистых веществ (хлопка, соломы, сена и пр.). Объектами повышенной пожарной опасности могут стать участки полей в период созревания зерновых культур, лесные массивы — в сухое и жаркое время года и пр. Для указанных объектов приходится рассчитывать размеры противопожарных разрывов с учетом возможного переноса искр.

Отличительной особенностью полета горящих частиц является переменность во времени не только их массы, но и размеров, от которых зависит сила аэродинамического сопротивления движению. Известные формулы механики [1,2], выведенные для материальной точки переменной массы, не обеспечивают высокой точности расчета из-за неучета переменности размеров движущегося тела. Поэтому построение аналитических зависимостей для определения кинематических характеристик полета горящих частиц относится к актуальным задачам, что и определило цель данной работы. Она заключается в получении и апробации компактных формул для вычисления скорости и дальности полета легких горящих частиц в газовой среде.

Основные допущения при постановке задачи

Летящую частицу считаем сферическим телом, радиус которого г = г(ї) уменьшается во время движения ї по закону:

г(ї) = гй4\ -еї, (1)

где г0 = г (0) — начальный радиус;

е >0 — параметр, характеризующий время полного сгорания частицы; ї — время полета на промежутке ї є [0; 1/е). Зависимость (1) в литературе называют законом Срезневского [3]. При его соблюдении уменьшение площади поверхности шара оказывается пропорциональным времени ї, что согласуется с процессом диффузионного горения [4]. В работе [4] зависимость (1) подтверждена также экспериментально.

Считая плотность частицы р постоянной величиной, поточную массу шара М = М(ї) определим выражением:

4 3

М = — ирг ,

из которого следует, что расход массы составляет

йМ 2 йг 3 , .йг

--- = 4 ирг — = — М —

йї йї г йї

или с учетом выражения (1)

йМ = -3 Ме | го

йї 2 I г

(2)

2

Реактивную силу Fp, вызванную убыванием массы, принимаем пропорциональной относительной скорости отделения продуктов сгорания иг = const от искры и секундному расходу массы dM/dt, т. е. представляем произведением

т-т dM

Fp itи

(З)

в котором 0 < ц < 1 — коэффициент пропорциональности, учитывающий, что только часть отделяющейся от шара массы при внешнем диффузионном его сгорании образует движущую реактивную силу.

Из выражений (2) и (3) получаем:

Рг 3 ^ г'2

Коэффициент аэродинамического сопротивления газовой среды считаем зависимым от числа Рейнольдса. Следуя работе [5], для вычисления силы сопротивления полету Ес получаем выражение:

р = М|4 и + *2 и

где к 1 = 7,5 V* р*/р; к2 = 0,15р */р ;

V* — кинематический коэффициент вязкости газовой среды с плотностью р*.

При плоском движении легких частиц их траектории имеют малую кривизну, т. е. близки к прямым линиям [6], что обусловлено слабым влиянием веса частиц на кинематические характеристики полета. Поэтому, пренебрегая гравитацией, но учитывая Гр, Ес и силу инерции, изменение скорости полета во времени описываем дифференциальным уравнением

йи 3|іє (г0 ^2 к1и к2 2

dt

2

— I и і

— и2 = О, r

(4)

полученным после сокращения на М.

Далее перейдем от переменной * к переменной 5 = л/1 -6*.

Учитывая, что

du

dt

do d^ d^ dt

є du d^

вместо уравнения (4) получаем:

Ри 3ц р 1 2

^Т + уиг -у и-р2и = 0 (5)

гдер 1 = 2к^(бго2); р2 = 2к^(бго).

Решение уравнения (5) будем искать при начальном условии

и(1) = ио, (6)

обозначив символом и0 значение стартовой скорости частицы.

Построение расчетной формулы для скорости полета

Выразим искомую функцию и(5) через дополнительную функцию и1(5) разностью

Р1

и = и - •

2P 2^

(7)

Подставив ее в выражение (5), получаем уравнение:

dm-P и2 d^ P 2 1

З|диг

f1 + PrH = О. (8)

2P

Чтобы перейти к линейной задаче, далее выразим и1(5) через вспомогательную функцию w(5) по формуле:

1 _1 dw

и, =------w--------

1 Р 2

(9)

Этим преобразованием из нелинейного уравнения (8) получаем однородное линейное уравнение типа Бесселя:

d2 w

w = О.

(1О)

5 2 ^ 2 д

Общим его решением является [7]:

Н П = П [с1^у ( П + с2КV ( П)]

где л = уТ5; у = 2^3цр2й г; V = 1 + Р1; с1, с2 — произвольные постоянные;

/Дп), КДп) — модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда индексов V. Продифференцировав решение (10) согласно формуле (9), с учетом того, что [8]

-р [п4 ( п)] = (1 - V)1 V( п) + п4-1( п); dп

[ПКV(П)] = (1 - ^КV(П) - ПКV-1(П)

Рп

и разности (7), приходим к формуле скорости полета искры:

и(П) КV-'(П) - сV-1(П). (11)

2р 2 п КV( п) + сЬ( п)

Здесь с = с1с2-1 — произвольная постоянная. Ее значение

УКV-1(У) - 2р2и0КV(у)

c=

y/v-1(у) + 2P2иО/v (у)

находим с помощью начального условия (6).

Для полуцелых индексов V решение (11) преобразуется к элементарным функциям. Не вызывает затруднений вычисление и(п) также для целых V, ибо в этом случае значения функций Бесселя можно находить с помощью таблиц и рекуррентных соотношений [7, 9].

2

г

г

г

42

ISSN 0869-7493 П0ЖАР093РЫ90БЕ30ПАСН0СТЬ 2009 ТОМ 18 №7

Используя асимптотику цилиндрических функций малого аргумента [7]

Г( V + 1) У 2

2 У З

в которой Г^) — функция Эйлера, и решение (11), легко убедиться, что

Ііт и(з) = 3|ди,./р 1. (12)

Зі 0

Таким образом, скорость полета искры в момент ее полного сгорания (ї = 1/е) не равна нулю из-за действия реактивной силы.

Расчет скорости существенно упрощается без учета реактивной силы. Если в формуле (5) положить ц = 0, то она становится уравнением Бернулли. Решение задачи Коши приобретает вид:

V ^-1

и в ( % ) =

р2 а -%'

(13)

причем а = 1 + V/(и 0р 2).

Поскольку V > 1, то из решения (13) следует, что

Этот ряд сходится медленно. Поэтому для убыстрения его сходимости воспользуемся тождеством:

_1____= 1___________1______________V - 1

\п + 1 \п V 2 п( П + 1) V 2 п( п + 1)( vn + 1)

Подставив его в выражение (17), с учетом известных сумм рядов [8]

п = 1

п

= 1 + 1—— Іп(1 - X),

п = 1 п( п + 1)

получаем приближенную формулу:

5а

V -1

Іп

1

а -1 V

(а - 1) 1п

а -1

-1

_2( V + 1)а 6(2 V + 1) а2 12(3v + 1)а3

20(4v + 1)а4 30^ + 1)а5 ]

(18)

Ііт иа (%) = 0

0

(14)

Как видим, формулы (11) и (13) приводят к разным предельным значениям скорости искры в момент ее полного сгорания. Равенство и = иа имеем лишь при * =0.

Построение расчетной формулы для максимальной дальности полета

Такая формула нужна для расчета размеров противопожарных разрывов, исключающих распространение пожара перелетом искр. Максимальная дальность полета шах5представляется интегралом

5 =|и( ї )й = -|%и(% )й%, (15)

который для решений (11) и (13) не выражается в замкнутом виде с помощью элементарных функций. Поэтому ограничимся его приближенным вычислением.

Разложим шах5 на сумму двух слагаемых:

тах5 = 5а + Д5, 2 г „ 2 1

(16)

где 5а =- / 5и а (5)Р5; А5 = - / 5[и(5) -и а (5)] Р5. 6 0 6 0 Первое слагаемое для целых V сводится к элементарным функциям, а для произвольных V >1 представляется степенным рядом

(17)

Выше сумму ряда ускоренной сходимости заменили частичной суммой пяти членов, отбросив слагаемые, порядок которых выше а~5. Погрешность такого упрощения не превышает 1 %.

Невязку А5 на малом промежутке интегрирования с небольшой погрешностью можно вычислить по методу Симпсона. С учетом того, что при * = 0 и = иа = и0 (индексы: а — асимптотический; 0 — начальный), а также пределов (12) и (14) указанный метод дает:

Д5 - 2 [и( З*) -и а (%*)] + ^ 3е 2ер1

(19)

Вычисляя и(п*) по формуле (11), а иа(5*) — по формуле (13), следует учесть, что 5* = 1/^/2, а

П* = Ул/5*.

Таким образом, расчет максимальной дальности полета искры сводится к применению выражений (11), (13), (16), (18) и (19).

Результаты расчетов и их анализ

Проверим точность приближенной формулы (13), для чего сравним полученные по ней результаты с данными расчета по формуле (11). Для сравнения примем следующие исходные данные: г0 = 3,4-10-4 м; к1 = 1,725- 10-7м2/с; к2 = 0,15-10-3; иг =1 м/с; ц = 0,5; и0=10м/с; 6 = 0,5 с-1; р*/р = 10-3; v* = 0,23-10-4м2/с.

Результаты такого сравнения представлены на рисунке. Пунктиром обозначена кривая, полученная по асимптотической формуле (13), а сплошная линия соответствует точному решению (11). Резуль-

а

а

1

1

1

1

0

0

Время, с

Зависимости скорости от времени, полученные различными способами

Таблица 1. Значения максимальной дальности полета горящей частицы, полученные различными способами

Оо, м/с 2 4 б 8 10

maxS, м 1.163 1.163 1,744 1,743 2,203 2,202 2,582 2,581 2.905 2.905

Примечание. В числителе — значения, получен-

ные путем численного интегрирования (15), в знаменателе — вычисления по формуле (16).

таты асимптотического и точного решений мало отличаются друг от друга.

С целью проверки точности приближенной формулы (16) произведен расчет шах5 численно и аналитически для различных начальных скоростей и0. При этом использовались прежние исходные данные. Результаты расчетов представлены в табл. 1 и подтверждают высокую точность формулы (16).

Вычисления показали, что зависимость шах5 от и0 — нелинейная. Пятикратное повышение началь-

Таблица 2. Максимальная дальность полета горящей частицы при различных значениях и0 и ц

о0, м/с maxS, м

т = 0,1 т = 0,25 т = 0,5 т = 0,75 т = 1

5 0,892 0,995 1,1б3 1,330 1,488

10 1,484 1,582 1,744 1,903 2,058

15 1,948 2,045 2,203 2,357 2,509

20 2,331 2,42б 2,582 2,734 2,884

25 2,б58 2,751 2,905 3,05б 3,204

30 3,309 3,401 3,552 3,700 3,845

ной скорости не вызвало аналогичного увеличения максимальной дальности полета.

В табл. 2 указаны расчетные значения максимальной дальности полета частицы для различных величин параметров ц и и0. Анализируя результаты табл. 2, можно сделать вывод, что при увеличении коэффициента ц возрастает влияние реактивной силы и, соответственно, повышаются скорость и дальность полета частицы. Однако с увеличением начальной скорости несколько ослабевает влияние реактивной силы на шах5.

Выводы

Расчетная апробация полученных формул показала, что они приводят к результатам, которые согласуются с физическими представлениями о рассматриваемом процессе. Поэтому после идентификации входящих в них параметров формулы могут применяться для расчета кинематических характеристик сгорающей частицы в конкретных условиях полета.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мещерский, И. В. Работы по механике тел переменной массы/ И. В. Мещерский. — М.: ГИТТЛ, 1952.

2. Космодемьянский, А. А. Курс теоретической механики /А. А. Космодемьянский. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1966. — Ч. 2.

3. Ольшанский, В. П. Нижняя оценка дальности полета испаряющейся капли огнетушащей жидкости / В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский // Инженерно-физический журнал. — 2007. — Вып. 75, № 4.

— С. 59-62.

4. Бабий, В. И. Горение угольной пыли и расчет пылеугольного факела / В. И. Бабий, Ю. Ф. Куваев. —

М. : Энергоатомиздат, 1986.

5. Jenkins, D. С. The Acceleration ofWater Drops byAirstream of Constant Relative Velocity/D. С. Jenkins.

— London, 1961.

6. Ольшанский, В. П. К расчету предельной дальности подачи испаряющихся тонкораспыленных огнетушащих веществ установками импульсного пожаротушения / В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский // Пожаровзрывобезопасность. — 2005. — Т. 14, № 4. — С. 67-70.

7. Абрамовиц, А. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами) / А. Абрамовиц, И. Стиган. — М. : Наука, 1979.

8. Градштейн, И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. М. Градштейн, И. С. Рыжик. — М.: Физматгиз, 1962.

9. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. — М. : Наука, 1977.

Материал поступил в редакцию 10.09.09. © Ольшанский В. П., Ларин А. Н., Пустомельник В. П., 2009 г.

(e-mail:[email protected]; [email protected]).