CC BY
20
12. Осипов В. В., Самохвалов А. А. // ФММ. 2000. Т. 89. С. 43.
13. Осипов В. В., Кочев И. В., Наумов С. В. // ЖЭТФ. 2001. Т. 120, С. 1246.
14. Самохвалов А. А., Арбузова Т. И., Виглин Н. А. и др.// ФТТ. 1999. Т. 41. С. 293.
15. Grader G. S.t Gallagher Р. К., Fiory А. Т. // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38. P. 844.
16. Ionov S. P.t Amelin I. I., Lubimov V. S. et al. // Phys. stat. sol. (b) 1976. Vol. 77. P. 441.
17. Shubin S. P., Vonsovskii S. V. // Proc. Roy. Soc. 1934. Vol. 145. P. 159.
18. Uemura Y. J. // Physica C. 1997. Vol. 282 — 287. P. 194.
t
Поступила 14.03.07.
МНОГОМОДОВАЯ МОДЕЛЬ СВЕРХИЗЛУЧАТЕЛЬНОГО РЕЛЕЕВСКОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА НА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОМ КОНДЕНСАТЕ
РАЗРЕЖЕННЫХ АТОМАРНЫХ ГАЗОВ
Н. И. Шамров, доктор физико-математических наук
Рассмотрим бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК), заключенный в магнитную ловушку с
размерами 10" 100 порядка мкм. Как правило, в ловушке такого размера содержится 1 ± 10 млн
атомов. Конденсат имеет температуру около
t
10"9К, что соответствует скорости движения атомов близкой к 1 см/с. К настоящему времени удалось получить бозе-эйнштейновский конденсат ряда веществ, таких как водород, литий, пары щелочных металлов и т. д. [1; 2].
ГТусть на конденсат перпендикулярно направлению его вытянутости падает когерентный световой пучок ширины, значительно превосходящей размеры конденсата. При этом вектор напряженности электрического поля в нем также перпендикулярен этому направлению. В процессе взаимодействия луча с конденсатом наряду со спонтанным релеевским рассеянием света по всем направлениям наблюдается когерентное релеевское излучение, распространяющееся как в направлении падения луча, так и в направлении, перпендикулярном к нему. Моду, распространяющуюся перпендикулярно оси конденсата, назовем р-мо-дой («pumping»), а вдоль него — s-модой («scattering»). Волновые вектора этих мод к и ks образуют между собой угол в 90° (рис. 1).
Частота возбуждающей волны близка к одной
к
из частот электронного перехода в атоме. В процессе рассеяния атомы получают импульс отдачи, вследствие чего конденсат делится на ряд облаков, движущихся в общем случае как под углами 45°, так и под углами 135° к направлению падения луча [3].
Рисунок 1
\ ' 1 г
Сверхизлучательное релеевское рассеяние
4 * * *
света на бозе-эйнштейновском
♦ , I
конденсате
4 /
ш
© Н. И. Шамров, 2007
Сделаем ряд модельных допущений:
1. Бозе-эйнштейновский конденсат рассматриваем как идеальный газ, т. е. пренебрегаем межатомным взаимодействием и учитываем лишь взаимодействие с поперечным электромагнитным полем.
2. Энергию взаимодействия атома с полями светового бипучка положим много меньшей энергии разрешенных переходов в атоме.
3. Число актуальных электронных состояний в атоме ограничим двумя.
4. Амплитуды полей в различных продольных сечениях конденсата, перпендикулярных вектору напряженности электрического поля, примем одинаковыми.
5. Атомы конденсата до взаимодействия с полями считаем покоящимися.
Волновую функцию атома с определенным значением импульса представим в виде
Поляризацию всех волн будем считать направленной вдоль оси ОХ.
Используя представление (2) и приближение вращающейся волны, можно получить уравнение Шредингера для коэффициентов Оно имеет вид
Са. к —
СЬ,к ~
-
п /м' п /.к'
V/
п г
аМ>
-I
2
V/
я | ГУЬ.к
(5)
й
Ь У
где АО) = (со, - соа) - со, ного резонанса, к -
расстройка электрон-кинетическая энергия
47
Здесь V
атома, обладающего импульсом Ш в электронном состоянии ф5 (5 = а,Ь), Гн — радиационная константа возбужденного электронного состояния атома, описывающая спонтанное рассеяние света в произвольных направлениях, (1 —
■
матричный элемент дипольного момента пере-(I) хода, черта означает комплексное сопряжение.
Поля, входящие в уравнения (5), образованы внешним полем Е'рк,и полями Е'рк, 2^к,гене-объем конденсата, ф5(гв,г)= рируемыми волнами поляризованности среды
.у;к >- -4=ехр(/кг)^ (.у = а,Ь)
• = (р5 (те) ехр(-ИУ/) волновая функция, энергия электронов в основном (я = а) и возбужденном (б = ¿?)-состояниях. Отметим, что в отличие от свободного движения атома, когда импульс йк является непрерывной величиной и может принимать любые значения, в случае ограниченного движения в ловушке его значения дискретны и их возможный набор определяется ее размерами.
Произвольное состояние атома будем описывать волновой функцией
Р( г,0 =
(6)
1
N
= 77 Е М«2?* «<я;к К ¿(г - г() |Ь-Ю +К.С.
* М к.к'
Здесь N — полное число атомов в конденсате, — оператор электронного дипольного момента, с('{, с(ь1)к—коэффициенты разложения для
¿-того атома.
У = 1 сл.к|5;к>,
&=а,Ь;к
(2)
Используя волновое уравнение и считая коэффициенты разложения атомов конденсата одинаковыми, в приближении медленно меняющихся амплитуд получим
где с
зависящие от времени коэффициенты разложения.
Электрическое поле в конденсате будем
,(к2-к2п)
I
2 к
" ъ +'-
возбуждающего
дг
(7)
пробного Е полей:
2П
сНл
ехр(-/АшОХ ( (/ = Р. *)
Е = * £ Ёг ехрНю/) + К. е., (3)
/=Р>5
каждое из которых в общем случае представляет собой набор плоских волн £Гк, распространяющихся вблизи направления к/
Ёг =^Е/к ехр(гкг) + к. с. (Г = /?, б). (4)
я
к'
где величина тя =сМшлЛ ЛГ0£
сверхизлу-
чательное время, Ь
— продольный размер конденсата; — концентрация атомов.
Если импульс атома с состоянии | э;к > представить в форме р = йк = Н(кш 1 + кп ^, где
кт = 2пт / О, кп = 2пп / а О — поперечный размер конденсата, т, п — целые числа и пре-
Серия ♦Физико-математические науки»
небречь дифракцией как возбуждающего, так и рассеянного пучков, то уравнения (5), (7) мож-
но записать в явном виде:
области. Для нахождения полей на выходе из конденсата применим теорему Дирихле. В нашем случае (11)
d Л
(
Ye гс
pjnb;m+m
V
т
и
/
expHA^^W
£ й
/
\
/
Уе > + УЕгС„.„,„ > exp(iA(Ot)-i
¿j р,т а\т-т л ( j s:n а;т,п-п '
V
т
п
\
Г W
R i Ь\т,п
--Г -
2
h
(8)
I
.(kl-k;)E, 1 dEfpm _ 2ft
2k. с dt dLz
ехр(-гДшг)^
R
/ / ш л
xkl-k])E> | iag;„
2ft
2*
J,«
3i
¿Or
/ / /7/ ,/Г
(9)
Дополним уравнения (8), (9) начальными
условиями:
EAP) = E;exp(ikMl+2\E'
т
>-'1,. п.*
Ь:т*,±(п*+1)
(0) - С,
*;{н*+1.±{л*+1)
(0) = С0
(10)
(11)
5,11
П
где Еер — амплитуда поля накачки на входе в
конденсат.
_ ч # ■
Если пренебречь запаздыванием излучения, которая малая величина, эффективно описыва- не учитывать зависимость полей в конденсате
где * .< кр <к
т*+1»
К* <кр< К*+1» а ^-оА— не"
ющая спонтанное релеевское рассеяние света в начальный момент времени. Остальные элементы равны нулю.
4
Обратим внимание на то, что, решая задачу (8) — (10), а затем используя разложение (3), (4), мы мбжем найти поля лишь во внутренней
от координат и считать размеры магнитной ловушки большими, т. е. Хр<< В, Ь, то уравнения (8) — (10) переходят в уравнения сверхиз-
1 \ •
лучательного релеевского рассеяния света в БЭК на основе модели среднего поля, предложенной ранее [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Dalfovo FM Giorgini S., Pitaevskii L. P, Stringari S. // Rev. Mod. Phys. T999 Vol. 71. P. 463.
2. Courteille Ph. WM Bagnato V. S., Yukalov V. I..// Laser Phys. 2001. Vol. 11. P. 659.
3. Schneble D.t Yoshio Т., Boyd M.f Streed E. W., Pritchard D. E., Ketterle W. // Science. 2003. Vol. 300. P. 475.
4. Шамров H. И. Опт. спектр. 2006. Т. 100. С. 99.
Поступила 14.03.07.
