CC BY
6
Изучение зависимости прочности цементных композитов от их
фрактальной размерности
Ю.А. Макаров
Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
им. Н. П. Огарёва, г. Саранск
Аннотация: Статья рассматривает вопрос взаимосвязи прочности цементных композитов и фрактальной размерности их структуры. Предполагается, что измерение фрактальной размерности материала на макроуровне может быть использовано для оценки как его прочности, так и ряда других физико-механических показателей, связанных с особенностями микроструктуры. Показано, что между фрактальной размерностью цементного композита и его прочностью существует определенная зависимость. Ключевые слова: Фрактальная размерность, микроструктура, прочность, цементный композит, композиционный строительный материал, планирование эксперимента, трехкомпонентная система, уравнение регрессии, коэффициент регрессии.
В разное время авторами научных исследований, проведенных в области композиционных строительных материалов (КСМ), было показано, что их свойства тесно связаны с особенностями микроструктуры [1, 2].
Структуру КСМ, в свою очередь, возможно смоделировать с использованием методов одной из областей неевклидовой геометрии -фрактальной геометрии [3, 4].
Что же такое фрактал? В математике фрактал есть множество, часть которого подобна целому [5]. В настоящее время фракталом обычно называют графическое изображение, структура которого на микро- и макроуровнях подобна сама себе [4, 6]. У фрактального рисунка нет одинаковых элементов, но прослеживается подобие в любом масштабе.
Используя фрактальные закономерности, можно по изображению макроструктуры материала достаточно точно описать его микроструктуру, а, следовательно, и его физические и механические свойства [7].
Ранее автор работы изучил, как состав цементных композитов влияет на показатель фрактальной размерности, и получил уравнение регрессии [8].
Предположительно, подобными алгоритмами можно описать и различные физико-механические свойства КСМ.
В свете этих представлений, автор статьи провел серию экспериментов, целью которых являлась проверка гипотезы о связи фрактальной размерности цементных композитов с их прочностью при сжатии [9].
Задача решалась методами теории планирования эксперимента. Состав исследуемого материала изображали как равносторонний треугольник (рис.1), в вершинах которого содержание регулируемых компонентов смеси равно 100%, а область внутри треугольника отражает процентное соотношение между компонентами. В состав композита были включены следующие составляющие исходного сырья:
х1 - мелкодисперсный наполнитель (цеолит); левая сторона треугольника показывает его содержание в смеси в процентах от массы вяжущего (цемента);
х2 - мелкий заполнитель (песок); нижняя сторона треугольника показывает его массовое отношение к вяжущему (цементу);
х3 - вода затворения; правая сторона треугольника показывает отношение массы воды к массе вяжущего (цемента).
111;
Рис.1. Треугольник состава трехкомпонентной
Данные факторы выбраны не случайно и обоснованы [9, 10].
и
Построение и изучение модели процесса сводилось к получению зависимости прочности материала от его фрактальной размерности. Удобнее всего количественную зависимость между большим числом изменяемых параметров записать с помощью полинома Шеффе. Для системы из трех компонентов:
где: х1, х2, х3 - варьируемые компоненты;
А1, А2, А3, А12, А13, А23, А1-2, А1-э, А2-э, А123 - коэффициенты регрессии.
Самая главная часть исследования - регрессионный анализ модели, который определяет математическую модель изучаемого экспериментального процесса. Она линейна относительно параметров и представляет собой законченный степенной ряд. В ходе регрессионного анализа по данным эксперимента рассчитываются численные параметры, производится статистический анализ, вычисляются статистические значимые оценки истинных коэффициентов полинома.
Практическая часть исследования состояла в изготовлении образцов материала согласно матрице планирования (табл.2) и их испытании.
Фрактальную размерность вычисляли по методу наложения сеток с различными размерами ячейки на фотографию микроструктуры образца по методике, использованной в ранее проведенном исследовании [8].
Прочность образов проверяли при помощи испытаний на сжатие на гидравлическом прессе по методике ГОСТ 10180-2012.
Обработка результатов позволила вычислить коэффициенты регрессии, входящие в уравнения фрактальной размерности В и прочности при сжатии Я (табл.1), и записать эти уравнения (1) и (2).
Таблица 1
Параметр Статистически значимые коэффициенты регрессии
А1 А2 Аэ А12 А13 А23 А1.2 А1-3 А2-3 А123
D 0,708 0,936 0,770 0,063 -0,095 -0,270 1,161 0,275 -0,441 -0,410
R 3,177 2,723 2,616 1,235 0 0,801 0 0 0,833 -1,530
y(d) = 0,708^+0,936 x2 + 0,770x3 + 0,063xx - 0,095 xlx3 - 0,270 x2x3 + ^ 1,161хгх2 |x| x2 ) + 0,275 XjX3 x^ ) 0,441 x2x3 (x2 x^ ) 0,410 x^x^x^ y(r) = 3,177xj +2,723x2 + 2,616x3 + 1,235xx - 0,470xx + 0,801 x2x3 + + 0,093xx(xj -x2)-0,386xx(xj -x3)+ 0,833x2x3(x2 -x3)-1,530xjx2x
Полученные уравнения дают возможность вычислить фрактальную размерность и прочность материала при любом содержании исходных сырьевых компонентов в смеси и построить кривые равных величин в пределах треугольника состава (рис.2).
Матрица планирования и результаты вычислений даны в таблице 2.
Таблица 2
Варьируемые факторы № точки плана
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Хх 1 0 0 1/3 2/3 0 0 2/3 1/3 1/3
Х2 0 1 0 2/3 1/3 1/3 2/3 0 0 1/3
Х3 0 0 1 0 0 2/3 1/3 1/3 2/3 1/3
Исследуемые характеристики
D 2,03 2,55 2,16 2,20 2,42 2,22 2,20 2,07 2,03 2,13
r, МПа 23,98 15,22 13,68 23,14 27,16 15,92 18,68 19,12 16,80 20,14
Рис.2. Изменение фрактальной размерности (слева) и прочности при сжатии, МПа, (справа) в пределах поля эксперимента
1)
(2)
Совместное решение полиномиальных уравнений (1) и (2) позволило построить график зависимости между прочностью и фрактальной размерностью (рис.3).
Анализируя полученный результат, можно утверждать, что между прочностью материала и его фрактальной размерностью существует определенная зависимость. Прочность цементных композитов оказывается тем больше, чем меньше фрактальная размерность. Это можно объяснить тем, что при В=2 (2 - топологическая размерность плоскости) мы имеем чистый (бездефектный) материал, в структуре которого площадь пор равна
12
Ю 4------------
2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6
Рис.3. Зависимость между фрактальной размерностью и прочностью при сжатии (точками показаны экспериментальные данные, линией - решение системы полиномиальных уравнений)
нулю. С увеличением объема пор накапливаются дефекты в структуре материала, фрактальная размерность возрастает, и прочность падает. Рост прочности в диапазоне ^=2,30^2,45 предположительно связан с изменением параметров дифференциальной пористости материала, например, таких, как показатель среднего размера пор и коэффициент однородности размера пор.
Также на результатах эксперимента может сказаться значение коэффициента микропористости, т.к. чем ниже разрешение изображения
микроструктуры, тем меньше вероятность обнаружения в ней микропор, и материал может восприниматься как почти бездефектный, что на самом деле может быть и не так. Подтвердить или опровергнуть эти предположения, можно только проведя дополнительные исследования параметров общей и дифференциальной пористости материала, например, методом изучения кинетики водопоглощения.
Таким образом, появляется интерес дальнейших исследований, данные которых позволят определить зависимости между прочностью, пористостью и фрактальной размерностью КСМ, и в будущем сократить объем лабораторных испытаний, а, следовательно, и расходы на их выполнение.
Литература
1. Баженов Ю.М. Бетонополимеры. М.: Стройиздат, 1983. 472 с.
2. Шейкин А.Е., Чеховский Ю.В., Бруссер М.И. Структура и свойства цементных бетонов. М.: Стройиздат, 1979. 344 с.
3. Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. 392 с.
4. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman And Company, 1982. 468 р.
5. Feder J. Fractals. Springer Science+Business Media, LLC, 1988. 284 p.
6. Peitgen H.-O., Richter P.H. Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems. Berlin etc., Springer-Verlag, 1986. 199 p.
7. Вайнер М.И. О некоторых характерных чертах структуры однородных пористых сред // Известия АН СССР, Механика. 1965. №5. С. 166-168.
8. Макаров Ю.А., Терешкин И.П. Исследование фрактальной размерности наполненных цементных композитов // Инженерный вестник
М Инженерный вестник Дона, №7 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n7y2020/6549
Дона, 2018, №2. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_137_Makarov.pdf_ fcbe515eda.pdf.
9. Макаров Ю.А. Химическое сопротивление бетонополимеров: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05. Саранск, 2000. 211 с.
10. Макаров Ю.А., Терешкин И.П. Применение цеолитсодержащих пород для изготовления растворов на минеральных вяжущих // Альманах современной науки и образования. 2013. №11(78). С. 102-105.
References
1. Bazhenov Y.M. Betonopolimery [Concrete polymers]. Moskva: Stroyizdat, 1983. 472 p.
2. Sheikin A.E., Chehovsky Y.V, Brusser M.I. Struktura i svoistva cementnyh betonov [Structure and properties of cement concretes]. Moskva: Stroyizdat, 1979. 344 p.
3. Mandelbrot B. Fraktaly i haos. Mnozhestvo Mandelbrota i drugie chudesa [Fractals and Chaos. The Mandelbrot Set and Other Miracles]. Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», 2009. 392 p.
4. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman And Company, 1982. 468 р.
5. Feder J. Fractals. Springer Science+Business Media, LLC, 1988. 284 p.
6. Peitgen H.-O., Richter P.H. Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems. Berlin etc., Springer-Verlag, 1986. 199 p.
7. Vajner M.I. Izvestiya AN SSSR, Mechanica. 1965. №5. pp. 166-168.
8. Makarov Y.A., Tereshkin I.P. Inzenernyj vestnik Dona, 2018, №2. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_137_Makarov.pdf_fcbe515eda.pdf.
9. Makarov Y.A. Himicheskoe soprotivlenie betonopolimerov [Chemical Resistance of Concrete Polymers]: Diss. ...Cand. Sciences: 05.23.05. Makarov Yuri Alekseevich. Saransk, 2000. 211 p.
и
10. Makarov У.Л., Tereshkin 1.Р. Almanah sovremennoi nauki { obrazovaniya. 2013. №11(78). рр. 102-105.
