CC BY
2
УДК 514.76
С. В. Галаев
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия [email protected] https://orcid.org/0000-0002-1129-7159 doi: 10.5922/0321-4796-2023-54-1-7
К геометрии субримановых многообразий, канонической четверть-симметрической связностью
В настоящей статье под субримановым многообразием контактного типа понимается риманово многообразие, оснащенное регулярным распределением коразмерности один и ортогональным этому распределению единичным векторным полем, называемым структурным векторным полем. На субримановом многообразии контактного типа определяется четверть-симметрическая связность, ассоциируемая с эндоморфизмом, сохраняющим распределение субриманова многообразия. Доказывается, что в случае метричности изучаемой связности ассоциируемый с ней эндоморфизм определен однозначно. Находится строение ассоциируемого эндоморфизма. В случае, когда структурное векторное поле представляет собой поле инфинитезимальных изо-метрий, четверть-симметрическая связность получает название канонической М-связности. Находится выражение тензора кривизны канонической М-связности через тензор кривизны Римана. Исследуются свойства тензора кривизны Схоутена, обеспечивающие, в частности, необходимые симметрии тензора кривизны М-связности для корректного определения ее секционной кривизны. Найдена связь секционной кривизны канонической М-связности и секционной кривизны связ-
Поступила в редакцию 02.04.2023 г.
© Галаев С. В., 2023
ности Леви-Чивиты. Находятся необходимые и достаточные условия для совпадения секционной кривизны М-связности и секционной кривизны связности Леви-Чи-виты.
Ключевые слова: субримановы многообразия контактного типа, четверть-симметрическая связность, секционная кривизна, тензор Схоутена
Введение
Изучению почти контактных метрических многообразий, оснащенных четверть-симметрической и, в частности, полуметрической связностью, посвящено большое количество работ [8—10; 14; 15]. Э. Картан [11] первым рассмотрел линейную метрическую связность с кручением вместо связности Леви-Чивиты. Среди метрических связностей с кручением наибольшее внимание ученых привлекает полусимметрическая связность, систематическое исследование которой проведено К. Яно в работе [14]. Четверть-симметрическая связность определена в 1975 г. С. Голабом [13]. Большое количество работ посвящено как метрическим, так и не метрическим связностям с кручением, заданным на многообразиях с почти контактной метрической структурой.
В настоящей работе на субримановом многообразии рассматривается четверть-симметрическая связность Их, ассоциируемая с тройкой (V, С, Б), где V — внутренняя метрическая связность, а С,Б — эндоморфизмы распределения И. Причем эндоморфизм С задается равенствами
С(Х, Ю = ~ У), д(СХ, У) = С(Х, У),
а 5 — произвольный эндоморфизм. Одной из задач настоящей статьи является определение такого эндоморфизма Б, для которого Их — метрическая связность. Если при этом (Ь-?д)(Х, У) = 0, то метрическая четверть-симметрическая связ-
ность Ох получает название канонической К-связности. Решается задача сравнения секционной кривизны канонической К-связности и секционной кривизны связности Леви-Чивиты. Находятся необходимые и достаточные условия для совпадения секционной кривизны К-связности и секционной кривизны связности Леви-Чивиты.
Основные результаты
Пусть М — риманово многообразие нечетной размерности п = 2т + 1 с заданной на нем субримановой структурой 9> Ю контактного типа, где д — метрический тензор, заданный на многообразии М, ц и ^ 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения И и И^. Потребуем, чтобы = ¿¿^С^'^) = 0, > 2. Будем называть в дальней-
шем М субримановым многообразием.
Внутренней линейной связностью V [3] на субримановом многообразии называется отображение V: Г(£) X Г(£) ^ Г(£), удовлетворяющее следующим условиям:
1)
2) \lxfY = (ХП¥ + ПХУ,
3) чх(у + г) = чху + чхг,
где Гф) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению О).
На протяжении всей статьи мы активно используем адаптированные координаты. Карту (1,],к = 1,...,п; а,Ь, с = 1,..., 2т) многообразия М будем называть адаптированной к распределению й, если Зп=^. Пусть Р: ТМ ^ й — проектор, определяемый разложением ТМ = йфО^, и к(х1) — адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — Г£дп линейно независимы в каждой точке и в области определения соответствующей карты порождают распределение И : И = 5рап(еа).
Адаптированные координаты играют роль «голономных» координат для неинволютивного распределения. Имеет место равенство [еа,еь] = 2шЬа. Отсюда, в частности, вытекает важное для дальнейшего утверждение: условие ¿¿^ = 0 эквивалентно справедливости равенства 3„Г™ = 0.
Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:
Б(Х,У) = УхУ-ЪуХ-Р[Х,У],
аду)г = чхчуг- чучхг- ъР[х>у]г- рм[Х,у],г],
где Q = I-P,X,Y,ZeГ(D).
Тензор Я {X, Уносит название тензора кривизны Схоуте-на субриманова многообразия. Компоненты тензора кривизны Схоутена в адаптированных координатах определяются равенством
Ra.bc = 2<?[агь]с + 2Г[аИГЬ]с.
Имеет место
Предложение 1. На субримановом многообразии существует единственная связность V с нулевым кручением, такая, что
чхд(у,г) = о, х,у,гегф).
Назовем связность V внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формулам
Гьс = \зас1(еьдС(1 + ёсдьа -еадЬс).
Далее пусть V — связность Леви-Чивиты.
Предложение 2. Коэффициенты Г^ связности Леви-Чиви-
ты Vсубриманова многообразия в адаптированных координатах имеют вид
Г^ _гс Гп _/1 _г
ГаЬ 1аЬ, 1аЬ шЬа °аЬ,
Гь = ГЬ =сь +и>ь
1 ап 1па ^а 1 "га,
Г" =—г) Гп Га =лаЬЯ Г" 1па "п1 а, 1пп И '-'п1Ь ,
где
гьс = \9аа(еь9са + есдьа -еадЬс), Тра =дЬСЫас,
Г — -Я п Гь — пЪсГ °аЬ 2 пс/аЬ' иа У °ас•
Здесь эндоморфизм ^ ТМ определяется из равен-
ства ш{Х,У) = д(;фХ,У). Выполняются также следующие соотношения: С(Х,У) =^(!|0)(*,У),0(СХ,У) = С(Х,У). Коэффициенты П примут более простой вид, если потребовать, чтобы = 0. В этом случае
Г" =—Я Г" = 0 и Гя =паЬЯ Г" = 0 1па ип1а и 1пп а ип1Ь и-
Внутренняя связность обеспечивает параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых. В то же время для решения ряда проблем возникает необходимость расширения внутренней связности до связности на всем многообразии. Иногда достаточно промежуточной конструкции — связности в векторном расслоении {М,п,И). Существуют разные способы продолжения внутренней связности. В ряде статей [1; 2; 4—6] обсуждается так называемая ^связность VN. На почти субримановом многообразии М ^связность VN определяемую парой (V, М), где V — внутренняя метрическая связность, Ы: ТМ ^ ТМ — эндоморфизм касательного расслоения многообразия М такой, что N1; = О, N(0) с И. В настоящей статье мы выделяем четверть-симметрические ^связ-ности.
Определим четверть-симметрическую связность Их на суб-римановом многообразии с помощью следующего равенства:
ихУ = ЧХУ + С(Х, У)! -7]{Х)хрУ - Г](У)(С + Б)Х.
Имеет место
Предложение 3. Ненулевые коэффициенты связности йх субриманова многообразия в адаптированных координатах имеют вид
пс _ Гс Гп _ /1 г^ _ гь _ гь
иаЬ 1аЬ> иаЬ шЪа, иап ¿а/ ипа •
Из определения четверть-симметрической связности Их следует, что участвующий в ее определении эндоморфизм 5 определен произвольным образом. Сформулированная ниже теорема утверждает, что эндоморфизм 5 будет определен однозначно, если потребовать от связности Их свойство метрич-ности.
Теорема 1. Заданная на субримановом многообразии четверть-симметрическая связность йх будет метрической тогда и только тогда, когда Б =
Используя предложение 1, непосредственно убеждаемся в том, что БадЬс = 0 и ОпдЬс = 0. Найдем условия, при которых ОадпЬ = 0. Имеем:
ВаЗпЬ = ~6ап9ьс = ~$а9Ьс ~шЬа = 0
Отсюда и из равенства =дЬсшас следует, что теорема справедлива.
Из доказанной теоремы следует, что связность, определяемая посредством следующего равенства:
ВХУ = ЧХУ + С(Х, У)? -Г!(Х)ФУ - г](У~)СХ,
является метрической четверть-симметрической связностью.
К введению четверть-симметрической связность Их можно подойти следующим образом.
Теорема 2. Пусть на субримановом многообразии М определена пара (У,М), где V — внутренняя метрическая связность, Ы: ТМ ^ ТМ — эндоморфизм касательного расслоения
многообразия М такой, что = О, N(0) с И. Тогда на многообразии М существует, причем единственная, связность йх такая, что:
1) ^ = ЫХ,
2) (ад(У) = а>(Х,У),
3) Б(Х, У) = Г](У)ЫХ - Г](Х)ЫУ,
4) РфхУ) = ЧХУ.
Здесь Б{Х, У) — тензор кручения связности Их. В последнем равенстве Х,У е Г (О), во всех остальных случаях Х,У Е Г(ГМ).
Доказательство. Предположим, что связность Их существует, найдем ее компоненты в адаптированных координатах. После некоторых вычислений получаем следующие ненулевые компоненты:
Са _ ра /-п _ ,. па _ л/я
Ъс ~ 1Ьс, иЬс ~ шсЪ, иЬп ~ "Ь .
Обратным образом можно убедиться в том, что связность с обозначенными выше компонентами удовлетворяет требованиям, предъявляемым к связности Их.
Легко убедиться в том, что четверть-симметрическая М-связ-ность выражается через связность Леви-Чивиты следующим образом:
ОхУ = ЧХУ + С(Х, У)? -Г](У){С + -г\(Х){С + ф)У.
Метрическую четверть-симметрическую К-связность, удовлетворяющую требованиям теоремы 2, будем называть канонической связностью, и предполагать, что до конца статьи выполняется условие (^й1) = 0. Если Их — каноническая связность, то
ОхУ = Г](Х)Ц>У.
В работе П. Н. Клепикова, Е. Д. Родионова и О. П. Хромовой «О секционной кривизне связностей с векторным кручением» [7] решается задача о связи секционной кривизны полусимметрической связности и секционной кривизны связности Леви-Чивиты. Авторами построена математическая модель, позволяющая вычислять секционную кривизну метрической связности с векторным кручением через секционную кривизну связности Леви-Чивиты в случае локально однородных (псев-до)римановых многообразий.
В своем исследовании мы рассматриваем схожие задачи применительно к субримановым многообразиям с четверть-симметрической связностью.
Предложение 4. Пусть Я(Х,У)1 и К(Х,У— тензоры кривизны связностей $ХУ и йхУ соответственно. Тогда выполняются следующие соотношения:
= дпдаь, (^д)ап = 0. Таким образом, до конца статьи мы полагаем, что дпдаЬ = 0.
Покажем, что при сделанных предположениях тензор кривизны Схоутена обладает теми же свойствами симметрии, что и тензор кривизны Римана, позволяющими применить к тензору Схоутена процедуру разложения на неприводимые компоненты. Как известно, тензор кривизны Схоутена
ад у)г = 1Х1У2- 1У1Х2- Р№[х, у],г],
Й(Х, У,!, и) = К(Х, У,!, и) + 2ш(Х, У)ш(г, и), Х,У,г,и еГ(Я);
й(х, у)г = к(х, у)г + 2ш(х, х,у,г е г(Я).
Известно, что в адаптированных координатах
х,у,г е г(й)
в адаптированных координатах имеет вид
^аЬс — 2<?[аГЬ]с + 2Г[£г|е|Г/Ъ]с.
Условие дпдаЬ = 0 влечет равенство дпГ£с = 0. В этом случае
Ra.bc = 2д[аГЬ]с + 2Г[а|е|ГЬ]с.
Тензор кривизны Схоутена возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:
2V[aVь]vc = ,R^X + 4ídгшдJгvc.
Как мы видим, координатное представление тензора Схо-утена идентично координатному представлению тензора кривизны Римана. Это позволяет быть уверенным в том, что к тензору Схоутена применима теорема о разложении тензора кривизны на неприводимые компоненты. Тем не менее сформулируем и докажем следующую теорему.
Теорема 3. Тензор кривизны Я(Х,У)1 Схоутена удовлетворяет следующим тождествам:
я(х,у)г = -я(у,х)г, я(х,у)г + я(г,х)у + я(у,г)х = 0,
д{Я{Х,У)г, и) = -д(Я(Х,У)и,г), д(Я(Х, У)1, и) = д{Я{г, ЮХ, У).
Доказательство. Из условия = 0 следует, что для
доказательства указанных тождеств можно ограничиться такими векторными полями Х,У,Х Е Г (О), скобки Ли которых принадлежат распределению Будем полагать, что Х = У ^Ь, ^ ®с.
Для таких полей будем иметь
я(Х, у)г = 1х1у1- Уу^хЯ, УхУ- УуХ = 0.
В этом случае первые два тождества выполняются очевидным образом, четвертое тождество является алгебраическим следствием первых трех. Докажем третье тождество, которое имеет место тогда и только тогда, когда
д(я(х,у)г,г) = 0.
Из равенства
Хд(У, Я) -д(УхУ, 7) -д(у, VХГ) = 0
следует, что
Хдфу1,Я) -д®хЧу1,2) -д$у1,ЧхТ) = 0.
Используя равенство
д(Чуг,г) = -2Уд{г,г),
получаем
= \{УХ- ХУ^д{!,Т) = шаЪ дпд{!,Т) = 0.
Третье тождество доказано. Тем самым теорема доказана. Теорема 3 может быть использована для доказательства того, что, как и в случае тензора кривизны Римана, тензор кривизны Схоутена распадается на три части, соответствующие скалярной кривизне, бесследовой части тензора Риччи — Схоутена и тензору кривизны Вейля (при 2т > 4). Из теоремы 3 и равенства
й(х, у, г, и) = к(х, у, г, и) + 2ш(х, у)ш(г, и), х,у,г,и е г(й),
следует справедливость предложения 5.
Предложение 5. Тензор кривизны К(Х, удовлетворяет следующим тождествам:
к(х,у)г = -к(у,х)г, к(х, у, г, и) = ~к(х, у, и, г), к(х, у, г, и) = к(г, и, х, у), х, у,г,и е Г(£).
Определим на многообразии М секционную кривизну относительно канонической связности в направлении линейно независимых векторов Х,У е Г {И) :
К(Х,У,Х,У)
ВД У) =
д(Х,Х)д(У,У)-(д(Х,У))2'
Сравним компоненты тензоров R(X,Y)Z и K(X,Y)Z в адаптированных координатах. Имеем:
^abe ^abe nabc
+ 2 CúabW, Rabe = Kabc = ^ашсЬ ~^Ьшса,
Rncb = ^тгсЬ = ■
Используя полученные соотношения, получаем равенство
Р —V I
Kab — Лab + „ „ „2 .
ваавЬЬ ваЬ
Теорема 4. Секционные кривизны канонической связности и связности Леви-Чивиты в направлении линейно независимых векторов X,Y е Г(0) равны тогда и только тогда, когда распределение D инволютивно■
Список литературы
1. Букушева А. В■ О геометрии многообразий Кенмоцу с N-связ-ностью // ДГМФ. 2019. Вып. 50. C. 48—60.
2. Букушева А. В. Неголономные многообразия Кенмоцу, оснащенные обобщенной связностью Танаки — Вебстера // ДГМФ. 2021. № 52. С. 42—51.
3. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263—272.
4. Галаев С. В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, №3. С. 258—263.
5. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, № 3. С. 53—63.
6. Галаев С. В., Гохман А. В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. № 3. С. 28—31.
7. Клепиков П. Н.., Родионов Е. Д.., Хромова О. П. О секционной кривизне связностей с векторным кручением // Изв. вузов. Матем. 2020. № 6. С. 86—92.
8. Agrícola I., Kraus M.. Manifolds with vectorial torsion // Differential Geometry and its Applications. 2016. Vol. 46. P. 130—146.
9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. Pure App. Math. 1985. Vol. 16, iss. 7. P. 736—740.
10. Biswas S. C., De U. C. Quarter-symmetric metric connection in an SP-Sasakian manifold // Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Series А1. 1997. Vol. 46. P. 49—56.
11. Cartan E. Sur les varieties a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part II // Ann. Ec. Norm. 1925. Vol. 42. P. 17—88.
12. Galaev S. V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31, № 1. P. 35—46.
13. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections // Tensor. New series. 1975. Vol. 29. P. 249—254.
14. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 1970. Vol. 15. P. 1579—1586.
15. Yano K., Imai T. Quarter-symmetric metric connections and their curvature tensors // Tensor. New series. 1982. Vol. 38. P. 13—18.
Для цитирования: Галаев С. В. К геометрии субримановых многообразий, оснащенных канонической четверть-симметрической связностью // ДГМФ. 2023. № 54 (1). С. 64—77. https://doi.org/10.5922/ 0321-4796-2023-54-1-7.
gv—0-[ПРЕДСТАВЛЕНО ДЛЯ ВОЗМОЖНОЙ ПУБЛИКАЦИИ В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ
К^анзшН ЛИЦЕНЗИИ CREATIVE COMMONS ATTRIBUTION (CCBY)(HTTP://CREATIVECOMMONS.ORG/L]CENSES/BY/4.0/)
MSC 2010: 53C17
S. V. Galaev0 Saratov State University 83, Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia [email protected] doi: 10.5922/0321-4796-2023-54-1-7
On the geometry of sub-Riemannian manifolds equipped with a canonical quarter-symmetric connection
Submitted on April 2, 2023
In this article, a sub-Riemannian manifold of contact type is understood as a Riemannian manifold equipped with a regular distribution of codimension-one and by a unit structure vector field orthogonal to this
distribution. This vector field is called a structural. On a sub-Riemannian manifold of contact type, a quarter-symmetric connection is defined, which is associated with an endomorphism that preserves the distribution of the sub-Riemannian manifold. It is proved that if the connection under study is metric, then the endomorphism associated to it is uniquely defined. The structure of the associated endomorphism is found. In the case when the structure vector field is a field of infinitesimal isometries, the quarter-symmetric connection is called the canonical N-connection. An expression is found for the curvature tensor of the canonical N-connection in terms of the Riemann curvature tensor. The properties of the Schouten curvature tensor are investigated, which provide, in particular, the necessary symmetries of the curvature tensor of an N-connection for its sectional curvature to be well-defined. A relation between the sectional curvature of the canonical N-connection and the sectional curvature of the Levi-Civita connection is found. Necessary and sufficient conditions are found under which the sectional curvature of the N-connection and the sectional curvature of the Levi-Civita connection coincide.
Keywords: sub-Riemannian manifolds of contact type, quarter-symmetric connection, sectional curvature, Schouten tensor
References
1. Bukusheva, A. V.: On geometry of Kenmotsu manifolds with N-con-nection. DGMF, 50, 48—60 (2019).
2. Bukusheva, A. V.: Non-holonomic Kenmotsu manifolds equipped with generalized Tanaka — Webster connection. DGMF, 52, 42—51 (2021).
3. Galaev, S. V.: Extended structures on codistributions of contact metric manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform. 16:3, 263—272 (2016).
4. Galaev, S. V.: Almost contact metric spaces with N-connection. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 15:3, 258—263 (2015).
5. Galaev, S. V.: Generalized Wagner's curvature tensor of almost contact metric spaces. Chebyshevskii sb., 17:3, 53—63 (2016).
6. Galaev, S. V., Gokhman, A. V.: Almost symplectic connections on a nonholonomic manifold. Mathematics. Mechanics, 3, 28—31 (2001).
7. Klepikov, P. N., Rodionov, E.D., Khromova, O.P.: Sectional curvature of connections with vectorial torsion. Russ Math., 64, 75—79 (2020).
8. Agricola, I., Kraus, M.: Manifolds with vectorial torsion. Diff. Ge-om. and its App., 46, 130—146 (2016).
9. Barua, B., Ray, A. Kr.: Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold. Indian J. Pure App. Math., 16:7, 736—740 (1985).
10. Biswas, S. C., De, U. C.: Quarter-symmetric metric connection in an SP-Sasakian manifold. Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. А1, 46, 49—56 (1997).
11. Cartan, E.: Sur les varieties a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part II. Ann. Ec. Norm., 42, 17—88 (1925).
12. Galaev, S. V.: Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis, 31:1, 35—46 (2015).
13. Golab, S.: On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections. Tensor (N. S.), 29, 249—254 (1975).
14. Yano, K.: On semi-symmetric metric connection. Rev. Roum. Math. Pure Appl., 15, 1579—1586 (1970).
15. Yano, K. Imai, T.: Quarter-symmetric metric connections and their curvature tensors. Tensor (N. S.), 38, 13—18 (1982).
For citation: Galaev, S.V. On the geometry of sub-Riemannian manifolds equipped with a canonical quarter-symmetric connection. DGMF, 54 (1), 64—77 (2023). https://doi.org/10.5922/0321-4796-2023-54-1-7.
—"I SUBMITTED FOR POSSIBLE OPEN ACCESS PUBLICATION UNDER THE TERMS AND CONDITIONS OF THE CREATIVE ¿H^KHJ COMMONS ATTRIBUTION (CO BY) LICENSE [HTTP://CREATIVEC0MM0NS.0RG/LICENSES/BY/4.0/)
