J-САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИЛАТАЦИИ ОБЩЕГО ВИДА: МИНИМАЛЬНОСТЬ И ИЗОМОРФИЗМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.432 MSC2010: 46C20;47B50

J-САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИЛАТАЦИИ ОБЩЕГО ВИДА: МИНИМАЛЬНОСТЬ И ИЗОМОРФИЗМ © Д. В. Третьяков

КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

J-SELFADJOINT DILATIONS OF COMMON FORM: MINIMALITY AND ISOMORPHISM.

Tretyakov D. V.

Abstract.

So-called minimum dilation plays an important role in dilation theory. The analysis of the known results leads to the study problem of the J-self-adjusted general dilation at a minimum. This gives rise to the natural problem of isomorphism of two arbitrary J-self-adjust minimum S dilations of a linear operator A with a non-empty set of regular points.

The common approach to construction of J-self-adjoint dilation for linear operator with nonempty regular point set is considered in this article.

To construct the dilation, operators conjugated to maximal simple symmetric operators and boundary doubles of these operators were used. The most common cases of construct the dilation are the previously known J-self-adjust dilations.

Minimum criteria of constructed dilation have been proved, one of which is formulated in terms of simplicity of operators. connected to maximally simple symmetric operators.

In addition, the theorem of isomorphism of two arbitrary minimum J-self-defined dilatations of the original operator has been proved by means of the obtained minimum criteria and a description of the areas of definition of operators connected to the maximal simple symmetric operators.

For linear operator A with nonempty regular point set and dense domain in Hilbert space were proved such theorems:

1. Operator S is a J-self-adjoint dilation for operator A.

This dilation called the J-self-adjoint dilation of common form. Different private cases of dilation S were considered too. Solved the problem for minimality of J-self-adjoint dilation.

2. Arbitrary J-self-adjoint dilation for operator A of a common form is minimality iff operators F± are simple.

3. Arbitrary minimal Ji- and J2-self-adjoint dilations for operator A of a common form are isomorphic.

Keywords: J-self-adjoint dilation, maximal symmetric operator, symmetric simple operator,defect operators, minimal J-self-adjoint dilation, isomorphism of minimal J-self-adjoint dilations

Введение

Фактически понятие дилатации линейного оператора впервые появляется у М. А. Наймарка [1] в 1940 году. Идея дилатации базируется на растяжении заданного оператора до оператора с более хорошими свойствами в более широком пространстве.

Унитарную дилатацию сжатия впервые построил Б. Секефальви-Надь [2]. Идея построения дилатации оказалась очень плодотворной, она принесла многочисленные приложения в различных математических дисциплинах (см., напр., [3]). Отметим, что в [4] была построена унитарная дилатация общего вида для оператора сжатия.

Далее, Л .А. Сахнович [5], А. В. Кужель [6] и Ch. Davis [7] независимо друг от друга построили J-унитарные дилатации произвольного ограниченного оператора.

В 1977 году в [8] вышла в свет пионерская работа Б. С. Павлова, в которой была построена самосопряженная дилатация оператора Шредингера. При этом область определения исходного оператора совпадала с областью определения сопряженного оператора.

Полученные результаты были обобщены в работах А. В. Кужеля [9] и Ю. Л. Кудряшова [10], в которых были построены трансляционная и спектральная формы самосопряженной дилатации произвольного диссипативного оператора с непустым множеством регулярных точек.

Этими же авторами были построены трансляционная [9] и спектральная [11] формы J-самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного оператора с непустым множеством регулярных точек. Позже вторым автором был доказан изоморфизм трансляционных и спектральных форм в случае самосопряженных дила-таций [12].

В работе [14] была построена J-самосопряженная дилатация общего вида для произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым множеством регулярных точек, частными случаями которой являются дилатации А. В. Кужеля [9] и Ю. Л. Кудряшова [11].

К сожалению, в работах автора [14], [15] были допущены неточности, не повлиявшие на основные результаты работ, однако, несколько изменившие правильную структуру построенной J-самосопряженной дилатации и некоторые этапы доказательства изоморфизма двух произвольных J-дилатаций. По этой причине в начале предлагаемой работы приводятся правильные формулы для J-самосопряженной дилатации. Приведены также обоснования этих формул.

Важную роль в теории дилатаций играют так называемые минимальные дилатации. Анализ известных результатов приводит к задаче исследования построенной

^самосопряженной дилатации общего вида на минимальность. В связи с этим возникает естественная задача об изоморфизме двух произвольных ^самосопряженных минимальных дилатаций линейного оператора с непустым множеством регулярных точек. Решению всех этих вопросов посвящена данная работа.

1. Предварительные определения и предложения

Пусть Н — гильбертово пространство (ГП), А — плотно заданный линейный оператор, причем, без ограничения общности, —г € р(А), R—i = (А + г)-1. Рассмотрим самосопряженные операторы [6]

В+ = гR-i — гR*_ i — 2R_ iR—i, В— = гR—i — iR*_ i — 2R—iR_ i

и их полярные разложения В± = С/±\В±\. Пусть Q± = а/\В±\, П± = с1об(^±Н) — дефектные подпространства оператора А.

Рассмотрим произвольные ГП Э±, в которых действуют произвольные простые максимальные симметрические операторы Е± с индексами дефекта (0, q+) и , 0) соответственно, где q± = dim Н± = dim а — дефектные подпространства операторов Ф± : ^ Н± — изометрии.

Пусть У± изометрические простые операторы — преобразования Кэли операторов

V— = (*— + г)(*— — г)-1 = (*+ — г)(^+ + г)-1. (1)

Формулы обращения имеют вид:

= г(У— + 1)(У— — 1)—1 = — г(У+ + 1)(У+ — 1)—1 (2)

Определение 1. Пары (н±, Г±), где н±-ГП со скалярными произведениями (■, -)н±, Г± : dom(F:_) ^ н± — операторы, называются граничными двойками операторов Г_, если:

1. У/,д € dom(F±) /,дЬ± — (/, ^д)э± = ^2г(Г±/, Г±д)н±. (3)

2. Отображения dom(F:_) Э / ^ Г±/ € н± сюръективны.

Существование граничных двоек вытекает из формул фон Неймана. Отсюда же следует, что в нашем случае в качестве н± можно взять подпространства .

Отметим, что понятие граничных троек для равных дефектных чисел было введено в работах А. Н. Кочубея и В. М. Брауна (см., напр., [24] и [25]) и развивалось в многочисленных работах В. И. Горбачука, В. М. Брука, С. Н. Набоко, М. М. Маламуда, В. А. Деркача, В Рыжова. и др.(см., напр., [18], [20], [25], [19], [26]).

В связи с неравными дефектными числами в определении 1 необходимо упомянуть работы В. И. Могилевского, который обобщил ряд положений теории граничных троек на этот случай (см, напр., [27]).

Пусть в формулах (3) д = / € ). Тогда ||Г±/1| = 0, то есть

) С кег Г ±. Обратно, пусть, к примеру, Л,+ = + п+ € кег Г+, где € dom(F+), п+ € Тогда по формулам фон Неймана

0 = ||Г+М2 = (*+ Ь+,Ь+Ь+ - Ь+)!0+ = - + п+)®+ -

+ п+,Р+^+ - т+Ь+ = (Р+^+,п+Ь+ - ¿(п+- 2г||п+||2-,п+Ь+ - (п+ = -2г|К||2.

Отсюда п+ = 0 и Л,+ = € dom(F±). Таким образом, dom(F+) = кегГ+. Аналогично dom(F-) = кег Г-. Доказана

Лемма 1. Имеют место равенства с?от(Р±)=кег Г±.

Лемма 2. Пусть Л,± = + п±, где Л,± € с?от(Р±), € с?от(Р±),п± €

те те

й± = £ п±, = £ т±, п±, т± € N Ук > 0. Тогда Г±^± = п± - т±. к=0 к=0

Доказательство. Так как = + Г±Л±, то обозначив через Р± : Э± ^ ортопроекторы, с учетом включений

{те те ^

Е ^ , Е С

к=1 к=1 )

получим Г±Л± = Р±Г±Л,± = Р±(Л± - ) = п± - т±. □

Следствие 1. Имеют место равенства: Г± = ) - .

Построим теперь ГП н = Э- ф Н Ф ® + и определим в н оператор J = 3- ф I ф 7+,

где:

те

„ + СУТ Т I \ Л Т/к' ± 1 . \ л \rkfr. — 1 лг ^ „ +

те / те \ те

У = Е € ®±, п± € Е Кк:= Е КкФ± Ф ±(4)

к=0 к=0 к=0

Имеет место следующее предложение. Лемма 3. = Г± С Г±С

Доказательство. В силу (4) для любых векторов п± € , для любых к € N

п± = кк ф^1 ^±Ф±п± = кк /±п±.

ж

Отсюда для любых векторов h± = ^ Vkп± e D±

k=0

оо 00

J±V±h± = J± Vk'+1n± = V± Кк'Ф-1 J±Ф ±n± = V± J±h±.

= у± ^ -1

к=0 к=0 Аналогично для произвольных векторов = Н± + п± в силу леммы 2

= /±(п± - т±) = Ф-1/±Ф±(п± - т±) = Г±7±Ь±.

Оставшиеся включения доказываются с помощью равенств (2):

= (I + 2(У± - 1)-1) С

При этом для любых векторов € имеем </±^0 € так как из уже

доказанной части данной леммы Г±Н± = =0. □

Следствие 2. С

Доказательство. По формулам фон Неймана для любых векторов € domF¿ имеют место равенства = Н°± + п±, где € domF±, п± € и ^ Л,± = ^ т±. Отсюда

й± = 7±(*±й± ^ ш±) = ^ г/±та±. (5)

Так как </±п± = Ф±1 ^±Ф±п± € и </±Л,° € domF±, то из равенства (5) вытекает, что = для любых € domF±. □

Лемма 4. Для любого натурального к

F±V±n± = TiVkn± T 2i ^V± j n±, Vn± e N±. (6)

Доказательство. Отметим вначале, что F±n ± = Tin ±. Проведем доказательство для оператора F+*. В силу (1)

F* V+ n+ = F*(n+ - 2iR_,(F+ )n+) = —in + - 2i(F+ + i - i)R_,(F+ )n+ =

= —in+ — 2in+ — 2R_j(F+ )n+ = —i(n+ — 2iR_j(F+ )n+) — 2in+ = —iV+n+ — 2in+. Аналогично

F+ V+n+ = F+ (n+ — 4iR_i(F+)n+ — 4R_,(F+)n+) = —in+ — 4i(F+ + i — i)R_t(F+)n+ —

—4(F+ + i — i)R_ j(F+)n+ = —iV+2 n+ — 2i(n+ + V+n+). Если равенство (6) верно при некотором k e n, то

F+ V+'+1n+ = F+ V+V+n+ = F+ V+n+ — 2iF+ R_t(F+)V+'n+ =

= -¿Ккп + - 2^кС ^ п + - 2г(Р+ + г - г)Я_г(Р+)К+кп + =

= -гУкп + - 2^^ п + - 2Я_г(Р+)Ккп + = -гик+1п + - 2г ^^ у;^ п +. Случай оператора рассматривается аналогично. □

2. ^САМОСОПРЯЖЕННАЯ ДИЛАТАЦИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Определение 2. J-самосопряженный оператор Б, действующий в ГП н, называется J-самосопряженной дилатацией линейного, плотно заданного оператора А с непустым множеством регулярных точек (А0 € р(А)), действующего в ГП Н, если:

1. н С н;

2. (А- А)-1 Н = Р(Б - А)-1Л, УН € Н, УА € р(А) Пр(Б) из любой связной компоненты некоторой окрестности точки А0 € р(А) П р(Б) Р : н ^ Н - ортопроектор,

где р(А), р(Б) — множества регулярных точек операторов А и Б.

В пространстве н = Э_ ф Н Ф определим оператор Б.

Будем говорить, что вектор Ь = (Н_,Н0,Н+)т € н принадлежит dom(Б) тогда и только тогда, когда:

1. Н ± € dom(F±);

2. р = Н0 + /2д_Ф_Г_Н_ € dom(A);

3. /2Ф+Г + Н+ = /2Т*Ф_Г_Н_ + г/+ д + (А + г)р, где Т* = I + 2гД_г, 1-единичный оператор в Н.

Для любого вектора Ь = (Н_, Н0, Н+ )т € dom(Б) положим

БЬ = Б(Н_, Не, Н+ )Т := (Р_Н_, -¿Н0 + (А + г)р, Н+ )т. (7)

Вначале докажем несколько вспомогательных предложений.

Лемма 5. Если вектор Ь = (Н_, Н0, Н+ )т € Сот(Б), то

ф = Н0 + /2д + Ф+Г + Н+ € Сот(А*) и (А + г)р - (А* - г)ф = 2гН0

Доказательство. Подействуем на обе части условия 3 на dom(Б) оператором д+ с учетом равенства д+Т* = Т*д_:

/2д+ф+г+н+ = /2т*д_Ф_ г_ н_ + г /+д+ (А + г)р = /2(1 + 2гд_ г)д_Ф_ г_ н_+

+гв+ (А + г)р = /2(1 + 2гя!_г)д_Ф_г_н_ + г(гя_ - гд_ г - 2д_ )(А + г)р = = /2(1+2гЯ*_г)д_ Ф_Г_Н_-р+Д_ г(А+г)р-2гЯ_ гр = (I+2гЯ*_г)(/2д_Ф_Г_Н_-р) +

+Я_г(А + = -(I + + Я*_г(А + г)^ (8)

Из равенства (8) получаем:

+ (¿о + /2д+Ф+г+^+) = я-г(А + г)^ (9)

Так как , Я1ДА + г)<£>} С dom(A*), то вектор

ф = ¿о + +Ф+Г+Л,+ € dom(A*). Подействуем теперь на обе части равенства (9) оператором (А* - г):

2гЛ,о + (Л* - г)ф = (Л + г)^,

что и требовалось доказать. □

Лемма 6. Дефинитный сопряженный оператор Б * определяется следующим образом. Вектор g = (д_,до,д+)т € н принадлежит йот(Б *) тогда и только тогда, когда:

1*. р± € ¿от(Е±);

2*. ф = £о + ^+д+Ф+Г+£+ € с?от(А*);

3*. л/2Ф_Г_д_ = /2ТФ+Г+р+ - гд_(А* - г)ф, где Т = I - 2гЯ_г. Если g € йот(Б *), то

Б *g = Б *(р_,ро,р+ )Т = (^_, гро + (Л* - г)ф, Е+р+)т. (10)

Доказательство. Легко проверить, что оператор Б плотно задан. Для любых векторов Н = (¿_, ¿о, ¿+)т € dom(S) и g = (д_,до,д+)Т € н, где р± € dom(F±)

(БН, g)н = (*_Ь_,0_):О_ + (-¿¿о + (А + г)^,0о) + (*+Ь+,0+)®+ = = (Ь_, + г(/2Ф_Г_Ь_, //2Ф_Г_д_) + (Ь+, *+0+)®+ -

-г(/2Т*Ф_Г_^_ + г/+ д+(А + г)р, ^2Ф+Г+^+) + (¿о, гро) + ((А + г)р, ро) = = + )э+ + г(/2Ф_Г_Ь_, //2Ф_Г_д_ - ^2ТФ+Г+^+) +

+ ((А + г)^, ро + /+д+Ф+Г+£+) + (¿о, гро). (11)

Из равенства (11) вытекает, что вектор ф = ро + у/2^+^+Ф+Г+д+ должен принадлежать dom(A*). Тогда используя условие 2 на dom(S), получим:

(БН, g)e = , Е* + Ь+ + г(л//2Ф_Г_й_,л/2Ф_Г_р_ - л/2ТФ+Г+р+) +

+ (^о + /2д_Ф_Г_^_, (А* - г)ф) + (^о,гро) = + (Ь+, *+з+Ь+ +

+ (Ьо, гро+(Л*-г)ф)+г(/2Ф_Г_^_, ^2Ф_Г_0_-/2ТФ+Г+0++гд_(Л*-г)ф)эт_= (Н, g*)и тогда и только тогда, когда вектор g = (р_ , ро , р+)т € н удовлетворяет условиям леммы 6. При этом справедливо равенство (10). □

Так же как и лемма 5 доказывается

Лемма 7. Если вектор g = (д_,д0,д+ )т € Сот(Б *), то

р = д0 + /2й/_д_Ф_Г_д_ € Сот(А) и (А + г)р - (А* - г)ф = 2гд0

Теорема 1. Оператор Б является J-самосопряженной дилатацией оператора А.

Доказательство. Так как оператор Б[*], сопряженный к Б в метрике J, удовлетворяет равенству Б[*] = JБ*J [16], то достаточно доказать, что Б = JБ*J.

Проверим вначале, что J dom(Б) = dom(Б*). Пусть Ь € dom(Б). Тогда, в частности, Н± € dom(F:_). Но 7±Н± € dom(F:_), что вытекает из доказательства следствия 2. Рассмотрим вектор Jh = (/_Н_, Н0, </+Н+ )т. Проверим условия 2*. и 3*.

Условие 2*. ф = Н0+/2/+ д+ Ф+Г+ /+Н+ = Н0+/2/+ д+Ф+ (Ф+1 Ф+ )(п+ -т+) = = Н0 + л/2д +Ф+Г+Н+ € dom(A*) в силу лемм 5 и 2. Аналогично проверяется Условие 3*. Так как Ф_Г_/_Н_ = Ф_(Ф_1 ^_Ф_)(п_-т_) = ¿/_Ф_ (п_-т_) = = ^_Ф_Г_Н_, то с помощью определения dom(Б), равенства I - ТТ* = 2В_ и леммы 7 получаем:

/2ф_г_/_н_ - /2ТФ+Г+/+н+ + гд_(А* - г)ф =

= /2 - тт*)ф_ г_ н_ - гтд+(А + г)р + гд_(А* - г)ф = = 2/2^_В_Ф_Г_Н_ - - 2гД_)(А + г)р + гд_(А* - г)ф = = 2/2д_Ф_г_н_ - гд_((А + г)р - (А* - г)ф) - 2д_р = = 2/2д_Ф_г_н_ + 2д_(н0 - р) = 0,

где ф = Н0 + /2^+д+Ф+Г+ /+Н+ = Н0 + /2д+Ф+Г+Н+ € dom(A*). Это доказывает включение J dom(Б) С dom(Б*).

Обратное включение доказывается аналогично с помощью леммы 6 и леммы 7. Следовательно, справедливо равенство J dom(Б) = dom(Б*), опираясь на которое, легко убедиться в J-самосопряженности оператора Б. В самом деле, для любого вектора Ь = (Н_, Н0, Н+)т € dom(Б) на основании следствия 2 и леммы 5

БЬ = J(J_F_Н_, гН0 + (А* - г)ф, Н+)т = JБ*J(Н_, Не, Н+)т = JБ*JЬ.

Здесь ф = Н0 + /2д+Ф+Г+Н+ € dom(A*), р = Н0 + /2д_Ф_Г_Н_ € dom(A).

Предположим теперь, что А € с_ и принадлежит произвольной связной компоненте некоторой окрестности г; в) С р(А) П р(Б) точки -г. Обозначим это множество через §с_(-г). Найдем резольвенту оператора Б. Для этого составим следующее уравнение ((Р* - А)Н_, -(г + А)Н0 + (А + г)р, (Р+ - А)Н+)Т = (д_,д0,д+)т, которое эквивалентно системе:

(Р_ - А)Н_ = д_

-(г + А)Н0 + (А + г)р = д0 (12)

(Р* - А)Н+ = д+

Так как симметрический оператор с индексом дефекта 0), то нижняя полуплоскость не содержит собственных значений оператора Р*, поэтому Н_ = (Р* - А)_1д_. Второе уравнение перепишем так: (А - А)р + (г + А)(р - Н0) = д0 или

(А - А)р = д0 - /2(г + А)д_Ф_Г_Н_. Так как А € §с_(-г), то

р = ДЛ(д0 - /2(г + А)д_Ф_Г_(Р_ - А)_ 1д_). (13)

Из равенства (13) находим вектор Н0:

Н0 = Длд0 - + (г + А)Дл)д _Ф_Г _(Р_ - А)_ 1 д_. Из условия 3. на dom(Б) следует равенство

Г+Н+ = Ф+1 (т*Ф _Г _ Н_ + / /+д+(А + г)р)

(14)

По формулам фон Неймана Н+ = Н+ + п+, Н+ € dom(F+), п+ € Ш+, причем, Г+Н+ = п+. Ввиду формулы (14)

п+ = Ф+1 (т*Ф _ Г _Н_ + //+д+ (А + г)р) . (15)

Перепишем теперь третье уравнение системы (12) следующим образом:

(Р+ - А)Н+ - (г + А)п+ = д+.

Находим вектор Н+:

Н++ = (Р+ - А)_ 1(д+ + (г + А)п+) = = (Р+ - А)_1 (д+ + (г + А)Ф+^Т*Ф _ Г _Н _ + / А3+(А + г)р) ) . Отсюда

Н+ = Н+ + п+ = (Р+ - А)_ 1 д+ + (I + (г + А)(Р+ - А)_ 1 )п+ = = (Р+ - А) _ 1д+ + (I + (г + А)(Р+ - А) _ 1)Ф+1 (т*Ф _Г _ Н_ + / /+д+(А + г)р) =

= (*+ - Л)"1р+ + (I + (г + Л)(Е+ - Л)"1)Ф+1 (Т*Ф_Г_(Е_ - Л)"1 + +-/= + г)Ял(ро - ^2(г + Л)д_Ф_Г_(Е_ - =

= Ял(^+)р+ + //=(/ + (г + Л)Дл(^+))Ф+1 + г)ЯлРо+

+ (/ + (г + Л)Дл(^+))Ф+1(Т* - г(Л + г)/+д+(А + г)ЯлQ-)Ф-Г_Ял(F")g_.

Воспользуемся следующими обозначениями: для любого линейного оператора Ь, для которого существует (Ь-Л)_1, обозначим через Мм,л(Ь) оператор I + (Л-^)Ял(Ь). Тогда

= Дл(^+)р+ + М_г,л(^+ )Ф+1 ^^/д+М_г,л(А)ро + ЖА(Л)Ф_Г_ЯлТО^ ,

где

Жа(Л) : П+ ^ П_, ЖА(Л) = + г(Л - г)д_Мг,л(А*)д+ -характеристическая оператор-функция оператора А (см., напр., [21]). Кроме того положим

МЛ) := Ф_Г_Ял(^!)р_, ^(Л) := -/= д+М.^А)^.

Отсюда получаем формулу

= Дл(^+)р+ + М_,л (*+ )Ф_1 ^+(ЖА(Л)^_(Л) + МЛ)). (16)

Используя (15) и (16), находим решение системы (12): =

¿о = ЯлРо - /2М_г,л(А)д_^_(Л) _

= Дл(^+)р+ + М_г,л(^+)Ф;1 ^+(Ж!(Л)^_(Л) + МЛ))

Таким образом, резольвента оператора Б имеет вид:

Ял(Б)(р_,ро,МТ = (Ял(^!)0_,

Ялро - /2М_г,л(А)д_МЛ), Ял(^+)р+ + М_г,л(^+)Ф;1 /+(ЖА(Л)МЛ) + МЛ)))Т.

(17)

Обозначим через Р : н ^ Н ортопроектор. Тогда

РЯл(Б)(0,зо,0)т = Р(0, ЯлРо, М_г,л(^+)Ф;1^+^+(Л))т = ЯлРо.

Теорема доказана. □

Аналогично рассуждая, приходим к справедливости следующего предложения.

Следствие 3. Для любого А € §с_(-г) имеет место равенство

Лл(Б)(д_,д0,д+)т = (Дл(Р_)д_ + Ма(Р_)Ф_1(^4(Л)и>+(Л) - и>_(А)),

Д*д0 - /2Мг,л(А*)д+^+(А), )д+ )Т, где ™+(А) = /+Ф+Г+%(Р+ )д+, ^_(А) = ^д_Мл(А*)д0.

3. Некоторые частные случаи

Рассмотрим некоторые частные случаи построенной дилатации. 3.1. Спектральное представление дилатации. Пусть

= L2(r±; Q ±), где r_ = (-то, 0], r+ = [0, В пространствах D± рассмотрим

симметрические операторы , которые определяются следующим образом:

dom(F±) = {h± G Ж1(м±; Q±)|h±(0) = 0}, (F±h±) = (t), h±(t) G dom(F±),

где W21(m ±; Q ±) — классы Соболева. Операторы , очевидно, являются простыми и максимальными с индексом дефекта (0, q+) и (q_, 0) соответственно. Сопряженные операторы задаются такими же дифференциальными выражениями на линеалах dom(F±) = Ж1(к±; Q±).

Дефектные подпространства операторов задаются равенствами

N± = {e^q± | е Q±}.

Для любых векторов /±,g± G dom(F¿)

(F±/±,g±)d± - (f±,F±g±)d± = J((/(t),g±(t))Q± - (/±(t),ig±(t))Q±)dt =

R±

= pi(/±(0),g±(0)b± = T2i(r±/±, r±g±).

Отсюда получаем равенства для граничных операторов: (r±/±)(t) = eTÍ/±(0). Легко найти операторы Ф±:

Ф±(ет'д±) = — q±, q± G Q±.

По формулам (1) находим операторы V±:

t t (V+y)(t) = y(t) - 2 У eu-ty(u)du, (V_y)(t) = y(t) - 2 J et-uy(u)du.

0 -oo

Дефектное подпространство запишем в виде: = span{w0(í)g+|g+ € 0+},

где

п! \ п!

Г е*(Ге_2*)(п) г ,, I ,, е2(Ге_*)(п)\

= л/2 -= л/2™п(2*), ™п(*) = —^-, п = 0,1, 2,----

п! \ п! I

ортонормированные функции Чебышева-Лагерра двойного аргумента [17]. При этом, как легко проверить, справедливы равенства ) = шп(£)д+, п = 0,1,2,.... Так как оператор простой, максимальный и симметрический , то ^-односторонний сдвиг (см., напр.,[2], [3]) и, поэтому, для любой функции Л,+ (£) € Ь2(М+; 0+) справедливо разложение

оо оо

(*) = ^ = ^ 9+ = € 0+, п > 0.

п=0 п=1 0

С помощью равенства (4) зададим оператор /+:

те те

(7+М(*) = ^ М*)/+9+ = /+ ^ = ,/+М*),

п=0 п=0

то есть, оператор действует на функцию Л,+ (£) при каждом

Аналогичная ситуация обстоит с представлением дефектного подпространства и определением оператора Продолжим вначале ортонормированную систему функций Чебышева-Лагерра на м_:

о;-п(£) := шп(-4), п = 0,1, 2,..., тогда = span{a;0(í)q_|q_ € 0_}.

Справедливы следующие равенства У"(о;0(4)д_) = о;_п(4)д_, п = 0,1,2,..., где V!—односторонний сдвиг, = span{a;0(£)д_|д_ € 0_}. Для любой функции Л_(£) € Ь2(м_; 0_) имеет место разложение

М*) = ^= ^ К_1(^0(4)9Г_), = о;_п(*)М*Э € 0_, п > 0. п=0 п=0 "Л

_те

По равенству (4)

тете п=0 п=0

Оператор ^_, таким образом, действует на функцию (£) при каждом 4. Отсюда вытекает формула

J Н = (^_М*)А, /+М*)Г.

В пространстве н = Ь2(м_; 0_) ф Н Ф ^2(м+; 0+) определим оператор Бвр.

0

Вектор h = (h_(t), h0, h+(t))T принадлежит dom(Ssp) тогда и только тогда, когда:

1. h±(t) е Ж1(м±; Q±)

2. р = ho + Q_h_(0) е dom(A);

3. h+(0) = T*h_(0) + i j+Q+(A + i)p, где T* = I + 2iR_г.

Для любого вектора h = (h_(t), h0, h+ (t))T е dom(Ssp) положим

Ssph = Ssp(h_(t), ho, h+(t))T := (ih_(t), -iho + (A + i)p, ih+(t))T. В результате получаем J-самосопряженную дилатацию, построенную в [11].

3.2. Трансляционное представление дилатации. Пусть D± = 12(z±; Q±), где z_ = {..., -3, -2, -1}, z+ = n. В пространствах D± рассмотрим симметрические максимальные операторы с индексом дефекта (0, q+) и (q_, 0), которые определим следующим образом. Пусть h+ = (hi, hi,...) е D+,

Рассмотрим операторы S± : dom(S±) ^ Q±, S±n : dom(S±n) ^ Q±, действующие по формулам:

те +те i

S±h± = h±k, S±nh± = h±k— 2h±n, k=1 k=n

причем

dom(S±) = < h± е D± ^ h±fc е Q± > = dom(S±n). ^ k=i ^ С помощью операторов S± и S±n определим операторы F± :

dom(F±) = h± е D±

I E HS±nh±f < S±h± = 0 ,

^ n=1 '

F+h+ = -2i(Sih+, Sh+,...), F_h_ = 2i(..., S_2h_, S_ih_). (18)

Операторы F± замкнуты, симметричность этих операторов вытекает из легко проверяемых равенств [6]:

(F±h±,д±)э± - (h±,F±g±)D± = T2i(S±h±,S±g±)Q±.

Сопряженные операторы F* действуют по формулам (18) на линеалах

dom(F±) = <¡ h± е

Ells±nM2 < • n=i i

n=i

Дефектные подпространства операторов имеют вид:

N+ = {(hi, 0,0, • • •) | hi е Q+, S+h+ = hi}, N- = {(•••, 0,0, h-i) | h-i e Q-, S-h- = h-i}

Для любых векторов € ) имеем:

¿±,д± )э± — (й±,*± £± )®± = Т2г(5±й±,5±0± )д± = ^2г(Л,± ьд± 1)д±.

следовательно, для граничных операторов получаем следующие равенства: Г+^+ = (йь 0, 0,...), Г_^_ = (..., 0, 0,й _1), € doш(F¿). Определим теперь операторы Ф ±:

Ф+(^1, 0, 0,... ) = ^1, Ф_(..., 0,0,^_1) = € 0±.

По формулам (1) находим операторы К±:

VI= (..., ^_2, Л_1, 0), = (0, ^1, ^2,...), € 0± —

это односторонние сдвиги в Э±.

В пространстве н = Э_ ф Н Ф зададим оператор J:

J(h_, Л,0, ¿+)т = ^0, ,

где = (..., , ), = (^1, /+¿2, ...).

Определим теперь оператор Б^. в пространстве н. Вектор (¿_, ¿0, )т € doш(Str) тогда и только тогда, когда:

1. € doш(F±)

2. = ¿0 + /2Я_5_€ doш(A);

3. = /2Т*5_^_ + г^/+Я+(А + г)^', где Т* = I + 2гЯ_г. Для любого (¿_, ¿0, ¿+)т € doш(Str)

Б<г(¿_, ¿0, )т = (Е_—г^0 + (А + г)^', ¿+)т

Условия 1.-3. принадлежности вектора (Л,_,Л,0,Л,+)Т € doш(Str) области определения оператора Б^. запишем следующим образом:

1. € doш(F±)

2. 75= 75¿0 + Я€ doш(A);

3. 5+ = + г/+Я+ (А + г)(^

Положим <£> = (^<£>'). Тогда получаем условия на doш(Str) и формулу для оператора Б^:

1. € doш(F±)

2. ^ = ^¿0 + € doш(A);

3. 5+^+ = + г/+Я+ (А + г)^,

Síí.(¿_А,^+)т = (Е_—г^0 + л/2(А + г)^, )т. Это и есть J-самосопряженная дилатация из [6].

4. МИНИМАЛЬНОСТЬ ^САМОСОПРЯЖЕННОЙ ДИЛАТАЦИИ.

Пусть, по-прежнему, А — плотно заданный линейный оператор, действующий в сепарабелъном ГП Н, причем —г € р(А).

Определение 3. [22] J-самосопряженная дилатация Б линейного, плотно заданного оператора А с непустым множеством регулярных точек (До € р(А)), действующего в ГП Н, называется минимальной, если

Hmin := V{R Лп(S)H, R^(S)H} = H,

n=0

/00

где V^=о ®п обозначает линейную замкнутую оболочку линеалов или подпространств 0П, К а=(Б) = (Б — До)-1.

Отметим, что в [22] доказаны минимальности J-самосопряженных дилатаций из разделов 3.1 и 3.2 при условии, что исходное пространство Н сепарабельно. Из формулы (17) при Д = —г

МБ)(д_,до,д+)Т = )д_, я_до — У2д-Ф-Г-Я_г(Р_)д_,

я_г(р+)д+ + Ф-1 /+ (—д+до + т*Ф_г_я_г(р_ )з_)))т. (19)

Частный случай формулы (19):

МБ) (0, до, 0)Т = (0, Я_до, —Ф+1 Т. (2°)

Из (19) и (2°) получаем для любого п € N

^(Б) (0, до, 0)Т = (0, Д_гдо, -4( Е Я-1_Р (^+)Ф+1 _до)) . (21)

* р=о

Аналогично, с помощью следствия 3, получаем следующее равенство (п € М):

п_1 Т

КП(Б) (0, до, 0)Т = (—-=( Е ЯП_1_Р(^_)Ф_1д_Д^) , Я*_Пдо, 0) . (22)

Р=о

Рассмотрим подпространства В± = \/ {К™ ^(Б)Н} . Очевидно, что

п=о

и, в силу (21) и (22), н = В _ П В + . Тогда подпространство н__п можно представить в виде ортогональной суммы:

н_т = £_т Ф Н Ф ®_т, где £_т = В ± © Н . (23)

Из равенств (21) и (22) вытекает, что ^самосопряженная дилатация Б оператора А является минимальной тогда и только тогда, когда Э™!П = Э±.

Рассмотрим подробно случай подпространства Из равенства (21) вытекает

следующее очевидное включение

те

Этт с у {д- )^+} = £'+ . п=0

Обратно, пусть (0,0,/+)т € Э+ . Поскольку линеал Ф_1^+ф+(А + г^от(А) всюду плотен в то для любого £ > 0 найдутся такой полином р € С [г] степени N = N(£ и вектор д0 € dom(A), что

£ > 11(0,0, /+)т - (0,0,р(д_ г(Е+)) Ф+1/+д+(А + || = (0, 0, /+ )т - 10,0, V атдтг(Е+) Ф+1/+д+(А + г)^

С0, 0 ¿<

\ т=0

N

(0,0, /+)Т - (-п/2) £ ат ^т+1(Б)(0, (А + ¿)5о, 0)т - Рт(Б)(0,5о, 0)т]

'■т

т=0

Следовательно, доказано обратное включение Э+ С . Случай подпростран-

ства рассматривается аналогично.

Мы обосновали справедливость следующих равенств:

£гг = V{ДТ±},

п=0

и была доказана

Лемма 8. J-самосопряженная дилатация Б общего вида оператора А с непустым множеством регулярных точек (-г € р(А)) минимальна тогда и только тогда, когда выполняются равенства

те

®± = V{ДТ±} . (24)

п=0

По построению дилатации Б операторы Е± — простые.

Обратно, если Б — минимальная ^самосопряженная дилатация общего вида оператора А, то на основании леммы 8 справедливы равенства (24). Предположим, что, хотя бы один из операторов к примеру оператор Е+, не является простым. Это означает, что существует подпространство Э+, приводящее С

+ ^ Э+ — ортопроектор) к самосопряженному оператору = Е+|эо. Тогда Э+, приводит также преобразование Кэли оператора к унитарному оператору

и по теореме Вольда (см., напр.,[4])

те те

£+ = П У+®+ ± Е ФУ+^+.

п=0 п=0

Пусть Н+ € Э+ — ненулевой вектор. Тогда, для любого п € n и {0} К+ ± У+1т+ = (I - 2Ш-г(Р+))п^+. Следовательно,

0 = (й+, п+ - 2iR-г(F+)n+) = (Ь+,п+) - 2^+, R_г(F+)n+) =

= -2^+, R_г(F+)n+) Уп+ € Ш+, откуда Н++ ± R_г(F+)N+. Аналогично

0 = (Ь+, (I - 2iR_г(F+))2n+) = (Ь+, п+) - R_г(F+)n+) - 4(Ь+, R_г^+)п+) =

= -4(й+^_г^+)п+), то есть К+ ± R_г(F+)N+ и т.д.

Таким образом, Л,+ ± Rí_г(F+)N+ Уп € n и {0} и, в силу, (24) Л,+ — нулевой вектор — противоречие. Таким образом, Э+ = {0}. Отсюда У+ — односторонний сдвиг и, следовательно, F+ — простой симметрический оператор. Случай оператора F_ аналогичен. Таким образом, доказана

Теорема 2. J-самосопряженная дилатация общего вида оператора А с непустым множеством регулярных точек (-i € р(А)) является минимальной тогда и только тогда, когда операторы F± простые.

Следствие 4. Дилатации Бзр и оператора А минимальны.

5. Изоморфизм ^САМОСОПРЯЖЕННЫХ ДИЛАТАЦИй ОБЩЕГО ВИДА

Определение 4. (см., напр., [22]) Пусть А — плотно заданный линейный оператор с непустым множеством регулярных точек, действующий в ГП Н, Ц и 1_2 — ^-самосопряженная и ^-самосопряженная дилатации этого оператора в ГП нх и н2 соответственно. Операторы 1_х и 1_2 называются изоморфными, если существует унитарный оператор и : нх ^ н2, нг = ф Н Ф г = 1; 2, такой,что

1. и(0,^о, 0)т = (0,^о, 0)т У^о € Н;

2. иц С ;

3. У Ьх € их : илЬх = Ьх.

С помощью определения 4 исследуем вопрос об изоморфизме двух произвольных минимальных J-самосопряженных дилатаций оператора А в сепарабельном ГП. Начнем с более детального изучения областей определения операторов F¿.

Для любого к € n и {0} векторы У_к'п± € dom(F¿), € Следовательно, любая линейная комбинация таких векторов также лежит в dom(F¿). Так как любой

N

вектор Л± € dom(F¿) представим в виде ^ У±п±, N < то, то необходимо найти кри-

к-=0

те

терии включений ^ У±п± € dom(F¿). Рассмотрим подробно случай оператора .

к-=0

т те

Пусть лт = ^ укп + — ^ укп + при т -то. Тогда по лемме 4

к-=0 к-0

т т т

ПЕ У+'п+ = Е ПУк'п+ = -г«+ + Е укп+ = к*=0 к-0 к-1

т / /к_1 \ \

" + ^ Г-¿У*п+ - 2г ( Е УМ п+ \ -

= -г(«+ + 2п+ + ■ ■ ■ + 2пт)-

0 1 ¿Д+ «к - «к ^ = -г(п0

¿У+ («+ + 2п+ + ■ ■ ■ + 2<) - гУ+2(п+ + 2п+ + ■ ■ ■ + 2«т)

-гУ+П_1(п;т_ 1 + 2пт) - гУ+Чт = -2г( Е п+ - 2 «+ - 2гУ+(Е п+ - | п+)-----

\к=0 ) \к=1 )

-2гУ+ (Е п+ - 1 «+)-----2гУ+га_1 ( Е п+ - 2<_И - ¿УТЧ^ (25)

/ \к=т _ 1 /

Равенство (25) дает основание утверждать, что при т — то последовательность

т

Лт = У_кп+ сильно сходится тогда и только тогда, когда

к=0

(те \/тете ^ 2 \

Е«+ € А ЕЕ «+ - 1«+ < то

к=0 / \к=0 г= /

< ТО (26)

Рассмотрим плотно заданные операторы 5+ : dom(S0) — к € n и {0}, где

те те

dom(S0+) = {Л+ € £+ | Еп°+ € , 5+Л+ = Е«+ - 2«+ € dom(S0+).

г=0 г=к

тте

Если лт = XI У+п+ — Л+ = XI У+п+ и лт — #+ при т -то, то в силу за-к=0 к-0

тете

мкнутости оператора вектор Л+ = X] У+«+ € dom(F+) и Л+ = -2г X] У+£'+Л+.

к=0 к-0 Условия (26) и проведенные рассуждения убеждают нас в справедливости следующей эквиваленции

те \/те \/те \

Л+ = Е У+П+ € dom(F+ ) ^ Еп+ € А Е15°+Л+|2 < то . (27) к=0 / \fc-0 / \fc-0 /

Если эквиваленция (27) верна, то

(те \ те /те \

Е vk = -2i Е vk E vr .

k=0 / k=0 \r=0 J

Случай оператора F* рассматривается аналогично. Таким образом доказана

те

Лемма 9. Включения h± = ^ Vtn ± G dom(F*) имеют место в том и только в

k=0 k

том случае, когда

тете

ЕG и £ ||S±h±||2 < «),

k=0 k=0 где операторы k G N U {0} определяются равенствами:

те те

dom(S±) = {h± G D± | £n± G N± j, S±h± = £n± - -n± Vh± G dom(S±).

r=0 r=k

При этом

(те \ те /те \

Evk= ^¿Evk Ev± .

k=0 k=0 r=0

те

Следствие 5. Векторы h ± = ^ Vtn ± из dom(F*) принадлежат dom(F±) тогда и

k=0 k

те

только тогда, когда n± = 0 (ср. с аналогичным свойством из п. 3.2).

r=0 r

Доказательство. В линеалах dom(F:*) рассмотрим новые скалярные произведения

(h±,g±)± := (h±,g±) + (F±h±,F±g±),

причем нормы ||h± ||± = \/(h±, h±)± превращают dom(F.*) в ГП и справедливы ортогональные разложения:

dom(F±) = dom(F±) ф± N±

(см., напр., [13]). Таким образом, векторы h± G dom(F.*) принадлежат dom(F±) только лишь в случае, когда они ± — ортогональны подпространствам N±.

Рассмотрим подробно случай линеала dom(F-). Для любого вектора n_ G N_ и

те

вектора h_ = ^ Vkn_ из dom(F_) с помощью леммы 9 получим:

k=0 _ k

0= ( Е V_4_,n_) =(n_ ,n_) + F_f V_'n_,inj = k=0 - k=0

= (n0_, n_) + 2^E V_k ^ E V_j , in _ j =

= +2So_ (е v_ n_ j,n_ j n_ ,n_j

Случай линеала dom(F+) рассматривается аналогично.

□

Пусть и D± - ГП. Обозначим через F± и G± максимальные простые симметрические операторы, действующие в пространствах и D± соответственно, причем, (0, q+) — индекс дефекта операторов F+ и G +, (q_, 0) — индекс дефекта операторов F_ и G _, q± = dim Q ±, - дефектные подпространства. Пусть r = 1; 2 — граничные двойки операторов F± и G±, V±, W± — преобразования Кэли операторов F± и G±.

В ГП hr = D_r) фH ФD+r) определим операторы Jr = J_r) фIф j(r), где J±r), r = 1; 2

задаются равенствами:

V h±1) = £ Vkn± G D±1), n± G N±1), J±

(i)

»(1) T(!)

k=0

V h±2) = m± G D±2), m± G N±2), J±2

k=0 »(2)

(£ Vk ni) :=

k=0

(те те

k=0

)

EVk ф ± j±n±,

k=0

те

k=0

где Ф± : ^ П± - изометрии.

В пространствах Нг определим операторы Бг, г = 1; 2. Векторы Ьг = (к_),ко,к+)^ , где к! € Э^ко € Н, принадлежат областям определения операторов Бг, соответственно, тогда и только тогда, когда

1) к±х) € dom(F±); к±2) € dom(G±);

2) рх = ко + _Ф _ Г _х)к _х) € dom(A); р2 = ко + _Ф _ Г _2)к _2) € dom(A);

3) ^2Ф+Г+х)к+х) = У2Т* Ф _ Г _х)к_х) + (А + ^ рх;

V^+rfh^ = л/2Т*Ф_Г _2)h_2) + i J+Q+ (A + i) p2, где T* = I + 2iR_ Для любых векторов hr = ^h_), h0, G dom(Sr) положим

Sihi = Si (k_1), h0, h^)T := (F_h_1), -ih0 + (A + i) pi, F+ h^)T ;

^(2ЛT- (g_h_2), -ih0 + (A + i) P2, G+hf)T.

S2h2 = S2 h _2), h0 ,h+2

По теоремам 1 и 2 операторы Бг, г = 1, 2 являются ^-самосопряженными минимальными дилатациями оператора А.

Теорема 3. Операторы S1 и S2 изоморфны.

Доказательство. Определим оператор и : Н1 — Н2 следующим образом:

т

(те те \

EVkn- , ho, : =

fc=0 fc=0 /

и (Л _1),Л0,Л+1))т = У_к «_, Л0 , +

0 т

Е А _п_, Л0, Е А+п+ ) , где А± = Ф_ 1Ф± : — (28)

, к*=0 к-0 ) Очевидно, операторы А± — изометрии, а и — унитарный оператор. Из (28) вытекает, что и (0, Л0,0)т = (0, Л0, 0)т для любого Л0 € Н. Кроме того

|т

=

(те те \

А _Ф:JФ-n- , ho, А+Ф;1^+Ф+П+

fc=0 fc=0 /

(те те \

Ew:ф: 1J:Ф:n:, h0, ^Wiф;1^+ф+п+ fc=0 fc=0 /

_ 1 «2Т_ф _ , Л0, Ф+1^+Ф+и+

С другой стороны,

т

0,Л+ Г = ^_А _п_, Л0А+П+ I =

(те те \

А _ п_, Л0, А+п+

к'=0 к*=0 /

(те те \ Т

Ф_ Ф_А_«_, Л0, Ф+1/+Ф+А+п+ =

к'=0 к-0 / ^ те те \ Т

Ф _ Ф_, Л0, Ф+1^+Ф+«+ .

чк-0 к-0 /

Таким образом, V Н1 € Н1 : иJ1Н1 = J2иН1.

Проверим теперь, что иБ1Ь1 = Б2иЬ1 Vh1 € dom(Б1). Вначале необходимо установить, что иh1 = (ц_Л_1),Л0, и+ Л+))т € dom(Б2) Vh1 € dom(Б1). Так как h1 € dom(Б1), то должны выполняться условия:

1и) ц±Л±1) € dom(G±);

2и) ф = Л0 + _Ф_Г _%_Л_1) € dom(A);

3и) У2Ф+Г+2)и+Л+1) = У2Т*Ф _ Г _2)и_Л_1) + г(А + г) ф.

Поскольку

т

(те те \ T

^w:а :n:, h0, Ew+kа+п+ , fc=0 fc=0 /

то по лемме 9

Е А±п± € ^от(£±)

Д-0

)«(£ а±п± € *<2)) а (±

) \к=0 ) \к=0

115%Ц±Л±1)|2 < то

где 5т к, т = 1; 2 — операторы из этой леммы.

Проверим справедливость указанных в эквиваленции условий. Первое условие эквиваленции, очевидно, выполняется. Для любого к € n и {0}

И-?* и^н2 =

5 ±

( £ А±п^

1

ЕА±п± - 1 А±«±

г=к

= п^гк л±1)|2.

Проверка условия 1и завершена. Проверим условие 2и. Пусть

Л±1) = Л±(1) + Г±1)Л±1), где Л±(1) € dom(F±). Если Л±1) = £ У±п±, Л±(1) = £ У±П±, то ± ± ± ± ± ± к=0 ± к ± к=0 ± к

по лемме 2 Г±1)Лг) = п± - п±. Аналогичные формулы имеют место для Г±2)Л±2). Тогда:

ф = Л0 + _ф _г _2)и_л _1) = Л0 + _ф _ а _ («_ - ) =

= Л0 + _ Ф _ («_ - ) = Л0 + _ Ф _ Г _1)Л_1) = ^ € dom(A), (29) таким образом, условие 2и также выполнено. Условие 3и:

^2(Ф+Г+2)и+Л+1) - Т*Ф _ Г _2)и_Л _1)) = //2(Ф+А+(п+ - «+) - Т*Ф _ А _(«_ - )) =

= /2(Ф+Г+1)Л+1) - Т*Ф _ Г _1)Л _1)) = г/+д+ (А + г) ^ = г/+д+ (А + г) ф. Приходим к выводу, что и h1 € dom(Б2) Vh1 € dom(Б1). Следовательно,

(те 2г те

к=0

Б2^ hl = Б2(и_ Л_1), Л0, и+Л+1))т =

те

и_Л_1), -гЛ0 + (А + г)ф, и+л

к=0

С другой стороны, в силу (29)

и51Н1 = и

(те 2г те

к=0

У_л _1), -г^0 + (А + г)<£>1, -2г ^ У+ ^

к=0

(те 2г те

к=0

а _л_1), -г^0 + (А + г)ф, -2г ^ А+5+кл+1)

к=0

т

т

(30)

(31)

2

2

При этом для любого k £ n U {0}

те

к! = £ д± п± -1 д± п ± = ^ и± ^

г=к-

поэтому, в силу (31)

(те те \ Т

2г Е Ж-к -1), -¿ко + (А + г)^, -2г ^ ц^М = Н1 к'=0 к-0 /

из-за формулы (30).

По определению 4 дилатации Б1 и Б2 изоморфны. Теорема доказана. □

Следствие 6. Дилатации Бзр и из п.3 изоморфны.

Следствие 7. Оператор и является ^2)-унитарным (см., напр., [16]). Доказательство. В самом деле, для любого Ь1 £ Н1

[иН1, иН1]н2 = ^Нь иН1 )и2 = (иJlН1, иН1)н2 = (лНЬ Ь1)Н1 = [Н1, Ь1]Н1.

□

Заключение

В работе построена J-самосопряженная дилатация общего вида произвольного линейного, плотно заданного оператора с непустым множеством регулярных точек.

Для построении дилатации использовались операторы , сопряженные к максимальным простым симметрическим операторам и граничные двойки операторов . Частными случаями построенной дилатации являются известные ранее J-самосопряженные дилатации.

Доказаны критерии минимальности построенной дилатации, один из которых формулируется в терминах простоты операторов .

Кроме того, с помощью полученных критериев минимальности и описания областей определения операторов доказана теорема об изоморфизме двух произвольных минимальных J-самосопряженных дилатаций исходного оператора.

Благодарности

Работа выполнена НО «Крымский математический центр» и поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2023-1799.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк, М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. - 1940. - 4(3). - C. 277-318.

NAYMARK, M. A. (1940) Spectral functions of symmetric operator. Izvestiya AN SSSR. 4 (3). Pp. 277-318.

2. SG.-NAGY, B. (1953) Sur les contractions de l'espace de Hilbert. Acta Sci. Math. 15. Pp. 87-92.

3. Никольский, Н. К. Лекции об операторе сдвига / Н. К. Никольский. — M.: Наука, 1980. - 384 c.

NIKOLSKY, N. K. (1980) Lections on shift operator. Moscow: Nauka.

4. Никольский, Н. К. Функциональная модель и некоторые задачи спектральной теории функций / Н. К. Никольский, С. В. Хрущев // Труды Математ. института АН СССР. - 1974. - 176. - C. 97-210.

NIKOLSKY, N. K., & KHRUSCHOV, S. V. (1987) Functional model and some problems of spectral function theory. Works of Mathematical institute. Academy of Sciense USSR. 176. Pp. 97-210.

5. Сахнович, Л. А. О J—унитарной дилатации ограниченного оператора // Функц. анализ и его приложения. — 1974. — 8(3). — C. 83-84.

SAKHNOVICH, L. A. (1974) On J—unitary dilation of bounded operator. Func. analyz i ego prilozheniya. 8 (3). Pp. 83-84.

6. Кужель, А. В. J—самосопряженные и J—унитарные дилатации линейных операторов // Функц. анализ и его приложения. — 1983. — 17(1). — C. 75-76.

KUZHEL, A. V. (1983) J—self-adjoint and J—unitary dilations of linear operators. Func. analyz i ego prilozheniya. 17 (1). Pp. 75-76.

7. DAVIS, CH. (1970) J—unitary dilation of a general operators. Acta Sci. Math. 31 (1-2). Pp. 75-86.

8. Павлов, Б. С. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора Шредин-гера и разложение по его собственным функциям // Мат. сб. — 1977. — 102(144). — C. 511-536.

PAVLOV, B. S. (1977) Self-adjoint dilations of dissipative Shredinger operator and its eigenfunctions decomposition. Mat. sb. 102(144) (4). Pp. 511-536.

9. Кужель, А. В. Самосопряженные и J-самосопряженные дилатации линейных операторов // Теория функций, функц. анализ и их прил. — 1982. — 37. — C. 54-62.

KUZHEL, A. V. (1982) Self-adjoint and J-self-adjoint dilations of linear operators. Teoriya functsiy, func. analyz i ikh prilozheniya. 37. Pp. 54-62.

10. Кудряшов, Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипатив-ных операторов // Теория функций, функц. анализ и их прил. — 1982. — 37. — C. 51-54.

KUDRYASHOV, Yu. L. (1982) Symmetric and self-adjoint dilations of dissipative operators. Teoriya functsiy, func. analyz i ikh prilozheniya. 37. Pp. 51-54.

11. Кудряшов, Ю. Л. J—эрмитовы и J-самосопряженные дилатации линейных операторов // Динам. системы. — 1984. — 3. — C. 94-98.

KUDRYASHOV, Yu. L. (1984) J—Hermite and J—self-adjoint dilations of linear operators. Dynam. sistemy. 3. Pp. 94-98.

12. Кудряшов, Ю. Л. Изоморфизм спектрального и трансляционного представлений самосопряженной дилатации диссипативного оператора // ТВИМ. — 2018. — 1. — C. 40-47.

KUDRYASHOV, Yu. L. (2018) Isomorphism of spectral and translation representations for self-adjoint dilations of dissipative operator. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 1. Pp. 40-47.

13. REED, M. & SIMON, B. (1975) Methods of modern mathematicals physics. II: Fourier analysis, self-adjointness. New York, San Francisco, London: Acadeic Press, Inc. 395

14. Третьяков, Д. В. Об общем подходе к построению J-самосопряженной дилатации линейного оператора с непустым множеством регулярных точек // ТВИМ. —

2019. — 4. — C. 92-106.

TRETYAKOV, D. V. (2019) On common approach to construction of J-self-adjoint dilation for linear operator with nonempty regular points set. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 4. Pp. 92-106.

15. Третьяков, Д. В. Изоморфизм J-самосопряженных дилатаций общего вида линейного оператора с непустым множеством регулярных точек // ТВИМ. —

2020. — 2. — C. 76-87.

TRETYAKOV, D. V. (2020) On isomorphism of common type J-self-adjoint dilations for linear operator with nonempty regular points set. Taurida Journal of Computer-Science Theory and Mathematics. 2. Pp. 76-87.

16. BOGNAR, J. (1974) Indefinite inner product spaces. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag.

17. Ахиезер, Н. И., Глазман И. М. Теория линейных onepaTopoB в гильбертовом пространстве. Т.1 / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. — Харьков.: Выща школа, 1977. — 315 с.

AKHIEZER, N. I., & GLAZMAN, I. M. (1980) Theory of linear operators in Hilbert space. V. 1. Kharkov: Vyscha shkola.

18. Горбачук, В. И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В. И. Горбачук. — К.: Наукова думка, 1984. — 284 с.

GORBACHUK, V. I. (1984) Boundary value problems for differential-operator equations. Kiev: Naukova dumka.

19. DERKACH, V. A., & MALAMUD, M. M. (1999) Non-self-adjoint extensions of a Hermitian operator and their characteristic functions. Journal of Mathematical Sciences. 97 (5). Pp. 4461-4499.

20. BRUK, V. M. (2014) On the characteristic operator of an integral equation with a Nevanlinna measure in the indefinite-dimensional case. Journal of Math. Phisics and Analysis, Geometry. 10 (2). Pp. 163-188.

21. KUZHEL, A. V. (1996) Characteristic Functions and Models of Nonself-Adjoint Operators. Kluwer Academic Publishers.

22. Кудряшов, Ю. Л. О минимальности J-симметрической и J-самосопряженной дилатаций линейного оператора с непустым множеством регулярных точек / Ю. Л. Кудряшов, Д. В. Третьяков // Динамические системы. — 2015. — 5(33). — C. 69-75.

KUDRYASHOV, Yu. L., & TRETYAKOV, D. V. (2015) On minimality of J-symmetric and J-self-adjoint dilations of linear operator with nonempty regular points set. Dinamicheskie sistemy. 5(33) (1-2). Pp. 69-75.

23. Третьяков, Д. В. Об общем подходе к построению самосопряженной дилатации диссипативного оператора / Д. В. Третьяков, Ю. Л. Кудряшов // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2021. — 503. — C. 121-136.

TRETYAKOV, D. V., & KUDRYASHOV, Yu. L. (2021) On a general approach to costruction of a self-adjoint dilation for a dissipative operator. Zap. nauchn. sem. POMI. 503. Pp. 121-136.

24. Кочубей, А. М. О расширениях симметрических операторов и симетрических бинарных отношений / А. М. Кочубей // Мат. заметки. — 1975. — 17. — C. 41-48. KOCHUBEY, A. M. (1975) On an extensions of symmetric operators and symmetric binary relations. Mat. zametky. 17. Pp. 41-48.

25. BROWN, M., MARLETTA, M., NABOKO, S. & WOOD, I. (2008) Boundary triplets and M-functions for self-adjoint operators with applications elliptic PDEs and block operator matrices. Journal of the London Mathematical Society. 77 (3). Pp. 700-718.

26. RYZHOV, V. (2007) Functional model of a class non-selfadjoint extension of symmetric operators. Oper.Theory Adv.Appl. Birkhuser, Basel (174). Pp. 117-158.

27. MOGILEVSKII, V. (2006) Boundary triplets and Krein type resolvent formula for symmetric operators with unequal defect numbers. Methods of Functional Analysis and Topology. 12 (3). Pp. 258-280.