CC BY
16
Исследование фрактальной размерности наполненных цементных
композитов
Ю.А. Макаров, И.П. Терешкин Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
им. Н. П. Огарёва, г. Саранск
Аннотация: В статье рассматривается возможность определения физико-механических свойств материалов на основе измерения фрактальной размерности его структуры. Показано, что между составом цементного композита и фрактальной размерностью существует определенная зависимость, а, следовательно, аналогичные зависимости могут быть получены для различных физико-механических показателей.
Ключевые слова: Фрактальная размерность, микроструктура, математическое планирование эксперимента, варьируемые факторы, трехкомпонентная система, полиномиальное уравнение, коэффициенты регрессии.
За рамками традиционной геометрии существует ряд математических понятий и методов. Однако ранее к ним не привлекалось внимание, так как изложены они были весьма обобщенно и абстрактно. Одна из таких областей - фрактальная геометрия.
Основателем фрактальной геометрии считают Б.Б.Мандельброта. Ему принадлежит большое количество работ, изучающих геометрию явлений, им впервые было дано определение фрактала [1,2].
С точки зрения математики, фрактал есть множество точек в евклидовом пространстве, обладающее свойством самоподобия. В некотором смысле, фрактал - это структура, части которой подобны целому [3]. В отличие от привычных нам геометрических объектов (например, линий, поверхностей и т.д.), фракталы имеют дробную метрическую размерность, либо их метрическая размерность не равна топологической [4]. Дробная размерность - основное свойство фрактала.
Понятие фрактала не является чисто математическим. Многие природные объекты (побережья морей, облака, кроны деревьев, снежинки и др.) имеют фрактальную форму и обладают свойствами фрактала [2,5].
:
В физике твердых тел фрактальные закономерности достаточно точно описывают структуру твердых, пористых, губчатых тел и позволяют предсказывать их свойства. В строительстве эти закономерности широко используются при моделировании структуры пористых материалов. Это помогает создавать новые строительные материалы с заданными и необходимыми свойствами.
Теоретически, по макроструктуре материала можно судить о его микроструктуре и свойствах, если определить фрактальную размерность [6].
Авторами статьи проведено исследование, связанное с проверкой влияния состава цементного композита на его фрактальную размерность [7].
Исследование проводилось с использованием методов теории планирования эксперимента в пространстве диаграммы «состав-свойство» с тремя варьируемыми факторами. Задача сводилась к определению коэффициентов регрессии полиномиального уравнения
¥ — + ^2^2 + Х3 + ^12Х1Х2 + А13 Х1Х3 + А23 Х2Х3 + _2Х1Х2 (х^ Х2 ) + Х1Х3 (Х1 Х3 ) +
+ Л-
3 х2 Х3( Х2 Х3) + А123 Х1Х2 Х3
где: хь х2, х3 - варьируемые факторы;
А1, А2, А3, А12, А13, А23, А1-2, А1-3, А2-3, А123 - статистически значимые коэффициенты регрессии.
Варьируемыми факторами являлись: х1 - наполнение цеолитом, % от массы цемента (Н/Ц), от 10%до 20%; х2 - отношение песок-цемент (П/Ц), от 1/1 до 4/1; х3 - водоцементное отношение (В/Ц), от 0,6 до 0,9.
Выбор этих факторов не случаен. Расход самого дорогого компонента раствора и бетона - цемента - зависит от отношений Н/Ц и П/Ц. Чем они больше, тем экономичнее получаемый материал, разумеется, при условии, что свойства конечного продукта не ухудшаются. Также, изменение соотношений Н/Ц и П/Ц в определенных пределах влияет на общую,
открытую и замкнутую пористость материала, а, следовательно, его структуру и свойства [8,9,10].
Целью моделирования являлось зависимостей, описывающих влияние состава цементно-песчаного композита на его фрактальную размерность. Состав композита можно изобразить как равносторонний треугольник (рис.1).
Вершины треугольника соответствуют 100%
20% ¿__V_V_\ 0,6
содержанию компонентов хь х2, х3, а точки т, щ 2/1_*• з/1 4/1 т
поля отражают процент содержания каждого
из них.
В рамках эксперимента согласно принятому плану изготавливались образцы материала. Их выдерживали в нормальных температурно-влажностных условиях в течение 28 суток. Затем проводили испытания.
Фрактальную размерность определяли следующим образом. Алмазным шлифом делали плоский срез образца, очищали поверхность от пыли струей сжатого воздуха, затем срез помещали под сканер с высоким разрешением. Полученное изображение обрабатывали с помощью ЭВМ с целью дифференцирования элементов структуры материала (рис.2). На преобразованное изображение накладывали сетку, разбитую на множество квадратов N со стороной д. Подсчитывалось общее число квадратов и число квадратов, затронутых порами материала. Далее уменьшали шаг сетки д и повторяли операцию несколько раз. С уменьшением шага сетки д увеличивается количество ячеек, покрывающих систему пор материала (таблица 1).
Таблица 1
Размер стороны ячейки д, мм 1 0,5 0,25
Число затронутых квадратов, n 80 200 500
получение аналитических
V
Рис.1. Треугольник состава трехкомпонентной системы
Рис.2. Изображение микроструктуры образца одного из испытуемых составов: слева - сканированное, справа - обработанное на ЭВМ
Полученные таким образом
Ьп Щё) 3
2,75 2,5 2,25 2
точки, показывающие зависимость числа затронутых квадратов N от размера стороны ячейки ё, выстраиваются в дважды логарифмическом масштабе вдоль прямой линии (рис.3). Угловой коэффициент (т.е. наклон) графика 1п Щё) как функции 1п ё (1):
Ь(8) = а51'
1,75 1,5 1,25
2,1
2,4
2,7 Ьп ё
3,3
Рис.3. Число ячеек N необходимых для покрытия системы пор материала как функция шага ё
(1)
связан с фрактальной размерностью В зависимостью: tga = 1 - в. Таким образом, имеется возможность вычисления фрактальной размерности.
Обработка данных эксперимента позволила вычислить статистически значимые коэффициенты регрессии (таблица 2) и записать уравнение регрессии У(В) в зависимости от варьируемых факторов х}, х2, х3 (2):
у(в) = 0,708х1+0,936 х2 + 0,770х3 + 0,063х1 х2 - 0,095 х1 х3 - 0,270 х2х3 +
+ 1,161х1 х2 (х1 - х2) + 0,275 х1 х3 (х1 - х3)- 0,441 х2х3 (х2 - х3)- 0,410 х1 х2х3
(2)
Таблица 2
Параметр Статистически значимые коэффициенты регрессии
А1 А2 А3 А12 А13 А23 А1-2 А1-3 А2-3 А123
в 0,708 0,936 0,770 0,063 -0,095 -0,270 1,161 0,275 -0,441 -0,410
3
Решение уравнения регрессии дает возможность вычислить значения фрактальной размерности в основных точках плана и построить график изменения фрактальной размерности в пределах поля эксперимента (рис.4). Матрица планирования и результаты вычислений приведены в таблице 3.
Таблица 3
Варьируемые факторы № точки плана
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xi 1 0 0 1/3 2/3 0 0 2/3 1/3 1/3
Х2 0 1 0 2/3 1/3 1/3 2/3 0 0 1/3
Х3 0 0 1 0 0 2/3 1/3 1/3 2/3 1/3
Фрактальная размерность
D 2,03 2,55 2,16 2,20 2,42 2,22 2,20 2,07 2,03 2,13
Рис. 4. Изменение фрактальной размерности в поле эксперимента
Проведенное исследование показало, что между составом цементного композита и фрактальной размерностью его структуры обнаруживается определенная связь. А так как свойства материала напрямую зависят от его состава, то в перспективе возможно установление зависимостей между фрактальной размерностью и физико-механическими свойствами цементных композитов.
Наибольший интерес представляют экспериментальные данные о связи фрактальной размерности и прочности, показателей интегральной и дифференциальной пористости, таких, как показатель однородности пор по размерам, средний размер пор и т.д.
Определение таких зависимостей в математическом выражении позволит по изображению структуры материала на макроуровне судить о ряде его физико-механических свойств, что, в свою очередь, приведет к значительному экономическому эффекту при лабораторных испытаниях материала.
Работа выполнена при поддержке НИР по договору №266/17 и Х/Д №212/18
Литература
1. Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. -392 с.
2. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman And Company, 1982. - 468 р.
3. Feder J. Fractals. Springer Science+Business Media, LLC, 1988. - 284 p.
4. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 160 с.
5. Peitgen H.-O., Richter P.H. Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems. Berlin etc., Springer-Verlag 1986. 199p.
6. Вайнер М.И. О некоторых характерных чертах структуры однородных пористых сред // Известия АН СССР, Механика, 1965, №5, с.166-168.
7. Макаров Ю.А. Химическое сопротивление бетонополимеров: дисс. ...канд.тех. наук: 05.23.05/Макаров Юрий Алексеевич. - Саранск, 2000. - 211 с.
8. Кожникова Е.А. Оценка влияния водоцементного отношения на прочность бетона с активированным цементом // Инженерный вестник Дона, 2017, №1 URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_131_Kozhnikova.pdf_ b538a3eaa3.pdf.
9. Макаров Ю.А., Терешкин И.П. Исследование функции плотности распределения эквивалентных гидравлических радиусов // Инженерный вестник Дона, 2017, №4 URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_154_ Makarov.pdf_04cb7bd489.pdf
10. Терешкин И.П. Разработка вяжущих низкой водопотребности для стендовых технологий: дисс. ...канд.тех. наук: 05.23.05 / Терешкин Иван Петрович. - Саранск, 2001. - 244 с.
References
1. Mandelbrot B. Fraktaly i haos. Mnozhestvo Mandelbrota i drugie chudesa [Fractals and Chaos. The Mandelbrot Set and Other Miracles]. Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», 2009. 392 p.
2. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman And Company, 1982. 468 р.
3. Feder J. Fractals. Springer Science+Business Media, LLC, 1988. 284 p.
4. Morozov A.D. Vvedenie v teoriu fraktalov [Introduction to the theory of fractals].Moskva-Izhevsk:Institut komputernyh issledovaniy,2002. 160p.
5. Peitgen H.-O., Richter P.H. Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems. Berlin etc., Springer-Verlag 1986. 199p.
6. Vajner M.I. Izvestiya AN SSSR, Mechanica, 1965, №5. pp.166-168.
7. Makarov Y.A. Himicheskoe soprotivlenie betonopolimerov [Chemical Resistance of Concrete Polymers]: Diss. ...Cand. Sciences: 05.23.05. Makarov Yuri Alekseevich. Saransk, 2000. 211 p.
8. Kozhnikova E.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №1. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_131_Kozhnikova.pdf_b538a3eaa3. pdf.
9. Makarov Y.A., Tereshkin I.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_154_Makarov.pdf_04cb7bd489.pdf
10. Tereshkin I.P. Razrabotka vyazhushih nizkoy vodopotrebnosti dlya stendovyh tehnologiy [Development of astringent low water requirements for bench technologies]: diss. ...Cand. Sciences: 05.23.05. Tereshkin Ivan Petrovich. Saransk, 2001. 244 p.
