К формированию и решению систем линейных алгебраических уравнений в задачах расчета оболочек и пластин вариационно-разностным методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки

Таким образом, в формуле (2) происходит замена

соответственно на ^ hiv и ин.

К =

UvJ " (k^vJ.

(2)

Формула (2) имеет две неизвестных формулы Пэ-риса: показатель степени т и опытную характеристику свойств материала С. Причем т изменяется на каждом из участков рис. 2, поэтому дальнейший этап прогнозирования безопасного количества циклов многоцикловой усталости для алюминиего сплава Д16Т состоит именно в их поиске.

О 0,1 ОД 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,3 0,9

Рис. 2

аТ/а1*гпах

Для большинства конструкционных материалов т ~ 5, поэтому, исключив из уравнения одну неизвестную, определяем численное выражение опытной характеристики С, для этого подставим в формулу (2) все известные нам данные для каждого из четырех участков. Стоит заметить, что N - количество машинных циклов равно 3 миллионам, поскольку именно за такое количество циклов происходил рост исследуемой серповидной трещины. Результаты поиска представлены в таблице, где: N^.N4 - количество циклов при выбранной С, X - сумма.

Определив, что для данного сплава опытная характеристика С = 5,4 • 10-14 |м-1 • МПа— ^, приступаем к поиску т. Аналогичные операции поиска дают нам следующие результаты: для участка N1 т = 7.8, N2 т = 4.2, N3 т = 3.6, N4 т = 3.5.

Таким образом, найденные значения т и С позволяют успешно использовать формулу (2) для расчета количества циклов многоцикловой усталости до разрушения детали из алюминиевого сплава с медленно растущей усталостной трещиной на любом этапе её регистрации и рассчитывать остаточную долговечность. Данную методику можно использовать для любых алюминиевых сплавов.

© Подлеснова Д. П., Игнатовский А. Д., Агаповичев А. В., 2013

УДК 539.3

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

К ФОРМИРОВАНИЮ И РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

Для вариационно-разностной формулировки краевой задачи теории оболочек и пластин рассматривается алгоритм формирования систем линейных алгебраических уравнений дающий ленточный способ хранения матрицы разрешающих уравнений, разложение которой выполнено LL -методом, с реализацией в системе программирования Delphi.

При решении краевых задач теории тонкостенных конструкций вариационно-разностным методом, применим универсальный алгоритм формирования матриц коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений, с использованием вариаций функционала Лагранжа. Пусть Э(и) - функционал Лагранжа в дискретной форме, где и = (м1,и2,...,ип) - вектор перемещений для п переменных. Для вычисления коэффициентов системы линейных или линеаризованных уравнений, выгодно использовать вторую вариацию функционала Лагранжа 52Э(и, 51м, 52и), содержащую вариации 51м = (81м1,51м2,..., 51мп) и 52м = (82м1,82и2,...,52ип) вектора перемещений. То-

гда элемент aj с индексами (i, j) матрицы системы уравнений вычисляется как

aij = 52 Э(и, SjM, 52м) = 52(51Э(м, 81и, 52м)) =

д

(

= £

k=1 dUk Vl=К i = 1,2,...,n ;

дЭ(и, S1U, 52u ) (

ди,

81Ul P2Uk , (1)

82Uk =

(2) (3)

] = 1,2,...,п ; К = 1;

1, при к = I, \ 1, при I = ],

81мг = \

[0, при к ФI, [0, при I Ф ].

Цикл (2) из соотношений (1) формирует квадратную матрицу симметричную относительно главной диагонали. Заменив цикл (2) на цикл

I = 1,2,...,п , ] = I,I +1,...,п ; К= к, (4)

Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»

получаем алгоритм формирования верхнего треугольника матрицы коэффициентов системы уравнений.

Обозначим символом H ширину ленты системы уравнений. Пусть в число H входят «полулента» и диагональный элемент. Из (1) можно сформировать матрицу общего вида хранения, если применить

i = 1,2,...,n ;

fi,..., H -1 + i, при i < (n - H +1) j = < , K = k . (5)

[i,..., n, при i > (n - H +1)

Для компактного хранения матрицы, каждую нижнюю строку сдвинем относительно предыдущей на одну позицию вниз со сдвигом, при каждом смещении, влево и перенумеруем индексы в столбцах, что приводит к следующему алгоритму

i = 1,2,...,n ; . f1, 2,..., H при i <(n - H +1) v

j = i ; к = k. (6)

[ n +1 - i при i > (n - H +1)

Получаем прямоугольную матрицу размерностью n x H с диагональной схемой хранения.

Вариационная формулировка задачи дала относительно простую схему хранения матриц, причем ненулевые элементы группируются возле главной диагонали, что не требует дополнительного переупорядочения коэффициентов. Для сравнения, способы хранения матриц, количество операций решения уравнений приведены в [1; 2].

Процедура решения системы уравнений LLT х = b реализуется последовательно по схеме: Ly = b и

LTx = y [3].

Приведем фрагменты программ для формирования коэффициентов системы уравнений и решения системы уравнений в системе Delphi.

Процедура формирования системы линейных уравнений: NN - число шагов конечно-разностной сетки на области конструкции по оси «у»; MM - число шагов конечно-разностной сетки на области конструкции по оси «х»; u - вектор перемещений; du - вектор вариаций перемещений 5j uk; - tu - вектор вариаций перемещений 52wk ; A - матрица коэффициентов размерностью n x H; n - число уравнений; H - ширина ленты системы уравнений.

procedure SVariation(const NN,MM: integer; VAR u:TMatrU; VAR A:AMatr; VAR Nur,HL: integer);Nur:=0; HL:=0; {HL - ширина ленты СЛАУ} ]ВБОГ№=2{Начало цикла по строкам при составлении системы уравнений}

jEND:=N2-1 {Конец цикла по строкам } iBEGIN:=2 {Начало цикла по столбцам при составлении системы уравнений} {iEND:=M2-1 Конец цикла по столбцам }

{Цикл вариаций перемещений 1} for j2:=jBEGIN to jEND do begin {30} for i2:=iBEGIN to iEND do begin {20} for k2:=1 to 3 do begin {10}

Nur:=Nur+1; Nkf:=0; tu[k2,j2,i2]:=1.0; for j 1:=j2 to jEND do begin if (j1-j2)>2 then goto metka4; i1N:= i2; if j 1 > j2 then i1N:= iBEGIN; { Цикл вариаций перемещений 2}

for i1:=i1N to iEND do begin if (((j1-j2)>2) AND ((i1-i2)>2)) then goto metka3; kk:=1; if ((j1=j2) and (i1=i2)) then kk:=k2; for k1:=kk to 3 do begin {6} if is-vaz(NN, MM, i1, j1, k1)=1 then goto metka1;

Nkf:=Nkf+1; if Nkf>HL then HL:=Nkf; du[k1,j1,i1]:=1.0;

{ Вычисление коэффициента уравнения:}A[Nur,Nkf] := energ2(NN, MM, i2,j2,k2, i1,j1,k1, u, du, tu);

metka1:end; {6} metka3: end; metka4: end; tu[k2,j2,i2]:=0.0; metka2: end; {10} end; {20} end; {30} end; {конец процедуры формирования системы линейных уравнений}

Процедура решения системы уравнений методом Холесского: A - матрица коэффициентов размерностью n x H; R - вектор правой части, при возвращении содержит решение системы уравнений; n - число уравнений в системе; H - ширина ленты.

procedure HOLESS(VAR A:AMatr ; VAR R: RMatr; n,H:integer);

var i,j, i1,j 1,i2,i3, jH, k, L: integer; var a1,a2, R1: real; label metka1; begin a[1,1]:=sqrt(a[1,1]); for i:=2 to H do begin [1,i]:= a[1,i]/a[1,1]; end; for j:=2 to n do begin i1:=1; {вычисляем диагональные элементы; они в столбце i1} a1:=0.0; if j<H then jH:=1 else jH:=j-(H-1); i1:=1; for j 1 :=j -1 downto jH do begin i1:=i1+1; a1:=a1+a[j1,i1]*a[j1,i1]; end; if (a[j,1]-a1)< 0.0 then goto metka1;

a[j,1]:=sqrt(a[j,1]-a1);

for i2:=2 to H do begin k:=j; a2:=0.0; L:=1; for i3:=i2+1 to H do begin L:=L+1; k:=k-1; if k>=1 then a2:=a2+a[k,L]*a[k,i3];

end; a[j,i2]:=(a[j,i2]-a2)/a[j,1]; end; end; metka1: {обратный ход} R[1]:=R[1]/a[1,1]; for j:=2 to n do begin L:=j; R1:=0.0; for i:=2 to H do begin L:=L-1;{номер уравнения} if L>=1 then R1:=R1+a[L,i]*R[L]; end; R[j]:=(R[j]-R1)/a[j,1]; end; R[n]:=R[n]/ a[n,1];

for j:=n-1 downto 1 do begin R1:=0.0; for i:=2 to H do begin R1:= R1+ a[j,1]* R[j+i-1]; end; R[j]:=(R[j]-R1)/a[j,1]; end; end; {конец процедуры решения системы уравнений методом Холесского}

Заметим, что заимствование FORTRAN-программы из [4], к успеху не привела, что обусловлено различными стилями программирования.

Библиографические ссылки

1. Писсанецки С. Технология разреженных матриц / пер. с англ. М. : Мир, 1988. 410 с.

2. Джордж А, Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений / пер. с англ. М. : Мир, 1984. 334 с.

3. Молчанов И. Н. Машинные методы решения прикладных задач. Алгебра, приближение функций. Киев : Наук. думка, 1987. С. 288.

4. Сборник научных программ на Фортране. Вып. 2 Матричная алгебра и линейная алгебра. Нью-Йорк, 1960-1971, (США). М. : Статистика, 1974. 224 с.

© Сабиров Р. А., 2013