Анализ методов измерения фрактальной размерности цветных и черно-белых изображений Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ЦВЕТНЫХ И ЧЕРНО-БЕЛЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

ШЕЛУХИН Олег Иванович1

МАГОМЕДОВА Дженнет Исламутдиновна2

Информация об авторах:

1д.т.н., профессор, заведующий кафедрой информационной безопасности Московского Технического университета связи и информатики, г. Москва, Россия, sheluhin@mail.ru

2аспирант кафедры информационной безопасности Московского Технического университета связи и информатики, г. Москва, Россия, jimagomedova@gmail.com

АННОТАЦИЯ

Фрактальная геометрия используется для описания самоподобных множеств, называемых фракталами, и интересна для анализа структуры цифрового изображения. Фрактальная размерность, характеризующая неравномерность и сложность фрактала, является важной метрикой для анализа изображений с самоподобной структурой.

В работе рассматриваются различные алгоритмы измерения фрактальной размерности, и производится численная оценка фрактальной размерности неподвижных цветных и черно-белых изображений двумя методами: методом триангуляции и дифференциальным методом подсчета клеток. Показано, что для черно-белых изображений алгоритм оценки фрактальной размерности сводится к нахождению тангенса угла регрессионной прямой логарифмической зависимости общей площади от размера ячейки. Для цветных изображений алгоритм нахождения фрактальной размерности усложняется и состоит из нескольких этапов.

На первом этапе цветное изображение рассматривается как композиция трех цветов: красного, зеленого и синего.

На втором этапе осуществляется оценка фрактальной размерности каждого цветного компонента аналогично черно-белому изображению. На третьем этапе находится комбинация фрактальной размерности отдельных составляющих.

Для тестирования результатов вычислений предложено сравнить полученные экспериментальные результаты с известными эталонными результатами для известных фракталов.

Показано, что рассматриваемые методы оценки методом триангуляции и дифференциальным методом подсчета клеток дают удовлетворительные результаты, погрешность которых не превышает 5%. Для практического использования рекомендуется использовать среднее арифметическое значений фрактальной размерности, найденных методом триангуляции и дифференциальным методом подсчета клеток.

Приводятся численные примеры вычисления фрактальной размерности для цветных и черно-белых изображений с использованием рассмотренными методами.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: фрактальная размерность; метод триангуляции; дифференциальный метод; цветное изображение; ретикулярный метод.

Для цитирования: Шелухин О. И., Магомедова Д. И. Анализ методов измерения фрактальной размерности цветных и черно-белых изображений // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2017. Т. 9. № 6. С. 6-16.

Постановка задачи

Фрактальную размерность (ФР) можно охарактеризовать как меру заполнения пространства некоторой моделью, которая показывает, как фрактал масштабируется в зависимости от размерности пространства. Фрактальная размерность не обязательно должна быть целым числом. Рассмотрим вычисление размеров фрактальных изображений с использованием различных методов [3]. Фрактальные образы самоподобны по своей природе. Фрактальная геометрия характеризует способность описывать регулярные или фрагментированные формы природных объектов или комплекса объектов, которые традиционная Евклидова геометрия не способна анализировать. Фрактальный анализ применяется для анализа текстуры и сегментации цифровых изображений [2, 5, 7]. Фрактальная размерность может быть полезна также для анализа и классификации изображений [2, 9, 17].

Традиционные отношения масштабирования могут быть определены математически в соответствии с уравнением

N <Х£~В (1)

где N — количество ячеек; е — масштабирующий коэффициент; Б — фрактальная размерность.

Символ ж означает пропорциональность. Величина Б может быть найдена путем преобразования уравнения (1) к виду:

1оЯ£ N = -Б =

N 1оя£

(2)

Самоподобие является типичным свойством фракталов. Масштабная инвариантность точная форма самоподобия, когда при любом увеличении существует меньшая часть объекта, которая похожа на весь объект в целом. Например, стороны фрактала «Снежинка Коха» являются одновременно симметричными и масштабно-инвариантными (рис. 1).

Таким образом, фракталы могут рассматриваться как шаблоны, из которых состоят геометрические элементы в меньших масштабах для создания как самоподобных, так и поверхностей неправильной формы и неровных. Известно много методов для оценки фрактальной размерности. В [14-15] описан ретикулярный метод подсчета клеток,

Рис. 1. Самоподобие изображения

улучшенный в [18] путем использования теории вероятностей. В [19] описана идея алгоритма случайного смещения средней точки. С помощью Гауссовой случайной величины вычисляется яркость изображения и находится ФР для дифференциации поведения масштабирования. В [2, 14, 16] предложен дифференциальный метод подсчета клеток (метод ДПК), который используется для измерения в различных областях. В [12-13] предложен метод расчета фрактальной размерности с помощью мощности Фурье-спектра интенсивности поверхности изображения и отношения гладкости/шероховатости по сравнению с поверхностью с ФР = 2 для гладкой поверхности и ФР = 3 для максимально шероховатой поверхности.

В [6] проведен анализ методов оценки фрактальных свойств черно-белых изображений.

Целью статьи является сравнительный анализ методов вычисления фрактальной размерности цветных и черно-белых изображений, оценка погрешностей вычислений.

Методологии измерения фрактальной размерности

Фрактал определяется как совокупность объектов, для которой размерность Хаусдорфа строго больше топологической размерности. Для оценки фрактальной размерности используется понятие самоподобия.

Ограниченный фрактальный набор в Евклидовом п-пространстве будет самоподобным, если является объединением различных N (непересекающихся) уменьшенных копий, масштабируемых с помощью специального коэффициента масштабирования г. В соответствии с введенным коэффициентом масштабирования фрактальная размерность Б набора А может быть получена при помощи уравнения:

D = 10ёМ , (3)

1оё(1/ г)

где ^общее количество ящиков (коробок) L, необходимых для покрытия фрактального набора; 1/г — масштабирующий коэффициент коробки по отношению к изображению.

В результате Б является размерностью относительно размера коробки, используемой для измерения фрактального изображения.

Можно сказать, что фрактальная размерность является мерой того, насколько «сложной» является самоподобная фигура.

Фрактальная размерность изображений в оттенках серого

Рассмотрим три наиболее распространенных метода измерения ФР: дифференциальный, ретикулярный метод подсчета клеток и метод триангуляции. Фрактальная размерность указывает на различные уровни серого в ячейке для конкретного изображения.

Ретикулярный метод подсчета клеток [3]

В ретикулярном методе подсчета клеток ФР вычисляется путем измерения количества уровней серого, охватываемых различными коробками изображения. Уровень серого Ь' может быть рассчитан с использованием шкалы изображения уменьшенной длины с максимальным уровнем серого по отношению к длине изображения, и может быть представлен в виде соотношения

Ь' = LG / М (4)

где Ь — длина коробки; О — максимальный уровень интенсивности в изображении, который находится в интервале градаций яркости 0.. .255, а М — длина изображения.

После того, как уровень Ь' найден можно определить общее количество «коробок», необходимых для покрытия изображения. Для этих измерений понадобится масштабирующий коэффициент 1/г. Уменьшенная длина может быть вычислена с помощью ящика длиной Ь относительно длины изображения М, как это показано на рисунке 2, а значение масштабирующего коэффициента при этом может быть равно г=Ь/М (или 1/г=М/Ь).

Для блока каждой длины Ь, вычисляется значение N и в логарифмическом масштабе строится график зависимости N от 1/г. Используя линейную регрессию полученной зависимости методом наименьших квадратов можно оценить фрактальную размерность — Б. Ячейки содержат различные значения интенсивности.

Дифференциальный метод подсчета клеток (ДПК)[14] В методе ДПК учитывается разность между максимальным и минимальным значением интенсивности яркости изображения. Пусть дано изображение размером М*М, которое разбивается на «коробки» размером Ь*Ь*Ь'(рис. 3). Высота «коробка» Ь' делит третью координату изображения, представляющую собой значение интенсивности

Пространство (х, у) изображения, содержащее значения координат пикселей, разбивается на ячейки размером Ь*Ь, после чего находится максимальное и минимальное значение интенсивности (/, /)-й ячейки, равное I и к соответственно. На следующем этапе для каждой ячейки вычисляется сумма различий между найденными значениями

п = (I - к +1)/L'

ГЧ,1) 4 7

(6)

где г= Ь/М — параметр масштабирования.

После вычисления суммы во всех ячейках находится общая сумма различий для всего изображения:

N = 1)

(7)

Рис. 2. Масштабирующий коэффициент изображения

Если изображение имеет размер М*М, а размер коробки для этого изображения равен Ь*Ь, тогда все изображение может быть покрыто коробками со сторонами Ь*Ь*Ь', где Ь' определяется из уравнения (4). В результате с помощью Ь' можно найти количество уровней серого, где О — общее количество уровней серого.

Величина N рассчитывается путем подсчета общего количества коробок, которые содержат хотя бы один уровень интенсивности изображения. Из различных длин коробки Ь можно вычислить размер Б, имеющих понижающий коэффициент 1/г= М/Ь, где М остается неизменным для различных значений Ь. Воспользовавшись уравнением (3) можно записать

На основе произведенных вычислений строится регрессионная кривая зависимости N) от ^(1/г). Фрактальная размерность Б находится как тангенс угла наклона построенной кривой.

Метод триангуляции (МТ) [1]

При использовании метода триангуляции (МТ) изображение разбивается на одинаковые ячейки е размером sxs, как это показано на рис. 4. Рассматриваются четыре значения высоты, равные интенсивности пикселей в углах ячеек (а, Ь, с, d). В месте пересечения диагоналей ячейки устанавливается точка(е), значение которой равно среднему арифметическому четырех высот. Если представить ячейку в виде треугольной призмы, как это показано на рис. 5, то необходимо вычислить площадь проектируемой верхней поверхности, представленной на рис. 4.

В первую очередь вычисляются значения сторон четырех треугольников, полученных при соединении диагоналей ячейки.

N х Г °, В Ш (Ь) х Г-

(5)

w = ; х = ^[(с-'ь^^+Т2;

у = -у/ (й - с)1 + s2; г = -^(0—

где

о =yl (a - e)2 + (-Jills)1; p = J (b - e)2 + (>/2 /2s)2 r = J (c - e)2 + (42/2s)1; q = yj (d - e)2 + (>/2/ 2s)2.

(9)

Общее значение площади поверхности равно сумме площадей отдельных треугольников.

= Л + 5 + С + D

(12)

Затем по формуле Герона [21] рассчитываются полупериметры и площади всех треугольников:

А = y[sa{sa—Ww)(sa—p)(sa-'o);

В = у[7ь(1ь—х)(7ь-~р)(1ь—~д);

С = у/sc(sc - у)^с - д)^с - г); D = лJsd(sd - z)(sd - o)(sd - г);

где

sa = — (w + p + o); sb = — (x + p + o);

sc = — ( y + q + r); sd = — (z + o + r); 2 2

Рис. 4. Проектируемая верхняя поверхность треугольной призмы

(10)

(11)

Эта процедура повторяется для всех размеров ячеек. Затем строится регрессионная прямая, определяющая зависимость логарифма общей площади всех треугольников log(S) от логарифма размера ячейки log (е) (рис. 6).

Для вычисления фрактальной размерности необходимо найти тангенс угла наклона построенной кривой B. Его можно вычислить, используя формулу

B =

r * Ss

S,

,(13)

cov(e, 5) . X -£)(S - s) где r = —^^— ;cov(e, S) = —-•

SE Ss

N

Рис. 5. Представление ячейки изображения в виде треугольной призмы

Рис. 6. Регрессионная прямая

5. =

X(г, -в) с _ Е-5)

N

, 55 =

N

е, £ — средние значения соответствующих параметров. Искомое значение фрактальной размерности Б вычисляется по формуле

D = 2 - В.

(14)

Фрактальная размерность цветных изображений:

В черно-белых изображениях существует только один уровень яркости каждого пикселя изображения, в то время как в цветном изображении есть три значения цвета (красный, зеленый, синий) для каждой точки/пикселя изображения. В результате для оценки фрактальной размерности цветных изображений необходимо рассчитать размерность для трех разных цветовых уровней. Используя методы оценки ФР для изображений в оттенках серого можно вычислить размерность цветного изображения.

Ретикулярный метод подсчета клеток для цветного изображения

При этом методе размерность рассчитывается так же, как для полутоновых изображений, используя уравнение (3). На первом этапе красные, зеленые и синие составляющие интенсивности выделяются из цветного изображения, и для каждого из них вычисляется фрактальная размерность. После нахождения частичных размерностей для каждой составляющей необходимо скомпоновать их так, чтобы вычислить ФР цветного изображения.

Для этого необходимо рассчитать ФР на каждом уровне анализируемого цветного изображения при различных размерах ячейки (коробки). После получения размерности на каждом уровне цвета, как в ретикулярном методе под-

счета клеток (для полутоновых изображений), необходимо объединить их и найти среднее значение всех уровней в соответствии с размером коробки. Для различных размеров коробки получают различные значения размерности. Используя полученные значения для построения линейной регрессии методом наименьших квадратов, можно вычислить ФР цветного изображения.

Дифференциальный метод подсчета клеток для цветного изображения

Для расчета ФР цветного изображения методом ДПК используется та же методика расчета размерности, как и в полутоновых изображениях. В цветном изображении рассчитывают размерность для красного, зеленого и синего уровней. Согласно методике ДПК для каждого этапа (красный, зеленый, синий) можно применить методику для изображений в оттенках серого. После нахождения результатов каждого шага результаты разных цветовых уровней объединяются. В результате можно получить размерность цветного изображения:

Я: п (г,]) = 1-к+1 для красных значений;

G: п (г, ]) = 1-к+1 для зеленых значений;

В: пгЬ(г, ]) =1-к+1 для синих значений.

В соответствии с вышеизложенным можно найти

А лпгг1)+Т,]пгел+Х-, 1 пьл (15)

,g,ь} - 3 Л '

Используя уравнения (15) можно определить фрактальную размерность цветного изображения методом ДПК.

Метод триангуляции для цветных изображений

Аналогично двум вышеприведенным методам при вычислении ФР цветных изображений методом триангуля-

ции в первую очередь определяются частные значения ФР для каждой цветовой составляющей, а затем вычисляется их среднее значение.

Тестирование методов оценки фрактальной размерности

Для тестирования методов оценки ФР были рассмотрены два метода МТ и ДПК. Тестирование осуществлялось с помощью фрактальных объектов, для которых ФР известна[20]. В табл. 1 представлены результаты тестирования вышеприведенных методов оценки с использованием фракталов с известным значением размерности. В табл. 1 сделаны следующие обозначения:

д % = ^М!—— . 100% — абсолютная погрешность

мт —

оценки ФР между измеренным —МТ и истинным Б значением ФР методом триангуляции.

д % = —ДПК_—. юо% — абсолютная погрешность

ДПК —

оценки ФР между измеренным ——дПК и истинным Б значением ФР методом ДПК.

д % = — - — .100% — абсолютная погрешность

СР —

средней оценки ФР, полученной двумя методами.

Численные данные абсолютных погрешностей измерения ФР с помощью МТ и ДПК показывают, что они дают сравнимые результаты. Погрешность вычислений для обоих методов не превышает 5%. Для практического использования целесообразно использовать оба из них, а значения ФР находить путем усреднения результатов обоих методов. В этом случае суммарная погрешность вычислений ФР не превышает 3%.

Таблица 1

Тестирование методов измерения фрактальной размерности

Фрактал

Изображение

Б

Результаты тестирования

МТ

ДПК

¿дпк'%

Б

Лср,%

Двенадцатигранник

2,3296

2,2276

4,378

2,4203

3,893

2,3239

0,243

Фрактальная пирамида

2,3219

2,2641

2,489

2,5524

9,03

2,4083

3,719

Губка Менгера

2,529

2,3218

8,193

2,5830

2,135

2,4524

3,029

3D поверхность Коха

2,3347

2,2260

4,656

2,4068

3,088

2,3164

0,784

3D поверхность Коха 2

2,5

2,3879

4,484

2,5705

2,82

2,4792

0,832

Экспериментальные результаты

Измерения проведенные для изображений в оттенках серого и полноцветных изображений с помощью рассмотренных методов показали их вычислительную простоту и реализуемость. Для каждого измерения строились регрессионные кривые, показывающие зависимость значений отсчетов (для метода триангуляции — общая площадь треугольников £ДВСС, для ДПК — сумма Nr) от размера ячейки sxs и масштабирующего коэффициента 1/г соответственно. В случае полноцветных изображений отсчеты вычислялись отдельно для каждой цветовой составляющей, а затем рассчитывалось среднее арифметическое полученных значений.

Рассмотрим пример вычисления ФР для полноцветного изображения, представленного на рис. 9.

Исходные размеры изображения: 600*453, а размеры области исследования: 256*256

Результаты вычислений методом триангуляции представлены в табл. 2

£ £ь £г — площади для зеленой, синей и красной составляющих цвета соответственно;

Воспользовавшись найденными численными значениями, построим зависимость общей площади £(е) от размера ячейки е, представленную на рис. 10.

Для оценки ФР, аналогично вышеизложенному с использованием формулы (16) вычисляем значение вспомогательные величины:

5 = 12,0285; в = 2383; 5 = 0,6610;£е = 3,1764; ^ (е, £ (е)) =-2,0367;

Таблица 2

Результаты вычислений МТ для различных цветовых каналов

Размер ячейки е = 8X8 S Г S ё ад

2x2=4 571554,5 556697,4 544835,9 13,23157

4x4=16 378943,3 362170,7 346480,4 12,80087

8x8=64 242322,3 232155 220887,8 12,35358

16x16=256 157590,9 151833,1 150106,8 11,93935

32x32=1024 126657,6 124387 123242,3 11,73417

64x64=4096 104591,1 99471,77 96584,47 11,51508

128x128=16384 89246,4 84979,75 85502,39 11,36878

256x256=65536 75735,6 78906,27 84211,54 11,28499

Рис. 10. Регрессионная зависимость общей площади £(е) от размера ячейки е.

Рис. 11. Регрессионная зависимость суммы различий N от масштабирующего коэффициента 1/г

г = -2'°367 = -0,9700; Б = -°'97 • °'661° = -0,2019.

0,6610 • 3,1764

3,1764

Воспользовавшись найденными величинами с помощью формулы (14) оценим фрактальную размерность: Б = 2,2019.

Рассмотрим вычисление ФР для того же цветного изображения, воспользовавшись методом ДПК.

Результаты вычислений методом ДПК представлены в табл. 3

Таблица 3

Результаты вычислений методом ДПК для различных цветов Nrr ; N ; Nrb для красной зеленой и синей составляющей цвета соответственно

Воспользовавшись численными значениями найденных переменных, построим зависимость 1оё(Ж) от 1оё(1/г), представленную на рис. 11.

Для оценки ФР оценим угол наклона регрессионной прямой, проходящей через экспериментально полученные точки. С этой целью, с использованием (16) вычисляем значение вспомогательных величин:

5 = 7,057; ё = 2,7726; 5 = 3,2688; = 1,3863; ^(е, Б(е)) = 4,5271

4,5271

3,2688 -1,3863

= 0,999;

Л = - 3'2688 = 2,3556. 1,3863

г =

1/г N гг N п Кь

128 121532,2 119524,9 117132 11,6902

64 34490,98 33646,18 32808,41 10,42372

32 7263,749 7037,992 6797,929 8,8584

16 1352,345 1312,502 1259,922 7,17645

8 240,1882 234,7608 223,1529 5,449753

4 46,5098 45,01961 41,66275 3,793181

2 7,709804 7,552941 7,066667 2,007292

Значение фрактальной размерности, вычисленное по формуле (14): Б = 2,3556. Среднее значение ФР для двух методов Б = 2,2788.

Выводы

В данной работе для измерения фрактальной размерности цветных и черно-белых изображений проведен анализ двух методов МТ и ДПК. Обе методологии основаны на использовании клеток (коробок) и построении регрессионных кривых, что говорит об их низкой вычислительной сложности. При вычислении получены незначительно различающиеся значения ФР для разных методов. Результаты тестирования показали, что наиболее точные значения ФР могут быть получены путем усреднения значений, полученных двумя методами.

Литература

1. Clarke K. C. Computation of the Fractal Dimension of topographic surfaces using the triangular prism surface area method // Computers and Geosciences. 1986. No. 12(5). Pp. 713-722.

2. Chaudhuri B. B., Sarkar N. Texture segmentation using fractal dimension // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1995. Vol. 17. Pp. 72-77.

3. Gangepain J., Roques-Carmes G. Fractal approach to two dimensional and three dimensional surface roughness // Wear. 1986. Vol. 109. Pp. 119-126.

4. Falconer K. Fractal Geometry — Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 2003. 288 p.

5. Ida T., Sambonsugi Y. Image segmentation and contour detection using fractal coding // IEEE Transactions on Circuits System Video Technology. 1998. Vol. 8. Pp. 968-977.

6. Jansson S., Georgsson F. Evaluation of Methods for Estimating Fractal Dimensions of Intensity Images // Proceedings of SSBA06 / eds. F. Georgsson, N. Borlin. Umea University, Swellden, October 30, 2006. Pp. 69-74.

7. Liu S., Chang S. Dimension estimation of discrete-time fractional Brownian motion with applications to image texture classification // IEEE Transactions on Image Processing. 1997. Vol. 6. Pp. 1176-1184.

8. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. W. H. Freeman and Company, 1977. 468 p.

9. Neil G., Curtis K. M. Shape recognition using fractal dimension // Pattern Recognition. 1997. Vol. 30. No. 12. Pp. 1957-1969.

10. Padhy L. N. Fractal dimension of gray scale & colour image // International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering. July 2015. Pp. 1285-1297.

11. Peitgen H. O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. 1st ed. Berlin: Springer, 1992. 837 p.

12. Pentland A. P. Fractal based description of natural scenes // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1984. Vol. 6. Pp. 661-674.

13. Pentland A. P. Shading into texture // Artificial Intell. 1986. Vol. 29. Pp. 147-170.

14. Sarkar N., Chaudhuri B. B. An efficient differential box-counting approach to compute fractal dimension of image // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 1994. Vol. 24. Pp. 115-120.

15. Voss R. F. Random Fractals: Characterization and Measurment // Scaling Phenomena in Disordered Systems / Eds. R. Pynn and A. Skjelyorp. New York: Plenum, 1986. Pp. 1-11.

16. Voss R. Random fractals: characterization and measurement // Scaling phenomena in disordered systems. 1986. Vol. 10. No. 1. Pp. 51-61.

17. Wu G., Liang D., Tian Y. Texture image segmentation using fractal dimension // Chinese Journal of Computers. 1999. Vol. 22. No.10. Pp.1109-1113.

18. Concept of self similarity. URL: http://en.wikipedia. org/wiki/Self-similarity (дата обращения 02.12.2017).

19. Fractals technology. URL: http://www.fractus.com/ index.php/fractus/ technology. (дата обращения 02.12.2017).

20. List of fractals by Hausdorff dimension. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_ dimension. (дата обращения 02.12.2017).

21. Николаев Н. О площади треугольника // Вестник опытной физики и элементарной математики. 1890. № 108. С. 227-228.

22. Шелухин О. И., Канаев С. Д. Стеганография. Алгоритмы и программная реализация / Под. ред. проф. О. И. Шелухина. М.: Горячая линия — Телеком, 2017. 616 с.

23. Шелухин О. И., СмычекМ. А. Комбинированный алгоритм встраивания цифровых водяных знаков в изображения графических масштабов для скрытой передачи информации // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2017. № 1. 2017. С. 68-75.

ANALYSIS OF METHODS FOR CALCULATING THE FRACTAL DIMENSION OF COLOR AND GRAYSCALE IMAGES

OLEG I. SHELUHIN, KEYWORDS: fractal dimension; triangular method; differen-

Moscow, Russia, sheluhin@mail.ru tial box-counting method; color image; reticular metod.

DZHENNET I. MAGOMEDOVA,

Moscow, Russia, jimagomedova@gmail.com

ABSTRACT

Fractal geometry is used for describing self-similar sets called fractals and proved to be of interest for the digital images structure analysis. Fractal dimension, characterizing irregularity and complexity of fractal, is useful metric for analysis images with self-similar structure.

In this paper we consider different algorithms for calculating the fractal dimension and estimate FD of grayscale and color images by using two methods: triangular method and differential box-counting method.

We consider algorithms and methodologies for calculating FD of grayscale and color images. We analyzed three algorithms: reticular box-counting method, differential box-counting method (DBC) and triangular method (MT). We showed that algorithm of calculating FD of grayscale image reduces to finding the slop of the line from the log-log regression of total area vs the cell size.

For color images, the algorithm for finding the FD is more complex and consists of several stages. At the first stage, a color image is considered as a composition of three colors: red, green and blue. The second stage involves the estimation of FD for each color component, similarly to grayscale image. And at the third stage there is a combination of FD of separate components.

To test the results of calculations, we suggested comparing the obtained experimental results with known reference results for reference fractals. We showed that the considered estimating methods, MT and DBC, give satisfying results, the error of which does not exceed 5%. For practical use, we recommended to use the arithmetic mean of the values of the FD found by MT and DBC.

We showed numeric examples of calculating FD for grayscale and color images by using the considered methods.

REFERENCES

1. Clarke K. C. Computation of the Fractal Dimension of topographic surfaces using the triangular prism surface area method. Computers and Geosciences. 1986. No. 12(5). Pp. 713-722.

2. Chaudhuri B. B., Sarkar N. Texture segmentation using fractal dimension. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1995. Vol. 17. Pp. 72-77.

3. Gangepain J., Roques-Carmes G. Fractal approach to two dimensional and three dimensional surface roughness. Wear. 1986. Vol. 109. Pp. 119-126.

4. Falconer K. Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 2003. 288 p.

5. Ida T., Sambonsugi Y. Image segmentation and contour detection using fractal coding. IEEE Transactions on Circuits System Video Technology. 1998. Vol. 8. Pp. 968-977.

6. Jansson S., Georgsson F. Evaluation of Methods for Estimating Fractal Dimensions of Intensity Images. Proceedings of SSBA06 / eds. F. Georgsson, N. Borlin. Umea University, Swellden, October 30, 2006. Pp. 69-74.

7. Liu S., Chang S. Dimension estimation of discrete-time fractional Brownian motion with applications to image texture classification. IEEE Transactions on Image Processing. 1997. Vol. 6. Pp. 1176-1184.

8. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. W. H. Freeman and Company, 1977. 468 p.

9. Neil G., Curtis K. M. Shape recognition using fractal dimension. Pattern Recognition. 1997. Vol. 30. No. 12. Pp. 19571969.

10. Padhy L. N. Fractal dimension of gray scale & colour image. International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering. July 2015. Pp. 1285-1297.

11. Peitgen H. O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. 1st ed. Berlin: Springer, 1992. 837 p.

12. Pentland A. P. Fractal based description of natural scenes. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1984. Vol. 6. Pp. 661-674.

13. Pentland A. P. Shading into texture. Artificial Intell. 1986. Vol. 29. Pp. 147-170.

14. Sarkar N., Chaudhuri B. B. An efficient differential box-counting approach to compute fractal dimension of image. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 1994. Vol. 24. Pp. 115-120.

15. Voss R. F. Random Fractals: Characterization and Meas-

urment. Scaling Phenomena in Disordered Systems. Eds. R. Pynn and A. Skjelyorp. New York: Plenum, 1986. Pp. 1-11.

16. Voss R. Random fractals: characterization and measurement. Scaling phenomena in disordered systems. 1986. Vol.10. No. 1. Pp. 51-61.

17. Wu G., Liang D., Tian Y. Texture image segmentation using fractal dimension. Chinese Journal of Computers. 1999. Vol. 22. No. 10. Pp. 1109-1113.

18. Concept of self similarity. URL: http://en.wikipedia.org/ wiki/Self-similarity (date of access 02.12.2017).

19. Fractals technology. URL: http://www.fractus.com/index. php/fractus/ technology. (date of access 02.12.2017).

20. List of fractals by Hausdorff dimension. URL: https:// en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimen-sion. (date of access 02.12.2017).

21. Nikolaev N. O ploshchadi treugol'nika [About the Area of Triangle]. Vestnik Opyitnoy Fiziki i Elementarnoy Matematiki [Messenger of Skilled Physics and Elementary Mathematics].

1890. No. 108. Pp. 227-228. (In Russian)

18. Sheluhin O. I., Kanaev S. D. Stenografiya. Algoritm i pro-grammnaya realizatsiya [Steganography. Algorithms and software implementation]. Edited by prof. Sheluhin O. I.: Goryachaya liniya - Telekom, 2017. 616 p. (In Russian)

19. Sheluhin O. I., Smychek M. A. Combined graphic scale image watermarking method for secret communication. Ra-diotehnicheskie i telekommunikatsionnyie sistemyi [Radio engineering and telecommunication systems]. 2017. No. 1. Pp. 68-75. (In Russian)

INFORMATION ABOUT AUTHORS:

Sheluhin O. I., PhD, Full Professor, Head of Department Information Security of the Moscow Technical University of Communications and Informatics;

Magomedova D. I., Postgraduate of the Moscow Technical University of Communications and Informatics, Department of Information Security.

FOR CITATION: Sheluhin O. I., Magomedova D. I. Analysis of methods for calculating the fractal dimension of color and grayscale images. H&ES Research. 2017. Vol. 9. No. 6. Pp. 6-16. (In Russian)