К аномальному деформированию твердых тел Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 539.3

К аномальному деформированию твердых тел

В.В. Пикуль

Институт проблем морских технологий ДВО РАН, Владивосток, 690091, Россия

Установлена новая закономерность деформирования твердых тел, состоящая в том, что в критическом состоянии твердого тела, предшествующем его разрушению, утрачиваются межатомные связи, которые удерживают упругие деформации растяжения и сдвига, приобретенные твердым телом вследствие эффекта Пуассона и взаимного влияния угловых и линейных деформаций друг на друга, что сопровождается высвобождением их внутренней энергии. Высвобождаемая энергия межатомных связей сопоставима с потенциальной энергией твердого тела, накопленной в результате его деформирования внешними силами, и учитывается в механике сплошных сред через силы упругости упругих деформаций растяжения и сдвига, которые вводятся в механику твердых тел в качестве внешних объемных сил.

Ключевые слова: закономерность деформирования твердых тел, внутренняя энергия межатомных связей, эффект Пуассона, объемные силы упругости

To anomalous deformation of solids

VV. Pikul

Institute of Marine Technology Problems, FEB RAS, Vladivostok, 690091, Russia

A new mechanism of deformation of solids was disclosed. The mechanism is such that in a solid in the critical state preceding its fracture, there occurs a loss of interatomic bonds which suppress the elastic tensile and shear strains gained by the solid due to the Poisson effect and mutual influence of angular and linear strains, and this involves release of internal binding energy. The released energy of interatomic bonds compares with the potential energy that a solid accumulates during its deformation by external forces and is taken into account in terms of elastic forces of tensile and shear strains which are introduced as external bulk forces into solid mechanics.

Keywords: deformation mechanism of solids, internal energy of interatomic bonds, Poisson effect, bulk elastic forces

1. Введение

К настоящему времени накоплен большой объем экспериментальных исследований, которые противоречат существующим теоретическим представлениям о разрушении твердых тел при их сжатии. Одно из самых ранних противоречий теории с экспериментом связано с устойчивостью оболочек. Проблема приведения теории устойчивости оболочек в соответствие с экспериментальными данными в полной мере проявилась сто лет тому назад. За прошедшее время исследованы всевозможные причины, которые могли оказать влияние на устойчивость оболочек. Тем не менее добиться соответствия теории с экспериментальными исследованиями реальных оболочек так и не удалось [1, 2].

В монографии [3] сформулирована гипотеза, на основе которой построена новая теория устойчивости оболочек, которая согласуется с экспериментальными

данными реальных оболочек. В статье [4] дано физическое обоснование гипотезы [3]. В настоящей статье на основе физики твердого тела выявлена общая закономерность деформирования твердых тел в критическом состоянии, предшествующем их разрушению. Выявленная закономерность не только приводит теорию устойчивости оболочек в соответствие с экспериментальными данными реальных оболочек, но и позволяет объяснить аномальное деформирование сильно сжатых горных пород.

2. Устойчивость оболочек

Из физики твердого тела [5] известно, что стабильность формы твердого тела обеспечивается внутренними связями между его атомными частицами (межатомными связями), которые осуществляются через электростатические силы притяжения и отталкивания.

© Пикуль В.В., 2013

Потеря устойчивости оболочки возможна только тогда, когда межатомные связи утратят способность удерживать исходную форму равновесия. При этом произойдет высвобождение внутренней энергии межатомных связей, которая будет израсходована на нагревание и работу по деформированию оболочки.

Растянутые круговые элементы оболочки, возникающие вследствие эффекта Пуассона, освободившись от внутренних связей, которые удерживали их в растянутом состоянии, под действием сил упругости устремятся в нейтральное положение и совершат работу по дополнительному к внешнему давлению обжатию оболочки. Силы упругости действуют во внутреннем объеме оболочки и применительно к механике оболочек являются внешними объемными силами.

В монографии [3], на основе гипотезы о потере устойчивости вследствие утраты межатомных связей, с помощью критерия Эйлера построена новая теория устойчивости оболочек с произвольной анизотропией упругих свойств. Уравнения механики твердого деформируемого тела сведены к уравнениям механики оболочек с помощью гипотез Кирхгофа-Тимошенко.

У тонких однородных оболочек деформации поперечного сдвига пренебрежимо малы, и при расчете устойчивости тонких однородных оболочек ими можно полностью пренебречь. Применительно к пологим изотропным оболочкам общие уравнения устойчивости сводятся к системе двух уравнений:

ЕЙ3

12(1 -V2)

4 Эа2

+ N

22 ,2^ 2 А22да 2

+ 2 N

д w

12

(1)

—V V 2 F + V ^ = 0, ЕЙ * ,

где F — силовая функция; м — функция прогиба; h —

толщина оболочки; V2 =

1 д2

1 д2

412 да2 А2 да

— диффе-

ренциальный оператор; V * =

1

*2 А12да^ * а|да2

дифференциальный оператор кривизны; * и *2 — радиусы главной кривизны срединной поверхности оболочки.

Структура уравнений (1) почти не отличается от структуры уравнений классической теории устойчивости пологих оболочек. Отличия носят качественный характер. Входящие в первое уравнение (1) внутренние силы N1, №2 и №2 определяются от совместного действия внешней нагрузки и сил упругости упругих деформаций растяжения, вызванных эффектом Пуассона, №0|3: (а> Р = 1 2). Силы упру-

гости входят в состав внешних объемных сил и определяются из условия полного сокращения упругих деформаций растяжения, вызванных эффектом Пуассона.

В случае, когда срединные поверхности краевых сечений оболочки не совпадают с асимптотическими линиями, в краевых зонах проявляется краевой эффект, вследствие чего краевые условия не оказывают существенного влияния на устойчивость оболочек [1, 2]. Для этого случая решение уравнений (1) может быть получено путем разложения искомых функций в полные тригонометрические ряды в прямоугольной области определения срединной поверхности оболочки х е [0, а], У е [0, *]:

^ (п т п п

w = 1 с^| — х —г У

т,п ^ а Ь

^ (п т п п

F = 1 /.тп С°^ -----х- — У

т,п ^ а Ь

где длины дуг а1 и а2 обозначены через х и у: dх = = А1 dа1, dy = А2 dа2; т и п — количество полуволн в продольном и поперечном направлениях оболочки.

Подстановка полученных разложений искомых функций в уравнения (1) позволяет получить общее решение критического сочетания внутренних сил, вызывающих потерю устойчивости пологой оболочки:

№1

= ЕЙ

т

а

1

*2

- 2 N2—+N2(п

аЬ I Ь

2

т

— I +-а

*

т |2 +( пЛ2 а I I Ь

п2 ЕЙ3

т |2 + ( п ''2 а I I Ь

(2)

12(1-^)[' ' ' ’ '

Уравнение (2) используем для определения критических нагрузок, вызывающих потерю устойчивости тонкостенных цилиндрических и сферических оболочек. Эти уравнения позволяют определять критические величины внешней нагрузки как для отдельных ее составляющих, так и при различных комбинациях нагружения оболочки.

В направлении замкнутых координатных линий срединной поверхности оболочки краевые условия заменяются условиями периодичности рассматриваемых функций. Условия периодичности выполняются только при четном количестве полуволн в рядах Фурье: 2т и 2п.

Применительно к замкнутой цилиндрической оболочке критическое сочетание внутренних сил описывается следующим уравнением:

(2 - 2А пН°п + N22п\ =

= -А2 ЕЙ

А2

2\2

(А2 + п2)

(А2 + п2)2 12(1 -V 2)*2

А2

(3)

. п *

=~Г ’

где п — полное число волн в окружном направлении оболочки; Я — радиус срединной поверхности оболочки; I — длина цилиндрической оболочки.

Для плавно изменяющейся нагрузки внутренние силы, входящие в уравнение (3), могут быть определены из уравнений безмоментной теории оболочек. Внутренние силы, порождаемые высвобождаемой внутренней энергией растягиваемых элементов цилиндрической оболочки, находятся из условий полного сокращения упругих деформаций растяжения, порожденных эффектом Пуассона:

еі = -Ет( ^-V N&>)=о,

ЕН

8 2 = Ей(N22-V N1^=о.

Отсюда

N(2 =у^2\ ^2) =у^(11).

При осевом давлении плотностью д

N

( )

и

д Н, N<2 = N22) = 0, N222) =-v д Н

N1 =-дН, N2 =-vgН, N2 = 0.

В результате уравнение (3) приводится к формуле, определяющей критическую величину осевого давления, вызывающую начало потери устойчивости цилиндрической оболочки:

X 2 Е

дЕ

: Ш1П <

І X2 + V п2

X 2

Н2

2\2

(X 2 + п2)

1 2( 1 -V 2) R 2

X2

(4)

(А2 + п 2)2

Кадры скоростной съемки [1] показывают, что потеря устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии начинается с появления большого количества продольных гофров, которые повышают сопротивляемость потере устойчивости цилиндрической оболочки. Вследствие этого реальная величина осевого критического давления оказывается больше эйлерова значения, определяемого формулой (4). При длине I > Я критическое осевое давление не зависит от длины оболочки [1].

Для цилиндрических оболочек, длина которых превышает радиус срединной поверхности, параметр продольного волнообразования А равен п и формула (4) приводится к виду:

[ п2 Е

дk = т1П

. 2 2 [л2 + V п

/ 2 . 2\2

(п + п )

(п2 + п 2)2 12(1 -V 2^2

На рис. 1 представлены результаты сопоставления расчетов по формуле (5) с классической теорией (с формулой Лоренца-Тимошенко) и с результатами многочисленных экспериментальных исследований цилиндрических оболочек средней длины на осевое сжатие, обработанных Б.М. Броуде с 90% и 99% достоверностью [2].

К настоящему времени установлено, что краевые условия не оказывают существенного влияния на устойчивость цилиндрических оболочек средней длины [1]. Поэтому результаты расчета по формуле Лоренца-Тимошенко, представленные на рис. 1, имеют непосредственное отношение к классической теории в целом.

При исследовании устойчивости сферической изотропной оболочки в случае всестороннего равномерного давления q предполагается, что в пределах каждой вмятины деформирование сферической оболочки можно описать уравнениями пологих оболочек (1). Решение (2) уравнений (1) применительно к сферической оболочке приводится к виду:

N° = N° = 7У11 = 22 =

= -ЕН

1

Н2

2 2 т + п

-(т 2 + п 2)

(6)

12(1 -V 2) * 2

Потеря устойчивости сферической оболочки сопровождается динамическим высвобождением внутренней энергии межатомных связей. Для определения интенсивности инерционных сил, появляющихся при динамическом высвобождении внутренней энергии межатомных связей, используются закон сохранения количества движения, уравнение баланса механической энергии, определение скорости и принцип Даламбера [4].

Внутренние силы, вызываемые внешней нагрузкой, определяются известной формулой qR

N(1) = N(1) = -7У11 - ^22 -

Рис. 1. Сопоставление расчетов по формуле (5) с результатами экспериментальных исследований цилиндрических оболочек при осевом давлении [2]

Инерционные силы, появляющиеся вследствие динамического высвобождения внутренней энергии межатомных связей, вызовут дополнительные внутренние силы упругости, минимальные значения которых равны

[4]

^2) = ^2) = - м

7У11 22 2 '

Внутренние силы, порождаемые совместным воздействием на сферическую оболочку внешней нагрузки и динамическим высвобождением внутренней энергии межатомных связей, окажутся равными

N

22

-2qR.

В результате решение (6) сводится к виду:

qk

. [ Eh

= шт \--------

т,п I 2R

1

2 2 т + п

-(т2 + п2)

(7)

12(1 -V 2) Я2

Минимизация выражения (7) по аргументу (mz + П ) дает следующую оценку критической величины всестороннего давления на сферическую оболочку:

qk =

Еп

2 R2^|3(}-

•V2)

(8)

На рис. 2 приведено сопоставление расчетов по формуле (8) при коэффициенте Пуассона V = 0.3 с экспериментом.

Представленные на рис. 1 и 2 результаты сопоставления расчетов по формулам (5) и (8) с известными экспериментальными исследованиями цилиндрических и сферических оболочек [1, 2] свидетельствуют о хорошем согласовании предлагаемой теории [3] с результатами экспериментальных исследований реальных оболочек различной формы поверхности.

Наблюдаемое расхождение теории [3] с экспериментальными исследованиями оболочек сферической формы в области значений 0 < < 250 объясняется ис-

пользованием уравнений теории пологих оболочек в предположении, что потеря устойчивости оболочки

Рис. 2. Сопоставление расчетов по формуле (8) (пунктирная линия) с результатами экспериментальных исследований оболочек сферической формы при всестороннем давлении [2]

происходит с образованием настолько большого количества волн, что дискретное распределение (т2 + п2) может с достаточной точностью рассматриваться в качестве непрерывной функции. Однако применение теории пологих оболочек с принятым предположением оправдано и в этой области значений ЯД, поскольку расхождение теоретического решения с экспериментом незначительное и наблюдается у нижней границы разброса экспериментальных данных. Предлагаемая теория с использованием принятого предположения определяет решение задачи устойчивости оболочек сферической формы в области значений 0 < ЯД < 250 с небольшим запасом устойчивости, тогда как классическая теория завышает среднюю величину критического давления по меньшей мере вдвое с большим разбросом экспериментальных данных. Предлагаемая теория [3] подтверждается также экспериментальными исследованиями по кручению цилиндрической оболочки [4]. Полученное соответствие теории с экспериментом служит подтверждением тому, что в гипотезе [3] отражена объективная закономерность деформирования оболочек в процессе потери ими устойчивой формы равновесия, которую сформулируем следующим образом. В критическом состоянии оболочки, предшествующем ее потере устойчивости, утрачиваются межатомные связи, которые удерживали упругие деформации растяжения и сдвига, приобретенные оболочкой вследствие эффекта Пуассона и взаимного влияния угловых и линейных деформаций друг на друга, что сопровождается высвобождением их внутренней энергии. Высвободившаяся внутренняя энергия преобразуется в потенциальную энергию упругих деформаций растяжения и сдвига, которая расходуется на работу по их полному сокращению. Установлено [3, 4], что на устойчивость оболочек существенное влияние оказывает форма поверхности. Потеря устойчивости оболочек нулевой и отрицательной гауссовой кривизны происходит статически, а оболочки положительной гауссовой кривизны теряют устойчивость динамически.

3. Деформирование сильно сжатых горных пород

Для того чтобы проверить, является ли выявленная закономерность деформирования оболочек в процессе потери ими устойчивой формы равновесия общей закономерностью деформирования твердых тел в критическом состоянии, предшествующем их разрушению, рассмотрим установленные в последние десятилетия аномалии в процессе деформирования сильно сжатых горных пород при их разрушении [6].

Установлено, что при сжатии образца горной породы до некоторого порогового напряжения, равного примерно 80 % от разрушающего напряжения, продольные деформации среднего слоя образца с увеличением сжи-

мающих напряжении уменьшаются, как это происходит с обычными материалами. Но при превышении порогового значения продольные деформации неожиданно начинают увеличиваться — рост сжимающих напряжении, казалось бы, противоестественно вызывает увеличение продольных деформации. При этом увеличение продольных деформации среднего слоя образца сопровождается уменьшением его поперечных размеров. СтранныИ характер деформирования горноИ породы проявляется посредине длины образца, на остальной его части наблюдается естественное соотношение между напряжениями и деформациями [6].

На рис. 3 представлена диаграмма деформирования среднего слоя сильно сжатых образцов горных пород [6]. Рассмотрены образцы весьма прочных горных пород цилиндрической формы с отношением высоты к диаметру, равным двум. Данные об анизотропии испытанных образцов отсутствуют. Измерялись продольные и поперечные деформации посредине высоты образца [6]. При достижении сжимающего давления, примерно равного 80% величине от разрушающего давления, осевые деформации еп начинают возрастать, а окружные деформации 822 уменьшаться.

Для объяснения странного характера деформирования горных пород предложено большое количество различных гипотез, которые, по утверждению авторов монографии [6], не в состоянии объяснить в рамках существующих методов механики сплошных сред всю совокупность экспериментально наблюдаемых явлениИ.

Соотношение высоты цилиндрического образца к диаметру, равное двум, позволяет исключить влияние условии закрепления торцов образца на деформирование его среднего слоя. Вследствие этого напряженно-деформированное состояние среднеи части образца можно с достаточной точностью считать однородным.

Во многих горных породах отчетливо проявляется конечная анизотропия механических своИств [7]. На больших глубинах горная порода испытывает большое давление, вследствие чего приобретает трансверсаль-ную анизотропию. Исследуем деформирование сред-

него слоя образца горноИ породы, полагая, что представленный на рис. 3 образец изготовлен из трансвер-сально-изотропного материала и посредине образца реализуется линеИное напряженное состояние вплоть до критического состояния, при котором сжатие среднего слоя сопровождается его растяжением.

СредниИ слоИ образца горноИ породы в виде тонкого элемента конечноИ толщины h выделим двумя плоскостями, перпендикулярными его оси. Напряженно-деформированное состояние выделенного элемента горноИ породы рассмотрим в цилиндрическоИ системе координат. Начало координат совместим с точкоИ пересечения оси образца с одноИ из поверхностеИ выделенного элемента. Координатную ось z совместим с осью образца и направим ее в сторону другоИ поверхности. Лучи, перпендикулярные оси z, обозначим через г. Через ф обозначим углы, образованные лучами г с некоторым нулевым положением.

Из рис. 3 видно, что нижняя ветвь диаграммы сжатия среднего слоя цилиндрического образца может быть с приемлемоИ точностью представлена линеИноИ зависимостью. Это позволяет для описания деформирования среднего слоя образца горноИ породы до его критического состояния воспользоваться линеИными уравнениями теории упругости:

- уравнения равновесия

дац 1 да 21 до'з! 1

11 дг + 21 г дф + 31 дz

да12 + 1 да 22 + да32

дг г дф дг

да13 1 да 23 + 23 + да33

дz

+ -(ап-

Г 2

■ + -а12 = 0:

22

)=о

(9)

дг г дф

- уравнения геометрии

1

+ -а13 г

= 0,

811 =

2812 =

ди1

~дГ9

ди2

дг

1

822 = _ Г

1

+ —

Г

V

ди1

дф

ди2

дф

и 2

- + и

833 =■

2813 =

ди3

ди3

дz ’ ди1

- +

дг дz

(10)

^ МПа,

80 ■

/ 60

\ 6ц

40 - /

\ 20 1 1 1 \ / \ 1 _

-3.0 -2.0 -1.0

0

0.5

1.0 8-10-

Рис. 3. Диаграмма деформирования среднего слоя сильно сжатых образцов горных пород [6]

1 ди3 ди2

28 =---------3 +----2,

г дф дг

- уравнения состояния

811 = Тг((ц -Уа22 )

а 33, 812 ='

1+ V

12

1 / \ V3 1

822 =тт(а22-vа11 )-ТГа33> 2813 =7Г

13

(11)

833 = 77 [ а33 V3 (а11 +а22 )], 2823 = г а23,

Е3

- краевые условия

% 0: и3 — 0, % О, h: а33 — ^, а31 — а32 — 0. (12)

Здесь иг- — компоненты перемещениИ; а^, 8^- — компоненты тензоров напряжения и деформации; Е, Е3 — модули упругости соответственно в плоскости изотропии и вертикальном направлении; V — коэффициент Пуассона в плоскости изотропии; V3 — коэффициент Пуассона, характеризующиИ растяжение вертикальных линеИных элементов горноИ породы при сжатии в плоскости изотропии.

Решение системы уравнениИ (9)—(11) при краевых условиях (12) имеет вид:

-_3_

цг, и2 = 0, и3 = —

11

22

-Ц, 8

33

12 13

а11 = а2

Е3 : 823

= аг

0,

(13)

^11“ ^22 “ ^12 “ ^13 = а23 = 0, а33 = ц.

Подстановка равенств (13) обращает уравнения (9)-(11) в тождества. Следовательно, в силу единственности решения уравнениИ линеИноИ теории упругости, равенства (13) являются решением системы уравнениИ (9)-( 11) при краевых условиях (12).

Предположим, что в критическом состоянии горноИ породы утрачиваются межатомные связи, которые удерживали упругие деформации 811 и 822 в растянутом состоянии. Утрата межатомных связеИ приводит к высвобождению их внутреннеИ энергии, которая преобразуется в потенциальную энергию этих упругих деформациИ, и появлению сил упругости, обжимающих выде-ленныИ слоИ образца горноИ породы в плоскостях огф и полностью сокращающих упругие деформации растяжения 811 и 822:

= 8® +8(2) =

0, 8

22

= са) +8(2) =

22

22

0.

Здесь верхним индексом 1 обозначены деформации растяжения, приобретенные вследствие эффекта Пуассона, а индексом 2 — деформации сжатия, которые вызываются силами упругости, обжимающими выде-ленныИ слоИ образца горноИ породы.

На основании решения (13) имеем:

Л1) _ с(1) - -3

11

22

и тогда деформации сжатия, которые вызываются силами упругости, обжимающими выделенныИ слоИ образца горноИ породы, оказываются равными

V 3

—- ц. Е3

(14)

В результате в критическом состоянии упругоИ стадии деформирования на выделенныИ слоИ образца горноИ породы будут деИствовать по торцевым сечениям напряжения а33 = -ц, а во внутреннем объеме — силы упругости, вызывающие деформации сжатия (14) (рис. 4).

Решение системы уравнениИ (9)-( 11) в критическом состоянии выделенного слоя образца произведем при краевых условиях (12) и ограничении 811 = 822 = 0:

и — и 2

■ 0, и3 = ——г

1 -V

22

12

23

33

1 - 2 п

1 -V

(15)

v3

22

а12 — а13 — а

23

1 -V = 0,

а33 = -Ч-

где п = Е/Е3.

Подстановка равенств (15) обращает уравнения (9)-(11) в тождества. Следовательно, в силу единственности решения уравнениИ линеИноИ теории упругости, равенства (15) являются решением системы уравнениИ (9)-( 11) при краевых условиях (12) и ограничении

811 = 822 = °-

Из приведенного решения видно, что продольное деформирование выделенного слоя образца горноИ породы при его продольном сжатии прекращается при условии

Рис. 4. Схема нагружения и деформирования выделенного слоя образца горноИ породы

Пикуль В.В. / Физическая мезомеханика 16 2 (2013) 93-100 Таблица 1

Таблица 2

V = 0.3 V = 0.35

п 1 2 3 1 2 3

0.592 0.418 0.342 0.570 0.403 0.329

V = 0.3 V = 0.35

п 2 3 2 3

0.418 0.342 0.400 0.403 0.329 0.400

ц 0.998 1.003 1.371 0.999 0.999 1.477

2 п

1 -V

= 1,

(16)

которое определяет критическое состояние среднего слоя образца. При

2 п

1 -V

> 1

(17)

продольное сжатие образца горноИ породы сопровождается растяжением толщины его среднего слоя. Неравенство (17) характеризует аномальное деформирование среднего слоя образца.

В табл. 1 приведены значения коэффициентов Пуассона v3, определенных из условия (16), превышение которых вызывает переход от сжатия к растяжению толщины выделенного слоя образца горноИ породы. Величины коэффициентов Пуассона при п = 1 выходят за пределы значениИ, наблюдаемых у горных пород, тогда как коэффициенты Пуассона при п = 2, 3 им соответствуют.

Условие (16), характеризующее прекращение деформирования выделенного слоя образца горноИ породы при его продольном сжатии, для изотропного материала (п = 1, v3 —V) сводится к квадратному алгебраическому уравнению

2 V2 + V -1 = 0.

Решение этого уравнения определяет величину коэффициента Пуассона, при котором прекращается деформирование упругого изотропного материала: V = 0.5, т.е. получено известное условие несжимаемости изотропного материала.

Из данных, представленных в табл. 1, следует, что деформирование горноИ породы, противоположное деИствию давления, проявляется только в случае анизотропии ее механических своИств. У изотропного материала деформирование, противоположное деИствию сжимающего давления, невозможно.

Таким образом, предположение об утрате межатомных связеИ, удерживающих упругие деформации растяжения, позволяет объяснить в рамках механики сплошных сред аномальное деформирование рассмотренного образца горноИ породы при сильном сжатии.

Полученные решения уравнениИ (9)-( 11) позволяют также определить величину высвобождаемоИ энергии внутренних межатомных связеИ горноИ породы, которые удерживали упругие деформации растяжения, приобретенные вследствие эффекта Пуассона, при условии пренебрежения диссипациеИ энергии в виде тепловых потерь:

и = 11 (а1(?)81(? + = п 1-- (18)

2 К 1 -V Е3

где V — объем выделенного слоя образца горноИ породы; 8(1) и 8Й,) — деформации, определяемые фор-11 (2) (2) мулами (14); а^' и а22 — напряжения, определяемые

формулами (15).

Работа, затраченная на деформирование выделенного слоя образца горноИ породы внешним давлением, равна

(19)

где а33 = -ц, 8313) = - ц/Е3.

Отношение величины высвобождаемоИ энергии внутренних связеИ (18) к работе, затраченноИ на деформирование выделенного слоя образца горноИ породы, (19) определяется формулоИ:

и _ V?

ц = — = 2 п——. Ж 1 -V

(20)

В табл. 2 приведены значения коэффициента ц, характеризующего отношение величины высвобождае-моИ энергии межатомных связеИ к работе, затраченноИ на деформирование выделенного слоя образца горноИ породы в критическом состоянии, в случае пренебрежения диссипациеИ энергии в виде тепловых потерь.

Из результатов расчета, представленных в табл. 2, следует, что высвобождаемая энергия межатомных свя-зеИ в среднем слое образца горноИ породы в критическом состоянии по меньшеИ мере равна работе, затраченноИ на его деформирование внешним давлением. При выполнении условия (17) высвободившаяся энергия межатомных связеИ может существенно превысить работу, затрачиваемую внешним давлением на деформирование среднего слоя образца горноИ породы.

4. Заключение

Учет высвобождения внутреннеИ энергии межатомных связеИ, которые удерживают упругие деформации, приобретенные твердым телом вследствие эффекта Пуассона, приводит теоретическое решение в рамках механики сплошных сред в соответствие с экспериментальными исследованиями устоИчивости реальных оболочек и деформирования горных пород при сильном сжатии. Поскольку оболочки и горные породы имеют существенные отличия друг от друга, то выявленная закономерность деформирования оболочек в процессе поте-

ри ими устоИчивоИ формы равновесия является общеИ закономерностью деформирования твердых тел в критическом состоянии, предшествующем их разрушению.

В критическом состоянии твердого тела, предшествующем его разрушению, утрачиваются межатомные связи, которые удерживают упругие деформации растяжения и сдвига, приобретенные твердым телом вследствие эффекта Пуассона и взаимного влияния угловых и линеИных деформациИ друг на друга, что сопровождается высвобождением их внутреннеИ энергии. Высвободившаяся внутренняя энергия преобразуется в потенциальную энергию упругих деформациИ растяжения и сдвига, которая расходуется на работу по их полному сокращению.

Высвобождаемая энергия межатомных связеИ сопоставима с потенциальноИ энергиеИ твердого тела, накоп-ленноИ в результате его деформирования внешними силами, и учитывается в механике сплошных сред через

силы упругости упругих деформациИ растяжения и сдвига, которые вводятся в механику твердых тел в качестве внешних объемных сил.

Литература

1. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. УстоИчивость оболочек. - М.: Наука,

1978. - 360 с.

2. Вольмир А.С. УстоИчивость деформируемых систем. - М.: Наука,

1967. - 984 с.

3. Пикуль В.В. Механика оболочек. - Владивосток: Дальнаука, 2009. -

536 с.

4. Пикуль В.В. УстоИчивость оболочек // Проблемы машиностроения

и автоматизации. - 2012. - № 2. - С. 81-87.

5. Твердое тело. Физика // БольшоИ энциклопедическиИ словарь / Под ред. А.М. Прохорова. - М.: Большая россиИская энциклопедия, 1999. - С. 734-738.

6. Гузев М.А., Макаров В.В. Деформирование и разрушение сильно сжатых горных пород вокруг выработок. - Владивосток: Даль-наука, 2007. - 232 с.

7. Справочник физических констант горных пород / Под ред. С. Кларка, мл. - М.: Мир, 1969. - 544 с.

Поступила в редакцию 18.10.2012 г., после переработки 09.01.2013 г.

Сведения об авторе

Пикуль Владимир Васильевич, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИПМТ ДВО РАН, [email protected]