CC BY
23
УДК 517.98 Баргуев Сергей Ганжурови ч,
к.ф.-м.н., доцент, зав. каф. «Высшая математика и общепрофессиональные дисциплины» Бурятского филиала Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики,
тел. (3012) -433526, e-mail: barguev@yandex.ru Елтошкина Евгения Валерьевна, к.т.н., доцент, каф. «Прикладная математика» Восточно-Сибирского государственного технологического университета, тел. (3012)41-87-56, e-mail: EEV_Baikal2005@mail.ru Мижидон Арсалан Дугарович, д.т.н., профессор, зав. каф. «Прикладная математика» Восточно-Сибирского государственного технологического университета,
тел. (3012)43-14-15, e-mail: miarsdu@esstu.ru Цыцыренова Мария Жалсановна, аспирант каф. «Прикладная математика» Восточно-Сибирского государственного технологического университета, тел. (3012)43-36-05
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ГАШЕНИЯ n МАСС, УСТАНОВЛЕННЫХ НА УПРУГОМ СТЕРЖНЕ
S.G. Barguev, E.V. Eltoshkina, A.D. Mizhidon, M.Z. Tcytcyrenova
INVESTIGATION OF THE POSSIBILITY OF FLUCTUATIONS DAMPING OF n MASSES LAID
ON AN ELASTIC ROD
Аннотация. В статье исследована возможность одновременного демпфирования колебаний стержня с упруго подвешенными n массами.
Ключевые слова: виброзащита, упругий стержень.
Abstract. Possibility of simultaneous fluctuations damping of a core with is elastically suspended n mass is investigated in the article.
Keywords: vibroprotection, elastic rod.
Исследуется возможность одновременного гашения колебаний n масс, прикрепленных с помощью пружин с упругим стержнем и распределенных по нему горизонтально по всей длине стержня. На каждую из n масс и на стержень в n точках действуют гармонические силовые возмущения одной и той же частоты.
Рассмотрим механическую систему (рис. 1), состоящую из n масс щ,m2mn, присоединенных к упругому стержню с помощью пружин жесткости c,c,. ., c соответственно.
1 > z > > n
Концы стержня жестко закреплены. Массы m, m2, ..., mn могут перемещаться только поступательно в направлении осей Oz\,O2z2,. .,Onzn соответственно. Здесь точки
О,ОО совпадают с положениями центра тяжести масс в состоянии равновесия. Колебания масс в направлении этих осей соответственно характеризуются функциями гх ), х2 ),..., хп ) .
Перемещения точек стержня описываются функцией и(X, /) . Пружины присоединены к стержню
на расстояниях ах,а2,...,ап от левого конца стержня соответственно.
J
hn I
л 0 1 ■ - z • a
a
fi
fz
fn
Рис. 1. Механическая система «упругий стержень с п горизонтально расположенными упруго-соединенными массами»
2
Параметры стержня: l - длина, р - плотность материала, F - площадь поперечного сечения, Е - модуль упругости, J - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний.
К массам щ приложены силы h = F cos Pt- На стержень в точках Ьг действуют силы f = T cos pt с неизвестными амплитудами T , (i = 1,2,--., n). Силы, действующие на массы и стержень, имеют одну и ту же частоту p .
Рассмотрим задачу гашения колебаний масс щ,щ,--.,mn подбором амплитуд T, T, ---, T сил, действующих на стержень.
Уравнения движения описанной механической системы, выведенные на основании принципа Гамильтона, имеют вид:
Подставив z (t), u(x, t) в виде
Z (t) = A cos pt, u(x, t) = V(x) cos pt (i = 1, n) в (1), после преобразований получим относительно A и V(x) систему алгебраических уравнений
-p2A + p'(A - -V (a,)) =
-p2A +PKA ~V(a2)) = H2
-p2A+P2n(A ~V(aJ) = Hn
(3)
и дифференциальное уравнение
d V ( x)
- p V (x) + b-
dx4
: £ ^ (A - V(xMx - a,.) + £ T ¿(x - b ).
(4)
i=i
i=i
d2 Z
—^ + pi (z - u(a, t)) = H cos pt, d2 z
+ p2 (z2 - u(a2,t)) = H2 cos Pt,
d2 Z
+ p2 (Z - u (an, t)) = Hn cos P^
5 2u 54u n
— + b — = £ e,. (z - u(x, t))S(x - a ) +
(1)
+£ T cos pt£(x - b ),
где с>(х — а ), 5(х — Ь ) - дельта-функция Дирака;
р2 = ^, Ь = ^, е, = , Н = Ь, (/ = ). тг рЬ рЬ тг
На п(х,() наложены граничные условия, соответствующие условиям, накладываемым на правый и левый конец стержня. В случае жесткой заделки граничные условия имеют вид
u(0, t) = u(l, t) = 0,
5u s 5u ,, . — (0, t) = — (l, t) = 0-dx dx
(2)
В силу граничных условий (2), на функцию V (х) наложим краевые условия
V(0) = V([) = 0,
dx dx
Теорема 1. При любых p , A1, Л2 функция
n _
V (x) = £v (x - a, )e, (Л, - V (a,))
(5)
+
,=1
(6)
г=\
является обобщенным решением краевой задачи
(4)-(5), где функции ^[(х),Р2(х),...,Р_„ (х) -обобщенные решения уравнения
и<*Vх) -
- p 2V (x) + b-
dx4
= S(x) (i = 1, n), (7)
удовлетворяющие краевым условиям V (-a,) = Vt (l - ai) = 0,
dV
dV (i =1 n)
, (-a) = dV"(l - a,) = 0,
ax ax
¥1(х),¥2(х),...,¥п(х) - обобщенные решения Решение краевой задачи (1)-(2) будем по- уравнения
dAV1{x)
нимать в обобщенном смысле. Определение обобщенного решения такой краевой задачи было введено и обсуждено в [1].
-р%(х) + Ъ-
dx
■ = 5{х) (7=1, и), (8)
<
<
n
i=1
иркутским государственный университет путей сообщения
удовлетворяющие краевым условиям
у,{-ъ,) = у,{1-ъ,) = о,
с!¥ с!¥ =п)
^(-й,) = ££.(/-*,) = О, dx dx
Доказательство. Для функции (6) справедливость выполнения краевых условий (5) непосредственно следует из определения функций
В том, что (6) является решением уравнения (4), убедимся непосредственной подстановкой (9) в исходное уравнение (4).
Для этого представим (6) в виде
i =1 0
г г
Щ2
0 [ 0 г =
е (а -
-p2 V (X -£) +
й 4У (X-А йх4
+
йх 4
те-ъ,)
\р(х)йх =
п
■.^¡{еМ-УЮт-а,).
¿=1 0
Г с,
й V (X-А) йх4
(рх)йх + Т5(%- Ь)) х
/
о
Т№-Ъ1)(\8(х-£Мх)с1х№ =
¿=1 0
= Х{[е,(Д-У^Ш-аМ^ + ТЩ-ЬЖЖ =
¿=1 0
п
= £[е,(А - Vа))Ф.) + ТРЬ).
¿=1
Аналогично, подставив (9) в правую часть уравнения (4), после преобразований получим
}(е,(Д -Г(х)Щх-а,) + Щх-Ь,)) 0 \- ¿=1
х(р{х)(1х = ^ (Д - ¥(х))3(х - а) )(р{х)
+
¿=1 0
+ Щх - Ь )р(х)]йх = £ [ег (А - V(а )) х
=1
(9)
Подставим (9) в левую часть уравнения (4). Умножив на р(х) из класса основных функций
[1], проинтегрируем по х в пределах от 0 до £ . Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая (7), получим
хр(аг ) + тгР(ъг )] то есть в результате проделанных преобразований левая и правая части исходного уравнения тождественно совпадают. Таким образом, выражение (6) для ¥(х) является решением уравнения (4) в обобщенном смысле.
Учитывая (5), (6) и (7), для функций V (х) ,
V2(х), ..., Vn (х) получим п краевых задач
соот-
ветственно:
- р 'V (х)+ь
й4 Vг (х)
= *( х),
йх 4
V, (-а) = V, (I - аг) = 0,
§ (-а,) = ('-а,) = 0.
ах ах
(г = 1, п), (9')
Для нахождения решения краевой задачи (9 ) V (х) найдем сначала общее решение дифференциального уравнения в виде суммы общего решения 00, (х) однородного уравнения
- р 2 V (х) + Ь
й4 V (х) йх4
= 0
(10)
и некоторого обобщенного решения О(х) неоднородного уравнения
- р2 V (х) + Ь
й4 V (х) йх4
= 3( х),
(11)
то есть
V (х) = О0.(х) + а(х) . (12)
Общее решение однородного уравнения (10) найдем в виде
<
0
0
где
О0ш, (х)=яА (рх)+С2 А (рх)+ +ъ&(Рх) + с^БАРх),
БДРх) = Б2(Рх) = Бз(Рх) = Б4(Рх) =
ск(Рх) + ео8(Рх)
2 :
,чк(Рх) + 81и(Рх)
2 :
ск(рх) - ео8(Рх)
2
sh(рx) - 8т(Рх)
из решения которой найдем V(ах) , V(а2 ) , ..., V (ап) в следующем виде.
Решая систему (14), получаем
V Ц) = «11?! + «12Т2 + ••• + «1„Т„ + р11 А1 + +Р12 А2 + ••• + Р„А„,
V (а2) = «21? + «22Т2 + ••• + «2„Т„ +Р21А1 + +Р22 А2 + ••• +Р2„А„,
(15)
- функции Крылова; С С г , С г , С4г - неизвестные постоянные, которые находятся из условия выполнения краевых условий соответствующих краевых задач.
Частное решение О(х) можно найти, как было показано в [2], в виде
Б 4 (Рх)
в{ х) = в( х)-
Ъръ
V (а„) = +«„ 2?2 + ••• + «„„Т„ +Р„1 А + +р„2 А+•••+р„„А,
Подставив, найденные значения V(а), V(а2) , ..., V(ап)в систему (3), получим систему линейных алгебраических уравнений относитель-(13) но неизвестных амплитуд А, А, •••, А
4Р
где в( х) - функция Хэвисайда [1], Р = —.
Ъ 4
Подставляя в (8) последовательно х = а, х = а2, ..., х = а„, после преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений относительно V(а1), V(а2), ..., V(ап) :
(1+V1 (0)^ )V (а)+V 2 (а - а )е2 V (а)+
+••• + У„(а - ап )е/(а„) =
(«1 - ъ)Т(а, - ам,
г=1 г=1
^"(а2 - а1 )е1 V (а) + (1 + V2 (0)е2 )V(а2) +
• •• + Г„ (а2 - а„ )e„V(а„ ) =
= (а2 - Ъ Та - а )егд.,
(14)
г=1
г=1
^(а„ - а1)е^(а1) + V 2 (а„ - (а2) + +••• + (1 + У„ (0)е„ )V (а„) =
= (а„ - Ъ )Т + (а„ - а. М,
(-Р2 + Р -РрА - а2Д2А - ••• -Р^РшА = = Р2«11Т1 + Р2«12Т2 + ••• + Р12«1„Т„ + Н1,
(-Р2Р21)А + (-Р2 + Р22 - Р2Р22)А - ••• - Р2Р2Д, = Р«21Т1 + Р22«22Т2 + ••• + Р2«2лТ„ + Н 2,
-Р2Р„1 А - Р2Р„2А - ••• + (-Р2 + Р2 - Р2Р„„)А =
Р„2«„1Т1 + Р^2«„2Т2 + ••• + Р„2«„„Т„ + Н„ •
Положив здесь А = А = ••• = А = 0, что соответствует гашению колебаний всех „ тел, получим систему уравнений относительно амплитуд сил Т, Т,•••, Т, прикладываемых к стержню:
Р«1171 + Р12«12т; + •••+Р12«1„Т„ = -Н1, Р2 «21Т + Р22«22Т2 + ••• + РР1«2г1Т„ = -Н2 ,
(16)
Р2« Т + Р2« Т + ••• + Р2« Т = -Н •
„ „1 1 „ „ 2 2 „ „„ „ „
Решая систему (16), получаем:
г=1
г=1
2
иркутским государственный университет путей сообщения
т =
- Н1
- Н
Р1 «1 Р1«2
2 2 РА: Рп«п2
т = т2
Р: «
- Н
Р2 «21 Н2
т =
Р: «1
Р22«2
- Нп Рп2«п2 . . Р2п«пп
р\«11 Р2 «21 р2«12 . Р2«22 . .. Р21«1п .. Р 22«2п
Рп2««
Р1 «1п
Р\« 2п
Рп2«п1 - Нп . . Рп2«пп
Р2«11 Р2«21 Р2«12 . Р2«22 . .. Р2«1п .. Р22«2 п
2 2 2 Р а , Р а ... »а
п п1 п п п п
Р1«11 Р1«12 ... - Н1
Р а 1 Р а ... - Н
Рп2«п1 Рп2«п 2 .. - Нп
Р2«11 Р2«21 Р2«12 .. Р2«22 - . Р2«1п . Р2 «2п
Р12«11 Р2 «21
Р12«12
Р2 «22
2 2 Ра р а .
-г п п1 -г п п2
Р12«1п
Р22а2п
Рп2ап
* 0.
носительно центра стержня и точки приложения их почти сходятся в нем. С другой стороны, как и в первом пункте, заранее будем считать, что гасящая сила приложена в центре стержня.
Расчет гасящих сил проведем в зависимости от частоты.
Параметры модели:
I = 12 м - длина стержня;
р = 7200 —- - плотность стержня;
м
Г = 0,0049 м2 - площадь поперечного сечения стержня;
Ш = 10000000 нм2 - жесткость стержня на
изгиб;
н
С = с2 = 21000--жесткости пружин;
м
т = ш2 = 10 —г - массы тел;
7 I , I
Ь = — — Я , о2 = — + 2 - точки приложения гасящих сил т и т соответственно;
I ,
а1 = —, а2 = I — а - точки крепления пру-
жин;
сил.
Н = Н2 = 1 н - амплитуды вынуждающих
2 2 2 Рп«п1 Рп«п2 ... Рп«п
Таким образом, имеется единственная возможность гашения колебаний одновременно всех п тел, если определитель системы не обращается в ноль, то есть
Для двух гасящих сил расчет следующий: На рис. 2, 3 показаны зависимости от частоты абсолютных значений первой Т11(о) и второй Т12(о) гасящих сил соответственно (без учета их фаз). Как видно, эти силы идентичны. Например, при о = 60 с 1, значения этих сил равны Т11(60) = 7,087 и Т12(60) = 7,087 соответственно.
Т12(о)
\
ч ч /
\ У
Для проверки адекватности предложенной математической модели гашения колебаний тел на примере из двух тел рассмотрим предельный случай, когда две гасящие силы симметричны от-
0 20 40 60 80 100
о
Рис. 2
T12( ю)
X
ч ч /
\ У
0 20 40 60 80 100
(О
Рис. 3
Здесь
Г11(о) =| T1() | T11(o) =| T1(o) |. Графики для T1(o), T2(ю) показаны на рис. 4, 5.
10
T1( ю)
- 10
- 20
/
-.......
0 20 40 60 80 100 ю
Рис. 4
40
30
T13( ю )20 10 0
ч.
\ ч !
\ У
а на рис. 7 - зависимость абсолютного значения гасящей силы Т13(ю) =| Т3(ю) | от частоты без учета изменения этой фазы.
40
20
Т3(ю) 0 - 20 - 40
......- --....."
и
0 20 40 60 80 100 ю
Рис. 6
10
T2( ю)
10
20
/
у''
-.......
0 20 40 60 80 100 ю
Рис. 5
Как видно из рис. 4, 5, фазы гасящих сил изменяются на 180 градусов по отношению к вынуждающим силам, действующим на тела, при переходе пороговой частоты в районе около 83 с- , то есть при частотах меньше пороговой, гасящие силы направлены противоположно вынуждающим, а при частотах больших пороговой - в одном направлении с вынуждающими.
Аналогичный расчет проведем для случая с одной гасящей силой, приложенной в центре стержня.
На рис. 6 показана зависимость гасящей силы Т 3(ю) от частоты с учетом изменения ее фазы по отношению к направлению вынуждающих сил,
0 20 40 60 80 100 ю
Рис. 7
Как видно из рис. 6, изменение фазы происходит так же как и на рис. 4, 5 в районе пороговой
частоты 83 c 1. Абсолютное значение гасящей силы при частоте ю = 60 c 1 равно Т13(60) = 14,174 (см. вычисления ниже), что совпадает с суммой абсолютных значений гасящих сил 711(60) = 7,087 и 712(60) = 7,087 .
Приведем последовательность расчета одной гасящей силы, приложенной в некоторой точке между телами.
Система уравнений для неизвестной гасящей силы Т3 имеет вид
Г-p2 «11Т 3=щ,
[-p\ а21 Т3 = И2.
Исключая Т 3, получим
Р\ «11 И2 = Р2 «21 H1. (17)
Обозначим U1(z) = pI ап И2 и
U2(z) = p^ а21 H. Задавая изменение расстояния z от положения первого тела до точки приложения гасящей силы, строим графики зависимости левой U1(z) и правой U2(z) частей соотношения (2) от z (рис. 8).
Из графика видно, что пересечение происходит при z = 3 , то есть когда точка приложения
(16)
0
0
иркутским государственный университет путей сообщения
гасящей силы совпадает с центром стержня. Это обстоятельство является очевидным ввиду симметрии приведенной системы из двух тел.
-5_
3.5x10
U1(z)
3x10
- 5
U2(z) _ 5
2.5x10 5
2x10"
1 1.5 2 2.5 3
г
Рис. 8
Значение гасящей силы Т3 находим из соотношения
T 3 = --
H
p2 аи (0.25/)'
и оно оказывается равным Т3 = -14,174 (в относительных единицах).
Следует отметить, что имеется возможность погасить колебания п тел на стержне п -1 силами (п > 2) . Это объясняется тем, что путем применения метода Гаусса система п уравнений (16) относительно неизвестных сил Т, Т,..., Т , может
1 5 2 5 5 п-1
быть сведена к системе типа (1), но с более сложными коэффициентами при некотором Т и в ито-
ге к соотношению типа (2) - два уравнения и одно неизвестное, которое разрешается, например графически, путем подбора взаимного расположения точек приложения указанной системы сил.
Из проведенного исследования также можно сделать предположение о возможности гашения колебаний п тел п силами ( п > 2 ) и п тел п -1 силами (п > 2 ) при отсутствии части вынуждающих сил , действующих на п тел, вплоть до отсутствия всех сил , кроме одной, действующей на какое- либо одно тело.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Ошоров Б.Б. Обобщенное решение одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Труды участников международной конференции «Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии». - Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2009. -С.251-257.
2. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 2(22), С. 13-20.
УДК 621.83
Тупицын Алексей Альбертович,
к.т.н., доцент, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. 8-902-51570-71 Ревенский Алексей Алексеевич,
аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. 8-950-100-15-54, e-mail: foka5@yandex.ru
АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ВИД ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ: СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ
A.A. Tupitsyn, A.A. Revenskiy
ALTERNATIVE TYPE OF AN ENGAGEMENT: PROPERTIES AND CHARACTERISTICS
5
Аннотация. В статье приводятся новые виды зацеплений. Рассматриваются их достоинства и недостат—и. Описывается предлагаемое авторами новое зацепление. Приводятся геометрия, —онстру—тивная схема и модель зацепления.
Ключевые слова: зубчатое зацепление, зубчатая передача, передаточное отношение, профиль зуба, линия зацепления.
Abstract. In the article new aspects of coggings are resulted. Their merits and demerits are observed. New cogging offered by the authors is pre-
