Компьютерный анализ устойчивости линейной однородной системы дифференциальных уравнений с матрицей постоянных коэффициентов на основе идентификации знака собственных значений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел V. МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ИНФОРМАТИКА

А.А. Веселая

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАТРИЦЕЙ ПОСТОЯННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ОСНОВЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЗНАКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Аннотация. Предлагается распараллеливаемый компьютерный метод анализа устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе нахождения при помощи сортировки собственных значений матрицы постоянных коэффициентов системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка.

Ключевые слова. Сортировка, обыкновенные дифференциальные уравнения, устойчивость.

А.А. Veselaya

COMPUTER ANALYSIS OF THE STABILITY OF HOMOGENEOUS LINEAR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT MATRIX COEFFICIENTS BASED ON THE IDENTIFICATION OF THE SIGN OF THE EIGENVALUES

Abstract. Proposed parallelized computer method of analysis of stability of solutions of systems of ordinary differential equations based on finding the with sorting of eigenvalues of the matrix of the constant coefficients of a system of linear ordinary differential equations of arbitrary order.

Key words. Sorting, ordinary differential equations, stability.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянными коэффициентами в матричной форме [2]:

йУ АЛГ

— = AY, (1)

йг

(

где Y =

У11

У 21

У12 У 22

У n2

Уы

У 2n

Л

V Уп1 У п2 ••• Упп У V "п1 ап 2 ••• апп У

коэффициентов.

Общее решение системы (1) с постоянной матрицей А есть

У = вА'с • (2)

Пусть решение (2) удовлетворяет начальным условиям

У (О = Уо, (3)

тогда решение У удовлетворяет начальным условиям У (го ) = У о •

Требуется исследовать решение (2) системы ОДУ (1) на устойчивость в смысле Ляпунова [1]

Ниже предлагается подход к решению задачи анализа устойчивости, основанный на известном методе качественной теории дифференциальных уравнений - оценка устойчивости по виду характеристических нулей матрицы коэффициентов системы. В данном случае речь пойдет о нулях характеристического полинома матрицы.

Как известно из первой теоремы Ляпунова об устойчивости [1], структура нулей характеристического полинома матрицы А из (1) следующим образом связана с характером устойчивости системы (1):

• если все характеристические числа имеют отрицательные вещественные части, то система асимптотически устойчива;

• если хотя бы одно из характеристических чисел имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива.

(

A =

a,

a,,

a,

12

a

1n

Л

a

a

a

a

- квадратная матрица постоянных

и

Необходимо принять во внимание, что предлагаемый метод компьютерного анализа устойчивости включает в себя все аспекты анализа устойчивости по критерию Гурвица, критерию Михайлова и критерию Найквиста. Однако дополнительно предложенный метод позволяет анализировать устойчивость в тех случаях, которые не подпадают под классические критерии, например, при вариации параметров системы линейных ОДУ. Именно, предложенный метод позволяет оценивать устойчивость и асимптотическую устойчивость во всех без исключения случаях, как будет показано ниже, согласно шагам 1 - 4 предложенного алгоритма анализа устойчивости. Известные критерии не вполне пригодны для компьютеризации и информацию об устойчивости подают в косвенном виде, характерном для качественной теории дифференциальных уравнений. В то же время предложенный метод основывается на алгоритме, который в общем случае влечет однозначное определение характера устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости при вариации параметров решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Более того, метод допускает применение в случае, когда известные критерии принципиально не применимы, - при наличии нелинейностей и трансцендентности в правой части системы.

Сформулируем алгоритм анализа устойчивости [1].

Шаг 1. Вычисляются все нули характеристического полинома без учета кратности.

Шаг 2. Если среди них хоть один имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива и анализ закончен. Иначе выполняется шаг 3.

Шаг 3. Если число нулей с неположительной вещественной частью равно П , то они все различны и система устойчива. Анализ закончен. В противном случае выполняется шаг 4.

Шаг 4. Выполняется проверка кратности с отрицательной вещественной частью. Если в результате общее число нулей равно П , то нули с нулевой вещественной частью все различны, система устойчива и анализ закончен. Если общее число нулей меньше П , то среди нулей с нулевой вещественной частью имеются кратные, система неустойчива. Анализ полностью завершен.

Вопрос об асимптотической устойчивости решается в один этап: если все нули имеют отрицательную вещественную часть, то система асимптотически устойчива и анализ закончен. Иначе система не является асимптотически устойчивой. Ее можно исследовать на устойчивость по изложенной методике, но уже речь не пойдет об асимптотической устойчивости [2].

Описанная методика дает полную автоматизацию требуемого компьютерного анализа. При этом возникает дополнение к предложенному методу анализа устойчивости. Оно состоит в том, что для определения знака действительной части не обязательно выполнять максимально точное вычисление нулей полинома, которое является заведомо длительным. Достаточно локализовать искомые нули, при этом сохраняется гарантия верного знака их действительной части. Тем самым возможна принципиальная рационализация предложенной схемы с точки зрения временной сложности в аспекте компьютерного анализа устойчивости.

Необходимо отметить, что если количество нулей совпадает со степенью характеристического полинома матрицы, то можно ограничиться данным приемом, а если количество нулей будет меньше степени данного полинома, то потребуется локализовать действительные и мнимые части нулей с учетом кратности.

Следующий пример иллюстрирует случай достаточности локализации действительных

частей.

Пример 1. Пусть система (1) имеет следующую матрицу коэффициентов

(1 2 3 4 51

1 1 1 1 4

1 1 1 4 1

1 1 4 1 1

v 5 4 3 2 1,

Требуется определить знаки действительной части всех собственных значений матрицы. Такую задачу решает следующий программно представленный алгоритм, локализующий только действительные части собственных значений с радиусом локализации eps 0 = 0.1. program leverie_kompkorn_net_y; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; LABEL 23;

const n1=5;eps= 1 e-22*1E-33; eps0=0.1 ;h=eps0/20; n00=4000; mm=64; nn=n00+round(n00/2)+1;

x00=-10; x11=10; y00=-10; y11=10;

TYPE vect=array[0..n1] of double; matr=array[1..n1,1..n1] of double; vectl =ARRAY[0..2*nn+nn] OF extended; vect2=ARRAY[0..2*nn+nn] OF longint; vect3=ARRAY[o..n1] OF extended; const AA:matr =((1,2,3,4,5), (1,1,1,1,4), (1,1,1,4,1), (1,1,4,1,1), (5,4,3,2,1));

var cc,cc1: matr; ep,pp: vect; ss,ss1: double; ii,jj,kk,ll: integer; i,j,k,k1,r,ee,ee1,tty,nn0 : longint;

c,a1: vect1; e,e3, e33: vect2; x,x0,x1,xk,xk0,xk1,hx,hy,min,eps1,eps11,eps12,eps13: extended;

y,y0,y1,yk,yk0,yk1, ykk0,aak,bbk,hh: extended; bdv, bmv,bd, bm: vect3;

VAR da,db: vect3; a,b,a11,b11 ,ca,cb: extended;

PROCEDURE um(VAR a,b,a11,b11: extended; VAR ca,cb: extended);

BEGIN ca:=a*a11-b*b11; cb:=a*b11+b*a11 END;

PROCEDURE sum(VAR a,b,a11,b11: extended; VAR ca,cb: extended);

BEGIN ca:=a+a11; cb:=b+b11 END;

FUNCTION func (VAR x,y: extended; var bdv, bmv: vect3): extended; VAR i1: 0..n1; p1,p2,pp1,pp2,d1,d2,d3,d4:extended;

BEGIN p1:=bdv[n1];p2:=bmv[n1]; FOR i1:=1 TO n1 DO begin um(p1,p2,x,y,d1,d2); pp1:=bdv[n1-i1];pp2:=bmv[n1-i1];sum(pp1,pp2,d1,d2,d3,d4); p1:=d3; p2:=d4; end; func:=sqr(p1)+sqr(p2); END;

PROCEDURE minx (VAR x,y,min:extended;VAR ee:integer);

BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv); ee:=0; FOR i:=1 TO mm DO BEGIN x:=xk0+i*hx;

IF min > func(x,y,bdv,bmv) THEN BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv);ee:=i END END END;

PROCEDURE miny (VAR x,y,min:extended;VAR ee1:integer);

BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv); ee1:=0; FOR i:=1 TO tty DO BEGIN y:=ykk0+i*hy;

IF min > func(x,y,bdv,bmv) THEN BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv);ee1:=i END END END;

FOR i:=0 TO n1 DO bd[i]:=pp[n1-i]; FOR i:=0 TO n1 DO bm[i]:=0; aak:=1e474; bbk:=1e474; x0:=x00; x1:=x11; y0:=y00; y1:=y11; nn0:=n00-3; hh:=nn0*h; FOR i:=0 TO n1 DO bdv[i]:=bd[i]; FOR i:=0 TO n1 DO bmv[i]:=bm[i]; WHILE x0 <= x11+hh DO BEGIN WHILE y0 <= y11+hh DO BEGIN

FOR r:=1 TO nn0 DO BEGIN x:=x0+r*h; ykk0:=y0; y:=y0; tty:=n00;hy:=h; miny (x,y,min,ee1);

a1[r]:=min END; sort( nn0, a1, e3); k:=1; WHILE k<= nn0 DO BEGIN

FOR r := 1 TO k-1 DO IF abs(e3 [k]-e3 [k-r]) <= eps0/h THEN GOTO 23;

xk:= x0+E3[K]*h; writeln (' ', xk:30,' ');

23: k:=k+1 END; END; x0:=x0+hh; END;

readln; END.

Результаты работы программы: -3.00000000000000E+0000 2.51000000000000E+0000 -4.30000000000000E-0001 -4.72500000000000E+0000 9.98500000000000E+0000

Таким образом, с помощью предложенной программы удалось вычислить все действительные части с учетом знака достаточно быстро, менее точно по отношению к результатам полной программы, но этого достаточно, чтобы сделать достоверный вывод о неустойчивости точки покоя системы с данной матрицей коэффициентов.

Пример 2. Пусть линейная система ОДУ имеет матрицу коэффициентов, заимствованную из примера 1. Требуется определить устойчивость системы по знаку действительной части всех собственных значений матрицы.

Такую задачу решает следующий программно представленный алгоритм, локализующий действительные и мнимые части собственных значений с радиусом локализации eps 0 = 0.1. program leverie_kompkorn; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

LABEL 23;

const n1=5;eps= 1 e-22*1E-33; eps0=0.1 ;h=eps0/20; n00=4000; mm=64;

nn=n00+round(n00/2)+1;

x00=-10; x11=10; y00=-10; y11=10;

TYPE vect=array[0..n1] of double; matr=array[1..n1,1..n1] of double; vectl =ARRAY[0..2*nn+nn] OF extended; vect2=ARRAY[0..2*nn+nn] OF longint; vect3=ARRAY[o..n1] OF extended; const AA:matr =((1,2,3,4,5), (1,1,1,1,4), (1,1,1,4,1), (1,1,4,1,1), (5,4,3,2,1));

var cc,cc1: matr; ep,pp: vect; ss,ss1: double; ii,jj,kk,ll: integer; i,j,k,k1,r,ee,ee1,tty,nn0 : longint;

c,a1: vect1; e,e3, e33: vect2; x,x0,x1,xk,xk0,xk1,hx,hy,min,eps1,eps11,eps12,eps13: extended;

y,y0,y1,yk,yk0,yk1, ykk0,aak,bbk,hh: extended; bdv, bmv,bd, bm: vect3;

VAR da,db: vect3; a,b,a11,b11 ,ca,cb: extended;

PROCEDURE um(VAR a,b,a11,b11: extended; VAR ca,cb: extended);

BEGIN ca:=a*a11-b*b11; cb:=a*b11+b*a11 END;

PROCEDURE sum(VAR a,b,a11,b11: extended; VAR ca,cb: extended);

BEGIN ca:=a+a11; cb:=b+b11 END;

FUNCTION func (VAR x,y: extended; var bdv, bmv: vect3): extended; VAR i1: 0..n1; p1,p2,pp1,pp2,d1,d2,d3,d4:extended;

BEGIN p1:=bdv[n1];p2:=bmv[n1]; FOR i1:=1 TO n1 DO begin um(p1,p2,x,y,d1,d2); pp1:=bdv[n1-i1];pp2:=bmv[n1-i1];sum(pp1,pp2,d1,d2,d3,d4); p1:=d3; p2:=d4; end; func:=sqr(p1)+sqr(p2); END;

PROCEDURE minx (VAR x,y,min:extended;VAR ee:integer);

BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv); ee:=0; FOR i:=1 TO mm DO BEGIN x:=xk0+i*hx;

IF min > func(x,y,bdv,bmv) THEN BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv);ee:=i END END END;

PROCEDURE miny (VAR x,y,min:extended;VAR ee1:integer);

BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv); ee1:=0; FOR i:=1 TO tty DO BEGIN y:=ykk0+i*hy;

IF min > func(x,y,bdv,bmv) THEN BEGIN min:=func(x,y,bdv,bmv);ee1:=i END END END;

for ii:=1 to n1 do begin for jj:=1 to n1 do write (' ':2,aa[ii,jj],' '); writeln; end; writeln;

ss1:=0; for ii:=1 to n1 do ss1:=ss1+aa[ii,ii]; ep[1]:=ss1; writeln (' ','spA=',ep[1]); writeln;

for ii:=1 to n1 do for jj:=1 to n1 do cc[ii,jj]:=aa[ii,jj];

for kk:=2 to n1 do begin for ii:=1 to n1 do for jjj:=1 to n1 do begin ss:=0;

for ll:=1 to n1 do ss:=ss+cc[ii,ll]*aa[ll,jj]; cc1[ii,jj]:=ss; end;

for ii:=1 to n1 do for jj:=1 to n1 do cc[ii,jjj] :=cc1 [ii,jj];

for ii:=1 to n1 do begin for jj:=1 to n1 do write (' ':2,cc[ii,jj],' '); writeln; end; writeln; ss1:=0; for ii:=1 to n1 do ss1:=ss1+cc[ii,ii]; ep[kk]:=ss1; writeln (' ','spAAk=',ep[kk]); wri-teln; end;

pp[1]:=-ep[1]; for kk:=2 to n1 do begin ss:=ep[kk]; for ll:=1 to kk-1 do ss:=ss+ep[kk-ll]*pp[ll]; pp[kk]:=-1/kk*ss; end; pp[0]:=1; for kk:=0 to n1 do writeln (' ':2,pp[kk]); writeln; FOR i:=0 TO n1 DO bd[i]:=pp[n1-i]; FOR i:=0 TO n1 DO bm[i]:=0; aak:=1e474; bbk:=1e474; x0:=x00; x1:=x11; y0:=y00; y1:=y11; nn0:=n00-3; hh:=nn0*h; FOR i:=0 TO n1 DO bdv[i]:=bd[i]; FOR i:=0 TO n1 DO bmv[i]:=bm[i]; WHILE x0 <= x11+hh DO BEGIN WHILE y0 <= y11+hh DO BEGIN

FOR r:=1 TO nn0 DO BEGIN x:=x0+r*h; ykk0:=y0; y:=y0; tty:=n00;hy:=h; miny (x,y,min,ee1); a1[r]:=min END; sort( nn0, a1, e3); k:=1; WHILE k<= nn0 DO BEGIN FOR r := 1 TO k-1 DO IF abs(e3 [k]-e3 [k-r]) <= eps0/h THEN GOTO 23; xk:= x0+E3[K]*h;

FOR r:=1 TO nn0 DO BEGIN y:=y0+r*h; a1 [r]:=func(xk,y,bdv,bmv) END; sort( nn0, a1, e33); k1:=1; WHILE k1<= nn0 DO BEGIN FOR r := 1 TO k1-1 DO IF abs(e33[k1]-e33[k1-r]) <=eps0/h THEN GOTO 22; yk:= y0+E33[K1]*h;

eps1:=eps0; eps11:=eps0; xk0:=xk-eps1; xk1:=xk+eps1; hx:=abs(2*eps1)/mm; y:=yk;

spuskx(eps1,xk0,xk1,hx,y); yk0:=yk-eps11; yk1:=yk+eps11; hy:=abs(2*eps11)/mm; x:=xk0+ee*hx+eps1;

spusky( eps11,yk0,yk1,hy,x); eps12:=eps0/2; xk0:=x-eps12; xk1:=x+eps12; hx:=abs(2*eps12)/mm;

y:=yk0+ee1*hy+eps11; spuskx( eps12, xk0,xk1,hx,y); eps13:=eps0/2;

yk0:=yk0+ee1*hy-eps13; yk1:=yk0+2*eps13; hy:=abs(2*eps13)/mm;

x:=xk0+ee*hx+eps12; spusky( eps13,yk0,yk1,hy,x);

IF func(xk,yk,bdv,bmv)= 0 THEN begin x:=xk; yk0:=yk; GOTO 21 end;

IF abs(func(x,yk0,bdv,bmv)/func(xk,yk,bdv,bmv)) > 0.01 THEN GOTO 22;

21: IF (abs(aak-x) < eps) AND (abs(bbk-ykO) < eps) THEN GOTO 22;

IF abs( func(x,yk0,bdv,bmv))>1e-2 THEN GOTO 22; writeln (' ', xk:30,' ');

writeln (' ', yk0:30,' ', func(x,yk0,bdv,bmv)); writeln; aak:=x; bbk:=yk0;

22: k1:=k1+1 END;

23: k:=k+1 END; y0:=y0+hh END;

x0:=x0+hh; y0:=y00; END;

readln; END.

Результаты работы программы: Действительные части нулей Мнимые части нулей Значения функции

-3.00000000000000000E+0000 0.00000000000000000E+0000 0.00000000000000E+0000

2.51052877410466521E+0000 -4.28061588346591394E-0001 -4.72255545982224341E+0000 1.06400882740641695E+0001

-2.71473540786538243E-0029 -6.52520446799852453E-0056 -4.44724119213053305E-0029 -4.38707603928584072E-0034

1.23259516440783E-0032 5.49509021016461E-0106 3.25482160601443E-0032 2.30564629222262E-0029

Таким образом, с помощью предложенной программы удалось вычислить все действительные и мнимые части с учетом знака достаточно точно, но менее быстро по отношению к результатам неполной программы. Вывод о состоянии равновесия точки покоя системы с данной матрицей коэффициентов аналогичен предыдущему примеру.

Следует заметить, что наличие локализованной абсциссы не обязательно означает ее принадлежность минимуму модуля функции. Поэтому предложенный способ можно использовать для экспресс-анализа устойчивости. Если, например, все действительные части оказались положительными, то имеет место неустойчивость. Для полной достоверности оценки устойчивости следует выполнить полную локализацию действительных и мнимых частей нулей характеристического полинома.

Применим данную методику к анализу устойчивости реальной физической системы.

Пример 3. Требуется оценить устойчивость системы (синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности), матрица коэффициентов которой имеет следующий вид

0 0.6793 0.6099 0 0.4948 0.5463 0 - 0.952 - 0.7494 4

0 -13.7658 1 .4409 0 3.6163 1 .1781 0 8.5472 - 3.3161

0 -15.5076 -150.1554 0 -12.6793 38.9205 0 42.4023 - 21.4333

0 - 6.5352 -1.1714 0 0.9552 2.2156 0 5.4592 - 2.3385

0 5.6334 0.4076 0 -16.5675 1.1141 0 - 4.2309 10.117

0 - 3.8073 52.627 0 -13.1829 -156.9117 0 - 38 .8349 68.5987

0 2.9781 3.9766 0 -10.6238 - 4.7247 0 - 5 .201 10.7116

10000 0 0 -10000 0 0 0 0 0 ч10000 0 0 0 0 0 -10000 0 0 Программа оценки устойчивости системы leverie_kompkorn представлена в [2].

Результаты работы программы:

Действительные части нулей -4.58445604293577511E+0000 -2.80568528774483195E+0000 -1.03656895433724402E+0002 -1.66591190983139839E+0002 4.70946395391531174E-0009 -5.27266666666666667E+0000 -5.27266666666666667E+0000 -2.45930000000000000E+0001 -2.45930000000000000E+0001

Мнимые части нулей

-3.65508747547457647E-0026 -2.70958460951182288E-0029 -2.88552909746462807E-0028 -1.75654297877690656E-0023 -1.08753776697701395E-0034 2.29837333333333333E+0002 -2.29837333333333333E+0002 3.46355333333333333E+0002 -3.46355333333333333E+0002

Значения функции

4.86070674693958763E+0038 3.87688758647364437E+0036 5.78024178051377293E+0038 3.64364867607685689E+0035 4.48680606796407673E+0036 5.25425580557896453E+0035 4.57676705867643764E+0033 5.04576930357129645E+0036 3.84764390362970963E+0038

Среди нулей есть значение с нулевой действительной частью. Чтобы удостовериться, что нулевая действительная часть не является результатом погрешности, данный корень можно найти с помощью программы поиска действительных нулей, поскольку мнимая часть с высокой точностью приближения является нулевой. Получим: 4.70946395391531182E-0009.

Тем самым наличие нулевой действительной части подтверждено с высокой степенью достоверности. Следовательно, система устойчива относительно состояния равновесия, при этом она не обладает асимптотической устойчивостью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Веселая А.А. Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений: Дис. канд. техн. наук / А.А. Веселая. - Таганрог, 2009. - 220 с.

2. Ромм Я.Е., Заика И.В., Лабинцева А.А. Безусловная численная оптимизация при вариации параметров. I / ТГПИ; Я.Е. Ромм, И.В. Заика, А.А. Лабинцева. - Таганрог, 2008. - 31 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.03.2008 № 193-В 2008.

3. Ромм Я.Е., Лабинцева А.А. Поиск корней полинома с переменными комплексными коэффициентами / Я.Е. Ромм, А.А. Лабинцева // Известия ЮФУ. Технические науки. - Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2008. - № 2. - С 103-110.

В.Н. Сёмин, С.А. Донских, В.Н. Котов

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕМЫ: «ПРИНЦИПЫ РАДИОСВЯЗИ И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Аннотация. Показано, что в силу объективных причин, связанных с прекращением мощного радиовещания в диапазонах средних и длинных волн демонстрация работы детекторного приемника с амплитудной модуляцией в большинстве школ страны практически невозможна. В связи с этим предлагаются различные варианты демонстрации физических принципов работы детекторного приемника.

Ключевые слова: детекторный приемник, модуляция, объемный резонатор, простейший радиопередатчик.

V.N. Semin, SA. Donskisch, V.N. ^toy

METHODICAL ASPECTS OF THE TOPIC: "PRINCIPLES OF TELECOMMUNICATION AND TELEVISION" IN EDUCATIONAL PROCESS

Abstract. It is shown that due to objective reasons related to the termination of powerful radio broadcasting in the range of medium and long waves demonstration of the detection receiver with amplitude modulation at present in most schools in the country virtually impossible. In this regard, it suggests that different solutions to this problem

Key words: detector receiver, modulation, endovibrator, simplest radio transmitter.

Согласно Образовательному стандарту [3] обязательный минимум содержания по физике содержит раздел «Электромагнитные явления», в который входит тема: «Принципы радиосвязи и телевидения». Требования включают умение учениками применять полученные теоретические знания для объяснения работы простейших передатчиков и приемников радио и телевизионных сигналов. Программа, согласно которой работают в настоящее время учителя в профильных классах, рассчитана на 5 часов в неделю. На тему «Электромагнитные колебания и физические основы электротехники» отводится 18часов. Рассматриваются следующие вопросы: электромагнитные волны; скорость электромагнитных волн; свойства эл/магнитных волн; принципы радиосвязи и телевидения; радиолокация; развитие средств связи. Программа включает такие демонстрации как: излучение и прием электромагнитных волн; отражение и преломление электромагнитных волн; детекторный радиоприемник.

Тема «Детекторный приемник» рассматривается в базовых школьных учебниках физики [2,4] и учебном пособии по дисциплине «Технология» [5]. Методика изложения достаточно проработана. В прошлые десятилетия промышленно выпускался (Ленинградский завод "Электродело") действующий макет школьного детекторного приемника, которым были оснащены все школы страны. Приемник имеет две катушки индуктивности, намотанные на одном каркасе (первая рассчитана на приём в диапазоне ДВ, а вторая - СВ), диода, конденсатора переменной ёмкости и блокировочного конденсатора. Если к такому макету, подключить высокоомный головной телефон, антенну и хорошее заземление, то можно было осуществить демонстрацию приёма сигнала радиовещательных станций, находящихся на расстоянии до 100 километров. Также промышленно