CC BY
29
1?, П. Вейнберг.
К изучению гидродинамики спокойного движения вязкой жидкости.
I, Опыт классификаций различных случаев установившегося спокойного движения
' вязкой жидкости.
I. Выбор темы.
Посвящая с 1904 часть работ моих и моих соработников (список — ниже) вопросам, непосредственно относящимся или близким к гидродинамике спокойного движения вязких жидкостей, и приступая к разработке других теоретических и экспериментальных исследований в том же направлении, которые и составят предмет последующих статей этой серии, я столкнулся с вопросом, на изучении каких именно случаев надлежит направить усилия. .
Когда работают в почти не разработанной области, представляющей обширное поле разнообразных задач для решения, то при выборе их руководствуются обычно либо соображениями о возможностьi, либо соображениями, о желательности, т.е. выбирают либо те задачи, которые наиболее легко,—при современном состоянии математических знаний или экспериментальной техники —разрешимы, либо же те, решение которых, хотя и более затруднительно, но является наиболее интересным с теоретической или с практической точки зрения.
В обоих случаях планомерному выбору задач должен предшествовать обзОр различных случаев, подлежащих изучению, и степени их изученности в данное время и классификация их с возможно полным разбором тех теоретических и практических вопросов, к уяснению которых может привести решение тон или другой задачи. Настоящая статья представляет попытку в таком направлении по отношению к гидродинамике установившегося спокойного движения вязкой жидкости и за сравнительно короткое время привела непосредственно к разработке вопросов, составляющих содержание работ 41, 42, 43 и 51 последующего списка. ...
Подобную же попытку по отношению к методологии изучения близкого к гидродинамике спокойного движения вопроса о поведении твердого тела при действии сил, превышающих предел упругости, представляют работы J&NL 28 и 30 того же списка. Исследования в последнем направлении составят другую серию работ, первая из которых уже напечатана, а, вторая печатается ниже,—Л'-Л"? 44 и 46 последующего списка—, и в целях экономии места и ввиду близости тем обеих серий список этот заключает в себе работы, относящиеся и к гидродинамике спокойного движения, и к поведению твердого тела за пределом упругости. Немногочисленные работы, относящиеся только ко второму вощюсу, отмечены в этом списке звездочкой. Ссылки на все эти работы будут делаться указанием в скобках номера работы жирным шрифтом с присоединением, если надо, номеров страниц---обыкновенным шрифтом.
1. Б. П. Вейнберг. «Некоторые способы определения коэффициента внутреннего трения твердых тел (предварительное сообщение)».—Журн. Р. Физ. Общ. о'б, 47-48, 1904.
2. Boris Weinberg. «On Some Methods for Studying Viscosity of Solids». — Proc. lt.. Soc Iktoä., 19, 291-292, 472-474, 1905. * •
3. Boris Weinberg. «Über die innere Reibung des Eises». Ann. d. Pliys., 61—91, 1905.
4. Bill. Вейиберг. «Заметка о влиянии температуры на внутреннее трение твердых' тел ». —San. Нов. Унив>, 105, 157—186, ¡1905.
5. Б. II. Вейнберг. «О внутреннем трении льда».-^Журн. Р. Физ. Общ., 38, 185—225. 250 — 282, 289—8^4, 1906.
G. Boris Weinberg. «Über «len Koeffizienten der inneren Reibung des Gletschereises und seine Bedeutung für- die Theorie der Gletscherbewegung»— Zeits. f. Gletscherkunde, 1,321 -847,1906.
*?. Boris Weinberg. «Über die theoretische Möglichkeit der Existenz der flüssigen Kristallen».-т-Phys. Zeits...?, 8Б1—832, 1906. - ,
8. Boris Weinb&rg.itbev die innere Reibung des Eises II» Ann. d. phys., 22, 321 —332,1907.
9. Б. П. Вейнберг. « 0скользйости льда».--Журн. Р. Физ. Общ. 82,11 ч., 164—165,1907.
* 10. М- А. Кириллов. «Модуль Юнга, как функция растяжения проволоки». — Журн. Р. Физ. Общ., 39, «2~-80, 1907. - /
•* 11. В. II. Вейпберг. «Заметка к статье Кириллова «Модуль Юнга, как функция растяжения проволоки».— Там же, 81— 82,
12. В. П. Вейнберг. <«К вопросу о «спокойном» течении жидкости по каналу ».—Журн. Р. Физ. Общ., 42. 167 — 176, 1910.
13. Boris Weinberg. «Die wirbellose Strömung von Flüssigkeiten in Kanälen». — Phys-Zeits, 1U 346 — 347, 1910. ; "
14. Boris Weinberg. «Zur Theorie der Gletscherbewegung». — Zeits. f. Gletscherkunde, 4, 308 — 310, 1910 ,
15. В: П. Вейпберг. «Об исследованиях над медленными деформациями твердых тел».— Дневн. 2-го Менд. съезда, № 3, 24 — 25, 1911. -
16 . В. Ц. Вфпбер?. «К изучению тел с большими значениями коэффициента внутреннего трения».— Жури. Р. Физ. Общ., 44, 1 — 2, 1912.
17. В. П. Вейнберг и Ип. Ал. Смирное. «Сравнение некоторых способов определения коэффициента внутреннего трения вара». — Журн. Р. Фаз. Общ., 44, 3 — 25, 1912.
* 18. An. В. Игнатьев. «Определение капиллярной постоянной «твердого» вара по разменам капель». — Там же, 71 — 73.
19. Б. П. Вейпберг. «Влияние темцературы на внутреннее трение вара и асфальта».— Там же, 201 —229.
20. М. П. Гоетюиин и //. //. Ледантю. «Сопротивление вязкого тела движению внутри него твердого тела».—Там же, 241 — 251.
21. Б. Д. Вейнберг. «Дальнейшие опыты над спокойным течением вязкой жидкости по каналу». —Там же, 252 — 256.
, 22. С. И. Монстров. «Попытка определения некоторых механических свойств асфальта».— Там же, 492 - 502. , ..* ' '
23. Б■ П Вейнберг. «Добавление к предыдущей статье».— Там же; 505 — 513.
24. А- А. Милорадъв и И. А. Толмачев. «Внутреннее треиие асфальта».— Там же, 505— 513. . у. ■
25. Б. IL. Вейнберг. «Изучение явлепий в жидкостях при однородном сдвиге (предварительное сообщение)». — Там же, 514 — 515.
26. В. Д. Кузнецов. «Движение плоскости в жолобе с вязкою жидкостью». — Журн. Р. Фил. Общ., 4Г>, 499 — 518. 1913. -
27. В. Д. Дудецкий. «Определение коэффициента внутреннего трения асфальта из однородного сдвига». — Там же, 519 — 533. '
28. Б. П. Вейнберг.*Задачи физики твердого тела и успехи по некоторым ее вопросам за последние годы». — Там же, II ч., 67 — 115.
*Ш.Б.Е. Вейнберг «О внутреннем трении двойных систем». — Журн. Р. Хим. Общ.. 45; 701 —706. 1913. -
30. Boris Weinberg. «Sur les méthodes d'étude des déformations lentes des solides». —' Пригот. к пёч., 1913; имеет появиться в Трудах Ивст. прикл. физ.
31. Boris Weinberg. «Quelques résultats de l'étude des substances douées de, grandes valeurs du coefficient de frottement intérieur». — Пригрт. к печ., 1913; имеет появиться в Трудах Инст. прикл. физ.
32. Boris Weinberg. «Etude expérimentale du mouvement lamellaire des liquides visqueux».—Пригот. к печ., 1913; имеет появиться в Трудах Инст. прикл. физ.
33. В. H Алфимов и В. 11. Вейнберг. «К постановке опытов над движением твердых тел в вязких жидкостях». — Журн. Р. Физ. Общ., 46, 66 — 74, 1914.
34.' 10. 11. Резников. «Коэффициент внутреннего трения растворов даммаровой смолы в скипидаре в зависимости от температуры и концентрации раствора».— Там же, 75 — 80.
35. В. Л. Вейнберг. „Вероятные очертания будущей теории деформаций твердогб тела (на правах предварительного сообщения)*.—Труды ' Общ. ест. и врач, при Томск. Унив. за 1913 -г., 175-187,.1915. ■ ...
36. Б. II. Вейнберг. „Механические свойства глины",—Пригот. к печ, 1915; реферат— -Труды 3-го съезда Рос. Âcc. Физ., 24, 1923; имеет появиться в Журн. Р. Физ(. Общ.
37. Б. П. Вейпберг. „О влиянии примеси нейтральных твердых' телец на внутреннее трение вязких жидкостей".—Пригот. к печ., 1915; реферат—Труды 3-го съезда Рос. Асс. Фнз., 24 —25, 1923; имеет появиться в Журн. Р. Физ. Общ.
38. В. 11. Вейнберг. „Влияние трубки на скорость падения внутри нее шарика в вязкой жидкости".—Пригот. к печ., 1915; имеет появиться в Журн. Р. Физ. Общ. '
39. Б. Л. Вейнберг. „О. сопротивлении вязкой жидкости движению внутри нее цилиндра с коническими концами".—Пригот. к печ., 1915; имеет появиться в Журн. Р. Физ. Общ.
I
/1
*40. Б* II. Вейнберг. «Устанавливающийся режйм, пластичного тела при , действии постоянной силы с-релаксационной точки зрения*.—Цечатается ниже,
41.' Б. II. Врйнберь. „Спокойное движение вязкой Жидкости между двумя неподвижными параллельными й пересекающимися плоскостями. Часть теоретически*.^ Пршот. к печ.. 1922; имеет появиться в Трудах Инст. прикл. физ. , •
12. Б. Я. Вейпберь. „Две теоремы гидродинамики спокойного движения*.—Прпгот. к* печ.. 1922. . ^ ^ .
43. Б, П. Вейнберг. „Спокойное течение вязкой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Часть теоретическая".—Нригот. к печ:, 1922; имёёт появиться в Изв. Росс. Гидр. Иист. ;
44. Б. П. Вейнберг. „К изучению поведения твердого тела за пределом упругости;, I. Внутреннее трение исдаидского, шпата и каменной соли*.—Изв. Томск. Техн. Инет., № 3, 39 -40. 1923. ,
45. Б. Л. Вейнберг. „Анаморфозы весовых и молекулярных процентов и приложение их к внутреннему трению двойных систем большой вязкоо/ци*.—Пригот. к печ., 1923; имёЬт появиться в Изв. Инст. физ.'Хим. анализа.
46. Б. Д. Вейнберг. „Внутреннее трение свинка".--Це4атаетсд ниже.,
47. Б. П, Вейнберг. „Процесс подъема и опускания .'вязкой' жидкости в капилляре*.— Печатается ниже. ' 4
18. В. Д. Кузнецов. „Влияние температуры на внутреннее трение каменной соли*.— Изв. Томск. Техн. Инст., 43, № 3, 47—52,1923.
49. В. Д. Кузнецове. „Влиявие температуры на внутреннее трение парафина*.—Пригот. к печ,, 1923; имеет .появиться и Трудах Инст. прикл. физ.
50. В. Б. Вейнберг и К. Б. Вейнберг. „Некоторые экспериментальйые и теоретические данные о скользкости Льда",—Пригот. к печ., 1923; имеет появиться в( Трудах Инст. прикл. физ.
51.. Ж В. Грдцна. „О применимости асфальта для стыков водопроводных труб*.— Яригот. к печ., 1923; ймее* появиться в Трудах Инст, пряшл. физ.
2. Оснрвания классификации различный случаев движения жидкости.
Наиболее существенным различием, движений жидкости является отличие -„спокойного" или, иначе, „параллельноструйного", „пластинчатого", Яламелляр-вого", „безвихревого" движения от „неспокойного", „вихревого", „турбулентно- , гоа. Спокойное движение можно охарактеризовать, как такое, при котором траектории отдельных элементов жидкости не имеют точек пересечения ни друг с другом, ни сами с собою. Появление точек пересечения можно считать характерным признаком перехода спокойного двийсбния в неспокойное.
Другой п^ивнак^ по которому различается движения жидкости, основан на сравнений (Жоржей у одной и той же частицы игт в одной и той же точке пространства в последовательные', момейы времени; Обыкновенно различают две основных группы * движений: установившиеся или стационарные, При . которых скорость во всякой данной точке пространства остаётся постоянной во вре время при- дбторых скорость в данной
толке йзменяетсл во время ;7 движения. Мы4 несколько детализируем эту классификацию по/отношению к стационарным движениям и будем различать строго стационарные, квазн-стйционариые и приблизительно стационарные движения. Строго стационарными мы будем называть такие, при которых скорость каждой частицы сохраняет свою величину во все время движения и при которых тем более сохраняется постоянство скорости и по величине, и по направлению в каждой точке пространства. При квазистационарном движении скорость в каждой точке пространства остается постоянной, но—благодаря тому, что на мет данной частицы, изменившей свою скорость при переходе з другие точки пространства, приходит новая частица, .приобретающая скорость прежней. Наконец при приблизительно стационарных движениях изменяются и скорости в данной точке, и скорости каждой частицы, но первые изменения гораздо медленнее вторых или, точнее^ изменение скорости в данной точке за некоторый промежуток времени весьма мало по сравнению с, различиями между скоростью в данной точке и скоростями в точках, отстоящих от нее на расстояния, не превышающие произведения этой скорости на рассматриваемый промежуток времени.
Из четырех основных категорий движений, которые получаются им приведенных двух принципов классификации, а > именно ^установившееся спокойное, неустановившееся спокойное, установившееся: ^спокойное й неустановившееся неспокойное, мы в »той серии будем заниматься исключительно спокойным и притом преимущественно установившимся. Замечу, что, установившееся спокойное движение жидкости изучено' как теоретически, да и экспериментально, значительно менее, чем установившееся неспокойное, несмотря на то, что. изучение его, как более простого явления, дфлжно было бы, предществовать изучению более елойного явления установившегося неспокойного движения. Точно также неустановившееся спокойное движёние почти совершенно не изучено, тогда как более сложное неустановившееся неспокойное было предметом весьма большого количества исследований, : За дальнейшие основы классификации примем: • Л) чигло и форму поверхностей, ограничивающих движущуюся жидкость/ 2) относительный покой или относительное движение и характер движения этих поверхностей, ^ , .
а также 3) характер тех постоянных сич. которые вызывают движение жидкости: силы линейные (поверхностное йатяжёиие на свободной поверхности жидкости), цоверхностные (внешнее давление на свободную поверхность) или объемные (напр., сила тяжести).
Для детализации -классифицируемых случаев полезно иметь в виду составные части теоретического иди-экспериментального исследования того или •.другого'частного случая движения. Такая задача должна состоять в определении—в .зависимости от заданной системы внешних сил (давления и поверхностного натяжения, действующих па свободной поверхности, й объемных . сил, действующих на все точки жидкости): .; -
1) распределение скоростей, вращений и тангенсиальных< и аормадьных напряжений в различных точках фддй&да,
2) распределение тангенциальных, и нормальных напряжении в различных точках стенок, ,, < \ ( * , ... •
, 3) формы лнний/(тока.—Траекторий отдельных частиц жидкости, 4) количества, жидкости, протекающей чрез ту или "другую часть поверхностинормальной в. линиям тока. ' "
Так как в задачу настоящей статьи входит не только выяснение различных случаев движения, подлежащих изучению, но ц—степени их изученности, то не лишнее привести одно общее замечание (5,196), связывающее гидродинамику спокойного движения вязкой жидкости с теорией. упругости. Решение" всякой задачи теории упругости относительно деформаций упругого твердого тел)а при приложении к ограничивающим его поверхностям Определенной системы сил, если только эти- силы не вызывают ни в одной точке хела <>бъем-г ного сжатия, непосредственно приводит к решению задачи ощюрельнотшшЩ' жидкости, ограниченно^ такими же прверхностями при ..^рш^фчнй.^в'.нй^с. такой же системы сил. Достаточно,для этого в; решении, задачи упругости заменить угод,сдвига выданной точке угловою скоростью савигандя (или, что—тоже, градиентом скорости в данной точке) и модуль сдвига—коэффициентом внутреннего трения. Обратная замена может из решения задачи относительно-спокойного движения вязкой жидкости дать- решение соответствующей задачи теории упругости. • / . . , * -
3. Сличай безграничной жидкости.
, Прежде^ чем переходиць к классификации отдельных случаев утЬанотч-шегоси спокойною движения вязкой жидкости в зависимости-от числа и формы п ограничивающих ее поверхностей, укажу, что при безщанйчтсти жидкости^ и заполнении, ею всего пространства такое движение невозможно.
Большой теоретический и особенно практический интерес представляло бы изучение того шрбтстовгтгиегося еткойногб< 4вйжейия> какое должен представлять всякий вызванный каки^г либо внешним воздействием,—затем прекратившимся,— одиночный вихрь, который вследствие вязкости жидкости должен постепенно замедлять свое вращение, и далее система вихрей, распределенных в пространстве. Практическое значение этого вопроса видно да того, что каждый из тех: вихрей, которые по теориям Прандтля, Жуковского, Кармана и др. ') образуются за поверхностью твердого тела движущего^ достаточно быстро в достаточно мало вязкой жидкости, должен представлять собой случай спокойного Движения, так как, если распределение скоростёй йУ$<вк соответствовало бы условиям перехода из спокойного состояния в неопокойное или превышало эти условия, то этот вихрь должен был бы неминуемо разбиться на более, мелкие, в каждом из которых движение было бы опять таки спокойным или же вызвало бы его дробление* на еще более мелкие и т. д. 7
Последнее замечание показывает, что для полтй теории вихревого движения и, в частности, сопротивления, оказываемого жидкостью в случае такого ее движения, неминуемо рассмотрение; указанного выше вопроса о поглощении вследствие внутреннего трения энергии одиночных вихрей и системой правильно расположенных одиночных вихрей, а также выяснение тех условий, капающихся 1 распределения скоростей внутри вязкой жидкости, которые вызывают появление нового вихря или дробление уже существующего.
4. Типы и формы поверхностей, ограничивающих жидкость.
Жидкость может граничить, с: твердыми, жидкими и газообразными,телами. Характерным свойством поверхности твердого тела, ограничивающего жидкость, является возможность наличности—постоянных при установившемся и'переменных при неустановившемся движении—тангенциальных напряжений на ней.
Такую Поверхность—в зависимости от того, будет ли система действующих на нее сил удерживать ее в покое пли сообщать ей движение с определенною скоростью,—мы будет называть ,.неподвижною стенкоюа или же .,прдви^н(}^сгкешб'1б1,е -в отличие от „свободной поверхности",—поверхности, соприкасающейся с каким нибудь Гйзом, или с парами той же жидкости, или же с какою- нИбудь, дщгою.щтдкостью. Свободная поверхность характеризуется невозможностью существования ^а''' кУей'тангёАй;иаль1Шх напряжений, если только та жидкость, или газ, с которыми ^арйеддадоя изучаемая'жидкость, не находится в установившемся движении; -в. шугсдрем .случае поверхность соприкосновения может до, извеетаой степени играть.¡рд^ь-поверхности, стенда.
Установившееся движение возможно лишь, е'&ш не вся поверхность рассматриваемой массы жидкость будет свободной, а часть ре будет представлять собою стери, при чем прц дадичности; той или другой системы сил, дейст-' вующих на жидкость, характер двдзрния жидкости будет определяться именно ^числом, фермою и движением этих' стерок.
Для упрощения тмы ограничимся в последующем случаем вполне смачиваемых и-абсолютно твердых, т. е. неизменяемых стенок.
Возможен наконец третий тдц ч^сти поверхности» ограничивающей-данную массу жидкости,-г-тиц, который:,можно назвать „свобюдноф сщенкою". Это будет такая- часть стещей, ^^тарая дри дви^нии жидкостигдв«жется вместе с щиДегающим к ней слоем, Жидкости,;, не ^ньзывйя яа дего никаких такген-циадьнмх сил. В частности^ свобедаою ^урякою можно считать такую "часть свободной поверхности,' кота^.да^мещ^^л.ще^^амещч.г^эо^й форрг и величины.' . ' * /
') 'Прекрасный обзор их дан в курсе проф. А. А. Саткевича -»Аародлиайикв,- как' научная основа 1923,5 ' ' ' '
В некоторых случаях решение задач о движении жидкости между двумя неподвижными стенками, между неподвижной и подвижной стенками и между неподвижной и свободной стенками связаны между собою, как это указало в третьей работе этой серии (42). • - . '
Что касается до формы поверхностей, то мы ограничимся простейшим»
и рассмотрим последовательно: * '
а) плоскости, ; . v
б) цилиндрические поверхности—. в частности, поверхности прямых круговых цилиндров» ^
- в) конические поверхности—, в частности, поверхности прямых круговых конусов, ~ ' .
г) сферические, ' t
и различий® их комбинации.
Начнем рассмотрение с плоскостей, причем, так как наименьшее число плоскостей, какое может ограничивать жидкость (если в случае достаточно больших плЬскостей пренебрегать боковой поверхностью по сравнению с площадью-плоскостей), равно двум, то простейшими случаями будут движение жидкости между двумя параллельными'плоскостями и движение между двумя пересекающимися плоскостями или, иными словами, в клине.
5. Две параллельных неподвижных плоскости.
Если стенки параллельны и неподвижны, то установившееся движение может происходить только по одному, из направлений, параллельных- этим плоскостям. Случай установившегося епокЬйного движения между неподвижными плоскостями изучен и теоретически,'а экснернментально Хиль-ÍHo 1 >, и один из случаев неустановившегося, движения—процесс поднятия или опускания вязной жидкости в «капиллярном плоскопараллельном пространстве»— разобран теоретически мною (47). Из случаев, в .которых имеет место движение, близкое к-этому, можно указать кирпичеделательные пресса, просачивание смазки близ золотника паровой машины, когда он неподвижен, выдавливание вбок воды из под полоза саней (50) и т. п.
6. Две параллельных плоскости, находящиеся в относительном движении.
Движение одной плоскости относительно другой, параллельной ей, может быть поступательным, вращательным или винтовым. Очевидно, что достаточно разобрать только первые два случая. Первый из них в свою очередь распадается на движение одной плоскости параллельно обоим плоскостям и на движение перпендикулярно им.
Движение, одной плоскости параллельно другой может иметь; место при определении коэффициента внутреннего трений твердых тел из сдвига па-раллелепинеда 2) или двух соприкасающихся параллелепипедов (27), а также может выяснить роль смазки и величину трения при движении золотника и -различных ползунов. х
Задача движения жидкости'в случае движения одной плоскости относительно другой в направлении, перпендикулярном к ним обеим, может быть, разрешена лишь при ограниченных—по крайней мере, в одном направлении— их размерах, причем, конечно^ движение жидкости между ними будет лишь-приблизительно стационарным. Простейшим , случаем будет ограничение взаимно Приближающихся или взаимно удаляющихся плоскостей окружностями,
о Hele Shaw, Phil. Trans., 196 A, 303—327, 1901.
2) Obermayer, Sitzber.Wien. Akad.. 75, 665-679,1877 и 113, 511—560, 1904; And rade, Proc. R. Soc. Load., 85, 448-469, 1911, а также 1, 2, 17, 36, 44 и 46.
т. е. движение друг к другу или друг от друга двух кругов или колец. Задача таким образом сводится к нахождению распределения скоростей, вращений и напряжений (тангенциальных и нормальных), форм линий тока и количества жидкости, вытекающей из укорачивающегося (или входящей в удлиняющийся) вязкого цилиндра, усеченного конуса или тора ,с прямоугольным или трапецевидным сечением.
Случай сдавливаемого диска может иметь значение для определения коэффициента внутреннего трения его матерьяла !)> хотя явление и осложняется наличностью всесторонвих сжатий. Рассмотрение этого случая может да4ь подход к явлениям под плоскою пятою при ее покое относительно подпятника, к выжиманию жидкости при прессовании более или менее плоских листов, смочеиных или пропитанных жидкостью, к естественному спрессовыванию стопок пластов или плоских листов, разделенных слоями жидкости или даже йросто воздуха, к ^уменьшению прослойки воздуха между всякою плоскою горизонтальною подставкою и стоящим на ней предметом с плоским основанием. Видоизменение теории сдавливания диска путем замены внешнего давления объемными силами может дать теорию растекания тяжелого вязкого диска—в частности, теорию движения льда во многих полярных ледниках, представляющих собой боковые ответвления растекающегося щитообразного сплошного ледяного покрова (напр. в Грениландии).
/Вращательное движение одной плоскости относительно другой может быть рассматриваемо точно также только при конечных их размерах, причем для стационарности процесса плоскости вращения Должны быть ограничены окружностями, а ось вращения—ввиду того, что плоскости должны оставаться параллельными,—должна быть перпендикулярною к ним и проходить через центры этих окружностей. Таким образом задача сводится к определению распределения скоростей, напряжений и т. д. при закручивании цилиндра, усеченного конуса или тора с прямоугольным или трапецевидным сечением.
Такое «винтообразное» кручение применялось многими авторами для определения коэффициента внутреннего трения из кручения цилиндров -'), цилиндрических трубок (1, 2, 15, 46) и тора было предложено и испробовано для изученияявлений в жидкостях при почти однородном сдвиге (25) и может быть полезным для' йодхода к явлениям под Плоскою пятою' и для теории дисковых тормозов. Hö, с другой стороны, самый факт различия угловых скоростей сдвигания у различных коаксиальных слоев закручиваемого диска вязкой жидкости можно использовать для выяснения условий перехода от спокойного движения к неспокойному, изученному подробив пока, лишь для «спиралеобразною кручейия»—см. § 11 (работы Куэтта)—и для протекания через капилляры («критическая скорость» Рейнольдса),
Замечу, что, если ограничиваться при изучении стационарного движения между двумя вращающимися друг относительно друга параллельными плоскостями весьма малыми углами поворота, то призмы и кольца можно ограничивать любыми контурами, для которых решена соответствующаяся задача теории упругости—задача Сен-Венана о кручении призмы. В частности, кручение призм использовано было мною и В. Д. Кузнецовым для определения коэффициента внутреннего трения каменной соли и парафина (44, 48 и 49).
') Случай этот разобран теоретически Обермайером (1. с.) и Natanson\m (Bull. Acad. Crac., 1902, 494—512); применен на опыте ддя изучения внутреннего трения льда Koch''ом (Wied. Ann., 25, 438-480, 1865) и Me CnneWm и КШ<т (Proc.R. Soc. Lónd., 44, 831—367,1888). Сюда же можно отнести рассмотрение поступательного движения безграничной жидкости, встречающей препятствие в форме диска или в форме безграничной плоскости с круглым отверстием; см., напр.. Sampson, PhiL Trans, 181 А. 440-518, 1891.
2) Список работ в этом направлении—до 1906—см. 5, 20^—205, и 28, 1Í4; применение этого метода в работах моих и моих соработников—см. I, 2, 3,5, 8, 17, 22, 23, 24, 34 и 45.
3) 27 и Grübler, Zeits. Ver. deuts. Ing., 53, 449—455, 1P08. ,
7. Две неподвижных пересекающихся плоскости.
Стационарное движение Жидкости между -такими плоскостями возможно лишь, если линии тока: '< •1 1 Г
а) параллельны линии пересечения этих плоскостей или, иначе, ребру
■клипа; ' ' , ..■;"•■ ■ ■ ч ■ .. -о.'хсгл, •
б) перпендикулярны и атому ребру.
, Для случая угла клина. равного точное решение первой задачи может
быть получено, из дайного Гретцем1) решения задачи о течении вязной жидкости в трубе .квадратного сечения при помощи связи-) между решение*, задачи о течении вязкой жидкости в трубе и решением задачи о течение вяЗкой жидкости в канале, получающемся путеМч рассечения трубы на две одинаковых части любою плоскостью симметрии, параллельною образующим поверхности трубы, ■ ■ ■■ ' .
Джя случая малого угла клина приближенное решение, полученное мною <41), может быть полезным' для экспериментального изучения условий перехода спокойного движения в неспокойное. Изложенное там же приближенное "решение (тоже « для малых углов клина) второй задачи—движение жидкости по направлениям, перпендикулярным к ребру клина,—может, дать величину ■сопротивления, испытываемого клином в потоке вязкой жидкости, а также может быть использовано для экспериментального освещения уже не раз указанного вопроса о критических условиях движения жидкости..
8. Две пересекающихся плоскости, находящихся в отдои^елыыр
Поступательное движение стенок друг относительно '^у^ Мб&етГпроисходить:
а) параллельно ребру клина, ^ - ...
б) перпендикулярна ^ брсекториальной плоскости клина,
в) перпендикулярно к ребру клина и параллельно плоскости одной из
Если первый случай имеет, невидимому, лишь теоретический интерес, то второй может иметь, некоторое отношение к прессованию и к процессу накладывания, листов друг на друга в. вязкой жидкости и даже в воздухе. Третий же случай, может найти приложение к явлениям при счистке жидких слоев с плоских поверхностей -и при движении, как нижних, так особенно передних частей- едньков по поверхности льда, когда между
полозьями и льдом благодаря отчасти понижению температуры плавления льда •при повышении давления (9) и еще более, повидимому, за счет работы, на преодоление сил трения (50) получается «естественная» жидкая смазка из слоя воды, замерзающей снова по проходе полозьев, а также при движении полозьев при1 неполной—вызываемой самою наличностью смазки—параллельности их направляющим плоскостям11). ' !
Врагща'тельное движение может быть рассматриваемо опять таки липы, для ■стенок, имеющих контурами окружности, т. е.' формы круга или кольца, и для случа^ ; вращения вокруг-ори, перпендикулярной к биссекториадьдой плоскости клина и Проходящей чрез центры этих окружностей,—случая/ который при очень малых углах клина может иметь значение для теория." плос-
■ ми», Т, ------------' . ; , . , , / •• . • - ..'■■;, J .
1) Graeiz, Zeits. f. Math, u. -Phys', 25, 316—330. 375-404, 1880,
-) Связь эту я нашел в 1906 (5, 338 и 6, 383), но недавно офн&ружиж. что, она быда указана еще в 1845 Stokes"ом* Тгавд. Cambr. Phil. ¡Soe., ß, 286™319; ,109—414, 1848; Math. : ■&: Phvs. Pap., i,dp5, 1880. > .
"';?) ШутШ ШЬ-Тх^,'177,, 157—234, 1886; SommevfeU, Zeits. f. Math. u. Phvs, 50, 97-155, 1903; Michell, ibid, 52, 123-137, 1905. / \ - . '
кой пяты при* 'отклонении; оед^раадения, от:?адршщди*удярности плоскости подпятника. Такое ограничение излишне при рассмотрении- вращения вокруг ребра' клина—явление, которое может также иметь- ЗйЕШвцае для теории прессование, йо которое/ ^ожет дать лишь приблизительно стационарное движение жидкости. - • - -
Что касается третьего случая вращения—вокруг оси," перпендикулярной к о.сям вращения, в двух предыдущих случаях,—т. ,е.' вокруг»йЬа^щ^Л в биссекториальной' плрскостц и перпендикулярной к оси клина, тр, Б^'фы 'мы: ни ограничивали поверхность стенок, "оде при'этом рращении, ось которых вращалась бы также' "в- 'биссекто|>иальной плоскости, непременно шЩщ дойти до сопрпкоркойения друг-с Другом, а затем и до внедрения $$углв друга .своими частями. Пбэтому этот третий случай, поскольку речь лдет об установившемся движений, рассмотрению ,не подлежит.
9, Дилцндрйчесц^я неподвижная гктерхност^. -
V - . - ■ р ■ ...■'. : . '■■■/ ■■'■*' . • ■ ' ; ■ ......■ ' • - / ' ' ' :
Переходя к цилиндрическим поверхностям,, начнем с проса^йшадэ случая oonok- цилиндрической поверхности, заключающей жидкость, внутри, лебя, Случай Твердого 'ди-|ИНД|»гчесрого тела, находящегрся апрщт безграничной деид-кости/есо^ j^/fiiipcT^ случай дщх поверхностей, из которых вторую нужно < читать л&ж&щек> На бесконечней и, представлять себе, смотря по надобности, или в виде П|шмрго^Р|Т(Шго,,;цкдиндра^параллельною образующий данного р&мусом,, иди в в иде бесконечно
удаленной пдоекостй,ик&^же11,^1йёй Шт $Го&том£ этот случай отно-
(1ПСЯ либо -К § id, либо • 1; ' ' Д , л "
При' наличности одной-цилинд^'Ш^-Ч' В частной' cf^e, ^дзматя-ческой—стенки возможно лишь одно ета'ционариое Дв]ГжШЙ—riti яапрайетше, параллельному ее образующим. *
• '-Задача эта разрешима дли всех форм печения цп^ийдри^есйбйповерхнЬ-«jii, уравнение которых будет вида 1)
' 1 'f (X,'у)—1 ä(x^{ у-') = с (1),
где уррднецде»
в частности, для вс^халте^фчр^.-дрщ^ щщрш, цо^У^ются
из общего вида <' *, • ■ ' ' . * . » ' •
а0
I
или может -быть r^-ar-f,,,
- (Am cos my4- AJm '''-<' ' (4),
v-'-'"Hii ' ' •• - .Д i Я-
7 e (Вщ GOs m\ -f Bm - - ■ ' (o),
-а такие (5,340) для все# сечеви&>,$швЬщрф'щжу «еешрий плоскостью, перпендикулярною направлению движения жщ^т^лЩо^ из поверхностей одинаковой скврорти при движении.щщщутм,в-^щ^^дюбого, из;сечений (4) или (о). T.ogce' относам^ л Ьададе, (¡^щ'-^^ф^.
Чтобы сделать яедощ jf$&jp^»Moro:iслучае движе-
ние жидкости, достаточно, дздомнить ^классическую формулуЛуазейля я ее ■разнообразные, приложения2). • -.у
"у,.'/ У- " ' - - ' * ( • , ^ , Y ' - ,
" »y 1. >.-(§ 7).
-) Йэ- >er применений к весьма вязкий Жидкостей отметим работы Rejqtr'n (Ann. d. Pliys. 1906), а также, .20, 94, 37 и 45. -
10. Две цилиндрических неподвижных поверхносГи. >
Одна поверхность должна обхватывать другую, образующие обоих.поверхностей должны быть параллельны между собою и траектории частиц жидкости, должны быть параллельны общему направлению образующих.
Так, как мне не встречалось решение' этой задачи1),'то я счел полезным найти ее решение хотя бы для простейгааго случая—двух коаксиальных прямых круговых цилиндров (43). Случай это!?' может иметь значение для выяснения просачивания смазки между поршнем и цилиндром при их относительном покое или n|fti весьма' медленном, движении (как, напр., в гидравлическом прессе), некоторых подробностей выдавливания вязеих и твердых тел в просвет между поршнем и цилиндром, (напр., приготовление макарон, тюбочек для масляных красок), а также при движении жидкостей или газов между коаксиальными трубками, как, напр., в машине Линде для получения жидкого воздуха, .Найденное мною решение применено 10. В. Трдиной— на основании данных о внутреннем трении асфальта и влиянии на него температуря (19, 22, 23, 24 и 27)т-к выяснений вопроса о применимости асфальта в етыках водопроводных труб, л ;
Ввиду возможности неполной коаясиальности во многих из указанных случаев представляло бы интерес рассмотрение движения жидкостей между двумя прямыми круговыми цилиндрами с параллельными, но не совпадающими осями. v .
. Можно думать, что окажется возможным решение общей задачи о движении вязкой жидкости между двумя цилиндрическими поверхностями, если это будут две «эквивелоцитные» поверхности для течения ацгдк!сюти>внутри.-такой цилиндрической поверхности, для кЬтор$£ задо^ямеет .решение.
V Л ' . i ' -» 1 п. ■ "
• J 7 •t ■ ь Г-
11. Две цилиндрических ловерхНоеМу^шодАЩиеся в относительном движении.
Одна поверхность должна, как и в предыдущем случае; обхватывать другую ii образующие их'должны быть параллельны.
Ограничимся для простоты, прямыми круговыми цилиндрами.
Случай коаксцалъмлх цилиндров (43; допускает лишь две возможности их относительного движения для стационарности движения жидкости: 4
а) пЬетуп^ель'нЬе движение вдоль общей оси,
б) 'вращательное движение вокруг общей оси. ~ ', L
Цервый случай распадается в свою очередь на два:
а) движущаяся цилиндрическая поверхность представляет собой стбогЩш - стенку (напр., отекание вязкой жидкости по внутренней стенке цилиндрической трубы или по наружной поверхности цилиндрического стержня: простейшие водосточные «трубы» в деревнях, наливание жидкостей в сосуды с узким _ горлышком по стеклянной палочке или металлической проволоке);
^ '¡^' движущаяся стенка оказывает тангенциальное напряжение'на жидкость (мётод Сегеля 2) дл^ определения, коэффициента внутреннего' трения твердых •тел; боковое сопротивление, Испытываемое цилиндром при движении внутри цилиндрической труФки-^-20 н 39—, в частности, испытываемое поршнем при движений %нут$и цилиндра; сюда же можно отнести явление при покрыванни кабелей слоем изоляции путем вытягивания или п^одавлив&йия.
\ За недостатком в Томске литературы за прежниегодыипочти родным отсутствием,
за 1916—21 приводимые мною дитературные справки,, весьма возможно, не исчерпывающ^ полны. 1 4 г V- ' .
2) Segel, Pliys. Zeits.J d, 493-494, 1903; см." также fl
Если радиус внешнего цилиндра безконечно или достаточно велик, то случай £ сводится движению цилиндра вдоль его оси."внутри практически безграничной жидкости (метод Тамманна О для определения относительной вязкости, переохлажденных жидкостей; поправка—20 и,38—на сопротивление проволоки ври протаскивании цилиндров сквозь вязкую жидкость).
.Вращение одного цилиндра относительно другого, с ним коаксиального, вызывает „спиралеобразное закручивание" жидкости между ними Ц изучение его' может служить для определения коэффициента внутреннего трения жидкостей2) и твердых тел (17 и'Т9) и для выяснения сил трения между осью и втулкою в случае отсутствия сил, действующих на ось перпендикулярно ее геометрической4 оси. . . \
4 Если прямые круговые цилиндры, ограничивающие жидкость, имеют параллельные оси, то возможны все,три взаимноперпендикуля]эных-поступательных движения одного из них относительно другого, а именно: а) вдоль оси; ' , 4
3) в плоскости, проходящей чрез обе оси, перпендикулярно к оси; 7) перпендикулярно к оси и к плоскости, проходящей зрез обе оси. Рассмотрение первого вопроса может выяснить явления (строго стационар-ные>трёния между поршнем и цилиндром при наличности силы, перпендикулярной к оон йо^шяя; рассмотрение второго вопроса—явления (приблизительно стационарное) выдавливания слоя смазки между цилиндром и неподвижным—в направлении оси—поршнем; в том же случае или между валом и неподвижною втулкою в аналогичном случае (этим движением может быть объяснено увеличение силы трения при' пуск$ в ход после долговременного стояния); наконец, рассмотрение- третьего вопроса—явления (кв&зиста-ционарные) в слое жидкой смазки у передней части половьев при движении .по- плоской ледяной поверхности (в этом случае радиус внешнего цилиндра надо-принять бесконечно большим). Второй случай—при начальной коакси-альности цилиндров—затронут Стоксом
" В учз«- яекоаксшадьдоети цилиндров стационарное (и то—квазистационяр-,иое) дй^евде, Jffigßtsparäie^w одного из них возможно лишь при вращении .jwfeptÇ ' од^рй , ^ааралледьных^ оси дилиндра,—в частности, вокруг
самой шго^ 'Наследие}:« скучал4,) дает решение весьма важного
для теории»1 машин -^ctnpoôèV^ тлении, между .водкою и вращающимся внутри нее валом при ' наличности силы, действующей nâ^ai перпендикулярно его оси/ • Комбинация тайого* вращения,с поступательном движением, ( перпендикулярным к оси й к плоскости, содержащей обе- оси, ,дает .катание ^'одного цилиндра по, слою смазки-на поверхности1 другого—катание ео скольжением или без скольжения в зависимости от соотношения между скоростью поступательного и угловою скорость^ вращательных, движений, йё практических применений, относящихся к случаю бе'еь&онечнобольшого радиу^й, одного из цилиндров, дКажу раскатывание краски вальком йо литографскому камню, теста—скалког , катХЧ для уплотнения и трамбования мостовых, крановые тележки и т. п.
За^чу, что решение задачи о распределении скоростей и напряжений в случае-катания одной цилиндрической поверхности по слою смазки на другой имеет тесную связь с задаем о движении вязкой жидкости между такими же неподвижными поверхнЬстями под влиянием внешнего давления (42).
,"''.' ')' Tammann. Zeits.' phys, Ohorn., 28, 17—32, 1899. ' ^
vд2)- Vouette, Ann. chim. phys , 21. 433-551, 1890; Шведов, Journ, de phjs.,;S, 341—359.
1890 и другие; теория дана еще Stokes mi (Trans. Cambr. Phil. 8ос", бу <•• Matfc. ftijs1 Pap,, 1, 102^108).
Trans! Cambr. Phil. gpc,.,% 105—154, 1843; Math. Phys. Pap.fi, 35. - ' Reynolds, 1. Sommerfeld. 1. cî ' »• 4 » ' «
12. Три цилиндрических поверхности. , . , ,
. Случай двух цилиндрических поверхн©сТ4Й£^р>дящчхся одна вне другой змутри безграничной жидкости, ^ваде как -случай
трех- цилиндрических поверхностей, щ&ят-равен бесмт /ечности. Из разнообразных, .ро^эдзо^ еда огяда^Щх^3^заслуживает изучения .случай ис.стуцател^доТОг цилиндров по рщщ^рш, общего ¿орпеидикуляра к их, орям^ ^ врапщтедышх ^ осей , з притом с скоросадщ^^ад^') ДроцорционЦ^бшц рх рад^а^^^сле^ний с 1учий может. й&още. подробности ярйкеннй (выжимание белщ^,праг^Тодтение листового стекла, лпетовнх металлов!а
Гюлве- сл(^т(ьщ' случаи могуч привести, ц хдэдрил смазки в цшшндричешгх г.-бчатых кСуфсд^ рртати^шдх колесах, роликовых /цилиндрических подшипниках; ц т.'д.. / 1 ' ^
'V V • ' ' * ' 1 ' ',•"*.*;ч£»
1 _ ,13. Цилиндрическая поверхность и плоскость* ^
, 1 ' к ' . \ <» * » ; V I й 1 , (
Так как плоскость "можно рассматривать, кар частно 'случай дяддйдри-чеекой поверхности, тр на первый взгляд мвжят показаться, что- вопрос о щвзгении жидкости, ограниченной Цилиндрической поверхностью и плоскостью, 7Ж+1- решен выше-'в § 10 <и 1,1. Но там была речь о двух замкнутых цилиндрических поверхностях; поэтому, если жидкость ограничена одной цилиндрической поверхностью а плоскостью, находящейся на конеч 1Ш1' расстоянии:- от; нее-то необходимо представите себе в качестве замыкающей, ^вдкрош. - ;Юсти еще едну плоскость, параллельную перрй~И.Я#ход большом'расстоянии и от' нее, и от щМщ^щрф^,
случаю, рассмотренному л* я^вд^адедг.fdbНЦ^/1 ' . * Между тщ ч ' Шайнд^-
'-еской Ц'тарЙгаШщёЙ вё'пдосростак, а именно
случайлдвющей&я по кан'адуГ днЪ которого представляет собою эту
аезамкврзя^ Щ^^к'^Щю Поверхность, * а замыкающая ее* плоскость будет < чо&фнрп й&дархвдЬть движущейся по этому каналу ^Жидкости. '
"Задачу ату. рак уже укатано в § 7, ;йадо считать решенною для всех профилей каналов, какие получаются путем рассечения' осью симметрии- Пррг ■филей трубки,'для которбй решена задача о -течении! (по ней Вязкой 1 Применение этой связи дало теорию движения, л'4да кдёдниках.^5,'в, 14); т\ также может служить для Определения коэффициента даутрегщеш Трения твердых те!т (*2, 13 п"2Л). 1 \ , " г\ ^ 'V .
Возможен р обратный' случай, ^огда,. ц^движною" стевкою,,.^ плоскости, ограниченной двумя параллельными прямыми,д. ,*.<;<-ть будет иметь форму примыкающей к нему незамкнуто'! \ поверхности, а именно случай стекающей по наадодной' р0с!дестй/;ст|^£и жидкости. Точно так можно рассматривать, п сущщйукжидкости по отрезку незамкнутой цилиндрической поверхности, у ^
14. Одна коническая пае
Установившимся может быть' только такое движение4 вязкой жидвестя^ при котором траектории отдельных частиц — прямые, проходящие о£и про-
Слухай цилиндра в беаграничной ж^дкостя разобран Stokes ом-■ (Trans,5Йай),1>г. Phil. Soc 9, «—181, 1850,-.Math. Phys. Pap., 62—67; см. также Edwtoedes, ,Quart: JrH'iriu of JWath., -'¿C>, 70—78, 1893, Случай. - цюЕИндра между, двумя - ^араллея^нйми ялоовостями рассмотрев LflW&'ôM-^-cs. Heh Shaw, Trans. Inst. Nav. 'An'hit,. 'ÎÔ^l—38,' 1£й8-.> v . . '
долзйнии чрез вершину данной- конической ¡йо^е^ности,. а еамая поверхность представляет собой*-боковую поверхность усеченном корпуса,,-
Решение задачи даже для случая прямого кругового конура 1)' могло бы •иметь значение для внесения поправки на коничность капилляра при определении коэффициента внутреннего трепня цо .способу Дуаз^м, для рассмотрения движения крови в суживающихся кровеносны^ сосуда&ч изучения процесса поднятия жидкостей в' конических .капиллярах' и рьЩецця. капли' жидкости —• ома чивающей дай несмачиваюЩей — а! конической-, тру0к®у? для теории вЫТекания вязкой жидкости чрез, воронку и т. д. .Из 'зц&чейий^ Напряжения 1га стенках сужающегося. конуса при протекании . по нему адздой, жидкости можно сделать некоторые . выводы ( ртносительно, скорости, стека|ия. вяжой ящдкостц внутри "фнуса,- образованного ив нее самое, продесса образования, капель очень вязких жидкостей и процесса вытягивания стек.шных, кварцевых и т. /а. нитей. , ( , '
15, Две конических неподвижных, поверхности. ; ,
Ограшшшся двумя лря.\гьши круговыми конусами, один из которых нд-ходптся, трд' другого. \ , /
Если, оси " их совпадают, то при установившемся движении траектории вс<?х чадтий; доджны пересекать окружность,, но которой пересекаются эти^ кгоиу-с1и; если; же .оси не параллельны, то-^-эллипс, по которому пересекается эти 'пйве^пойиТ' Щ^ачачэта! мб'жет^ИмётЬ"' в«кЪто|>$е отйошейае к вопросу о конпческих регуляторах.
Две крничейких поверхности, находящиеся е ©т^нооиггельнач,
, Поступательное относительное движение при коаксиалыърсти конусов '(веди, , щ ограничиться двумя прямыми круговыми конусами) может
-стационарным — п то не строго стационарным, а приблизительно', — щщ^оян^фН& будед, направлено вдоль их обшей осп, как ото будет, напр.,
При отсутствии коаксиальности конусов1 .Ьйййгеййя -и по другим направлениям — в частности, де^йеЁйикулярнш направления-^ перпендику-к лярньш' л йщт^^щ^^'Щ^; 'параллельны,
то возможны врц&я^уяодю^^ '¿с» уодзот' ш
конусов, ¡0 перпендцкухя^'-Ь
ЩЩ, заключающей обе • 'V ' Дто касабтсА врашатезъ^Ш; движения,^ щ^'Шщр'^шШфШф^^ ¡^е^^н7 оно^ возможно лцшь вокруг щ; дрщ. '^щщЩЬЩМк \ч&рфффф; и
подпятник), а при отсутст^йи ЫЩ^жтт
ные случаи. Наибольший арктические интерес представляло ш '^«смотрение/езу чая кат&ния — Ык^тъш^ш^ Шк щ-''с#шмкенибм^ одо&йг кониче-поЦцЙ поверхности,по слой,-сма^г^щду- йрю.й Другою.- коническою ^поверх-дост&ю. как для авух прямых круговых конусов (подшипники с коническими роликами), та?, и для других коцических поверхностей, применяемых/ напр.,■ при зубчатых, конических зацеллодях. :у , / ' •
17. Коническая поверх коОД # /тесность.
& А - • / ' , • г,., , • . . I , ч '» *
Ш' сдувай зцожет быть рассматриваем рьк .д^стн'ый -случай двух;50Йи-доверхностей, одн$ из которые—прямой" круговой конус с углом рас* тру^ ¿аарш _-
' .....!П .............' , " >
1) Ма^, 18) -35 — 9В,4909,
" Рассмотрение поступательного движения конуса к безкоиечно удаленной плоскости дало бы решение вопроса о сопротивлении конуса при движении его в безграничной жидкости. " -
18. Конически к цилиндрйч&скёй поверхности.
Этот случай может бнт£ рассматриваем, как частный случай двух конических поверхностей,^ .одной- -Efe которых вершина лежи^ на бесконечности
Рассмотрение йо&рупатёльного движения прямого кругового к^уса внутри прямого кругового Цилиндра, с ним- коаксиального, может - дать ¡шаче&йе сопротивления, вст|ЦчЙеЙого носовой частью тела с коническим концов внутри
цилиндра, Напольного вязкой жидкостью (как, напр., в опытах работ 20 и 39).
,• * •• - .
' - у 19. Три конических поверхности.
' i 1 * /' . , ' • - 4 N
' Этот случай выяснил , бьгдвижение жидкости, окружающей две конических поверхности, лежащие вне друг друга, так как здесь надо представить себе-'Третью коническую поверхность (в частности, плоскую или. цилиндрическую), которая была бы ^бесконечйо удалена от первых двух и играла бы роль неподвижной стенки. / .
20. /Зве сферических поверхности, находящихся в относительном движении:
Переходя теперь к вполне замкнутым поверхностям, заметим прежде^ ¿всего, что, если вязкая жидкость ограничена одною замкнуто» псдаерхц<щь|?, то никакое стационарное движение ее не возможно (<фавн;*§ "Т<Игйв< - тд,кже в случае двух замкнутых поверхностей,^ ог^ци^ивают вязкую жид-
кость и одна из которых saiwSm^r, ййяеадф, • другую внутри себя, установившееся—строго ИЛИ^Р^ШйШФ^ЯЙ^^^е^И^ эт<?8, жидкости возможно только при относительном- дви^ейтШ* ^тих ловерхностей.
" Огр^йздфв^ск. щ настоящей статье сферическими .поверхностями, начну с случая двух сферических поверхностей, находящихся в отно-
сительной д»8жении.
' Если щш ^поверхности концентричны (пример: шарниры Кардановскаго сочленения), то еДинетвённое -возможное движение—вращение одной <т сферических поверхностей вокруг оси, проходящей через общий их центр1). Если радиус внешней сферы бесконечно велик, это будет > случай вращения шара внутри безграничной жидкости2).
' Если сферические поверхности не концентричны, jo возможно два посту-' пательннх движения: 4
У 1 ' - " 4
a)/вдол&-, линии,1 соединяющей центры сфер,—приблизительно стационарное,
b) перпендикулярно к этой линии—квазистацибнарное. . . Первый случай— при начальной к,онцентричности:сфер—разобран Стоксъм3),
как для конечного^ так и для бесконечного радиуса внешней сферы ji во втором варианте имеет массу разнообразных приложений. Если радиус- внешней. сферы Достаточно велик по сравнению с радиусом внутренней, сферы if вместе с тем по сравнению с удалением 1 от поверхности этой внешней сферы,,то первый случай дает нам движенце сферы к плоскости, тоже разобранное уже Стоксом и позволяющее, напр., вводить поправку -на влияние дна -_ 4 ■ - V ч ^ •
См. Édwardes, Quart. Journ, of Math., 56', 157—1 ß8,_ 1898 ■ ' ' '
.Qu-Whitehead., Quart. .Journ. of Math., 23,, 78-91, 1888. „ .-
3) tfiokes, 1843.1. c:.—Math. &. Phvs. Pap., 1. -II: 1850, L е.—Matli. & Pbvs. Pap.:*'. 55— 00.
при падении шара в вязкой жидкости внутри достаточной широкой трубки1), а второй—движение шара по слою смазки на плоскости, которое разобрано Лорентцем2), и может Иметь отношение, напр., к вопросу о растирании красок пестиком с полусферическою головкою. ,
Что касается вращательных движений, то рассмотрению при некон-ценТричности сферических поверхностей подлежат два случая стационарного движения жидкости, вызываемого вращением внутреннего шара: , / а) вокруг линии, проходящей чрез центры обоих шаров, Р) вокруг линии, перпендикулярной к линии, соединяющей центры. Евазистационарным .будет движение, вызываемое вращением внутреннего шара, * . ' л ,
i Y) вокруг какой либо линии, соединяющей центр внешней сферы с какою ' дибудь точкою внутренней сферы или с точкою, скрепленною с этой сферой, но не совпадающей с ее центром,
о) вокруг какой /либо линии, перпендикулярной к линии соединения центров обоих сфер, но не проходящей чрез центр внутренней сферы. »
Укажу еще на комбинацию поступаний и вращений, которая давала бы катание одной сферы внутри^ другой,—случай, могущий иметь связь с теорией шариковых" подшипников.
• 21. Три сферических поверхности. «
Если две сферических поверхности лежат одна вне другой, то для рассмотрения движения окружающей их жидкости при их относительном движении надо принимать, что эта жидкость заключена в сферу бесконечно большого радиуса, так что на лицо будет, в сущности, случай трех сфер.
^ Относительные поступательные движения, подлежащие рассмотрению,— следующие:
а) по линии, проходящей чрез центры обоих сфер3),
б) по- линии, перпендикулярной к линии, проходящей чрез центры. Вращательные движения одной из сфер относительно другой, подлежащие
рассмотрению,—следующие; i
а) вокруг линии, проходяшей чрез центры4,
б) вокруг линии, проходящей чрез центр данной сферы и перпендикулярной к линии, проходящей чрез центры, ^ , ' , - * '
в) вокруг линии, проходящей чрез центр второй сферы, но минующей, центр данной сферы, ,
г) вокруг линии, не проходящей ни чрёз центр данной сферы, ни чрез центр второй сферы.
. 22. Сферическая и цилиндрическая неподвижные поверхности.
Ограничимся прямым кругоЕыМ цилиндром и будем считать, что егэ радиус больше радиуса сферы, центр которой может лежать:
а) на оси цилиндра^ . ' б) вне оси цилицгфа. '
*) Stokes, 1849. 1. е., Math. &. Phys. Pap., 1, 4 H: подроби ее LÓrentz, Abhand. üb. theor.
, Phys, 1, 27—42b 1906: Ladenburg, Ann. d, Phys., 23, 447 458, 1907 (у последнего есть я опытные данные); Stock, Bull. Acad. Crac.1911',* 18—27.
2) Lorjektz, ]. c. s ' V . . ♦ , .
3) Cmninghqm, Proc. R. Soc. Lond., 83A, ''-357— 365, 1910; Smoluchowhi. Bnll. Acad.
Crac.' l'Jll, 28—.39; Intern.. Congr. Math. 1912, pp. 10. "
I Движение в обоих случаях будет стационарным—и притом квазистационарным—, если градиент давления и объемна'я сила будут направлены параллельно осп цилиндра. ' • г ■.
У-'-'-*-' ^ ) .' ■■ .•. ' ^ .
23. Сферическая и цилиндрическая поверхности, находящиеся в относи-.
г тельном1 движении. г ^
Ее.ш центр сферы находится на "оси цилиндра, то возможны следующие три случая стационарного движения: ' 1 -
а) сфера движется поступательно вдоль оси цилиндра—квазиетационар-ное движение, исследованное на оныте и теоретически Ладенбургом -для малых значений отношения радиуса сферы к радиусу цилиндра 1) и на опыте" при весьма разнообразных значениях этого отношения в физической лаборатории Томского Технологического Института (33 и 38); случай этот может иметь .значение для рассмотрения явлений в Кардановеких муфтах,,
б) сфера вращается вокруг оси цилиндра,
в) сфера вращается вокруг оси, проходящей чрез ее центр и перпендикулярной к оси цилиндра. - , • -
Последние два случая дают строго отационарное движение жидкости. .
, Точно также можно указать степень стационарности трех взаимно перпендикулярных (по линии, параллельной оси цилиндра, по линии, проходящей чрез центр сферы и перпендикулярной к оси цилиндра, и по линии, проходящей чрез центр сферы и перпендикулярной к двум предыдущим) поступательных Движений и трех вращательных движений вокруг тех же трет осей Или вокруг осей, им параллельных: " * * : - *■ '
Рассмотрение этих девяти случаев цред$г<дадо' осрбЙгй*'нйте|)ес при условии, что силы, вызывающие .движение/ шар&, , будут' таййми же, какие действуют и на всю остальную йидкость/т., е.' что'кроМе давления на свободную поверхность последней действуют лишь объемные силы, величина которых на единицу, объема движущейся сферы—та же,- что и на единицу объема жидкости.. В случае^ если объемные силы будут силы тяготения, такое ограничение сводится к рассмотрению движения сферы, которая имеет тот же удблг.-ный вес, что и жидкость, м движется лишь под влиянием сил внутреннего трения в слоях, прилегающих к ее поверхности. . ,
'' При действии таких сил возможны лишь поступательные движения такого „свободно увлекаемого" шара и при том—только по направлению,, параллельному оси цилиндра. Если при этдм центр шара будет находиться на оси цилиндра, то такое .поступание не будет сопровождаться никаким' вращением; если же шар будет "своим центром эксаксиален, то поступание шада будет сопровождаться его вращением вокруг мгновенной оси, перпендикулярной- к' оси цилиндра и к перпендикуляру из центра сферы на эту ось-^-подобно тому; 'как река катит камушки близь дна.
, 24. Сферическая и кеническая'неподвижные поверхности. *
Ограничимся прямым круговым (конечно, усеченным) конусом и случаем, когда поверхность1 сферы лежит внутри конуса.' ' ■
Вдали от сферы траектории частиц жидкости должны представлять-; собой прямые, цроходяпше чрез вершину конуса. РассмотрениЪ подлежат'два случая (оба—квазистационарного движения); ' > -
а) центр сферы лежит на оси конуса (возможное применение—некоторые типы клапанов), ' : " / :
б) центр сферы лежит вне оси конуса. л .
*) 1м(1тЫлг%, 1, с. (стр. 15, прим'. 1).
25. Сферическая и кониче<уця поверхности, «ахеддаццеея б относительном
,' движении- . ..
Здесь возможны те же, "случаи, что при относительном. движедиа сферы и
ние щ лиНйп или вркщенйя ^мфуг лршйи, проходящей чрез'.'зерщвду Тнды движения в девйтй случаях, аналогичных указанным те
же—за исключением посту^вия вдоль оси конура или по линии, пр^^одрей' чрез его вершину,' которое будет не'квазц,, ча приблизительно стационарны^.
26i Х)дна или несколько сфер, и ^ве. плоскости.
Переходя, к ц^евыцгающему, два числу поверхностей, ограничивающих жидкость д пе,находящихся на бещрнечндоки» мы не будем .рассматривать отдельно все иозмоданьщ.виды, относительного движения л)тих .поверхностей,,а по преимуществу-'противопост^да .случаи относительного покоя и относительного движения. ' . . ,.„ ,<;
Ксли,.дацы'сфераi-и;- две церееедадащихся (в частном случае-параллель-пых;..Цдоско^Иу,то-возможны следующие категории случаев:
» а)" сфера/и .г1лоСкости неподвижны -— движение, жидкости в клине (в частном'-случае' з&жду %крайле.1ьйыми плоскостями), fc ко^о|юм находится неподвижная сфера,' - ,ч : - ' " »
О» одна плоскость Д ;)сфера неподвижна,.-другая плоскость. -.находится в движении, <•'/.. ' ■ ■ , '.,3(1-« -
в) неподвижны плоскости, движется сфера, ' '
D одна плоскость неподвижна, сфера и другая плоскость находятся в движении. > .
В д^ух последних категориях1 особое -внимание должно быть обращено на случа^ч^^ та^яе щ сады, как на остальную жид-
щфШк.&ШШ^ .между- двумя пе-
рссе^Щ^и^^Д'Ш^щШ^ТО) тште^'и^и^-а,. движение жидкости со ■ свободно ' одой плодкоети
и-гносивдно щцыч , ч / -i -
- Осебую важности ^ттшш ^Свобод-
ном увлечении «"«дучаев—р«ди,
ковых шаров, центре й^оВ'А&ДОЭДк
расстояниях друг от ш
объема, заполненном одййазшнбм'й1® рада^отстоящимй 'Шара-
ми, и объема, '-заоолнвншМ' йещ^Еа б^Шш^кол^с^шм- одинаковых шаров, хаотически распределённый ш^ш^гу, решение задачи о движении
жидкости сквозь, такой .равду-ида^и'йЖй! Ш<Ш пиаров, находящийся между двумя пересекающимися М11парайЛШЬЯ{ьзаШ'ЩоскйсТАМй. - ; ;
Если оы таме в^ррсы пм^^Ли 'хотя приблц&^нное рещёние, это помогло бы выяснить "^ёоретитескую / сторону влияния'примеси ' ^нейтральных твердых телец на коэффициент внутреннего трения- вязких жидкостей (37) и зависимости этого коэффициента от отношения компонентов < растворов друг в другие двух вязких тел весьма различной вязкости (22, 24, 26, 34, 45). Исследование таких вопросов ва опыте, и свободно в теории mow в свою оче-ред. йвдтьсй подходом; к теорий; ¡действия сил^цревышакших предал упругости, if a ,теда, у которых • кристаллиты: обладают более высоким пределом упругЬср^-дем^про^уточддя^ежду ними спайка Г35у 44^,
' Еели ограничивающие плоскости бесконечно-^ДалвНй, то получится теория г> движения в безграничной вязкой жиДйоети пласта равноотстоящих и одинаковы^ шаров и объема, равномерно или хаотически заполненного одинаковыми шарами под действием равных и одинаково направленных (перпендикулярно к ограничивающим бесконечно' удаленным плоскостям) сил. Теория эта может быть весьма полезною, для выяснения явления при опускании густого тумйна, при отмучивают и д. Изучение же движения Жидкости сквозь-безграничный пласт или Об^ек',. равномерно или. хаотически заполненной одинаковыми шарами, дало бы, подход к теории фильтров—формы пластинок или объемных—,к теории движёния грунтовых вод чрез песчаную почву и т. п.
27. Несколько сфе^» и коническая (в частном случае-^-цилиндрйяеская) поверхность.
Из различных возможностей здесь наиболее важнй т'е же, какие 'были' ука- > Завы в предыдущем а именно ряд равноотстоящих расположенных по одной линия-и равных шаров, пласт равноотстоящих и равных шаров и объем, равномерно или хаотически заполненный равгами шарами. ' 1
Возможны следующие основные категории случаев:
а)коиическая (цилиндрическая) поверхность и сферы неподвижны,
б) коническая, цилиндрическая поверхность и сферы находятся в относительном движении. -
Наибольшее теоретическое и практическое значение имело бы рассмотрение , случая течения по цилиндрической трубе Жидкости, свободно увлекающей ряд расположенных по оси трубы, равноотстоящих и одинаковых шаров или жё совокупность равномерно или хаотически распределенных по' жидкости весьма малых по сравнению с радиусом трубы одинаковых шаров. Из тайого1 рассмотрения можно было бы подбить ;сунк^ёнйш ; данные^ для выяснения явлений при течении по трубам пульн, эмульсий, Сусненсий, жидких глин, незастывшего цемента и т. й; 'С •' '
■, ( 28; Заключение.
Из того, какая ничтожная доля указанных выше случаев, относящихся к прюс'Цйшим геокетрическим формам ограничивающих жидкость поверхностей и потому далеко не безнадежных при современном развитии математики2), решена, видно, как много остается еще сделать в' гйд{1одинамике спокойного движения вязкой жидкости. Вместе с тем изучение этих вопросов может, как указывалось во многих местах выше,.¡иметь и большое практическое значение помимо того, что путь к рациональной постановке теории неспокойного движения лежит чрев изучение соответствующих случаев спокойного движенияг). Подчеркну еще раз важность выяснения условий перехода от. спокойного движения к неспокойному, так как только тогда можно будет безошибочно прилагать Выводы гидродинамики спокойного движения к действительным случаям или же знать, насколько неточно такое применение. Характерным примером В этом отношении можно считать приложение, .теории спокойного движения вязкой жидкости к сопротивлению среды движению тела маятника, тогда как при действительном движении маятников (то же-относится и к колебанию весе») имеет, весьма вероятно, место неспокойное движение воздуха вокруг тела; маятника. ,, ,
: Февр. 1922,/Окт. 1923.
*) СиптпдЬаш н ЗтоЫсНтовМ, 1. 21).
а) Довольно много еду чаев разрешено дая змипсоидов, как вращения, так и трехосных,' но я не привожу списка известной пне литературы до тем же соображениям, какде приведены в прим. 1 к § 10. . -
3) Сравн. 32 и 33 и Бкш. Росс. Гидр. Инст.,№ 3, стр. 1922, а также .§ 3 настоящей рабоТй."
19
-
II. Пресс подъема в онускавия вязкой жидкости в капилляре.
1. Выбор темы.
После того, как проделанный мною *) опыт .Плато с кусками вара, помешавшимися в раствор селитры одинаковой с ними плотности, дал через десяток лет положительный результат (продолговатые призмы приблизились к форме шара), ясно обнаружив, наличность в «твердом» варе сил поверхностного натяжения,, а f А. В., Игнатьев *) непосредственно измерил для pro капиллярную постоянную по методу плоских капель, стало желательным проследить зависимость коэффициента поверхностного натяжения от состава растворов друг в друге двух тел, весьма сильно различающихся по величине коэффициента внутреннего трения (вар и керосин, даммарова смола или канифоль к
скипидар н т.-д.). ,
В качестве первых шагов но направлению к рааработке мётодологии определения коэффициента поверхностного натяжения жидкостей самой различной вязкости я предложил осенью 1913 г. студ. С. М. Воинову и А. М, Мочалину в качестве дипломной работы разработать для жидкостей довольно значительной,
но еще не слишком большой вязкости/г( порядка 10°—10-—) метод
\ см. сек. /
подъема в капиллярных трубках путем наблюдения самого процесса поднятия пли опускания жидкости в них. Высота жидкости Должна, очевидно, стремиться асимптотически к некоторой Предельной величине, соответствующей равновесию сил поверхностного натяжения и гидростатического давления. Выведенная мною тогда же формула—см. § 3—для высоты подъема Ii в момент t после начала опыта показала возможность получить из серии отчетов h не только величину коэффициента поверхностного натяжения а, но и коэффициента внутреннего трения ть а весьма тщательные наблюдения Воинова и Мочалина показали применимость этой формулы. Недостаток времени не позволил мне же разработать.удобный способ находить из ряда значений h окончательную высоту II—максимальную—в случае поднятия—и минимальную—в случае опускания—и я обратился к окончательной обработке этих наблюдений лишь в связи с возобновлением работ по гидродинамике спокойного движения.
Просматривая в бытнбеть мою в Москве в марте 1923 литературу за 1916—1921—годы, когда.Томск был совершенно оторван от остального научного мира,—я нашел работу Lucas («lieber Zeitgesetz des kapillaren Aufstieges von Flüssigkeiten». Kolloid. Zeits. 23, 15—22,1918), пришедшего кформуле того же типа, как я, и-прояелавшв^^Д-и^ ¿аростям!!.сравни-
тельно малой вязкости. Так как метод Обработки этого автора ^менее Нолон, чем тот, какой применяв я, то я изложу эдесь, как наблюдения Воинова и Мочалина, так и примененный мною шнзоб обработки их, -и* приведу получающиеся из них 'результат^, •
2. Постановка опытов. ^ ,
Изучаемая жидкость наливалась в небольшую фарфоровую чашечку почти до верху и в нее опускалась подвешенная вертикально капиллярная трубка. К поверхности жидкости подводилось нижнее острие штифта с микрометрическою нарезкою до соприкосновения с этой поверхностью, о чем судили по совпадению этого острия с его зеркальным' изображением. В подвижно! микроскоп с окулярным микрометром (1 деление барабана^=7.84.10"2 мм.) наблюдались положения мениска в различные моменты (по секундной стрелке
1) Б. Ш Вейвберг. Общий курс физики. 1. стр. 291, М, 1908.
2) Работа' № II списка, который помещен в предыдущей статье я. по которому будут /слаться все дальнейшие ссылки.
карманных часов), причем, когда медлен«©; удвигавншйся мениск уходил из ]юдя зрения, труба микроскопа быстро перемещалась вверх или вниз и для контроля записывалось показан и« тониуо&'ша« вертикальной колонке микроскола. 13 конце опыта делались ответы нониуса при наведении на мениск, на верхний конёц (тоже заостренны®) пгофейя на чертенку на капилляре. Расстояние от этой черточки <- до" й'жнкФ 'конца каттйлля^а * й длина штифта яикроагетрс иного винта бШк гизмер^ни' тем же' подв'изйцйм:'¿гигроскопом.
Первоначально пр^ДПОдаг^ДОсь вести наблюдения одноврда^дн'о Двумя капиллярами, переводят"мцкроскоп "с одного на другой, но пре'дайрЙуёльные >пыты показали мевдпур/точность, отчетов при этом. Поэтому кажда^'серия наблюдений делись .затем лишь, с одним из двух капилляров (г, —0.297' щц т., =¿=0.504—па Навешиванию сто.шика,ртути).
Исследованию были подвергнуты 50°/<х, 60°,'о и 650/о-ные растворы • дам-маро'вбЦ .чмэды в скипидаре, причем для предотвращения испарения их весь прибор-очозивдался под код Пак* иэ плоскопараллельных стекед,. под который ставилась также открытая чЬтиечка со скипидаром;' Эта.'предосторожность при длительных опытах оказалась недостаточной, так ..как ва- поверхности жидкости в чашечке и, повпдимому, в капилляре oбpaзqвывaлcя с течением времени слой, менее подвижный, чем внутренние,—вероятно, вследствие различия упругости пара.раствора смолы в скипидаре и чистого скипидара. Это обстоятельство, а, также изменяемость температуры за большой промежуток времени опыта, еще более утвердили, нас в необходимости для определения коэффициента поверхностного натяжёнпя таких вязких жидкостей' не выжидать втечение многих часов и даже нескольких суток установки жидкости,о$ов-> чательной высоте/а находить" эху, высоту, -ад н^бдюде^ий ; с^щ^^црш^а подъема или опускания щфШт ^п.^Л^^и^- V '
Приведу для примера в$а®вш& я^вДОмгёв ¿«ёртК «о .«срявдшеяьно небольшим (для сокращения - мест).. вислой' тчегов1—наблюдений, над опусканием +'»о°/д-ного раетвфра 21 Л,0.13. Температура в начале и в конце опыта—20е.о. Отчеты Д10 ввн&усу ДО' ондаа: на-штифт = 54.7, на черту = 48.5, на нижний край '9:2. •» > ( <" , . 1,1
11 пррв,
Црвмечация.
1). прив. | Применив«
11 ч'. 10 м.. (.)0.0 оо;о'
- 41 | 75 & 75.0"
-42 1 ' 59:5 ,, 59'. 0
. 43 ! л 4Л8 ; . 44 0
■м. 1 , ф.5, 32.0
' 45 ' 1П.0 19.0
46 ' г . .8.0 8.0
ао.о 8.0
• ".47 1 , 80.0 — 2.0
■ 48 ! . 70 0.' — 12.0
49- ' 60{> 23-0'
, 50 , , 51.0, — 31.0
52 ', Зо.О — 47.0
' 5*1 20.0 — 62.0
90/) .—' 02f.CC1
' 56' .. 1 .. : 78,-0*1 ,7 4» о ■
Отчет по нониусу — 33.3
пореставлепо •отчет-- 25.8
4 I
переставлено, ' отчет — 20.3
11ч. 58 м "12 ч. 00 м, ■ 04 ■ .. - 08 „ , 20 ' 07.0' - '44.0' ■' -«ЗУ) 19.2 - $о.О 184.-0' > ~ 108.0 -.124,5 где
28 44 , ,16 32 91.0 - 87 0, * и «80Й-. 83-9 , ! 83.0" — 136.3 — 138.3, — 139.8 >- ¿40,3- — 140.8 — 140.8
23.10.3 10 ч 00 м. " '88.0 . ч ■ ' — 140:8'
.л.
• *«
н^ер^Шеяр, отчет =± Г4.8
Отчеты:;
С каждым'-из трех растворов, было Продела но,по д вё -серии: наблюдений'
оылн повторены.
/ .. Большинство достроенных графи« не уставляют рке^1ать ничего дувшего в смысле плавности хода—в оеобенноетй для серий наблюдений над опусканием.^ • . - - -'i1, ' .- и (> -
' , ä. Вывод формулы.
.ЕййЛрФае введенных обозначений обозначим еще плотность жидкости ^ерез7 Д, 'ускорение силы' тяжести чрез g и длину погруженной трубки чрез 1, то для силы поверхностного натяжения U. тянущей жидкость1 •'в '^капилляре вверх, для силы тяжести f«, тявуп^ей ее вниз, и для /количества
жидкости протекающей (по формуле Пуазейля) вверх, получаем: '
, i , ( ■ ' ' / " ! , fi — ^г. а 1 . /......, . . (1-)Г
' • ' ' . 1и = гЛ Ag.............(2),
t/ 2 тгга =• ftrsH Д g . . . . .'■..'......"(3),
- dt~ dt ~ УГ| . ,Trr2(h-L-l) • • • •
npi?eit, в1тсдуч# 'опускания жидкости в формуле-(О fu > fr и след. -¡t- < О.
. .^Mt^ritm-K'.i^ '¡. , • „ . dt
Из (X), (3)' И; (4) находим
. > _tlb_ r8.CT8Ag (Н,~-Ь) r*Ag H-li . "
. , Л dt w«- (Ь^-Д ^ - 8ti '*"h + I - ' ' '
Обозначая . ' ' ' , .
.........." - • (С,)'
^1рЭ0тделяя переменные, получаем '.
hJ-1 „ ,тт , (НИ —Ю ' „
— 11 " 1н 4"!)" g--М.....Oh
от
• I
И '»tr f у- , - » :(v —h0;.......(8),
• ,-•■>• ^............V I • • ( С 1,- I л. • 1 k п'и I ■■■ 11 I.
C(t ——ho
Ч+Л '
\ -Ц' — Б-ЧН — " . . .(9).
Форма уравнения (9) лишает возможно^й' яайтЬ'йз' него Н, по "наблюденным Ь, а, след., нельзя найти и из уравнения (8). Точно так же уравнение (9) неудобно ц для 'дю$£рки теории, так как ив него нельзя найти к. ^Поэтому, убедившись на, .я^колькнх йердах, что, если принять за Н наблюденную окончательную высоту, т^ зтравыё части уравнения (8) дают * значения,1 'близко пропорциональные времени >о?» начала опыта, я решн^.лсполь-зо*а&'(1|в£«гу*у (о). Определенные из опытных данных значения скорости V изменения ;ВЫ£0Т£1 в различные ,моменту времени могли бы. на основание этой , форм'увд, бить /использованы для нахождения—из ряда наблюдений над высотами подъема в различные моменты—той окончательной высоты И, к , которой оти высоты асимптотически стремятся и из которой можно найти коэффициент поверхностного натяженйя а, а также коэффициента С, ка--тсфй^, служа своего рода мерой количества протекающей по капилляру в ^жидкости, может дать величину коэффициента 'внутреннего тре^я; л .
те, выведя формулу (5), интегрирует ее при помощи ряда, что представляемся - л ' менее удобным, к' мейёе ' точным, чем' издргенный ниже
способ обработки, хотя и представляет зна'&тедьйый шаг вперед по сравнег > нию с цитируемыми ■ »тим автором его пред шесТВбннИкам и—Cameron & Bell "(Bull. Bureau of Soils U. S. Dep. of Agriculture, 1908) и Wo. Oshvald (Kolloid Zeit s., 2, Suppl. Heft II, 1908), др^^явдоцде эмпирические формулы показательного типа, дающие невозможное5 дл#Н значение Й—от при t = oo.
Если обозначим скороеди.Удг! и У» .в моменты, когда ,вцсдты жидкости равны lim и hn, то, вводя формулою (11) обозначение Крн;* получим из формулы (5) последовательно : > , 4 . • ' л> ,
V _r г H —lia . /"^.'ViftA
lta+Г........
H— hm Vm(hu + 1) - • ' -
• . hexst'- vtf(hm-f ít ' * ; ;......
__ lim Kmn — hn _« hm — hn , .
¡ , , Kmn — 1 — J ' * ' '
'¿Ii- ■'■,.>, ■ I - ■ -..л." , ;« ; Y ■■ : : У .■/■.'■■■■..,,
, Для наиболее точного определения H надо, очевидно, выбирать такие ^ значения Vm (hm -j-1) и Yn (hn -j-1), отношение которых возможно близко 2; из полученных из различных комбинаций произведений Ví fhi +1) значений , H надо взять среднее, а тясюда- по формуле (В) найти а. Найденное значение И позволит затем из каждой пары значений hi и Vi найти значение коэффициента С по формуле
с = 1^4'--.............(13).
откуда по среднему С из этих значений мы по формул^
' ¡f?- ''*"» -/-Л'Г 4. Случай плоскопармлеяыфга капиялй^и&Р« щ^тваиетва.
Ô ». ..... . • • • 'г J-- эд» u „'îrv ^mtf^'^T^S <"
тщ,-*^-.
Совершенно таким Же -еярав$Е>й мо'що получить формулу, выражающую изменение высоты: ^адрьейа Фи&коети в 'Пространстве между двумя параллельными плоскостями. находящимися на расстоянии 2 а. Если длину их, достаточно -болыйую но сравнению с расстоянием, обозначить чрез' Ъ, то вместо уравнений (1)~?(4), пользуясь формулой для количества жидкости, протекающей между двумя плоскостями *), получаем
^ = 2Ъ. а . '.............. . (14),
1п =1». 2аЬД£ . .' . . . .^^/¿¿ч^.^^)^'''
2Ь.а.= 2Ьа11ДЬ' . . .. .V. ч .;;(16), ;
(1<1 с! (2 аЬ Н) ___ а3 _ ¿1 — 1ц
(И." ~ '(|Г~- 7 Зтг' 2 аЬ (11-|-1)
\
. (17),,..
" Последняя формула отличается от формулы (5) только видом коэффициента пропорциональности, так что вся последующа^ - обработка этого случай отличается от случал цилиндрического капилляра только значением. эТйго коэффициента,' ~ : ' ' ' ч
5. Обработка наблюдений.
Указанным выше Способом были обработаны все- наблюдения Воийова и Мочалнна, причем наибольшую трудность представляло 1 получение значений V, которые находились или из графики—проведением касательных, или вы-
См, напр., 41. . ■ 1 ,.■■■'. 1 > - ,
числением из ответов Ь. Цервый способ дает мало удовлетворительные результаты в местах, где кривая поднимаете!? вверзе очень круто или очень полого, так. что приходится стоить различные графики с различными масштабами абсцисс,. адражающнх Время. Для вычислении по второму способу я орал, зд~значеайе Д^ в мо&ен^'шгда высота равна Ы,, -.величину т ' 4 ~ Ь - —4 Ь —Ь ■ - ,
№
причем в тех случаях,,' кбгда значения V не обнаруживали достаТбЦзой плавности, я прибеги к выводу средних из нескольких соседних значений и сглаживанию йо 1%с£у *)• ', ' ' ~ > .
Как ' приведу1 обработку серии, приведенной в § 2,
призд:деГАэтой серйи значения У} были определены, как графически—столбец"^; ^-;так и по* формуле етолбен т'! Значение лч выражены в делениях микрометра'в минуту, а значения Ь (от нижнего конца штифта) и 1— в делениях микрометра, - "
.,.■■■■.■,и/ Таблица 2$.
0
1
9
3
4
к У V ' 'Ж**
УЧ (1ц +1) V"! (1н +1)
448,0' 435.7
Д^ 422.2 Г, 411.2 7 401.2
462.7 14.6 ' Ч
13.а ч'в! 12.« 12.0 10.3 10.0
11 -'•¡¿й' 6.40
ЗЖщ
5.00 4.06
2.14
ййй-1
1вабл.
О 1,00
1?3
14
15
841.2
318.2 309.2 ,395.2
18 278'ф ■
19 270.4.' ¡ 20 266.4 '
264.4-
Шес1г., 27,
<- ж а*:' 1' 2 9-,4,5
7,8 9,10 11,12* 13,14 '
-ТдбМма
*' 9 ' ' < ' 'Л2^,6.3)
10 (381.2) ' (2(10.0)
•<1 .■•>.......-•'••.я! .-. /• "Ч .. • ;Л Л/*«- г» - " ■ л «г*, л
278,-2, 203.7 2П0.3
11 •<■ , ¿М2--Г ^-жы
,12. Ъ ' 17869 1 ' -13 '.V 1.97Д 2.024
» 1.811Й ' , . 264Л '
16 ? '?8 2.474 ' - • 2!о!92" 263.6 2а?,Г>
22' 3.043 " "
21 22' 3.043 , , 2.2Гб4 ■• -"2В2.6,' " • 262'.О
> V 1 ' Г "
Средние значения Н' и Н" сю средними погрешностями'результата и одного определения равны . и ,г
• ' 262*5-^ 0*8 2-7, Н;=2б4-2-—1-2=^ 4-3......'<32).
Одавая зв этом случае-предпочтение значениям ТГ, я вычислил по Формуле (13) приведенные выше в таблице (20) значения С и откидывая два последних значения, 'получил в среднем
' • " ^С = 0-42 Г.;" 0-6 " " '
«гввч.», ддсте
"л
При помощи значещй (2 формуле (н) ив должна, быт 6«
ВиДуг'- I , "ТОЭДу 1-Г ру-1^ ■ ■ - ■ -'4 '« . -гг.
_ ^вычпслепъ! по \ «о^да такая высота
дяфзШШе в тарлйЦе л- столбце
6. Ийуяьтаты обработки. '
Результаты обработки всех окончательных^' серий дает таблица (2?4), в которой помещены такжё время 'Опыта и "!та* высота—Н абл.,оона ШФроа к ко Иду _опыта ..устанавливалась * жидкость. Шсзды даны-в деления^ м*и$кШетра>
- Таблица (24).
значения коэффициента С—в
' ■ м»н.
г -
Рас-' твор.
■аь
Н БЫЧ.
- '1 ■. 'г- . »•
>1 '1
<
»
> >
50°, Ь ■ *■
3* . +,
ТУ"''', ■1;: ■
250-1 "278-7
•24''
1 - О
I 1441'^1-1
250-1 I 262'о^О-8;
нз-а^а-з:
II 156-3 цг 1 -о!
, «'Л
, 4. Й ■
2 1
2 1,
Н набл.
.С.
271-6 209*О"
Ш? 149-2
251-2 262-Ч
153 261-7
,4б-7зг<)-5
,30-2: '42-У:
0*9=1
52 133
' 68 . . 313- ^.^с;,
дин.
-см,'
гр.
см.^бК,
' 20-1 <
^ г - ¿4.
. Ж я ) ;28'0"
101 зд-
„2Р-3
¡1
' »£27* ^ |' 10 • 5 I { 1-20-5 л
1 I ■
|:(22-0у
47 18
11
•> ■ .1 и Ж) - И
;о |
г а
1».
ч
\
При выводе значений а значениям Нвыч. из поднятий приданы были веса, в 3 раза меньшие, чем значениям Нвыч. из опусканий и чем значениям Ннабл.
Рассмотрение, как этой таблицы, так й тех отдельных значений Н и С, средние из которых приведены в ней, приводит к некоторым общим' замечаниям, подтверждаемым также деталями наблюдений Воинова и Мочалина.
Значение окончательной высоты вязкой жидкости в капилляре, какое получается из наблюдений процесса поднятия, заметно меньше непосредственно наблюдаемой предельной высоты, а значение, какое получается из наблюдений процесса опускания, несколько больше предельной. Обнаруживается также различие между самими предельными „высотами при поднятии и при опускании, особенно заметное при малой продолжительнвсти опыта, но не уничтожающееся—, вероятно, вследствие образования своего рода „корочки"—даже, если наблюдения ведутся настолько долго, что высота прекратила изменяться.
. Йще резче разница между значениями коэффициента С, являющегося мерилом скорости протекания по капилляру при градиенте давления, равном
единице ^что пропорционально отношению Коэффициент этот меньше
—в некоторых случаях значительно—при процессе поднятия, чем при процессе опускания, и, невидимому, без особых предосторожностей в постановке опыта не может служить для определения из таких опытов коэффициента внутреннего трения жидкости. В самом-деле, другие опыты (34) дали для тех
■ \ ' гр.
же растворов значения у\, равные 53, 12.5 и 1.19 -—-^^при 22°, и отличия
их от значений (24), какие получились из значений С, нельзя объяснить только измененениями концентрации, какие могли произойти за промежуток времени (около года) между теми и другими опытами. •
При процессе поднятия меньшие величины Ни G стоят в связи с неполным- смачиванием стенок капилляра жидкостью—обстоятельством, непосредг ственно наблюдавшимся в микроскоп и сказывавшимся также в меньшей плавносйг кривых поднятия по сравнению с' кривыми опускания. Если краевой угол будет в некоторый момент равен 3; то, как легко вывести, формулу (13) надо было было бы заменить формулою
с -uS-V............
которая должна Давать' большие рачения С, чем формула' (13)'. Это, различие должно сказываться резче всего в средних частях опытов, когда жидкость поднимается еще довольно быстро и потому не успевает достаточно хорошо смочить стенки и когда вместе с тем Н—h уже не велика и может: быть весьма
* ' тт ' о'- 'г-1 1 ' " • Hcosp—h
заметно больше Н cos [5—h, тогда так в начале опыта отношение —
будет лишь немного отличаться от cos р, а в конце опыта угол ^ благодаря медленности поднятия, будет близок к 0. Ход вычисленных значений^ для разных момеьтов соответствует сказанному.
При процессе же опускания происходит (что также ясно наблюдалось в микроскоп) очень медленное отекание избытка жидкости, хорошо смочившей его стенки, со стенок1),—и это обстоятельство должно весьма усложнить высказанную выше теорию. В самом деле, если бы поверхностного натяжения не было, то поверхность жидкости в капилляре должна была бы при опускании ее получать форму параболоида-вращения, постепенно вытягивающегося вниз,
') То я^е отчетливо видно на широких трубках, из которых вытекали в течение ряда дет капли ,90°/о-и 950]о-ных растворов даммара в скипидаре (37).
тогда как, если бь* не было внутреннего трения, то поверхность жидкости имела бы все время форму полусферы, постепенно опускающейся вниз. На самом же деле форма будет промежуточной между сферическЬй и параболой-дальной, и без специального теоретического Исследования* основанного на совокупном применении формул Ланласа и Пуазейля, нельзя определенно сказать, как отразится отклонение мениска от полусферической формы на законе опускания. С одной стороны, силы внутреннего трения в приставшем к стенкам слоя будут вызывать задержку движеняя.вниз, а, с другой стороны, в формуле (1) для силы ñ надо вместо г взять несколько меньшее значенйечр,. между тем как для сиды fu останется значение, даваемое формулой (2). Так" как при этом ví, как и Н—hi, будут отрицательными; то и истинное значение .С, равное ■ - ■ ' ' ■ •
¿ 1) _ ^ д g ч (ta + 1)
— (hi —И) » fu—2тгра v л
будет меньше того,, какое вычисляется по формуле (13) или по равнозначу-щей ей ' 1 " "
Л С= — rr-Ag *(М-1) . . . V. . . . (27).
fu — 2 -ra •
Различием формул (26) и (27),—как и различием формул (1) и (25),—можно-объяснить большие значения С при опускании, чем при поднятии, а также то^ что значения G при опускании оказываются больше в начале опытов, когда уже успел образоваться, но еще не успел стечь, слой на стенках, т. е. р заметно меньше г, но остается необъясненным превышение,—правда, Незначительное,—Нвыч. Над Ннабл. При Опускании. ,\.ьь/~ Л ' : :
Из теоретических и экспериментальных- работы1
вытекают следующие следствия: ' ' ■ ' ■
1. Процессами цоддятия и опуа^авия жидкости в капилляре додсно пользоваться для, оаределения коэффициента поверхностного натяжения в тех случаях, когда по тем или другим причинам нельзя выждать достаточно времени, чтобц высота это перестала изменяться, или когда есть основания думать, что причина прекращения изменений высоты зависит от изменений,, происшедших в поверхностном слое.
2. Предпочтительнее в этих случаях пользоваться процессом опускания, чем—поднятия.
, v 3. Величина коэффициенту внутреннего трения, получающаяся из таких наблюдений, может служить лишь для ориентировки в порядке его величины, которую предпочтительнее определять обыкновенными приемами измерендя-количества протекающей по капилляру жидкости. . ; jt ''í Т
4. Желательно исследовать теоретически и на опыте процесс изменения, формы поверхности вязкой жидкости при опускании ее в узкой трубке.
23 . 10*. 23
