К многомодовой модели взаимодействия лазерного бипучка с бозе-эйнштейновским конденсатом разреженных атомарных газов: предельный переход к модели среднего поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

где величинатR =ch/na)dd N0D

сверхизлу-

чательное время, N0

D —

концентрация атомов,

— поперечный размер конденсата.

Если импульс атома с состоянии |э;к> представить в форме р = йк = П(кт\ + кп$) =

= Н(т\ + лj)/D, где кП1 = 2ят/П, кп-2ппЮ и положить угол а равным 135°, пренебречь дифракцией как одевающего, так и пробного пучков, то уравнения (5), (7) можно записать в явном виде

Дополним уравнения (8), (9) начальными условиями:

Ся;00 (0) = 1, С„;......(0) = 0 {т = пФ 0),

Q;m.„(0) = 0 (т,п = 0,±1,±2,„.)

(10)

Обратим внимание на то, что решая задачу (8) — (10) и используя разложение (3), (4), мы

можем найти поля лишь во внутренней области. Для нахождения полей на выходе из конденсата используем теорему Дирихле. В нашем случае _

Ep(D) = E;exP(ikpD) + 2^E'p,i, Ed (D) = Ej exp (ikpD) + E'dm

(11)

m

где

щ , E

e d

амплитуды рассматриваемых

полей на входе в конденсат.

Если считать размеры магнитной ловушки большими, т. е. Х/<< Д пренебречь запаздыванием излучения и не учитывать зависимость

О

полей в конденсате от координат, уравнения (8) — (10) переходят в уравнения усиления света в бозе-эйнштейновском конденсате на

О

основе модели среднего поля, предложенной ранее [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Anderson М. N., Ensher J. R., Matthews M. R. [et. al.] //Science, 1995. Vol. 269. P. 198 — 202.

2. Davis К. V., Mewes M. O., Andrews M. R. [et. al.] // Phys. Rev. Lett., 1995. Vol. 75. P. 3969 — 3972.

3. Fried D. G.f Killian Т. C., Willmann L. [et. al.] // Phys. Rev. Lett., 1998. Vol. 81. P. 3811 — 3814.

4. Hau L.V., Busch B. D., Liu C. // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. P. R54 — R56.

5. Inouye S., Low R.F., Gupta S. [et. al.] // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 4225.

6. Trifonov E. D. // Laser Phys. 2002. V. 812. P. 211 — 216.

/ л

Поступила 14.03.07.

к многомодовой модели взаимодействия лазерного бипучка с бозе-эйнштейновским конденсатом разреженных атомарных газов: предельный переход к модели среднего поля

Н. И. Шамров, доктор физико-математических наук, А. Н. Банников

Проблема взаимодействия лазерного излучения с бозе-эйнштейновским конденсатом (БЭК) различных веществ продолжает оставаться объектом пристального внимания значительного числа исследователей [1 — 4]. В настоящей

работе рассматривается эксперимент по облучению конденсата паров натрия, заключенного в магнитную ловушку диаметром В - 20 мкм и длиной Ь = 200 мкм и содержащего несколько миллионов атомов, двумя лазерными пучками:

© Н. И. Шамров, А. Н. Банников, 2007

«одевающим» и «пробным» [2]. Частота одевающего луча смещена в красную сторону относительно резонансной частоты перехода 35,/2

F = 1-> ЗР3/2, F = 0,1,2 на АО) = 1,7 Ггц, а частота пробного поля, в свою очередь, меньше частоты одевающего луча на 5со = 91 кгц. Оба

цией одевающей Е^ и пробной Е^ волн одинаковой поляризации е, распространяющихся перпендикулярно направлению вытянутости конденсата (ось 01) и образующих между собой (в плоскости ХОУ) угол в 135°:

Е = / £ ехр(«кг)ехр(-/о)/г)е + К. с. (1)

/=(1.р к

Оно складывается из внешнего Е^ и вторичного Е/ полей (/ = с1у р).

Волновая функция произвольного состояния атома представляется в виде разложения

V = 1 cykU;k>,

s-a,b\k

(2)

где |s;k>=V 1/2 ехр(/кг)05

пучка лежат в плоскости, перпендикулярной оси вытянутости конденсата, и пересекают друг друга под углом 135°. Основной результат эксперимента состоял в обнаружении усиления пробного луча при включенном одевающем луче. Усиление наиболее заметно для относительно слабого пробного пучка. При относительно высокой интенсивности одевающего луча зафиксировано остаточное излучение на частоте пробного луча после прекращения облучения им конденсата. Кроме того, наблюдалось запаздывание пробного импульса на выходе, что интерпретировалось как уменьшение групповой скорости света.

Теория взаимодействия лазерного бипучка с БЭК разреженных атомарных газов, предложенная авторами [5; 6], позволила объяснить на качественном уровне ряд эффектов, указанных выше. Однако она не учитывает зависимости интенсивности волн от координаты. Конденсат щего, так и пробного излучений получаются сле-

волновая фун-

кция атома с определенным импульсом Кк = Ъ{кп} + кп}), находящегося либо в основном (5 = а), либо в возбужденном (5 = Ь) электрон-

ном состояниях, a с

s,k

соответствующие коэффициенты разложения, зависящие от време-

ни; V

объем конденсата, km=2nm/D,

кп = 2лп / D, (т, п - 0, ±1, ±2,...). В пренебрежении дифракцией как одеваю-

эволюционирует в некотором среднем по образцу поле. Основные уравнения многомодовой модели этого явления представлены в [7].

дующие уравнения для коэффициентов разложения = а, Ь) и Фурье-компонент полей

de

а\тм

dt

d ti

\

р

/

п

\

yCta-w'ехрн&иг) + V £,;т-.Л;()1+„,>+„.

/ / //; л

X

У

ехр(-/Дcot) - i

W

a\mji

ñ

^ a\m,n

de

b\mji _

dt

d h

/

\

v

n

f / m л

X

/

txp(iAú)t) - i

Г W

1 R bjii.n

\

2

h

^b:mji

/

(3)

(4)

i

(kl-kl) , 1 дЁп „ 2 h

' +--^ = — expt-i(&> + д«)г]Ус......vcft:raW,

2k

рм

dt

dDr

R

/ / m л

(5)

¿WÍZÉ2

2 к

ti i p'

tt ,m

i se: +—

с dt

(I ./71

2fj

dDrR

ехр(ЧДйИ) У ca.m,n,ch.

ni+m -m+n

/ / m M

(6)

В соответствии с предложенной моделью где черта означает комплексное сопряжение,

— волновое число, d —

полное поле в конденсате задается суперпози-

kf - cúj /с

матричныи

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2007 | № 3

элемент дипольного момента перехода, Г^—ра-

диационная константа, № энергия отдачи атома,

5, к

вому числу & , т. е. выполняется соотношение

' ~ — целая

кинетическая 2пп„Ю<к0 <2л(пп + 1)/Р, где п

ное время.

Покажем, что при определенных условиях уравнения (3) — (6) переходят в уравнения, описывающие модель взаимодействия лазерного бипучка с БЭК в приближении среднего поля [5]. -

Вклад спектральной компоненты с волновым числом к в соответствующее поле определяется степенью ее близости к центру спектра с волновым числом к^ Чем больше диаметр ловушки Д тем ближе они находятся к центру и тем плотнее они располагаются. Другими словами, с ростом размера й общая спектральная ширина компонент £ уменьшается.

При достаточно больших поперечных размерах конденсата можно считать

некоторое характер- часть от При этих условиях, пренебрегая

2к

К ,

п > О,

~(кп+к\ п< 0.

(7)

В этом случае из уравнения (5) для пробного поля, учитывая что £ ¡к «1, имеем: ;

Р ^

^¿(кп-кр)Ер111ехр(!кпу)

п=о

1 дЕ

- £ + кк* ехр('*л)+7 е =

11=-1

(8)

2 Й

сНУт

ехр[-г(<5&> +

я

оо

оо

+ А(Ог)]ТеХр 0кяу) X СаМ,пСЬ,

п=

* —».

т ,/1 =

Введем амплитуду Ер пробного поля: Ер = е[/£/? ехр+ 1кру) + к.с.]> Тогда, добавляя в первую сумму левой части уравнения (8) члены ряда п < 0, его можно переписать, в виде

д Е 1 дЕ ^

+ -2/х *л„ ехр[/(*„ -кр)у] = оу с дг

п=-1

2й

сЮт

ехр [-¡(8со +

(9)

я

+

п

т',п'

Пусть для фиксированного О при некотором

быстрыми пространственными осцилляциями, последнему уравнению можно придать следующий окончательный вид:

дЕ 1 дЕ

р +1 р _

ду

дг

2Й

(Ю)

сЮт

ехр [-Ц8со + А(0)г] £ са.т^сь.

+п

т , л

Аналогично для одевающего поля при при-

ближении

к к имеем:

т 1 и

2к„. к^

т

2к

т> 0,

I _

Л-К - К'

-Фк,+К )> «<о.

(и)

Введем амплитуду Е& одевающего поля:

е, =е{/£^ехр[

У)/72]

Тогда из уравнения (6) после преобразований аналогичных предыдущему, получим:"

1

(

Щ дЕ]

\

у/2[ дх ду

с эг

оо

-2]г шкте,ш ехр

/71=-1

/

* -а

"', 72

Л

_ \

У)

2Й

¿ЕП

ехр(-г ехр

я

/Л

г

(12)

- \

А

vi

(х-у)

/

С / /О г / >

I _ »

если в уравнениях (10) и (12) пренебречь запаздыванием и проинтегрировать по пространственным координатам, то придем к выражениям

ЕпЫ) =

2П

(ЮтК

уехр[Ч(6(0 + Аш)]Уса.тпсь.тп+п

(13)

т,п

Е',(х-у,!) =

2,й х-у . ..

......

(14)

т+те1,п-та

Мы видим, что поля £„ и £.изменяются по

/2 = п число =2лп! Р ближе всех к волно- линейному закону. Примем приближение, со-

гласно которому поля Е и £ , действующие

на атомы конденсата, оцениваются в среднем. В этом случае в формуле (13) необходимо заменить ¿/ —» 0/2, а в формуле (14) —

х—>£>/2/2, у-^-Ру/2/2. В результате при-

дем к выражениям:

Е = — " йх

ехр[-/(Зсо + Дй»)] Vса.,^сь.„к

П+91

(15)

111,П

Е< =

П

(¡Т„

ехр(-/Дй>г)Уса,т<„сь.

(16)

тм

Если теперь использовать полные поля = + Ег и воспользоваться условием эксперимента ОЕе//2с«Ее/ (/ = й,р), то полевые уравнения можно переписать так:

Са-т,п = 7 [Ер ехр Н3ш)сь.шп+П

п

+ Е.,си.

-Е=Е'-Е +

2с р р р

+

Й

ехр [4(8(0 +

/и, л

— £ =

2 с"

= Е'-Е

А

2т

ехр(-1АШ)Тса.„1псь.

(18)

/»+///,,,н-тв

Я

т,п

Рассмотрим теперь, как преобразуются уравнения для амплитуд когерентных состояний в приближении среднего поля.

Примем в формулах (3) и (4) в суммах по п' и т' вклад только одной доминирующей

и

гармоники, т. е. Ерп, = Ер8п,11р

Е<1,т\п' = Ес15т\т(18п\пр. В таком случае придем к следующим уравнениям:

]У

]ехр(-/Д ' й

а; #и,#1

(20)

Ь

[Ер е\р(18ш)са.а,_+ Е^с ]ехрЦАш) -

Г

Ж

v

2

+ /

Й

(19)

Уравнения (17) — (20) можно записать в общем виде:

П

П

(21)

СЬМ ~

/

Г„ IV,

\

Я + '' к

\

2

Й

Ь.к

(22)

£л = £>~£/> + ^-ехр[-г(«5со + дв*)]£ с„;|л;

к+к

(23)

• й — 4 = е", - = —ехр(-/Д«о]>хл;

2с

¿/г

к+к

Я

(24)

В качестве начальных условий для системы уравнений (21) — (24) примем

Ч,к (0) = о.

с„м (0) = 0 (к * 0);

с„,о(0) = 1

(25)

Уравнения (21) — (24) в пренебрежении запаздыванием при замене саЬ = сЬк = Ськ ехр(/Аш) переходят в уравнения, ранее приводимые в [5; 6].

С

а,к

30

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2007 I №

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Inouye S., Chikkatur A. P., Stamper-Kurn D. M. [et. al.] // Science. 1999. Vol. 285. P.

2. Inouye S., Low R.F., Gupta S. [et. al.] // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 4225.

3. Schneble D., Yoshio T.t Boyd M. [et. al.] // Science. 2003. Vol. 300. P. 475.

4. Schneble D., Campbell G.K., Streed E. [et. al.] // Phys. Rev. A, 2004. Vol. 69. P.041601

5. Trifonov E. D. // Laser Phys. 2002. Vol. 812. P. 211.

6. Трифонов E. Д., Шамров Н. И. // ЖЭТФ. 2004. Т. 126, С. 54.

Поступила 14.03.07.

-1 (R)

фактор пространственной конфигурации

молекулярного иона о" в спектрах примесного поглощения квазинульмерной структуры

В. Д. Кревчик, доктор физико-математических наук, А. В. Разумов

В последние годы развитие полупроводни- стеме координат с началом в центре КТ. Для ковой наноэлектроники имеет устойчивую тен- описания одноэлектронных состояний в КТ ис-денцию к дальнейшей миниатюризации, где клю- пользуется потенциал конфайнмента в виде ос-

чевую роль начинают играть молекулярные состояния. Такие состояния, полученные в квантовых точках, например, с помощью технологии 8-легирования [2], являются удобными объектами для исследования их электронных и оптических свойств. Действительно, квантовая точ-

I

ка в этом случае интегрирует в себе как атом- ала КТ г < ные, так и молекулярные процессы, которые могут быть использованы при разработке кубитов, а также фотоприемников с широкой полосой чувствительности. Ввиду размерного ограниче-

цилляторнбй сферической ямы:

и,«-

* 2 2 т (О $ г

2

(1)

где гп— эффективная масса электрона; со0 характерная частота удерживающего потенци-

о

В приближении эффективной массы гамильтониан в выбранной модели определяется следующим. выражением:

Н = -

+

1

г2sine дв

ния важную роль начинает играть вид пространственного расположения атомов, формирующих

г

молекулу в квантовой точке. Цель данной работы состоит в теоретическом изучении влия-. ния вида пространственной конфигурации трехатомного молекулярного иона на термы и оптические свойства структур с квантовыми точками.

Термы молекулярного иона О^ Рассматривается полупроводниковая сферическая квантовая точка (КТ) радиусом /?0. Последующие вычисления проводятся в сферической си- имеют вид:

П

2 /

2 т

1 Э

/

V

2 Эг

2 Э

\

■ ч

Эг

+

7

Э

/

sin в

д

\

V

дв

1

Э

2 Л

+

/

п

г sin в д(р

+

J

(2)

т 2 2

+-(On Г

2

'0

Собственные значения Е , и соответствует,/ j

ющие волновые функции Wnlm гамильтониана

© В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, 2007