К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В.

УДК 517.98

К ИССЛЕДОВАНИЮ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГИМ ОСНОВАНИЕМ

При исследовании виброзащитных систем учет конечности массы основания и его упругих свойств вносит новые эффекты. В частности, появление дискретного спектра собственных частот, в связи, с чем система приобретает резонансные свойства в бесконечном диапазоне частот. Исследованию таких систем посвящены работы авторов [1-5].

В статье рассматривается виброзащитная система, состоящая из основания в виде упругого стержня, закрепленного на концах и прикрепленных на нем с помощью пружин двух масс. Для данной системы предложена математическая модель, на основании которой проведено обоснование нахождения собственных частот системы.

стержню на расстояниях а1 и а2 от левого конца

стержня соответственно.

Для вывода уравнений воспользуемся вариационным принципом Гамильтона, который справедлив, как для систем с сосредоточенными, так и для систем с распределенными параметрами. Согласно принципу Гамильтона вариация интеграла действия обращается в нуль

Г1 д(т - и)Ж = 0

(1)

где Т - кинетическая энергия системы, и - потенциальная энергия системы.

Потенциальную и кинетическую энергию системы определим следующим образом

и = и + и2+ис, Т = Т+Т2 + тс.

Здесь

т = тА. Т = 11 ~ ~ ' 2

1 7

, Тс = ^ Иф2 * ,

и, =

С (2 - и(а„ г))2

-, и2 =

С2(22 - и(а2, г))2 2

Рис 1. Механическая система «упругий стержень с двумя массами»

Рассмотрим механическую систему (рис. 1), состоящую из двух масс т1, т2, присоединенных к упругому стержню с помощью пружин жесткости с1, с2 соответственно. Концы

стержня жестко закреплены. Массы т1, т2 могут перемещаться только поступательно в направлении осей 0121 и 02 22. Здесь точки 01 и 02 совпадают с положениями равновесия масс. Колебания масс характеризуются функциями 21 (г) и

22 (г). Перемещения точек стержня описываются функцией и (л;, г). Пружины присоединены к

ис = I (Р

где р - плотность стержня; Е - площадь поперечного сечения стержня; EJ - жесткость стержня на изгиб.

Преобразуем левую часть в (1)

г1

£ (2 - и(а , г))2 с2 (22 - и(а2 , г))2

2 2 2 +11 ^ (| ? * - 2 ¡Е1 (Жл

2

2

Жг =

4.

4-

^ да

т1( 21 + ад 2Х)2 + т2( 2 2 + ад 22)2

сх(2-[ + ад21 —ы(а1,X) — ади(а1,X))2 2

с2( 22 + ад22 — и (а2, X) — ади (а2,X))2

2

1 \рР (ЁЫ + ад— )2 йх — 1\К1 (^ + адды )2 йх

2{ дХ дХ 2{ дх дх

2 0 дх2

йх =

т 21 д 21 + т2 22 д22 — с1(21 — и(а1,Х))д21

+с2(22 — ы(а2, Х))д22 + с1( 21 — и (ах, Х))ди (а1, X) + + с2( 22 — и (а2, Х))ди(а2, X) + \рР д-д д^йх

-Г Е1 ^^ ¿х

22

дх2 дх2

йх.

жение, интегрируя по частям, преобразуем следующим образом

х 1 х 1 х 1

\ 21д 21 йх = 21 д 21 ^ — \ 2хд 21 йх = —\ 2хд 21 йх,

х 0 х 0 х о

х 1 . . . х 1 .. \ 22д22 йХ = 2 2 д22 ^ — \ 22д22 йХ х о х о

х 1 ..

— I 22д 22 йх,

д3и

дх3

ди

О + \—-дыйх = \—-дыйх,

0 * дх4 3 дх4

5х4

х 1

\ сх( 21 — и (а1, X ))ди(а1, X )йХ

х 11

= \\с,( 21 — и (х,Х)ды (х,Х)д( х — а1)йхйX,

11

\ с2( 22 — и(а2,Х))ди(а2,Х)йХ =

и I

\\с2 (22 — и( х, Х)ди( х, Х)д (х — а2 )йхйг,

Я—д—йхйХ =\ \ — д—йХйх

Йх Йх •> Л Я/ Я/

\ [ ^ ди

•'а

1 П2

1 д и

I и

- - д ы

Х — \—— дийX] йх = — \ \ —— дийХйх,

г« •'а2 11 дХ

х и1 0 х

I о I о

гд ы „д Ы . о Ы . с— , го Ы „с— . I —^ д—- йх = —- д— о — I —Т д—йх дх дх дх дх дх дх

д ы - ди ■о

I

д ы „ ди

д 3ы дх3

ди

дх дх

г дъи ди I —- д— йх -

0 дх дх

1

д ы

дх дх

I -,4

о + \—и ддийх = \—и дийх. о * дх4 Ьх4

д4 и дх4

Здесь учтено, что на концах отрезков интегрирования вариации д 2г, д 22 , ди , д — обраща-

дх

Интегралы, входящие в последнее выра- ются в нуль.

Таким образом (1), примет вид:

—т 121—с (21 — и(а1, X)) ^ д21 + + 1 — т 121—с2(22 — и(а2,X)) \д22 +

+\| с1(21 — и(х,Х))д(х—а) + с2(22 — и(х,Х))д(х—а2)—

о V

д2и д4и} — РР—т—Е1—-И дХ дх

дийх

йХ = о.

В силу произвольности и независимости вариаций в подынтегральных выражениях, получим систему гибридных дифференциальных уравнений, описывающую динамику системы

тх 2Х + с1 (21 — и(а1, X)) = о,

т2 22 + с2(22 — и(а2' Х)) =

д 2и д4и (

РР7^+ д7= <2)

= сх( 21 — и(х, Х))д( х — ах) + + с2( 22 — и (х, X ))д( х — а2),

решение, которой будем понимать в обобщенном смысле [6].

Приведем систему (2) к виду

2

2

X о

I п

о

+

а=о

X о

I о

Г о

I о

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

d2 z1 ~dtГ d2 z.

+ z - uЦ,1)) = 0,

2,^2

dt2

д 2u

p2 (z2 - u (a2,t)) = 0,

д 4U 2

dt2 ■b = 2e (Zi - U(x't))S(x - a

где

Pi =

ei =

— V m i' p2 = J ~ ' V m 2 , EJ b =- pF

ci pF' C2 pF

На u(x,t) наложим граничные условия, соответствующие жесткой заделке u (0, t) = u (l, t) = 0,

du . du . л (4)

— (0, t) = — (l, t) = 0. dX dX

Подставив в систему (3) z/t), u(x,t) в виде zi (t) = A cos pt, u(x, t) = V(x) cos pt, i = 1,2;

p - собственная частота, Ai - амплитуда колебаний масс, V (x) - амплитуда колебаний точек упругого стержня. После преобразований получим

|-p2A + pi2(A -V(ai)) = 0, [-p2A2 + p2(A2 - V(a2)) = 0,

d V (x) =

Доказательство. Пусть У1(х) и У2(х) -

некоторые обобщенные решения уравнения (9). Отметим, что из (8) следует справедливость сле-(3) дующего представления

V(х) =[Ух{х-4)е(А - V(4))3(4-ах) +

о (10)

+ У2(х-4)е2(А - V(4))3(4-а2Ш.

Подставив V (х) в виде (10) в уравнение (6), умножив на ф( х) из класса основных функций [6], далее проинтегрировав по х в пределах от 0 до I, поменяв при этом порядок интегрирования, в силу (9) приведем левую часть уравнения (6) к виду

} ({-р Щ х -4)+ъа } е (А - V (4)3(4 - а)+

-pV(x) + b- x = 2 ег (A - V(x))S(x - аг).

на удовлетворять условиям

V (0) = V (l) = 0,

dV (0) = dV (l) = 0.

dx dx

ция

- p 2V ( x) + b

d 4V (x)

dx 4

= S( x).

1

+{-p%(x-4)+^e2(A -V(4)S(4-a2) |d4

ф (x)dx =

= 1 e (Ai - V (4))S(4 - a )J f - p\(x - 4) + bd ^ 4) Ф( x)dx +

+e2(A2 - V(4))S(4-a2)■

I -p2V2(x-4) + b

dx

d %(x-4) dx1.

(x)dx

d4 =

= 1 e1(A - V(4)Ж4 - a1)1 ф(x)S(x - 4)dx +

h e2 (A2 - V(4))S(4 - a2 )1 ф(xS(x - 4)dx

d4 =

(5)

(6)

= } [ (4 - V (4)3(4 - аУФ(4)+е2 ( А - V (4)3(4 - а2 )Ф(4)]4 =

о

= е1 (А1 - V(а1))ф(а1) + е2(А2 - V(а2 ))ф(а2).

При этом правая часть уравнения (6) преобразуется следующим образом

В силу граничных условий (4) V (x) долж-

1

(7)

2 e (A - V(x))S(x - ai )ф(x) dx =

i=i

2 f

2 J e (A - V(x))S(x - ai )ф(x)dx =

ТЕОРЕМА 1. При любых р, А1 и А2 функ-V(х) = х-а1)е1(А - V(а!)) +

(8)

+К,(х - а2)е2( А - V(а2)),

является обобщенным решением уравнения (6), где функции У1 (х) и У2 (х) являются некоторыми решениями уравнения

(9)

г=1 о

= 2 е{ (А - V(аг ))ф(аг.) =

г=1

= е1 (А1 - V(а ))ф(а1) + е2 (а - V(а ))Ф(а),

что совпадает с преобразованной левой частью.

Таким образом, выражение (8) для V(x) является решением уравнения (6) в обобщенном смысле.

В силу условий (7), накладываемых на V(х), для определения функций У1(х) и У2(х) получим следующие краевые задачи

i=i

—р V (х) + Ь^ = д(х),

V (—а, ) = V ((—а ) = о,

£ (-)= § < — а') = о,

й V (х) , ч

—р V (х)+Ь~йхН'=д(х)

V (—а2 ) = У2 ((— а2 ) = о,

(11)

йК

йУ„

—1 (—а2 ) = -2- (I — а2 ) = о.

йх

Для решения краевых задач (11) и (12) найдем общее решение уравнения (9) V (х) в виде суммы общего обобщенного решения Оо(х) однородного уравнения

—р V (х) + Ь

й V ( х) йх4

= о

—р 2У ( х) + Ь

й V ( х) йх4

= д( х),

$вх) = с^(0х) + СО*(0х) £ вх) = ^(0х) + 51п(0х)

£ 0х) = С]л(вх) — С0$(вх) £ вх) = Мвх) — ^п(вх)

2

2

Отметим, что выражение для обобщенного решения О0(х) совпадает с классическим.

Частное обобщенное решение О (х) неоднородного уравнения (14) можно определить в виде [5]

О (х) = в( х)

ЯЛРх)

ьръ '

где в(х) - функция Хэвисайда; 0 =

1 Ь4

Для нахождения функций У1(х) и У2(х),

согласно представлению (15), определим произвольные константы сь с2, с3, с4 из условий выполнения соответствующих граничных условий.

Далее из (8), принимая последовательно х = а1 и х = а2, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно V(а^)) и

(12) V(a2)

(1 + V1(0)e1V(a1) + — а^а) = ¿V Ц — а )е,.Л1.,

¡=1 2

(17)

(13)

и некоторого обобщенного решения О (х) неоднородного уравнения

V (а2 — а{)е^ (а1) + (1 + V2(0) еV (а2) = (а2 — а1 )е А ■

¡=1

Решение системы (17), получим в виде

V (ах) = вц А + вц А,

V (а2) = 021А +022А.

(18)

Здесь

(14)

то есть

V(x) = О0(х) + О(х). (15)

Общее решение Оо( х) однородного уравнения (13) можно записать в виде

О0 (х) = ^ (0х) + с2 £2 (0х) + сз£ъ (0х) + +с 4 £А(0х),

где с1,с2,с3,с4 - произвольные постоянные; £1(0х), £2(0х), £3(0х), £4(0х) - функции Крылова, которые определяются следующим образом: где

0-4

012 = -И12 д

021 = ~ д

022 =

те Ща — а2)е2 К(а2 — а)е 1 + V2(0)e2

^(а — а2)е2 ^(а — а2)е. V2(0)e2 1 + V (0)е2

1 + V (0)е2 ^(ое

у1(а2— а1)е1 У1(а2 — а)е

1^1 + ЦФХ V2(a} — а2)е. д — а1)е1 У2 (0)е2

(19)

д =

1 + ^(оХ У2(а, — а2)е2 Ух(а2 — а1)е1 1 + У2(0)е2

Подставив (18) в систему (5), получим систему линейных, однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд

( р2 — р2 — р210п) А — Р1012 А = о, —р\021 А + (р2—р2 — р2М А = о.

(20)

Система (20) имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю. Вычислив опре-(16) делитель системы (20), и приравняв его к нулю, получим уравнение для собственных частот

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

(Р12 - Р2 - Р\ в\ 1)(Р2 - Р2 - Р2 в22 ) -

2 „2

(21)

- Р,2 Р2в12в21 = 0.

Следует отметить, что здесь коэффициенты вхх,вх2,в21, в22 вычисляются по формулам (19) и зависят от собственной частоты Р . В связи с этим уравнение для собственных частот (21) является трансцендентным, содержащим периодические тригонометрические функции, а также монотонные гиперболические функции, в силу чего появляется бесконечный дискретный набор собственных частот.

Для подтверждения достоверности полученного результата проведем сравнительный анализ предложенного подхода нахождения собственных частот с методом начальных параметров [7], для случая с бесконечно малой массой стержня. В этом случае система имеет конечное число собственных частот.

Рассмотрим виброзащитную систему, расчетная схема которой приведена на рис. 2.

/

0

^ 13 ^ ^ ^ N

Ч ^ Ч /> ч /

<-1->

4 V (х) , ч =3(х )■

V (-а) = V (2а) = 0, (22)

—I (-а ) = —1 (2а ) = 0. Общее решение уравнения из (22) имеет вид

__х

V (х) = с0 + с1 х + с2х2 + сзх3 + в(х)~6Ь ' , Ы

где К1 =-.

с

Отсюда ее производная определяется выражением

<dУ- = с1 + 2с2 х + 3с3 х2 + 0( х)—. 4х 2Ь1

Действительно, согласно теории обобщенных функций [6], производная обобщенной функции V1 ( х) определяется по формуле

[ % (х ),Ф( х) Н1 (х), х)],

где ф( х) функция из класса основных функций. В соответствии с этим можно показать

-Г".

I

х)

4х

ф( х)4х =

2 Л

Рис. 2. Расчетная схема системы с упругим основанием и малой массой

Для простоты положим, что все три участка, на которые разбивается стержень, имеют одинаковую длину а , массы тел и жесткости пружин одинаковы и равны соответственно т, с, то есть

11 = 12 = 13 = -3 = а, т1 = т2 = т,

с1 = с2 = с .

Согласно [7] при массе стержня, стремящейся к нулю (11), сводится к краевой задаче

Д с1 + 2с2х + *3х 2 +*( х)^ \Ф( ^

-<Ю V 1 У

Используя граничные условия (22), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с0, с1, с2, с3 :

с0 - сха + с2а2 - с3а3 = 0,

4а

с0 + 2са + 4с2 а2 + 8с3а3 = —

3К

сх - 2с2а + 3с3а = 0,

2 2а

с. + 4с, а +12с3а =--

12 3 1

К

2

Решая систему, найдем

3

8а3

2а2

со =

с1 =■

81Ь1 27 Ь Таким образом,

Уг ( х ) =

с2 = —

4а 27 Ь

сз = —

81Ь1

8а3 2а2

-х — -

81\ 27 К

10 з чх3 х +©( х )-.

4а 27 К

х2 —

8Ц 4 ' 6\

Следовательно,

V (0) = V, (а)-- Па

81Ь

162К

Решая данное уравнение относительно частоты р, имеем:

р = рол!1 — 011 ±012 .

Из последнего выражения, учитывая найденные значения для 011 и 0ц, найдем собственные частоты

р(1) = Л.

р(2 = ро,

6К

6Ь + еа3

162Шс

т

(162 Ш + с13)'

(24)

162К

162К +5еаъ

1

874,8Е1с

т (874,8Ы + с13 )'

Аналогично, выше изложенному, из (12), получив краевую задачу

й % (х) , ч Ь-= д(х),

йх4

Й2 (—2а) = V2 (а) = 0,

йУ2

йУ2

йх

(—2а ) = ~Г ( а ) = 22,

йх

найдем

V (0) = —, V (— а) = П ' 81Д П ; 162К

(23)

Решим рассматриваемую задачу методом начальных параметров.

Переходные матрицы участков стержня без закрепленных на них точечных масс имеют вид

Л

А, =

( А 0В, 00С 00 Аг

а а

Л4 А А. 0В, 0Лсг

0 а а

а .Л4С. аЛ4 А . 0В

00 0 А,

аЛЛ В, аЛЛСг ЛЛ А, А

{ 00 02 0 А

Подставив полученные выражения для V (0), У1(а), V2 (0), У2 (—а) в (19), учитывая,

е1 = е2 = е = 1,

Л ЛЛ = т ¡р 2 £ -

^ г п

где а =-, 0 = —, —-- = —:-, I - пролет

г Ы г V I 4 EJ

что а1 = а

р1 = р2 = РО =

а2 = 2а,

—, Ь =

ы

т

получим

011 =022 =-

аъе ( 96ЪХ + 5а3е )

012 =021 =

972Ь? 1 11аъе

Д 162Ь

(23')

стержня, £ 1 - длина г -го участка стержня, заключенного между г-1-м и г-м сечениями, EJ1 - из-

гибная жесткость -го участка, т - масса единицы длины г-го участка. За величину EJ принимается жесткость некоторого участка стержня. Индекс г обозначает номер соответствующего участка, причем счет индексов ведется справа налево. В

переходную матрицу участка А г входят функции

где

, 972Ь2 + \92Ьеа3 + 5а6е2

Д =-1 1

972Ь2

Подставив полученные выражения (23') в уравнение собственных частот (2о), получим

2 2 2 [ро — р — р2

0- )2

= р4о0п.

А = СЬ (Д) + Щ

г 2 ! с = (Щ) — СО5 (Щ)

г 2Л2 '

В = вь (Щ)+(Щ)

г 2Щ '

А = ^ (Л) — в'п ()

г 2ЛЛ '

связанные с функциями Крылова соотношениями:

3

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

ЗД)

А = ЭД), в. =.

ЗД) п ЗД)

А

с = д = -Л-ч

А

2 ' г

Л

./г = (

А

АД в

рр>

А

аЛЛД в

Р1С, в Д

а а

в в

а а

А вВ

аЛВ1 . аХС _г

Л4 Д + уёС

О

А + х

в3 д

где

2 л3

X =

с М гР £

с - М ,Р2 '

В рассматриваемом случае имеем А = А, В. = В, С. = С, Д = Д,

г 'г ? г 'г ?

д= 1=I, а= . = 1, л=Л.

г I 3 ' е. г

Переходные матрицы первого и второго участков вместе с точками, где крепятся пружины с телами одинаковы и имеют вид

3 2 = Зх = (

А 3А4 Д 9А4С

в_

у

А 3А4 Д

С 9

в

3

В

С

27 С 9 В 3

Д

27 АВ + хА 9АС + ^-3 3АД + х— А + х—

А =

А В 3

3А4 Д

С 9 В 3

Переходные матрицы участков стержня с закрепленными слева точечными массами имеют вид:

9А4С 3Л4Д А 27 А4 9А4С 3А4 Д

Д ^

27

С 9 В 3 А

Вектор-столбец и амплитудных параметров левого конца стержня связан вектор - столбцом

амплитудных параметров и 0 правого конца соотношением

и = А3.2.7Д . (25)

Если масса стержня-основания стремится к нулю, то имеем:

Нш А = Нш I

т0 ^0 т0 ^0

^ т0 Р2 ^ 4

~ег

= 0,

следовательно -

А = 1, В = 1, С =1, Д =1 2 6

При этом переходные матрицы участков принимают вид

(

.Л = ./2 =

1 -

3

0 1

1 18 1

3

0 0 1

X Х — 1 3 18

1

162 1 18 1

3

+Х 162

Л

А =

1 1

3

0 1- —

3

0 0 1 0 0 0

1 _±_ ^ 18 162 1 ^ 18 1 3 0

Переходная матрица третьего участка без в этом случае переходная матрица системы

точек крепления пружин имеет вид принимает вид

X , X

А = Аз >12 =

, 5Х X2

18 26244 5х , X2 18 2916

x+ —

2X + — 162

9 8748 4X , X2 9 1458

X,

X

486

, X , X2 1 + ^ X2 1

243 472392 6 6561 4251528

1 + ^ 81 X2 1 + X X2

52488 2 243 472392

1 + * 9 X2 1+^ 243 X2

8748 78732

X2 1 + ^ + 18 X2

18 2916 26244 ,)

1

—+ -

X

X

1 4x

X

2 243 472392 6 6561 4251528

1 + X X

81 52488

1 + — + 2 243 472392

= 0.

Вычислив определитель, получим квадратное уравнение

5 2 4 1

-X--X + — = 0,

8503056 6561 12

корни, которого равны

X, = 162, X2 = 874,

Собственные частоты р найдем из соотно-

шения

в виде

X =

стр213

с - тр2

Р(12) =

Таким образом

т

XX;! Е/с

X Е/ + с13) •

Р(1) =.

Р{2) =.

162Е/с

т(162Е/ + с13)

т

874,8Е>/с \874,8Е/ + с13) '

Так как на концах стержня вектор-столбцы амплитудных параметров в (25) содержат первые два нулевых элемента в соответствии с граничными условиями, то из условия одновременного неравенства нулю остальных двух элементов, определитель переходной матрицы А системы с элементами, лежащими на пересечении первых двух строк и последних двух столбцов, должен быть равным нулю, то есть

что совпадает с (24).

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Мижидон А. Д. Исследование систем виброизоляции на упругом основании // Проблемы виброизоляции машин и приборов : тез. докл. Второй всесоюз. конф. : Иркутск ; М., 1989. С. 113-114.

2. Мижидон А. Д., Баргуев С. Г. К исследованию свободных колебаний одной механической системы, описываемой гибридной системой дифференциальных уравнений // Проблемы механики современных машин : материалы второй междунар. конф. Улан-Удэ, 2003. Т. 2. С. 263-269.

3. Мижидон А. Д., Баргуев С. Г. О вынужденных колебаниях механической системы установленной на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск. 2004. № 1. С.32-34.

4. Мижидон А. Д., Баргуев С. Г., Кондратьев А. К. О стабилизации массы на упругом стержне // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением : Тр. IX Междунар. Че-таевской конф., посвящ. 105-летию Н. Г. Че-таева. Иркутск, 2007. Т. 4. С. 181-189.

5. Баргуев С. Г., Мижидон А. Д. Способы расчета собственных колебаний одной механической системы и их сравнительный анализ // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Сер. 13 : Математика и информатика. Улан-Удэ, 2005. Вып. 2. С. 192200.

6. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М. : Наука, 1976. 301 с.

7. Ивович В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. М. : Машиностроение,1969. 272 с.

1