Метод исследования устойчивости дифференциальных моделей менеджмента на основе преобразования разностных схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

^ n+1) i (t)

0 =Wi n+1) i (n)

Отсюда

n

w;

¡W n> (t) dt = w, n +1) i (n)

0

Для определенности предполагается, что значения

(n +1) i

(n)

вычисляются по схеме Горнера:

/

n+1), (n ) =

/V

а

V W

nif

n + 1

а,

n +

(n-1) if

\

n

а

\

n +

(n-2)if_ 1

n

а

Л

n + ••• +

У

0 if 1

n

У

(10)

Вычисление интеграла из (10) отличается большей точностью, чем по известным формулам. Это достигается за счет того, что выражение под интегралом априори вычисляется с наилучшим кусочно-полиномиальным приближением.

Заключение. Изложено инвариантное относительно коэффициентов полинома видоизменение формул Виета для кусочной интерполяции массивов дискретных данных с целью вычислительной обработки в информационных системах. Видоизменение применимо для визуализации координат спутниковых наблюдений объектов с криволинейными границами. Преобразование дано на основе интерполяционных полиномов Лагранжа и Ньютона по схеме кусочной интерполяции. На этой основе построены непрерывные кусочно-полиномиальные аппроксимации производных и интегралов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Березин, И.С., Жидков, Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Физматгиз, 1962. - 640 с.

2. Ромм, Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. I // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 1. - С. 165-183.

3. Ромм, Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 2. - С. 161-175.

4. Ромм, Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки / Дис. .. .докт. тех. наук. - Таганрог: ТРТУ, 1998. - 546 с.; ВНТИ Центр. - № 05.990.001006.

5. Ромм, Я.Е., Фирсова С.А. Устойчивое распараллеливаемое вычисление функций на основе таблично-алгоритмической аппроксимации с приложениями в численном анализе. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. -86 с.

6. Ромм, Я.Е., Джанунц, Г.А. Кусочно-полиномиальные приближения функций и решений дифференциальных уравнений в применении к моделям периодических реакций. - Таганрог: ТГПИ имени А.П. Чехова, 2013. -240 с.

УДК 517.91: 518.1 ББК 22.193

Ю.И. Сычева

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕНЕДЖМЕНТА НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Аннотация. В статье представлен метод анализа устойчивости дифференциальных моделей менеджмента на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем. Метод компьютеризируется и реализуется в режиме реального времени. В качестве модели менеджмента приводится задача транспортировки багажа.

Ключевые слова: дифференциальные модели менеджмента, анализ устойчивости, разностные схемы.

Yu.I. Sycheva

METHOD OF RESEARCH OF STABILITY OF DIFFERENTIAL MODELS OF MANAGEMENT ON THE BASIS OF TRANSFORMATION OF DIFFERENTIAL SCHEMES

Absrtact. The paper presents the method for analyzing the stability of differential management models based on matrix multiplicative transformations of difference schemes. The method is compute-

rized and realized in real time. The problem of transportation of baggage is given as model of management.

Key words: Differential models of management, analysis of stability, differential schemes.

Предлагается подход к решению задачи анализа устойчивости (в смысле Ляпунова) систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в основу которого положены схемы, представляющие собой матричные мультипликативные преобразования разностных методов численного интегрирования. Это делается с целью сконструировать компьютерный метод оценки устойчивости по Ляпунову. Метод должен формировать мультипликативные условия устойчивости, компьютерное моделирование которых влечет однозначное определение характера устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений.

Рассматривается задача Коши для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

Г = A( t )Y, 1 dt '

(1)

У Со) = У„-

Предполагается, что для (1) выполнены все условия существования и единственности решения в области R:{t0 < t < да; У (t), У(t): У„ - У„ <5, 5 > 0 }. При этом элементы матрицы коэффи-

циентов a¡, ( t ), i, j = 1,

определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы в R . Требу-

ется исследовать решение (1) на устойчивость в смысле Ляпунова.

Рассматривается метод Эйлера разностного решения системы (1) Yi+1 = (E + hA(tt))Yi, i = 0,1,..., с равномерным шагом h, E - единичная матрица. Для возмущенного решения -i~+j = (E + hA (ti)) ~. При любом выборе t = const, t e[ t0, да), h и i всегда предполагаются связанными соотношениями

— h

t = t¡+

h =-

i +1

i = 0,1,

(2)

Возмущение примет вид Yi+1 -ym = (E+hA(ti))(Yi -Yi)+QEi, где для канонической нормы вектора выполнено \qeA ^ clh2, c1 = const [2]. Отсюда

Y¡+1 — Y¡+1 =П(E + hA(t¡—i ))(Yo — Yo ) + L¡

(3)

где Li = XП(E + hA(ti_t))QEk_ + QEi . Справедлива следующая лемма [2].

k=lt=0

Лемма 1. В рассматриваемых условиях верно соотношение limLt = 0 .

h^ü

Предельный переход в равенстве (3) влечет выражение возмущения в виде

~(t) _ Y (t) = lim П (E + hA (tt_t))(~o _ Yo)

^ t=o

для любого t из (2). Из (4) вытекает следующая теорема [2].

(4)

Теорема 1. Чтобы в рассматриваемых условиях система (1) была устойчива, необходимо и достаточно выполнение неравенства

lim П ( E + h A ( ti—t ))

i^œ i=o

< c = const

(5)

для Vtе[t0, да). Система асимптотически устойчива, когда выполнено (5) и имеет место соотно-

шение

lim П ( E + h A ( ti—t ))

i^œ i=o

^ 0 при t ^ œ .

Значение условия (5) заключается в том, что оно позволяет определить характер устойчивости, асимптотической устойчивости либо неустойчивости систем линейных дифференциальных

n

i = 0

уравнений без представления решения в аналитической форме, непосредственно по значениям разностных приближений. С другой стороны, мультипликативная форма выражения под знаком предела в левой части предоставляет возможность запрограммировать вычисление этих выражений в виде цикла по числу сомножителей. Это влечет предпосылки компьютерного анализа устойчивости без обращения к аналитическим методам качественной теории дифференциальных уравнений.

В случае постоянства матрицы А запись условия (5) упрощается [2]. Условие устойчивости (5) с учётом постоянства матрицы А примет вид

lim Bl+1

< C1 = const Vt e [ t0, да),

где B = E + hA .

В этом случае работа программы ускоряется: процесс умножения матриц сводится к возведению в квадрат текущего значения частичного произведения, при этом взамен левой части крите-

2 к

риев вычисляется (E + hA ) .

Необходимо принять во внимание возможность адаптации программной реализации представленного метода к параллельной вычислительной системе.

Ядро программы включает лишь умножение текущей матрицы самой на себя. Умножение матриц обладает естественным параллелизмом, известная оценка максимально параллельного умножения пары матриц имеет вид

T (n3) = O (log 2 n ).

Число умножений матриц определяется как m = 2к, где m таково, что в результате покрывается весь промежуток [ t0, T ] приближенного решения системы по методу Эйлера при выборе шага h . Иными словами m • h = T —10. Отсюда следует, что с точностью до целого равно

к = log

h

Последнее соотношение указывает количество умножений матрицы на себя. В итоге временная сложность рассматриваемого анализа в максимально параллельной форме без учета обмена составит

( T — t

T ( n 3) = O (log 2 n ) X log 2 I —-

Компьютерное моделирование условий устойчивости реализуется на языке программирования Object Pascal в среде Delphi 9. Модель конструируется как программа, которая непосредственно выполняет циклические операции условия устойчивости (5). При этом бесконечное произведение из левой части (5) будет приближённо реализовываться в форме частичного произведения. При циклическом накоплении частичного произведения на каждом шаге цикла вычисляется и через некоторое количество шагов к выводится на печать каноническая норма текущего значения произведения.

При этом значение к определяется пользователем по характеру поведения нормы частичного произведения и требуемому количеству промежуточной информации. При необходимости всегда можно положить к = 1 и выводить полную распечатку текущих значений нормы частичных произведений. Смысл к такой же, как при разностном приближении решения ОДУ: значение к совпадает с числом пропускаемых промежуточных шагов решения.

Существенной особенностью конструируемой модели является её инвариантность относительно вида правой части системы линейных ОДУ.

Кроме того, модель должна быть инвариантна относительно выбора разностных схем приближённого решения и относительно выбора численных параметров этих схем.

Требуемое программное построение достигается следующим образом.

Составляется программа, инвариантная относительно вида правой части линейной системы, описание программы по разделам приводится ниже.

В разделе описания констант задаются: шаг интегрирования h , первоначально h = 0.000001; размерность n матрицы A( t) из правой части (1);

границы промежутка [ t0, TT ], на котором моделируются мультипликативные условия устойчивости, первоначально [t0, TT ] = [0, +1000].

Раздел описания констант:

const

h=0.000001; n=2; t0=0; TT=1000;

i

В разделе описания переменных задаются:

массив A для текущего значения частичного произведения П (E + hA( ti));

i=0

массив B для текущей матрицы E + hA(ti);

массив C для перезаписи текущего значения частичного произведения; i, j, l - индексы элементов массивов;

переменная s для накопления суммы парных произведений;

переменная s0 для накопления суммы текущей компоненты при вычислении значения нормы матрицы;

одномерный массив s01 для текущего значения компонент нормы матрицы; переменная norma для текущего значения нормы частичного произведения;

переменная k в качестве счётчика количества шагов, через которое выводится значение канонической нормы текущего частичного произведения; переменная t - текущая точка полуоси. Раздел описания переменных: var A,B,C:matr; i,j,l:integer; t, s, s0,norma: extended; k:longint;

s01:array[1..n] of extended; Раздел описания подпрограмм включает следующие процедуры.

Процедура matrinput вводит коэффициенты матрицы A( t) правой части системы (1). При этом aij = /¡j (t), где при каждой паре индексов i, j , функция /и - линейно зависит от t; i, j = 1,..., n .

Описание процедуры:

procedure matrinput (t:extended;var A:matr);

begin

a[1,1]:=sin(t); a[1,2]:=cos(t); a[2,1]:=-cos(t); a[2,2]:=sin(t); end;

Процедура metod_E формирует матрицу E + hA(tt) из левой части критерия (5). Описание процедуры: procedure metod_E (var A:matr); begin

matrinput (t,A); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin a[i,j]:=h*a[i,j]; if i=j then a[i,j]:=a[i,j]+1; end; end;

Процедура используется в программе дважды: для формирования матрицы A = E + hA(t0) -

начального значения частичного произведения, для формирования матрицы B = E + hA(ti) - i -го

сомножителя частичного произведения.

Процедура norma_s вычисляет значение нормы текущего частичного произведения. При

n

этом используется каноническая норма матрицы 11AII = max У aik .

i<i<nk=1 I

Описание процедуры: procedure norma_s; begin for i:=1 to n do begin s0:=0;

for j:=1 to n do s0:=s0+abs(a[i,j]); s01[i]:=s0;

end; norma:=s01[1]; for i:=2 to n do

if s01[i]>norma then norma:=s01[i];

end;

В блоке инструкций выполняются следующие операции: переменной t присваивается значение левого конца промежутка исследования; значение к изначально полагается равным нулю;

процедура metod_E формирует матрицу A как начальное значение частичного произведения;

в теле цикла repeat.. .until значение переменной t увеличивается на величину шага h ;

для нового значения t процедура metod_E формирует матрицу B - текущее слагаемое частичного

произведения;

в переменной матрице A копится результат умножения частичного произведения на матрицу B .

Следующий блок программы находит текущее значение частичного произведения: for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin s:=0;

for l:=1 to n do

s:=s+a[i,l]*b[l,j]; c[ij]:=s; end; for i:=1 to n do for j:=1 to n do a[i,j]:=c[i,j];

Условие окончания работы программы - выход переменной t за правую границу промежутка исследования.

На выходе программы формируется вывод нормы текущей матрицы частичного произведения и конечной матрицы частичного произведения. Норма выводится через каждые к = 1250000 шагов интегрирования. Это делается для того, чтобы не заполнять экран громоздкой служебной информацией. В случае монотонного поведения нормы значение к может быть уменьшено для уточнения характера асимптотики.

В итоге программа, моделирующая условие устойчивости (5), примет вид: program Stability_Ejler; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

const_

описание констант

type

matr=array[1..n,1..n] of extended; var

{ начало блока инструкций } begin

t:=t0; k:=0; metod_E (A); repeat

t:=t+h; metod_E (B); { формирование частичного произведения матриц для мультипликативного критерия устойчивости } for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin s:=0;

for l:=1 to n do

s:=s+a[U]*b[lj]; c[i,j]:=s; end; for i:=1 to n do for j:=1 to n do a[ij]:=c[ij];

{ нахождение нормы частичного произведения матриц } norma_s; k:=k+1; if k>=1250000 then { вывод нормы матрицы }

begin write(norma:20); k:=0; end { условие выхода за границу промежутка исследования }

until t>=TT; { вывод конечной матрицы } for i:=1 to n do begin

for j:=1 to n do

write( ',a[i,j]:20); writeln; end; readln; end.

Приближение к

П(E + h A ( t, ))

i=0

на [t0, TT ] строится по шагам разностной схемы. Следу-

ет отметить, что данное приближение к П ( E + h A ( ti )) программно реализуется таким образом,

i=0

что шаг h не стремится к нулю, а непосредственно берется достаточно малым и фиксированным. Как показал программный и численный эксперимент, при этом сохраняется достоверность моделирования устойчивости.

Конструкция программной модели с учётом постоянства матрицы A претерпевает изменения связанные с упрощением процедур, формирующих матрицы из левой части условий устойчивости и потребностью меньшего количества массивов для текущих матриц.

Процесс нахождения частичного произведения ускорится, если вместо простого перемножения матриц B возводить в квадрат частичное произведение, полученное на каждом шаге работы программы. Иными словами, если положить i +1 = 2k, то степень B2 находится путём k умножений текущей матрицы самой на себя. Таким образом, i +1 умножение матрицы заменяется k = log2 (i +1) умножением.

Данные модификации реализуются с помощью следующей программной модели. program Stability_constmatr; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; const

n=5; h=0.000001; t0=0; TT=1000; k1=4;k2=3; k3=2; k4=7; type

matr=array[1..n,1..n] of extended; var

C,A,A1,A2,A3:matr; s, s0,norma,hh,t: extended; i,j,l:integer; k:longint; s01:array[1..n] of extended; procedure matrinput; begin

a[1,2]:=0; a[1,3]:=0; a[1,4]:=0; a[1,5]:=0;

:=0;

a[1,1] =-k1

a[2,1] =k1;

a[3,1] =0;

a[4,1] =0;

a[5,1] =0;

a[2,2]:=-k2; a[2,3]:=0; a[2,4]:=0; a[2,5] a[3,2]:=k2; a[3,3]:=-k3; a[3,4]:=0; a[3,5] a[4,2]:=0; a[4,3]:=k3; a[4,4]:=-k4; a[4,5]

=0; =0;

a[5,2]:=0; a[5,3]:=0; a[5,4]:=k4; a[5,5]:=0;

end;

procedure metod_E; begin

for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin a[ij]:=h*a[ij]; if i=j then a[i,j]:=a[i,j]+1; end; end;

procedure norma_s; begin for i:=1 to n do begin s0:=0;

for j:=1 to n do s0:=s0+abs(a[i,j]); s01[i]:=s0; end; norma:=s01[1]; for i:=2 to n do

if s01[i]>norma then norma:=s01[i]; end; begin

matrinput; k:=0; metod_E; repeat for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin s:=0;

for l:=1 to n do s:=s+a[i,l]*a[l,j]; c[i,j]:=s; end; for i:=1 to n do for j:=1 to n do a[i,j]:=c[i,j]; k:=k+1; norma_s; t:=t0+h*(exp(k*ln(2))-1); write(norma:20); until t>=TT; writeln; for i:=1 to n do begin

for j:=1 to n do write(' ',a[i,j]:20); writeln; end; readln; end.

Для примера исследования устойчивости дифференциальной модели менеджмента рассмотрим достаточно идеальную модель транспортной логистики [1].

Пусть багаж объёмом 1000 условных багажных мест перемещается последовательно из пункта A1 через промежуточные A2, A3, A4 в конечный пункт A5 (допустим, это грузовой отсек авиалайнера). Транспортировка осуществляется с помощью четырех транспортировочных механизмов, обладающих соответственно производительностью к1, к2, к3, к4. Предполагается, что скорости перемещения багажа прямо пропорциональны объёмам багажа. Требуется установить зависимость количества багажных мест в пунктах Ai = 1,2,3,4,5 в момент времени t > 0 .

Математической моделью поставленной задачи является система (6) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями:

' yi(t) = —к1 У1,

y,' (t) = к—1 y-1— к1У1,2 < i < ^ (6)

У5 (t) = к4 У4 ,

У1 (0) = 1000, y2(0) = Уз(0) = У4(0) = У5(0) = 0.

Идеализация прикладной проблемы, состоящая в том, что скорости перемещения багажа прямо пропорциональны объёмам багажа, обуславливает порядок дифференциальных уравнений относительно у1 (г).

Результаты компьютерного анализа устойчивости системы (6) приводятся ниже.

Приближение к

П в2

i=0

на промежутке [0,1000] с шагом величиной Ы = 10 6

1.00001 1.00003 1.00006 1.00011 1.00022 1.00045 1.00090 1.00179 1.00358 1.00715 1.01426 1.02838 1.05619 1.11018 1.21202 1.39447 1.69526 2.15014 2.85189 3.92795 4.81968 4.99688 5.00000 5.00000 5.00000 5.00000 5.00000 5.00000 5.00000 5.00000

Не возрастание значений нормы на достаточно большом промежутке соответствует устойчивости системы справа.

Представлен метод компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ, в общем случае не требующего преобразования правой части системы. Представленная программная реализация матричных мультипликативных условий устойчивости может использоваться для исследования дифференциальных моделей менеджмента.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барановская, С.Н. Применение дифференциальных уравнений для решения некоторых моделей менедж-

мента. - Материалы XI Международной конференции, Минск, 17-18 мая 2013 г. - С. 474 - 476.

2. Ромм, Я.Е. , Буланов, С.Г. Компьютерный анализ устойчивости по Ляпунову систем линейных дифферен-

циальных уравнений. - Таганрог: ТГПИ имени А.П. Чехова, 2012. - 148 с.

УДК 37.02 ББК 74.202

Е. В. Тищенко

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ СКЛАДСКОГО ХОЗЯЙСТВА

ДЛЯ ПАРФЮМЕРНЫХ ТОВАРОВ.

Аннотация. В работе исследуется информационный процесс складского хозяйства и отрасли инфраструктуры. К отраслям инфраструктуры относят такие отрасли, которые обеспечивают хранение, доставку продукции как в сфере производства, так и в сфере обращения. С этой целью предлагается схема связи складского хозяйства с магазинами парфюмерных товаров, в ней определяются задачи, выполняемые информационной системой при такой организации складов и распределения продукции. В дальнейшем планируется решение транспортной задачи для оптимизации параметров логистики.

Ключевые слова: склад, транспортировка, упаковка, моделирование, автоматизация, процедура, скорость обмена, схема данных, транспортная задача.

E. V. Tishchenko

THE STUDY OF INFORMATION PROCESSES WAREHOUSING FOR PERFUMES

Abstract. The paper explores the process of information storage management and infrastructure sectors. The industries include such industries, which provide storage, delivery of products, both in production and in the sphere of circulation. To this end it is proposed a communication scheme of the storage facilities with shops perfume goods, it defines the tasks performed by information system in this organization of warehouses and distribution of products. In the future it is planned to solve the transportation problem to optimize the parameters of logistics.

Key words: warehouse, transport, packaging, modelling, automation, procedure, rate of exchange, the scheme of the data transport problem.

В настоящее время рыночная стратегия развития экономики предполагает сбалансированное развитие всех отраслей народного хозяйства - как отраслей материального производства, так и инфраструктуры. К отраслям инфраструктуры относят такие отрасли, которые обеспечивают хранение, доставку продукции как в сфере производства, так и в сфере обращения. Это - транспорт, связь, торговля, заготовка, материально-техническое обеспечение. В нашем случае материально -техническую базу обеспечения магазинов необходимыми парфюмерными товарами представляет